高中数学竞赛试题汇编一二《集合与简易逻辑》《复数》

【2013浙江】集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）
A. 3a ≥
B. 1a ≤-.
C. 1a ≤-或 3a ≥
D. 13a -≤≤
答案 C
{02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。

解得1a ≤-或 3a ≥。

【2013浙江】若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案 D
当0,90sin sin 1αβαβ==⇒+= 。

当60sin sin 31αβαβ==⇒+=> ，但90αβ+≠ 。

【2013河北】已知集合{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧
⎫===∈⎨⎬⎩⎭
，则A B = . 答案：{}0,1,1B =-，{}1A B = .
【2013辽宁】已知集合{}{}
23100,121A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是（ ）
(A) 24m <<
(B) 24m m <>或 (C) 142
m -
<< (D) 142m m <->或 答案：B.,B B =∅≠∅.
【2013吉林】已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，20a b +>是()0f x >恒成立的（ ）
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
答案：B
【2013湖北】设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{}
,C a b a A b B =+∈∈，则集
合C 的所有元素之和为 .
答案：178
【2013陕西】设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 .
答案：m-n
【2013甘肃】设集合{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 .
答案：3a ≥.
【2013黑龙江】已知全集U R =，集合112x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}
2680M x x x =-+≤，图
中阴影部分所表示的集合为（）
（A ）{}0x x ≤
（B ）{}24x x ≤≤
（C ）{}024x x x <≤≥或
（D ）{}024x x x ≤<>或
答案：3a ≥.
【2013黑龙江】命题“所有实数的平方都是正数”的否定 （ ）
（A ）所有实数的平方都不是正数
（B ）有的实数的平方是正数
（C ）至少有一个实数的平方不是正数
（D ）至少有一个实数的平方是正数
答案：C.
【2013江苏】已知全集{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 . 答案：{}01A x x =<<，因为A B ⊆，所以{}1B x a x =<<，故0a ≤.
【2013全国】设集合{}0,1,2,3A =，{}
2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .
答案：-5
U N M
《复数》汇编
【2013河北】已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = . 答案：34
z i =+ 【2013辽宁】第3题
【2013山东】已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 . 答案：21z z -+=22
131332424z z ⎛⎫-+≤-+≤ ⎪⎝⎭，当1z =-时达到最大值3. 【2013黑龙江】已知i 是虚数单位，2342013i i i i i +++++=
(A) i
(B) 1-
(C) 0
(D) 1
答案：A
【2013四川】已知i 是虚数单位，23420131z i i i i i =++++++ ，把复数z 的共轭复数记为z ，则z z = .
答案：234,,10,n n n n a i a a i i i +==+++=则1z i =+，所以1z i =-，则2z z = .
【2013浙江】已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）
(A)22z i =+
(B)22z i =--
(C)22,z i =-+或22z i =-
(D)22,z i =+或22z i =--
答案 D。