高中数学竞赛试题汇编一二《集合与简易逻辑》《复数》

【2013浙江】集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）

A. 3a ≥

B. 1a ≤-.

C. 1a ≤-或 3a ≥

D. 13a -≤≤

答案 C

{02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。 解得1a ≤-或 3a ≥。

【2013浙江】若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

答案 D

当0,90sin sin 1αβαβ==⇒+= 。 当60sin sin 31αβαβ==⇒+=> ，但90αβ+≠ 。

【2013河北】已知集合{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧

⎫===∈⎨⎬⎩⎭

，则A B = . 答案：{}0,1,1B =-，{}1A B = .

【2013辽宁】已知集合{}{}

23100,121A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是（ ）

(A) 24m <<

(B) 24m m <>或 (C) 142

m -

<< (D) 142m m <->或 答案：B.,B B =∅≠∅.

【2013吉林】已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，20a b +>是()0f x >恒成立的（ ）

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

答案：B

【2013湖北】设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{}

,C a b a A b B =+∈∈，则集

合C 的所有元素之和为 .

答案：178

【2013陕西】设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 .

答案：m-n

【2013甘肃】设集合{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .

答案：3a ≥.

【2013黑龙江】已知全集U R =，集合112x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}

2680M x x x =-+≤，图

中阴影部分所表示的集合为（）

（A ）{}0x x ≤

（B ）{}24x x ≤≤

（C ）{}024x x x <≤≥或

（D ）{}024x x x ≤<>或

答案：3a ≥.

【2013黑龙江】命题“所有实数的平方都是正数”的否定 （ ）

（A ）所有实数的平方都不是正数

（B ）有的实数的平方是正数

（C ）至少有一个实数的平方不是正数

（D ）至少有一个实数的平方是正数

答案：C.

【2013江苏】已知全集{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 . 答案：{}01A x x =<<，因为A B ⊆，所以{}1B x a x =<<，故0a ≤.

【2013全国】设集合{}0,1,2,3A =，{}

2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .

答案：-5

U N M

《复数》汇编

【2013河北】已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = . 答案：34

z i =+ 【2013辽宁】第3题

【2013山东】已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 . 答案：21z z -+=22

131332424z z ⎛⎫-+≤-+≤ ⎪⎝⎭，当1z =-时达到最大值3. 【2013黑龙江】已知i 是虚数单位，2342013i i i i i +++++=

(A) i

(B) 1-

(C) 0

(D) 1

答案：A

【2013四川】已知i 是虚数单位，23420131z i i i i i =++++++ ，把复数z 的共轭复数记为z ，则z z = .

答案：234,,10,n n n n a i a a i i i +==+++=则1z i =+，所以1z i =-，则2z z = .

【2013浙江】已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）

(A)22z i =+

(B)22z i =--

(C)22,z i =-+或22z i =-

(D)22,z i =+或22z i =--

答案 D