微分几何教学大纲
最新复旦大学微分几何教学大纲
5．1曲面的基本方程
5．2曲面论的基本定理
教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
§6测地曲率测地线（7学时）
6．1测地曲率向量测地曲率
6．2计算测地曲率的Liouville公式
6．3测地线
6．4法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6．5应用
6．6测地扰率
§2主法向量与从法向量曲率与扰率（2学时）
教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。
§3Frenet标架Frenet公式（1学时）
教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。
§4曲线在一点邻近的性质（1学时）
教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
§7空间曲线的整体性质（2学时）
7．1球面的Crofton公式*
7．2 Fenchel定理*
7．3 Fary-Milnor定理*
教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何（时）
曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。
4．2主方向主曲率
《微分几何》课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。
微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。
【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。
【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。
微分几何教学大纲
微分几何教学大纲一、引言背景介绍目标概述二、课程介绍2.1 课程目标2.2 课程重点2.3 课程难点2.4 课程适用对象三、教学内容3.1 基础知识讲解3.1.1 点、线、面的定义与性质3.1.2 向量代数3.1.3 空间坐标系3.2 曲线与曲面3.2.1 参数方程与向量值函数3.2.2 曲线的切线与法线3.2.3 曲面的切平面与法线3.3 微分几何的基本概念3.3.1 曲线的弧长与切向量3.3.2 曲面的面积与法向量3.3.3 曲率与曲率圆3.4 光滑曲线与曲面3.4.1 光滑曲线的性质3.4.2 光滑曲面的性质四、教学方法4.1 理论讲解4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明4.2 实践操作4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力4.3 互动讨论4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流4.4 实例分析4.4.1 分析典型问题，培养解题思维4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣五、教学评价5.1 课堂小测验5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等5.2 实验报告5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价5.3 课程论文5.3.1 学生独立完成课题研究5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性六、参考教材6.1 《微分几何导论》6.2 《微分几何与曲面建模》6.3 《微分几何引论》七、教学进度安排7.1 第一周：基础知识讲解7.2 第二周：曲线与曲面7.3 第三周：微分几何的基本概念7.4 第四周：光滑曲线与曲面7.5 第五周：复习与考试八、总结与展望8.1 教学成果总结8.2 教学改进建议8.3 未来发展趋势探讨以上为《微分几何教学大纲》的基本内容概览。
通过系统性的教学安排，激发学生对微分几何的学习兴趣，提高其应用能力和解决问题的能力。
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
《微分几何》教学大纲教学内容
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
陈维桓 微分几何教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息1二、课程内容及基本要求第一章为预备知识。
要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。
第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。
了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。
会熟练地计算曲线的曲率、挠率。
掌握运用Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。
了解曲线论基本定理的内容和证明方法。
第三章介绍曲面的第一基本形式。
掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。
能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。
了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。
掌握可展曲面的定义和分类定理。
第四章介绍曲面的第二基本形式。
能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。
掌握法曲率、高斯映射和Weingarten变换的概念。
了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。
能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。
了解Dupin标形和曲面的局部近似形状。
了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。
第五章介绍曲面论基本定理。
了解曲面的Gauss-Codazzi方程。
会计算Christoffel符号和Riemann 曲率。
了解曲面论基本定理的内容。
掌握Gauss定理的内容及其应用。
第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。
掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。
了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。
了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。
掌握Gauss-Bonnet公式的内容。
三、学时分配表：四、课程教学的有关说明要求学生课前预习，认真完成课外作业。
每周安排一次课外答疑时间。
在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。
2南昌大学课程教学进度表(2006—2007学年第二学期适用)任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表”，经教研室讨论在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：维恒著，《微分几何初步》，北大梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。
第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
大纲制定者：洪军执笔大纲审定者：红斌大纲批准者：胜利大纲校对者：洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．传璋等，《数学分析》，高等教育。
．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
微分几何大纲
微分几何大纲《微分几何》教学大纲课程名称：微分几何课程编号：0641010课程类别：专业必修课程适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数：54学分：3一、课程性质和教学目标1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程；2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。
二、教学要求和教学内容第一章曲线论（12学时）【教学要求】1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积；2. 理解向量分析的基本内容；3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。
4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。
5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。
6. 掌握曲线论的基本定理。
7. 了解曲线在一点邻近的结构。
【教学内容】●讲授内容1. 向量分析的基本内容；2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数；※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理；5．曲线在一点邻近的结构。
第二章曲面的第一基本形式 (10学时)【教学要求】1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线；2. 理解曲面上的曲线族和曲线网；3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；4．掌握曲面间的保长变换和保角变换；5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。
《微分几何》教学大纲09
《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。
通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。
本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。
（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。
学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。
本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。
要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。
理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。
（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。
（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。
本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。
（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。
教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。
难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。
第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。
《微分几何》课程大纲
学时
教学方式
作业及要求
基本要求
考查方式
空间曲线理论，
Frenet标架，
Frenet公式，曲
率，挠率，曲线
10+2
课堂教学
基本定理；习题
课
正则曲面,局部参
数表示,第一基本
6+2
课堂教学
形式
高斯映照，第二
基本形式，
weigarten变换，
高斯曲率，平均
8+2
课堂教学
*教学内容、进度安排及
曲率，主曲率；
要求
习题课
曲面运动方程，
(Class Schedule
曲面结构（基本）
&Requirements)
方程，GAUSS定
理，曲面基本定
8+2
课堂教学
理；习题课
曲面内在几何I：
胁变微分，平行Βιβλιοθήκη 移动，测地线，测地曲率，
LIOUVILLE式，
10+2
课堂教学
GAUSS-BONNET
公式（局部和整
体）；习题课
曲面内在几何II：
*课程简介（Description）
初等微分几何是使用微积分的方法研究3-维欧式空间中曲线与曲面的几何问题.这个课程分三个部分:第一部分是研究曲线的几何;第二部分是研究一般曲面理论;第三部分研究曲面的内在几何,即由第一基本形式决定的几何,包括平行移动,测地线,测地曲率, Gauss-Bonnet公式等.
The second part(28 hrs) is on general surfaces theory in 3-dim Euclidean space. Concretely, we will teach: parametrized representations of surfaces, tangent plane, normal vector, the first fundamental form, isometric maps, developable surfaces, the second fundamental form, normal curvatures, principal directions, principal curvatures, mean curvature, gauss curvature, fundamental equations of a surface, fundamental theorem.
微分几何课程教案
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
湖州师范学院微分几何教学大纲.
《微分几何》教学大纲一、课程说明1．课程学时、学分及分配课程总学时：40 周学时：4 学分：2 开课学期：7 2．课程类别微分几何是数学与应用数学专业的一门专业选修课程，是通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，是线性代数，数学分析，微分方程等学科知识的综合运用。
3．课程教学目的与要求本课程的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理方法，通过分析中的一些运算去研究几何有关问题；培养学生的几何直观和图形想象的能力、从具体到抽象的能力。
通过教学应使学生：（1）对空间的曲线和曲面，特别是特殊的曲线与曲面有明晰的空间位置、形状、曲率、挠率的概念，向量分析方法能运用自如，从而达到数与形的统一，统一的数量与空间的唯物辨证观念。
（2）能具备空间想象能力，娴熟的分析计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。
4．参考教材与参考书目参考教材：《微分几何与微分流形》纪永强编著高等教育出版社2000 年9 月第一版参考书目：《微分几何》首都师范大学梅向明黄敬之编高等教育出版社2003 年第三版《微分几何讲义》陈省身陈维桓北京大学出版社1983 《微分几何》苏步表胡和生等高等教育出版社1983 《整体微分几何初步》沈一兵杭州大学出版社1998 《微分几何讲义》吴大任人民教育出版社19825．课程教学重点与难点课程教学重点在于学习研究微分几何的一种基本方法：用向量分析法来讨论曲线和曲面的局部性质。
难点是由于知识的综合运用程度较高，要求学生有较好的分析能力和几何想象力。
6．课程教学方法与手段（1）备课：备课是教学活动的关键环节，任课教师必须保证充分的时间，在备课上下力气，应注意到①了解先前的教学情形及学生的学习基础，从实际出发进行教学活动。
②认真钻研大纲、教材和参考资料，明确每个章节的基本要求、重点、难点，选择恰当的教学方法和手段，合理科学地安排教学内容，写出比较详细的教案。
③实行集中备课和临时备课的结合，即于每章开始前集中备好全章的教案。
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《微分几何》课程教学大纲
(Differential Geometry)
3．课程教学目的与要求
本课程的教学目的是使学生学习到近代的几何处理方法，利用微积分的理论去研究和解决几何问题。
通过本课程的学习，使学生掌握三维欧式空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法,分析、解决初等的微分几何问题的方法，为进一步学习微分几何的近代内容或从事计算机辅助几何设计的研究打下良好的基础。
4．本门课程与其它课程的关系
本课程要求学生具备初步的数学分析知识和解析几何知识，为进一步学习近代几何及考研做基础。
5．推荐教材及参考书
[1]、《微分几何》，梅向明，黄敬之. 高等教育出版社，2003年（第三版）.
[2]、《微分几何》，苏步青，胡和生. 高等教育出版社，1994年.
[3]、《微分几何讲义》，吴大任. 高等教育出版社，1959年.
[4]、《微分几何讲义》，陈省身，陈维桓. 北京大学出版社，1999年.
[5]、《微分几何》, 陈维桓. 北京大学出版社，2006年.
6．课程教学方法与手段：
传统教学方式结合多媒体教学。
7．课程考核方式与要求：
考查
8．实践教学内容与安排：
在1、3、4、5、6、7部分安排时间开展学生间及师生间讨论和答疑。
二、教学内容纲要
曲线论（24学时）
（一）向量代数复习（8学时）
1、教学目的与要求
熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。
熟练掌握向量函数的微积分运算，掌握具有特殊条件的向量函数的性质。
2、主要内容
（1）向量函数的极限。
（2）向量函数的连续性。
（3）向量函数的微商。
（4）向量函数的Taylor展式。
（5）向量函数的积分。
3、教学重点与难点
向量的基本运算及其性质，向量函数的微积分学，基本运算及其性质。
（二）曲线的概念（6学时）
1、教学目的及要求。
掌握曲线的基本概念。
理解曲线的切线和法面的求法，掌握曲线的弧长，自然参数方程的意义。
2、主要内容。
（1）曲线的基本概念。
（2）光滑曲线，曲线的正常点。
（3）曲线的切线和法面。
（4）曲线的弧长，自然参数的引进。
3、教学重点与难点
基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。
（三）空间曲线（10学时）
1、教学目的及要求。
掌握曲线的密切面、基本三棱形。
掌握曲率、挠率等概念并会其求法。
理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。
掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别。
了解一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。
2、主要内容
（1）空间曲线的密切面。
（2）空间曲线的基本三棱形。
（3）空间曲线的曲率、挠率、Frenet公式。
（4）空间曲线的局部结构。
（5）空间曲线的基本定理。
（6）一般螺线，Bertrand曲线。
3、教学重点与难点
密切面、曲率、挠率的计算，Frenet公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。
平面曲线的结构和基本定理，一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。
曲面论（30学时）
（一）曲面的概念（6学时）
1、教学目的及要求
熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征。
会求曲面的法线、切面等。
2、主要内容
（1）简单曲面及其参数表示.
（2）曲面的法线、切面。
（3）曲面上的曲线（族）网。
3、教学重点与难点
简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。
（二）曲面的第一基本形式（10学时）
1、教学目的及要求
掌握曲面的第一基本形式。
掌握曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算。
理解正交轨线和正交曲线族的概念和意义。
了解等距、等角变换等。
2、主要内容
（1）曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长。
（2）曲面上两方向的交角。
（3）正交曲线族和正交轨迹。
（4）曲面域的面积
（5）等距变换
（6）等角变换
3、教学重点与难点
曲面第一基本形式及相关量的计算，第一基本形式几何意义的理解等。
曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算。
（三）曲面的第二基本形式（8学时）
1、教学目的及要求。
掌握曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率、曲面的主方向和曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。
2、主要内容
（1）曲面的第二基本形式。
（2）曲面上曲线的曲率。
（3）杜邦指标线。
（4）曲面的主方向和曲率线。
（5）曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率。
（6）高斯曲率的几何意义。
3、教学重点与难点
曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意义及计算。
（四）直纹面与可展曲面（6学时）
1、教学目的及要求
掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。
2、主要内容
（1）直纹面。
（2）可展曲面。
3、教学重点与难点。
直纹面和可展曲面的定义与基本特征及判定定理，包络线（面）的求法。
撰写人：孟庆贤审定人：孟宪吉院（系）主管领导：孟宪吉
学院盖章：2010 年07 月08 日。