西北工业大学计算方法第四周作业答案第四章作业答案

第四章 函数插值参考解答
1. 解：在采用线性 Lagrange 插值时，最好选择 x0 1 和 x1 4 为插值节点，则
l0 (x)
x4； 1 4
l1(x)
x 1； 4 1
因此得到的线性插值多项式 L1(x) 为
L1( x)
x4 1 4
1
x 4
1 1
2=
x
3
2
将 x 3 代入 L1(x) ，得到 2 的近似值为 1.3333 ；
4 3
则满足题中插值条件的牛顿插值多项式为：
p3 ( x)
1
4 2
x2
4 3
x2(x
)， 2
化简得到
p3 ( x)
4 3
x3
6 2
x2
1
或0.1290 x3
0.6079x2
1。
考虑到 y cos x 的四阶导函数存在，则 Lagrange 形式的插值余项为
R3 (x)
1 4!
f
(4) ( )x2 (x
x
xi
1
)
令
M2
max 1 x 1
f (x)
max sin x 1 x 1
sin1，则有 max
f ( )
M2
sin1 0.84151，进一步得到
R
0.8415 max 2
(x
xi )(x
xi 1 )
，利用坐标变换 x
xi
th,t [0,1]
max (x xi )(x xi1) max t(t 1) h2
当 t [0,1] ， max t(t 1) max t(1 t) max(t t2 ) ，当 t 1 ， max t(t 1) 1 ，因此有
2
4
R 0.8415 h2 1 104
8
2
解得 h 0.0218 ，需要将区间至少 92 等分，总共 93 个节点。
5. 证明：基于 n 1个节点的不超过 n 次的 Lagrange 多项式为
)( x
2
)
1 24
cos( )x2 (x
)( x
2
)。
4. 解： 当 xi x xi1, (i 0,1, 2,, n 1) ，分段线性插值的截断误差公式为：
Rwenku.baidu.com
1 2!
f
(
)( x
xi
)( x
xi 1 )
R
1 2!
f
(
)( x
xi
)( x
xi 1 )
max
f ( )
1 2!
(
x
xi
)(
4 3
；
回代得到
p3 ( x)
2
x
1
4 3
(x
0)( x
)(x 2
)
。
化简得到
p3 ( x)
4 3
x3
6 2
x2
1。
方法 2：重节点牛顿差商法
根据插值条件，构造重节点的差商表如下：
xi
f (xi )
一阶差商
二阶差商
0
1
-------
-------
0
1
0
-------
2
0
2
4
2
1
2
0
三阶差商 -------------------
(x )(x ) (x 0)(x )
(0
2
)(0
)
1
(
0)(
2
)
(1)
2
2
化简后的形式为：
p2 (x)
2
x
1；
满足所有插值条件的三次多项式 p3 (x) 可以假设为
p3 (x)
p2 (x)
A(x 0)(x
)(x ) 2
利用导数插值条件
p3 '(0)
f
'(0) ，可得到参数的值 A
4
3
12
1 x2 7 x 66
将 x 2 代入 L2 (x) ，得到 2 的近似值为 1.6667 。 2. 解：如果得到 x f 1( y) 的插值多项式，则该多项式的常数项就是 f (x) 0 的根的近似值，这种方
法被称为反插值法，利用上述数据，得到的反插值公式为：
x (y 1)(y 1) (1) (y 2)(y 1) 0
；
l1(
x)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
=
(x (4
0)( x 0)(4
1) 1)
；
因此得到的二次插值多项式 L2 (x) 为 L2 (x) l0 (x) y0 l1 (x) y1 l2 (x) y2
1 (x 1)(x 4) 0 1 x(x 4) 1 1 x(x 1) 2
采用 Lagrange 二次插值时，三个插值基函数分别为：
l0 ( x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
=
(x (0
1)(x 1)(0
4) 4)
；
l1(
x)
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )( x1 x2 )
=
(x (1
0)(x 4) 0)(1 4)
3. 解：根据题意，可知本题的插值条件为
xi
0
2
f (xi )
1
0
1
f '(xi )
0
方法 1：待定系数法
不考虑导数插值条件，满足 3 个函数插值条件的二次 Lagrange 插值多项式 p2 (x) 为
p2 (x) L2 (x) l0 (x) y0 l1(x) y1 l2 (x) y2
x L2 ( y) l0 ( y) x0 l1 ( y) x1 l2 ( y) x2
(2 1)(2 1) (y 2)(y 1) 1
(1 2)(11) ；
(1 2)(11)
化简该公式得到 x 1 ( y2 3y 4) ， 6
或 x 0.16667 y2 0.5y 0.66667 ； 故得到 f (x) 0 在区间 (0,1) 内根的近似值 * 0.6667。
⋯
用 Ln (x) 近似 y f (x) 的插值余项为
1!
⋯
当 n 1时，对常值函数 f (x) 1 ，在任意点 x [x0 , xn ] 上，必然有 Rn (x) 0 ，即
1
⋯
⋯
上式证明 Lagrange 基函数具有单位分解特性。