微分几何教学大纲

《微分几何》课程教学大纲

(Differential Geometry)

3．课程教学目的与要求

本课程的教学目的是使学生学习到近代的几何处理方法，利用微积分的理论去研究和解决几何问题。通过本课程的学习，使学生掌握三维欧式空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法,分析、解决初等的微分几何问题的方法，为进一步学习微分几何的近代内容或从事计算机辅助几何设计的研究打下良好的基础。

4．本门课程与其它课程的关系

本课程要求学生具备初步的数学分析知识和解析几何知识，为进一步学习近代几何及考研做基础。

5．推荐教材及参考书

[1]、《微分几何》，梅向明，黄敬之. 高等教育出版社，2003年（第三版）.

[2]、《微分几何》，苏步青，胡和生. 高等教育出版社，1994年.

[3]、《微分几何讲义》，吴大任. 高等教育出版社，1959年.

[4]、《微分几何讲义》，陈省身，陈维桓. 北京大学出版社，1999年.

[5]、《微分几何》, 陈维桓. 北京大学出版社，2006年.

6．课程教学方法与手段：

传统教学方式结合多媒体教学。

7．课程考核方式与要求：

考查

8．实践教学内容与安排：

在1、3、4、5、6、7部分安排时间开展学生间及师生间讨论和答疑。

二、教学内容纲要

曲线论（24学时）

（一）向量代数复习（8学时）

1、教学目的与要求

熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。

熟练掌握向量函数的微积分运算，掌握具有特殊条件的向量函数的性质。

2、主要内容

（1）向量函数的极限。

（2）向量函数的连续性。

（3）向量函数的微商。

（4）向量函数的Taylor展式。

（5）向量函数的积分。

3、教学重点与难点

向量的基本运算及其性质，向量函数的微积分学，基本运算及其性质。

（二）曲线的概念（6学时）

1、教学目的及要求。

掌握曲线的基本概念。

理解曲线的切线和法面的求法，掌握曲线的弧长，自然参数方程的意义。

2、主要内容。

（1）曲线的基本概念。

（2）光滑曲线，曲线的正常点。

（3）曲线的切线和法面。

（4）曲线的弧长，自然参数的引进。

3、教学重点与难点

基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。

（三）空间曲线（10学时）

1、教学目的及要求。

掌握曲线的密切面、基本三棱形。

掌握曲率、挠率等概念并会其求法。

理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。

掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别。

了解一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。

2、主要内容

（1）空间曲线的密切面。

（2）空间曲线的基本三棱形。

（3）空间曲线的曲率、挠率、Frenet公式。

（4）空间曲线的局部结构。

（5）空间曲线的基本定理。

（6）一般螺线，Bertrand曲线。

3、教学重点与难点

密切面、曲率、挠率的计算，Frenet公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。

平面曲线的结构和基本定理，一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。

曲面论（30学时）

（一）曲面的概念（6学时）

1、教学目的及要求

熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征。

会求曲面的法线、切面等。

2、主要内容

（1）简单曲面及其参数表示.

（2）曲面的法线、切面。

（3）曲面上的曲线（族）网。

3、教学重点与难点

简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。

（二）曲面的第一基本形式（10学时）

1、教学目的及要求

掌握曲面的第一基本形式。

掌握曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算。

理解正交轨线和正交曲线族的概念和意义。

了解等距、等角变换等。

2、主要内容

（1）曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长。

（2）曲面上两方向的交角。

（3）正交曲线族和正交轨迹。

（4）曲面域的面积

（5）等距变换

（6）等角变换

3、教学重点与难点

曲面第一基本形式及相关量的计算，第一基本形式几何意义的理解等。

曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算。

（三）曲面的第二基本形式（8学时）

1、教学目的及要求。

掌握曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率、曲面的主方向和曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。

2、主要内容

（1）曲面的第二基本形式。

（2）曲面上曲线的曲率。

（3）杜邦指标线。

（4）曲面的主方向和曲率线。

（5）曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率。

（6）高斯曲率的几何意义。

3、教学重点与难点

曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意义及计算。

（四）直纹面与可展曲面（6学时）

1、教学目的及要求

掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。

2、主要内容

（1）直纹面。

（2）可展曲面。

3、教学重点与难点。

直纹面和可展曲面的定义与基本特征及判定定理，包络线（面）的求法。

撰写人：孟庆贤审定人：孟宪吉院（系）主管领导：孟宪吉

学院盖章：2010 年07 月08 日