高中数学必修四《同角三角函数的基本关系》

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高中数学《同角三角函数的基本关系》课件

一同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25

北师大版高中高二数学必修4《同三角函数的基本关系》评课稿

北师大版高中高二数学必修4《同三角函数的基本关系》评课稿1. 引言《同三角函数的基本关系》是高中数学必修4课程中的一部分，是同学们学习三角函数的基础知识。

本次评课稿将从教材内容、教学目标、教学方法和教学效果四个方面对该课程进行评价，旨在探讨该课程的优点和不足之处，为教师们提供改进和优化教学的建议。

2. 教材内容《同三角函数的基本关系》是北师大版《高中数学必修4》教材中的一章内容。

本章主要包括以下几个重要内容：2.1 同角三角函数的定义与性质本节通过引入正弦、余弦、正切和余切的定义和性质，使学生理解这些函数的含义以及它们在不同象限下的取值范围。

2.2 同角三角函数的基本关系本节介绍了正弦、余弦、正切和余切之间的基本关系，如正切与余切的倒数关系等。

同时，本节也引入了同角三角函数诱导公式，帮助学生进行函数值的计算。

2.3 同角三角函数的图像与性质本节通过绘制正弦、余弦、正切和余切的图像，使学生对函数的周期、取值范围和增减性等性质有较深的了解。

3. 教学目标《同三角函数的基本关系》这一章的教学目标主要有以下几个方面：•能够正确定义和理解正弦、余弦、正切和余切的含义；•能够掌握正弦、余弦、正切和余切之间的基本关系；•能够独立运用诱导公式计算函数值；•能够正确绘制正弦、余弦、正切和余切的图像，并理解其周期、取值范围和增减性等性质。

4. 教学方法为了达到以上教学目标，教师可以采用多种教学方法进行教学：4.1 演示法教师可以通过演示正弦、余弦、正切和余切的定义和性质，利用多媒体工具展示函数图像和计算示例，以帮助学生形象地理解和记忆。

4.2 探究法通过提出问题和让学生自己尝试解决，教师可以引导学生发现同角三角函数的基本关系和诱导公式，并进行实际应用例题的讨论和练习。

4.3 合作学习在教学过程中，鼓励学生进行小组合作，共同解决难题，让学生之间相互学习和交流，提高他们的合作能力和解决问题的能力。

5. 教学效果通过对《同三角函数的基本关系》这一章的教学观察和学生的反馈，可以总结出该教材的教学效果：•教材内容覆盖全面，能够满足学生的学习需求；•教学方法灵活多样，能够激发学生的学习兴趣；•学生对同角三角函数的定义、性质和图像等方面有了较好的理解；•学生的课堂参与度较高，合作学习的效果明显。

高中数学必修四第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系

故 tan ��
1 sin2��
-1
=
tan
��
1-sin2�� sin2��
=
tan
��
cos�� sin��
=
sin�� cos��
·-scions��
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin�� 1 + cos�� ∴ 1-cos�� = sin�� .
题型一题型二题型三题型四题型五
题型四已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin��+cos�� 2sin��-cos��
则 sin α=−
1-cos2 ��
=
−
15 17
,
tan
��
=
sin�� cos��
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.

北师大版必修4高中数学第三章同角三角函数的基本关系课件3

同角三角函数的基本关系
一:新课引入
三角函数是以单位圆上的点的坐标来定义的,
你能从单位圆的几何性质出发,探究同一个角的不
同三角函数的之间关系吗?
二:同角三角函数的基本关系
1 : 平方关系
sin cos 1
2 2
2 : 商数关系当

2
sin tan cos
k , ( k Z )时
8
变式 1 : 用sin cos表示sin cos 2 解 sin cos
sin2 cos2 2 sin cos 1 2 sin cos 2 sin cos 1 sin cos 2
返回
变式2 : 若 cos sin cos , 化简 1 2 sin cos 1 2 sin cos
sin 2 cos 2sin cos
sin 4 cos
tan 4
sin 2 cos 解法2 : 2 sin cos

化弦为切
sin 2 cos cos sin cos cos
2
三 : 同角的三角函数的基本关系的应用
1 : 应用之一 : 求三角函数的值
sin 2 cos 例2 :已知 2, 求 tan sin cos
sin 2 cos 变式 :已知 tan 3, 求 sin cos 化切为弦
化弦为切
解法
2 : 应用之二 : 化简三角函数式
解法
四:自主探究同角三角函数的基本关系的其它形式
源泉
sin2 cos2 1 sin tan cos

高中数学必修四同角三角函数的基本关系式课件

cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页习题1-2 A组zxxk
8、9 选作习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为（ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。

人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件

cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ，满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？
cos

4 ，tan
5

3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)

同角三角函数的基本关系(说课)

变式：
(1) cos t an 2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
设计意图: (1)统一消元的思想,常用化简方法“切化弦”。 (2)公式变形
教材分析教法分析
初步应用，归纳方法
学法指导
教学程序
评价分析
应用三：证明
一题多法
例3.证明： cos 1 sin 1 sin cos
教材分析
教法分析
学法指导
教学程序
评价分析
2.教学目标:
认知目标:能借助单位圆中的三角函数线,推出同一个角的正弦、余弦和正切之间的关系，理解两个基本关系式并能简单应用能力目标:培养学生数形结合的思想，方程的思想，转化的思想
情感目标:通过公式的推导和应用，培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点 3.教学重点:公式的推导和应用
设计意图: (1)熟悉变形公式的使用。 (2)证明的方法思想——化繁为简。 (3)证明要有方向感——目标意识。
三种基本思路：①一边化一边；②作差比较；③两边化为同一式。
教材分析
教法分析
学法指导
教学程序
评价分析
知识小结，完善结构（3分钟）
两个基本关系（原公式和变形公式）三类应用方程和方程组的思想证明的方法；目标意识

任务后延，拓宽应用（10分钟）
必做题：课本25页练习A 组1、2、3 选做题：B组5
教材分析
教法分析
学法指导
教学程序
评价分析
说效果
通过此次课的学习，使学生学会总结和思考，大胆的创新和尝试，同时激发学生对学习数学的兴趣，认识到数学并不像想象的枯燥，从而促进其探索和创新的逐步形成。
同角三角函数的基本关系

《同角三角函数的基本关系》教学设计

《同角三角函数的基本关系》教学设计一、教学目标 1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯. 3.情感、态度、价值观目标通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.二、教学重点和难点教学重点：公式1cos sin 22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用三、教学流程（一）提问引入1、提出问题：已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值. 2、在解题过程中，让学生自己探索同角的三角函数关系.（二）探究新知1．探究对同角三角函数基本关系（1）根据学生探究出的结果，得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“a 2sin ”，而不是：“2sin a ”，进而得到符号表达式：22sin cos 1αα+=；开方计算时，注意“分类”的思想在象限角正负号问题处理时的应用.（2）探究正弦、余弦和正切函数三者的关系：αααtan cos sin =. 以上的探究由学生自由完成，可以从图形角度，也可以从定义角度加以探究，让学生体会图形语言与符号语言之间的转换关系，体会两种语言的区别于联系.为了让学生及时熟悉公式，同时为后续学生归纳“同角”作铺垫，要求学生完成以下的课堂练习：（1） =+30cos 30sin 22_______________；（2） =+++)4(cos )4(sin 22ππx x ________________；（3） ︒︒45cos 45sin ＝_______________（4） =+45cos 30sin 22．（3）学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：①注意“同角”指相同的角，例如：145cos 30sin 22≠+ 、12cos 2sin 22=+αα、12cos 2sin22=+αα；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如α=ααtan cos sin 中0cos ≠α，且αtan 需有意义等.（三）架构迁移（1）探究上述两个关系式的等价变形式教师点明：由等价变形式αα22cos 1sin -=已知余弦值可以求正弦值；由等价变形式αα22sin 1cos -=已知余弦值可以求正弦值，学生可能得到:αα2cos 1sin -±=的结论，此时，应该向学生说明：αcos 、αsin 的符号受所在象限的限制，不是无条件的，不同于“由12=x 可以推出1±=x ”这种情形，此情况类似于“⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a aa ”而不是“a a ±=||”.等价变形式αααcos tan sin =可以将分式可以化为整式例1 已知锐角α满足3tan =α,求（1）ααααcos 2sin 5cos 4sin +-；（2）αααcos sin 2sin 2+.让学生探究第一小题的解法，注意αsin 、αcos 、αtan 之间的关系的应用，学生的解题方法可能有很多种，注意每种解法后对数学思想方法的归纳.然后让学生尝试解决第二小题.第二小题较第一小题难度有所增加，可以让学生采取合作学习的办法，分小组讨论，探究其解题方法.再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处.体会类比、化归思想，化未知为已知. 例2 化简αα22cos )tan 1(+.本例在时间允许的情况下进行，否则放到下节课解决. 若时间允许，则进行强化练习：练习1：已知54cos -=α，且α为第三象限角，求αsin 、αtan 的值.该题与引例配套. 练习2:已知ααcos 5sin =，求ααααcos 2sin cos sin -+的值.该题与例2配套.（四）反思升华：由学生自己反思：“本节课你有些什么收获？”让学生自己总结本节课所学内容，教师从知识层面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节。

人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》

班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。

——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明：因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <，所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-，所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=，又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。

高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫其中α≠k π＋π2?k ∈Z ?. 【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】 (1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－45，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125. (2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34. 【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ?sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m 2，sin α＝±m 1＋m 2的值．【对点训练】已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 题型二、化切求值【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α； (2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α. [解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114； (2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223； (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940. 【类题通法】化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2 α.解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α，这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos 2α≠0，所以分子和分母同除以cos 2α，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 题型三、化简三角函数式【例3】化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α ＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【对点训练】化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1； (2) sin 2θ－sin 4θ，θ是第二象限角．解：(1)sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ. (2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，故sin 2θ－sin 4θ＝sin 2θ?1－sin 2θ?＝sin 2θcos 2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [证明] 法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan 2α?1－cos 2α??tan α－sin α?tan αsin α＝tan 2αsin 2α?tan α－sin α?tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α?1－cos α?＝sin 2αsin α?1－cos α?＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．【对点训练】证明：1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝1＋tan θ1－tan θ证明：∵左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?＝?sin θ＋cos θ?2?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边，∴原等式成立．【练习反馈】1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于() A.45 B ．－45C ．－17 D.35解析：选B ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3. 3．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为________．解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38. 答案：384．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．解析：原式＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 答案：345．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°. 解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.。

【高中数学必修四】1.2.2同角三角函数的基本关系

1.2.2 同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21

同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos

1.2.2《同角三角函数的基本关系》试题(新人教必修4)

§1．2．2 同角三角函数的基本关系编者：梁军【学习目标、细解考纲】灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。

【知识梳理、双基再现】1、同一个角α的正弦、余弦的平方和等于，商等于。

即 ; 。

【小试身手、轻松过关】2、),0(,54cos παα∈=，则tan α的值等于（）A ．34B ．43C ．34±D ． 43± 3、若15tan =α，则=αcos；=αsin．4、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β=．5、已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值．【基础训练、锋芒初显】6、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 7、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于（）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－238、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （） A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 9、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是（） A ．1-B ．2-C ．1D ．210、若ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = －2 tan α，则角α的取值范围是．11、已知21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x 的值是A ． 21B ． 21- C ．2 D ．－212、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--13、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________． 14、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为．15、已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=_________；=αtan ． 16、若θ为二象限角，且2cos 2sin212sin2cosθθθθ-=-，那么2θ是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【举一反三、能力拓展】17、求证：1tan 1tan cos sin cos sin 2122-+=-+αααααα．练习、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0．（1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．（3）求sin 3β – cos 3β的值（4）33sin cos +ββ（5）44sin cos +ββ ，44sin cos -ββ （6）66sin cos +ββ ，66sin cos -ββ19、化简：tan α（cos α－sin α）＋ααααcos 1)tan (sin sin ++【名师小结、感悟反思】1、由已知一个三角函数值，根据基本关系式求其它三角函数值，首先要注意判定角所在的象限，进而判断所求的三角函数值的正负，以免出错。

同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解

同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．푠푖푛훼（2）商数关系：푐표푠훼= tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．휋휋公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（2―α）＝sinα．휋휋公式六：sin（2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=푡푎푛훼+푡푎푛훽1―푡푎푛훼푡푎푛훽．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=푡푎푛훼―푡푎푛훽1+푡푎푛훼푡푎푛훽．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；1/ 2（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α=2푡푎푛훼1―푡푎푛2훼．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：푘휋对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．2/ 2。

高中数学必修四第1章三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系

互动探究探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α

高中数学-3.1同角三角函数的基本关系课件-北师大必修4

解得tan α=0或2.
经检验知，均符合要求，所以tan α=0或2.
【方法技巧】 1.关于sin α，cos α的齐次式的求值策略 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子，分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值. (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α+cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
(4)
cos2
1
1 tan
2
，sin
2
1
tan2 tan2
.
cos 1 sin ， sin 1 cos . 1 sin cos 1 cos sin
【微思考】 (1)利用平方关系求sin α或cos α是否会得到正负两个值？请说明理由. 提示：不一定，其正负号由角α所在的象限决定. (2)由tan α的值求sin α与cos α的关键是什么？提示：由商数关系与平方关系构造关于sin α与cos α的方程组求解.
【探究提示】
1.一般会用到
tan sin . cos
2.差异有两点，一是函数名称，二是式子形式，可通过切化弦
或者弦化切来消除差异.
【自主解答】(1)左边= sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2
=sin cos 2 sin cos
sin2 cos2 sin cos = tan =右1 边，
上递增
f x
1 cos2x cos x
(
)
B.在
(
2
,
) 2

高中数学人教A版必修4 第1章 1.2.2同角三角函数的基本关系式(二)

1＋sin α cos α ∴ ＝ cos α . 1－sin α
分析三因为左边分母为 1－sin α，故可将右式分子、分母同乘 1－sin α.
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1＋sin α1－sin α 方法三右边＝ cos α1－sin α 1－sin2α cos2α cos α ＝＝＝＝左边， cos α1－sin α cos α1－sin α 1－sin α
若设 sin α－cos α＝t，则 sin α－cos α＝
2
.
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1.2.2（二）
探究点一
三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其
本课时栏目开关
基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累．化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等．
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1.2.2（二）
请按照上述标准化简下列三角函数式：已知 α 是第三象限角，化简：
本答课时栏目＝开关
1＋sin α － 1－sin α
1－sin α . 1＋sin α
原式＝
1＋sin α2 － 1－sin α1＋sin α 1－sin α2 cos2α

高中数学《同角三角函数的基本关系》导学案

第一章三角函数第二节同角三角函数的基本关系（第2课时）一、学习目标1.识记同角三角函数的基本关系。

2.初步掌握其应用。

【重点、难点】同角三角函数的基本关系及其应用。

二、学习过程【情景创设】1.阅读教材，根据下面的知识结构图阅读教材，并识记同角三角函数间的关系式，初步掌握其应用.【导入新课】1.三角函数的推广定义：设角α终边上任一点坐标（x,y）,它与原点距离为r,则（）2.正切函数y=tan α的定义域：3.同角三角函数基本关系（1）写出下列各角的三角函数值，观察它们的值，猜想它们之间的联系.（30°、45°、60°）（2）从以上的过程中，你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这些规律？（3）根据以上探究过程，试着写出同角三角函数基本关系.a.平方关系：_______________.b.商数关系：_____________【典型例题】例1.21sin7π-的结果是___________.2.已知tanα=错误!未找到引用源。

，α∈错误!未找到引用源。

，则cosα的值是.【变式拓展】1.已知α∈错误!未找到引用源。

，sinα=错误!未找到引用源。

，则cosα= ( )A.错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。

C.-错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

2.若α是第三象限角，则错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

的值为( )A.3B.-3C.1D.-1三、总结反思1.对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将α换成或2α也成立，如22sin2sin cos 1,tan .222cos 2αααα+==α (3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos α≠0，即k (k Z).2πα≠π+∈2.同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1-sin2α=cos2α，1-cos2α=sin2α. (2)商数关系：sin sin tan cos ,cos .tan αα=ααα=α四、随堂检测 1.若tan α=2，则错误!未找到引用源。

高中数学北师大版必修四《3.1同角三角函数的基本关系(第二课时)》课件

①“1”的代换；
②切割化弦、左右归一、从繁到简等原则.
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且
sin sin
cos a, cos a,
• 四级（sin cos）2 1 2sin cos a2,
即 1• 2五a 级 a2 , a 1 2（a 1 2 舍去），
即 sin cos 1 2,sin cos 1 2. （1）sin3 cos3 (sin cos )(sin2 sin cos cos2 )
• 二级
2tan ,
•
三级
• 四级
0，
• 五级 2tan ,
0，
当2k 2k ;
当2k
2
2k
;
当2k
2
2k
3
;
当2k
3
2k
2 2 .
(k
Z)
2
练习2.化简:
（1）2 1
cos2
- 2sin2
-1
；
（2）
1 cos 1 cos
1 cos . 1 cos
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• 二级证明三角恒等式的方法： •（三1级）可以从它的任何一边开始，原则是化繁为简；（2• ）四先级证另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；
（3）左• 五右级归一.
练习3.求证:（1）sin4 cos4 sin2 cos2
（2）sin4 sin2 cos2 cos2 1
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同角三角函数的基本关系（二）

高中数学同角三角函数的基本关系、诱导公式及恒等变换

同角三角函数的基本关系、诱导公式及恒等变换一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 =1 =αtan配1 已知54cos -=α，且α为第三象限角，求ααtan ,sin 的值配2 α是第四象限角，tan α=512-，则sin α= 2. 诱导公式：公式一公式四公式二公式五公式三公式六配3 利用公式求下列三角函数值（1）︒225cos （2）311sin π （3）)316sin(π- （4）)2040cos(︒- 配4 化简)2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα-⋅-⋅+-3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式配5 已知的值。

是第四象限，求)4tan(),4cos(),4sin(,53sin πααπαπαα-+--= 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式配6 求下列各式的值。

（1）、sin15cos15︒︒ （2）、22cossin 88ππ-（3）、2tan 22.51tan 22.5︒-︒ （4）、22cos 22.51︒-（5）(cos sin )(cos sin )12121212ππππ-+二、典例与变式：考点一：同角三角函数的基本关系的应用例1. 已知1sin ,cos ,tan 3x x x =-求的值。

变式：已知13tan ,sin 22πααπα=∈=且（，），则（）A.考点二：诱导公式的应用例2.化简：（1）cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα+⋅+--⋅--变式： 2sin ()cos()cos(3)sin(5)sin(6)απαπαπαπα-++⋅+++++考点三：两角和与差及倍角公式的应用例3、已知12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求cos 2αβ+变式：若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为（）（A ）2- （B ） 12- （C ） 12 （D ）2考点四：恒等变形证明问题例4、证明下列恒等式（1）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+；（2）2212sincos 1tan cos sin 1tan αααααα--=-+变式：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、巩固练习：1、0sin 210=（）A 2B 2-C 12 D 12-2、sin(1071)sin189sin(171)sin(351)-⋅+-⋅3、已知sin()πα+=35，且α是第四象限角，那么cos(2)απ-的值是（） A 45 B 45- C 45-或45 D 354、已知60sin()cos(8)169παπα-⋅--=，且(,)42ππα∈，求sin α与cos α的值。