2019南方科技大学机试样题练习

2019机试样题练习

第一单元 数学

一、单项选择题（每题所设选项中只有一个正确答案，多选、错选或不选均不得分；每题1.5分）

1．观察下列操作：

第1次操作：1335233=+

第2次操作：55331333=++

第3次操作：2505533=+

如此反复操作，则第2017次操作后得到数是（ ）

A ．55

B ．133

C ．250

D ．260

2．已知数列}{n a 满足11=a ，n a a n n 21-=++，则201S =（ ）

A ．20100-

B ．20200-

C ．20199-

D ．20099-

3．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 对边，若cos 3,cos 1

a B

b A ==，则c

=

4．在平面直角坐标系中，点)0,5(),0,0(),6,3(C B A ，则=∠BAC （ ）

5．在△ABC 中，若42cos 52cos 322=+-C B A ，则C tan 的最大值为( ) A ．－34 B ．－43 C ．－24

D ．－22

6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2

AO AB AC =+，且||||OA AB =，则向量AC

在向量CB 方向上的投影为（ ）

A ．12

B ．23

C ． 12-

D ．23- 7．已知a 、b 为非零向量，则下列命题中真命题个数为（ ） ①若b a b a +=+，则a 与b 方向相同； ②若b a b a -=+，则a 与b 方向相反；

③若b a b a -=+，则a 与b 有相等模；

④若b a b a -=-，则a 与b 方向相同．

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

8．对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是( )

A ．b a b a ||≤⋅

B ．b a b a ||-≤-

C ．22||b a b a -≤-）（

D ．22))((b a b a b a -=-+

9．如图，三棱锥A -BCD 的顶点A 、B 、D 为正方体的顶点，

C 为正方体棱的中点，现在正方体的网格纸上用粗线

画出的它的三视图，正确的是

A B C D

10．已知圆222:()()2(0)C x a y a a a -+-=>及其外一点)2,0(A .若圆C 上存在点T 满足

4π

=∠CAT ，则实数a 的取值范围是（ ）

A. ()1,∞-

B. [31,1)-

C. [31,1]-

D. [31,)-+∞

11．双曲线1422

22=-b y a x 的右焦点F 与抛物线)0(42>=p px y 的焦点重合，且在第一象

限的交点为M ，MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率是

A ．222+

B ．22

C ．12+

D ．22+

12.抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，连接PF 并延长交抛物线C 正前方

A B C D A

O C

于点Q ，若4||||5PF PQ =

，则||QF =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

13．椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点P 在椭圆上，21F PF ∆的角平分线PM 交轴于点M ，若2122||||||PM PF PF =，则该椭圆的离心率为( )．

提示：内角平分线定理为|

|||||||2121M F M F PF PF =．

A ．22

B ．2

C ．4

D ． 4

14.有6名同学参加校园歌手总决赛，观众中有四名同学猜测结果，其中甲同学猜测：4号

或5号选手得第一名；乙同学猜测：3号选手不可能得第一名；丙同学猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；丁同学猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )

A.甲、

B.乙、

C.丙、

D.丁

15．在极坐标系中，曲线,sin 2:1θρ=C θρcos 32:2=C ，则1C 与2C 交点的坐标为（ ）

A ．），（3π3

B ．），（6π3

C ．），（00

D ．），（3π3或），（00

16. 若复数z 满足|34|)i 43(i z +=-，则z 的虚部为( ).

（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）5

4 17．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位

长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）

A ．对任意的,a b ，12e e >

B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

C ．对任意的,a b ，12e e <

D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >

二、不定项选择题（每题所设选项中至少有一个正确答案，多选、少选、错选或不选均不得分；每题2分）

1．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内

盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．则下列四个命题正确的是