函数的连续性 ppt课件1
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高等数学方明亮版18-函数的连续性与间断点省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
定义 1 设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义,如果当自变量的增量
x 趋向于零时, 对应的函数的增量y也趋向于零, 即 lim y 0 x 0
或 lim[ x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )]
0，那末就称函数
f ( x)在点 x0连续,
并称 x 为 f ( x)的连续点. 0
说明：由 x = x x0 ，则 x 0就是 x x0 ．又因为
一样可证: 函数 y cos x 在 ( , ) 内连续 .
2024/10/1
9
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例2 讨论函数
y
2x 3x
1, 1,
x 0 在 x 0 处旳连续性． x< 0
解 因为 lim y lim (3x 1) 0 1 1
x0
x0
lim y lim (2x 1) 0 1 1
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续,
故函数 f (x) 在点 x 0不连续。
2024/10/1
18
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3. 讨论下列函数旳连续性，若有间断点，判断其类别．
f
(
x)
lim
n
(1 x2n ) 1 x2n
x
习题1－9 3（2）
lim
x x0
f (x)
f (x0 ) ,
则称函数
f (x) 在 x0 连续.
采用“ ”语言，定义 2 可叙述为：
对 0 ， 0 ，当 x x0 时，总有 f (x) f (x0) 成立，则称函数 y f (x) 在点 x0 连续．
函数的连续性及极限的应用PPT教学课件
一、矛盾是事物发展的源泉和动力
(一)、矛盾的同一性和斗争性 （1）什么是矛盾
①含义：
反映事物内部对立和统一的哲学范畴，
简言之，矛盾就是对立统一。
剪之— 你死我亡——一绳系两命 — 统一— 两者的命运统一于一条绳 — 对立— 两者之间随时都可能相斗 —
不剪— 冤家路窄——利益有冲突 —
矛盾：事物自身包含的既对 立又统一的关系
（４）矛盾同一性与斗争性的关系：
区别：
矛盾的同一性是相对的，斗争性是绝对的
联系：
①同一性离不开斗争性，同一以差别和对立为前提。
②斗争性寓于同一性之中，并为同一性所制约。 ③矛盾双方既对立又统一，由此推动事物的运动、变 化和发展。
试一试：
材料一：酿酒窖泥奇臭，酿出的名酒特香，香鲸的 粪便恶臭，燃烧后却香味浓郁。
第四节 函数的连续性 及极限的应用
高三备课组
知识点
1.函数在一点连续的定义:
如果函数f(x)在点x=x0处有定义，xlimx0 f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.
2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三 个条件.
((21))函数xlimfx(0xf)(在x)存点在x=；x0处有定义；
7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x) 在x=x0处有极限的联系与区别。 “连续必有极限，有极限未必连续。”
点击双基
1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有 定义的_________条件.
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
２.下列图象表示的函数在x=x0处连
无穷小量函数的连续性优质课件
1
lim
x0
ex
ln(
1
2 3
sin
x2
x)
1
lim
x0
x
ln(1
2 3
x2
sin
x)
lim
2 3
sin
x
2
2024/7/26 x0
x
3
ln(1 x) ~ x(x 0)
21
1 2 cos x
[例7]
lim
?
x
3
sin(
x
3
)
[解] 作变换
x u,
则
x u
3
3
并且,当x 时, u 0
又
2024/7/26
32
定义3： （ 函数在区间上的连续性）
(1) 若 函 数 f ( x) 在 开 区 间(a, b)的 每 一 点 处 都 连 续,则 称 f ( x) 在 开 区 间 (a, b)内 连 续. 记 作 f C(a, b)
(2) 若 函 数 f ( x) 在 开 区 间(a, b)内 连 续,
lim x lna lna x0 x
a x 1 ~ x lna (x 0)
2024/7/26
20
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
ex 1 ~ x(x 0)
lim 3x
x0
(1
2 3
sin x)x x2
称 x0 是 函 数 f 的 一 个 连 续 点;
否 则 称 函 数f 在 点x0 处 间 断,
函数的极限函数的连续性PPT教学课件
一暴（ pu） 十寒：
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
高等数学 第八节 函数的连续性
则称 f (x) 在 x0 点处右连续.
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
2、函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
xl ix0m f(x)f(x0)
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)xl ixm 0 f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 ) (3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
1x
ysinxC( [ , ] )
yarcxs iC n([1,1])
单调 增加 2 2 单增 调加
3、复合函数的连续性
定理 (复合函数连续性定理)
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
2、函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
xl ix0m f(x)f(x0)
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)xl ixm 0 f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 ) (3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
1x
ysinxC( [ , ] )
yarcxs iC n([1,1])
单调 增加 2 2 单增 调加
3、复合函数的连续性
定理 (复合函数连续性定理)
数学分析 函数的连续性(课堂PPT)
例如, 函数y sin x在区间 (,)内是连续的.
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点
x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称
函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 记为：
f ( x) C[a,b].
2
10
例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
2
27
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 0 连续
2
28
练习题
一、 填空题：
1、 指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
lim y 0，那末就称函数 f ( x)在点 x 连续, x 称为
x 0
0
0
f ( x)的连续点.
即
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0
2
5
例1
试证函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
当 x 0时, sin 1 上下震荡. x
这种情况称x=0为震荡间断点.
2
14
例5 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点
x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称
函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续. 记为：
f ( x) C[a,b].
2
10
例3 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
2
27
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 0 连续
2
28
练习题
一、 填空题：
1、 指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
lim y 0，那末就称函数 f ( x)在点 x 连续, x 称为
x 0
0
0
f ( x)的连续点.
即
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0
2
5
例1
试证函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
当 x 0时, sin 1 上下震荡. x
这种情况称x=0为震荡间断点.
2
14
例5 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
同济高等数学第一章第九节精品PPT课件
§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
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铃
一、连续函数的和、积及商的连续性
❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数
在点x0也连续 >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续
铃
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
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结束
铃
三、初等函数的连续性
❖结论
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
例如,
y 1- x2 的连续区间为[-1, 1] (端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为 (2n , (2n +1) ) , n Z
么它的反函数xf -1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例2
所以它的反函数yarcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在
它们的定义域内都是连续的
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
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一、连续函数的和、积及商的连续性
❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数
在点x0也连续 >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续
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结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
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三、初等函数的连续性
❖结论
基本初等函数在定义区间内连续 一切初等函数
连续函数经四则运算仍连续
在定义区间内
连续函数的复合函数连续
连续
例如,
y 1- x2 的连续区间为[-1, 1] (端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为 (2n , (2n +1) ) , n Z
么它的反函数xf -1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例2
所以它的反函数yarcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在
它们的定义域内都是连续的
《连续性与间断点》课件
连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极 限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无 穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性， 因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极 限不相等，即函数在该点处发生“跳 跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因 为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存 在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相 等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的 可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处 理的一种，可以通过补充定义使 得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为 无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题 需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中 的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连 续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系 、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格 的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域 中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。
函数连续性课件
与路程x（单位:km）之间的关系为：
f
(x)
5 1.2x, 13.4 2.1(x
7)
0
x
x
7
7
（1）求 lim f (x) x7
（2）f (x) 是连续函数吗？
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
[出租车费]
解
因为 lim f (x) lim (5 1.2x) =13.4
17、18世纪是数学家的英雄时期，并取得了丰硕的成果 ，构成了庞大的数学分析分支.但它从概念到证明都是不够严 密的.在19世纪前后，波尔察诺、柯西、维尔斯特拉斯等人为 了使微积分更严密，发现算术本身是有巩固基础的，可以在 算术概念的基础上重新分析.这样他们正确地抓住了极限与连 续性是两个本质的概念。正如现在我们知道的，极限与连续 性是两个孪生兄弟.
x00
x00
lim f (x) lim (4.2x 420) 420
x00
x00
lim f (x) lim f (x)
x00
x00
所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
[出租车费]
设某城市出租车白天的收费y(单位:元)
连续是的数学基础概念之一
连
续
是植根于工业生活骨髓的概念之一
连续是对世界认知的重要概念
《应用数学》
作业
1
在线测试
2
连续的现实例子
3 不连续应该如何认识
《应用数学》
请各位专家批评指正！
连续，否则称函数f(x)在点x0间断。
如果函数f(x)在开区间（a,b） 内每点连续，则称函数
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x x0
如果 lim f (x) f (x0 ) 则称 yf (x)在点 x 0 处右连续
x x0
•结论
函数yf(x)在点x0处连续函 数yf(x)在点x0处左连续且右连续 简单地说，连续函数的图形能一 笔画成。
连续函数
如果函数 f(x) 在某一开区间（ a,b ）内每 一点都连续 就说函数f(x)在开区间（a,b） 内连续，或说 f(x) 是开区间（ a,b) 内的连续 函数
f ( x ) =13.4 所以 lim x7
由初等函数的连续性以及以上的分析知， f ( x) 是连续函数。
案例2 设1克冰从-40oC升到 xoC所需要的热 量 （单位：J（焦尔））为
2.1x 84, 40 x 0 f ( x) x0 4.2 x 420,
考察下列图形
y y y
0
a
x
0
a
y
0
y
a
x
y
0
a x
0
a
x
x
一般的，函数f(x)在点x=x0处连续 必须满足下面三个条件： ⑴函数f(x)在点x=x0处有定义；
f (x) 存在； ⑵ xlim x0
f (x) =f(x )，即函数f(x)在 ⑶ xlim x 0 点x0处的极限值等于这一点的函数 值。
x 0 0
x 0 0
x 0 0
lim f ( x) lim f ( x)
x 0 0
所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
试问当 x 0 时，函数是否连续？并 解释其几何意义。
解
2.1x 84, 40 x 0 f ( x) 4.2 x 420, x 0
x 0 0
x 0 0
lim f ( x) lim (4.2 x 420 ) 420
lim f ( x) lim (2.1x 84) 84
函数的连续性
引例 [人体高度的连续变化 ]
时间与空间都是连续的，在 实际生活中，还有大量连续性现 象.如人体身高的增长，温度的 变化，河水的流动等.
我们知道，人体的高度h 是时 间 t 的函数 ht ， h 随着 t 的变化而 连续变化。事实上，当时间 t 的变 化 t 很微小时，人的高度 h 的变化 也很微小，即当 t 0 时， h 0 。由此可见，可以用 极限给出函数连续的概念。
连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做 在该区间上的连续函数 或者说函数在 该区间上连续 •连续函数举例 2 函数 ysin x 在区间( )内是 连续的
这是因为 函数ysin x在( )内任意一点x处有定义 并且
x 0
lim y lim [sin(x x) sin x]
0
函数的连续性定义
如果函数 yf(x) 在点x=x0处及其附近有 im y 0 或 lim f (x) f (x0 ) 那么就称函数 定义，而且 x 0 x x0 y=f(x) 在点x0处连续
•左连续与右连续
如果 lim f (x) f ( x0 ) 则称 yf (x)在点 x 0 处左连续
•连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间( )内 是连续的
这是因为 函数P(x)在( )内任意一 点 x0处有定义 并且 lim P(x) P(x0 )
x x0
对于闭区间[a,b]上的函数f(x)，如果f(x) 在开区间（a,b）内连续， 在左端点 f (x) f (a) x=a处有 xlim ，在右端点 a x=b处有 lim f (x) f (b) ，就说函数 xb f(x)在闭区间[a,b]上连续。
f ( x) （1）求 lim x7
（2） f
( x)
是连续函数吗？
解 因为
x 7 0
lim f ( x) lim (5 1.2 x) =13.4
x 7 0
lim f ( x) lim [13.4 2.1( x 7)] =13.4 x 7 0 x 7 0
x 0
x x lim 2 sin cos(x ) 0 x 0 2 2
案例1 [出租车计费] 设某城市出租车白天的收费y(单位: 元)与路程x（单位: 公里）之间的关系为
0 x7 5 1.2 x, f ( x) 13.4 2.1( x 7) x 7
如果 lim f (x) f (x0 ) 则称 yf (x)在点 x 0 处右连续
x x0
•结论
函数yf(x)在点x0处连续函 数yf(x)在点x0处左连续且右连续 简单地说，连续函数的图形能一 笔画成。
连续函数
如果函数 f(x) 在某一开区间（ a,b ）内每 一点都连续 就说函数f(x)在开区间（a,b） 内连续，或说 f(x) 是开区间（ a,b) 内的连续 函数
f ( x ) =13.4 所以 lim x7
由初等函数的连续性以及以上的分析知， f ( x) 是连续函数。
案例2 设1克冰从-40oC升到 xoC所需要的热 量 （单位：J（焦尔））为
2.1x 84, 40 x 0 f ( x) x0 4.2 x 420,
考察下列图形
y y y
0
a
x
0
a
y
0
y
a
x
y
0
a x
0
a
x
x
一般的，函数f(x)在点x=x0处连续 必须满足下面三个条件： ⑴函数f(x)在点x=x0处有定义；
f (x) 存在； ⑵ xlim x0
f (x) =f(x )，即函数f(x)在 ⑶ xlim x 0 点x0处的极限值等于这一点的函数 值。
x 0 0
x 0 0
x 0 0
lim f ( x) lim f ( x)
x 0 0
所以，函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
试问当 x 0 时，函数是否连续？并 解释其几何意义。
解
2.1x 84, 40 x 0 f ( x) 4.2 x 420, x 0
x 0 0
x 0 0
lim f ( x) lim (4.2 x 420 ) 420
lim f ( x) lim (2.1x 84) 84
函数的连续性
引例 [人体高度的连续变化 ]
时间与空间都是连续的，在 实际生活中，还有大量连续性现 象.如人体身高的增长，温度的 变化，河水的流动等.
我们知道，人体的高度h 是时 间 t 的函数 ht ， h 随着 t 的变化而 连续变化。事实上，当时间 t 的变 化 t 很微小时，人的高度 h 的变化 也很微小，即当 t 0 时， h 0 。由此可见，可以用 极限给出函数连续的概念。
连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做 在该区间上的连续函数 或者说函数在 该区间上连续 •连续函数举例 2 函数 ysin x 在区间( )内是 连续的
这是因为 函数ysin x在( )内任意一点x处有定义 并且
x 0
lim y lim [sin(x x) sin x]
0
函数的连续性定义
如果函数 yf(x) 在点x=x0处及其附近有 im y 0 或 lim f (x) f (x0 ) 那么就称函数 定义，而且 x 0 x x0 y=f(x) 在点x0处连续
•左连续与右连续
如果 lim f (x) f ( x0 ) 则称 yf (x)在点 x 0 处左连续
•连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间( )内 是连续的
这是因为 函数P(x)在( )内任意一 点 x0处有定义 并且 lim P(x) P(x0 )
x x0
对于闭区间[a,b]上的函数f(x)，如果f(x) 在开区间（a,b）内连续， 在左端点 f (x) f (a) x=a处有 xlim ，在右端点 a x=b处有 lim f (x) f (b) ，就说函数 xb f(x)在闭区间[a,b]上连续。
f ( x) （1）求 lim x7
（2） f
( x)
是连续函数吗？
解 因为
x 7 0
lim f ( x) lim (5 1.2 x) =13.4
x 7 0
lim f ( x) lim [13.4 2.1( x 7)] =13.4 x 7 0 x 7 0
x 0
x x lim 2 sin cos(x ) 0 x 0 2 2
案例1 [出租车计费] 设某城市出租车白天的收费y(单位: 元)与路程x（单位: 公里）之间的关系为
0 x7 5 1.2 x, f ( x) 13.4 2.1( x 7) x 7