第3章卫星运动基础与轨道计算
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a(1 e cos E ) 2.r 开普勒方程
p dr dE r , a e sin E 轨道方程： 1 e cos l dt dt
2 dr p e sin r e sin h e sin dt (1 e cos ) 2 p p
3、计算观测时刻的卫星平近点角Mk
M k M 0 ntk
式中M0——电文中给出的参考时刻 toe 的平近点角。
4、计算观测时刻的偏近点角 根据卫星电文给出的偏心率e和算得的Mk，用开 普勒方程
Ek M k e sin Ek
进行迭代解算。 解算方法是，首先赋予初值为： Eko M k 代入上式解算第一步迭代值。因GPS轨道偏心率e 较小，约在 0.01 左右，故一般两次迭代即可求 得。注意：式中 Eko、M k均以rad（弧度）为单位 。若、采用角度制，则按下式计算：
r v h
h 为积分常数，垂直于运动平面
证明二体运动是平面运动
开普勒第二定律
卫星质心与地球质心的向量，在相同时间内扫
过的面积相等
ds 1 2 d 1 d 1 r r r h dt 2 dt 2 dt 2
p`(t t )
积分得：
1 S h(t2 t1 ) 2
dE h e sin h 1 sin dt p a e sin E p a sin E
dE a (1 e cos E ) h sin h r dt a p p sin E b
dE h h k (1 e cos E ) 令：n dt ab ab a3
Ek M k 180 e sin Ek /
5、计算真近点角 可用公式
l k arctg ( 1 e 2 sin Ek ) /(cos Ek e)
或用公式
1 e lk 2arctg ( tgEk / 2) 1 e
6、计算升交距角
k fk w 式中w——为卫星电文给出的近地点角距。
oe tk
式中 oe －参考时刻 toe 的升交点赤经； -交点赤经的变化率。 卫星电文仅提供了一个星期的历元开始时 刻 t 的格林尼治恒星时 GATS
因为地球自转，GAST随之不断增加，其速率 即为地球自转的角速度 。故观测时刻t的格 林尼治恒星时为
w
GAST GAST e t
开普勒轨道参数
开普勒方程求解
1. 求偏wenku.baidu.com点角E
x a cos E y b sin E
r 2 (a cos E c) 2 (b sin E ) 2
y
b2 a 2 (1 e)2 , c ae
ms
b a
E
r a(1 e cos E )
o
r
c
m
H
x
开普勒方程求解
t GAST t Lk oe k e
若令
0 oe GAST
t t Lk 0 k e
因
tk t toe
则上式变为
)t t Lk 0 ( e k e oe
11、计算卫星在WGS-84坐标系的位置
GPS卫星轨道
卫星历书——卫星概略星历，用于计算卫星空
间位置，便于捕获卫星 广播星历——卫星运行轨道参数，可用于计算 卫星空间三维坐标 精密星历
GPS卫星轨道参数
GPS卫星轨道摄动参数
n : : i: Cus • C Cis • C Crs • C
uc ic rc
平地点角改正值 升交点赤经变化率 轨道倾角变化率
7、计算摄动改正项
u cuc cos(2 k ) Cus sin(2 k ) r Crc cos(2 k ) Crs sin(2 k ) C cos(2 ) C sin(2 ) ic k is k i
8、计算经摄动改正的升交矩角rk 、卫星矢 径 ik和轨道倾角u k ：
X k xk cos Lk yk cos ik sin Lk Y x sin L y cos i cos L k k k k k k yk sin ik Zk
第3章 卫星运动基础与轨道计算
中国矿业大学（北京）
基本概念
卫星轨道
–定义:卫星运行轨道 –卫星轨道运动原于牛顿引力理论
引力特点
–引力作用距离远 –引力与物体间介质无关 –引力传播瞬息即至，无传播速度
卫星运动
–二体运动：只研究二个天体的作用 –限制二体运动：不考虑被吸引物体质量被吸引体在引力作 用运动状态
d
P(t)
卫星运动轨道方程
椭圆轨道参数 a：长半轴；b：短半轴 c：焦点与椭圆中心间距 e：偏心率；p：焦参数
a b c
2 2
2
2
b a 1 e2
p
p a(1 e ) p p r r0 , 1 e 1 e
r
c
r0
卫星运动轨道方程
p 卫星轨道方程：r 1 e cos l 讨论： e=0, r=p 即a=b, 轨道为圆 e<1， min p p , max p 为椭圆轨道
e 1, min
1 e
2
1 e
p , max 为抛物线，卫星飞离地 2 p p 球 e 1, min , max 1 e 2 为双曲线
发射参数与轨道方程的关系
第一、二、三宇宙速度
卫星运动轨道
开普勒第三定律
卫星运动周期 T 的平方与轨道椭圆长半径 a 的
开普勒方程求解
9.卫星在地球坐标系中位置 X指向格林尼治平子午线
X x Y R (GAST ) y 4 Z z
开普勒方程求解
10. 加上极移修正
X X Y R ( x ) R ( y ) Y 6 p 5 p Z CTS Z
卫星运动微分方程
根据牛顿万有引力定律
其中：
–G为引力常数，M为地球质量， –m为卫星质量，r为卫星的地心向径
卫星的质量m相对地球的质量M可以忽略，于是有
2
d r r K 3 0 令K=GM，上式也可以表示为： 2 dt r
开普勒第一定律
在中心力场作用下，卫星绕地球运行，轨道面是过地球质心 平面，卫星运行轨道是椭圆，地球质心在椭圆一个焦点上。
n n0 n
根据电文给出的摄动改正数，计算经摄动修正后的 平均角速度n：
2、计算归化观测时间 电文中给出的 GPS 卫星轨道参数是对应于参考时 刻 toe的。因此，于某时刻t观测卫星，需将观测 时刻t归化为 t k ：
tk t toe
式中 t k 称作参考时刻 toe为基准的归化观测时间。 在计算时，应注意是由每星期历元（星期六 / 星 t k >302400s 期日子夜零点）开始计量的。当 时，应减去 604800s ；当 <-302400s 时，应 tk 加上604800s。
2 1 v GM ( ) r 2
T0 2 r0
3/ 2
/ GM 84.3分钟
·要求卫星发射周期为T时，只要求出H近，H远 即可设计卫星高度
a 1 (2r0 H 近 H 远 ) 2
开普勒轨道参数
开普勒轨道参数
a ——轨道椭圆的长半轴， e ——轨道椭圆的偏心宰， 以上两个参数确定开普勒椭圆的形状和大小 Q——升交点的赤经。即在地球赤道平面土，升交点与春分点之间的地心 夹角，升交点即当卫星由南向北运行时，其轨道与地球赤道面的一个交点 。 i ——轨道面的倾角，即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角， 以上两个参数唯一确定卫星轨道平面与地球体之间的相对定向。 w——近地点角距，即在轨道平面上升交点与近地点之间的地心角距 这一参数表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。 f——卫星的真近点角，即在轨道平面上，卫星与近地点之间的地心角距 。 该参数为时间的函数，它确定了卫星在轨道上的瞬时位置。 前5个参数与时间无关，由卫星的发射条件决定的。
uk k u rk a (1 e cos Ek ) r i i i t i k k 0
9、计算卫星在轨道坐标系的位置
xk rk cos uk yk rk sin uk z 0 k
10、计算观测时刻t的升交点经度 Lk 卫星轨道参数是以地心赤道坐标系（惯 性系）为基准的。其升交点赤经是由春 分点起算。因此，要将（ xk , yk , zk ）转 换为WGS-84坐标系的坐标，首先要计算 出升交点在观测时刻t的大地经度 Lk。 观测时刻的升交点的大地经度等于该时 刻升交点赤经与格林尼治恒星时GAST（ 春分点与起始子午线间的角矩）之差， 即 Lk GAST 且知，观测时刻的升交点赤经为
: :
升交点赤经角距、改正的正弦、余弦振幅 倾角角距、改正的正弦、余弦振幅 轨道半径角距、改正的正弦、余弦振幅
:
GPS卫星轨道
GPS卫星位置计算 1、计算卫星运行的平均角速度n
n0 GM / a 3 /( a )3
GM 3986005 108 m3 / s 2
首先按下式计算：
开普勒方程求解
d ( E e sin E ) n dt
积分，得开普勒方程 E e sin E n(t t0 ) h
h Ms为平近点角
开普勒方程求解
4.由偏近点E求真近点角
p r a(1 e cos E ), r 1 e cos
p a(1 e)2
立方之比为一常数，该常数为地球引力常数 GM的倒数。
T2 4 2 3 a GM
2 T a 3/ 2 GM 卫星速度与r有关，r越大周期越长，速度越慢。 · 同步卫星： r=42156km 或 35765km 时，卫星 运动周期和地球自转周期相等 ·静止卫星：卫星相对于地球任何一点位置固定 不变卫星在赤道上空，卫星轨道面和赤道面倾 角为零 ·当卫星紧贴地面，即高度为零时：
2 1 d r r 2 k 3 (r r ) 0 dt r 2 2 d d r dr dr d r d dr r 2 r 2 [r ] [r v ] 0 dt dt dt dt dt dt dt
上式积分后得面积积分
1 e2 1 e cos E 1 e cos
1 e 2 E tg tg 2 1 e 2
2
开普勒方程求解
5.开普勒方程求解 由
Ms E
E e sin E M s
由迭代法求解
开普勒方程求解
6.求卫星在轨道面的直角坐标系中的坐标
cos r sin 0
M
ms
r
近地点
开普勒方程求解
7.轨道面坐标转向升交点为轴
x0 cos y r sin 0 z0 0
w
x 春分点
w
x0
i 升交点
开普勒方程求解
8.卫星在天球坐标系中位置
x y R () R (i) R ( w) 3 1 2 z
研究思路
将地球作为均质球体，质量集中在质心（中心
力）对卫星的引力，求卫星运行的理想轨道
再考虑摄动力（非中心力）对卫星轨道的影响
–地球非对称作用力 –日、月阻力 –光辐射压力 –地球海水潮汐，固体潮汐
天体力学的理论基础
牛顿万有引力定律
开普勒三大定律
牛顿万有引力定律
开普勒三大定律
p dr dE r , a e sin E 轨道方程： 1 e cos l dt dt
2 dr p e sin r e sin h e sin dt (1 e cos ) 2 p p
3、计算观测时刻的卫星平近点角Mk
M k M 0 ntk
式中M0——电文中给出的参考时刻 toe 的平近点角。
4、计算观测时刻的偏近点角 根据卫星电文给出的偏心率e和算得的Mk，用开 普勒方程
Ek M k e sin Ek
进行迭代解算。 解算方法是，首先赋予初值为： Eko M k 代入上式解算第一步迭代值。因GPS轨道偏心率e 较小，约在 0.01 左右，故一般两次迭代即可求 得。注意：式中 Eko、M k均以rad（弧度）为单位 。若、采用角度制，则按下式计算：
r v h
h 为积分常数，垂直于运动平面
证明二体运动是平面运动
开普勒第二定律
卫星质心与地球质心的向量，在相同时间内扫
过的面积相等
ds 1 2 d 1 d 1 r r r h dt 2 dt 2 dt 2
p`(t t )
积分得：
1 S h(t2 t1 ) 2
dE h e sin h 1 sin dt p a e sin E p a sin E
dE a (1 e cos E ) h sin h r dt a p p sin E b
dE h h k (1 e cos E ) 令：n dt ab ab a3
Ek M k 180 e sin Ek /
5、计算真近点角 可用公式
l k arctg ( 1 e 2 sin Ek ) /(cos Ek e)
或用公式
1 e lk 2arctg ( tgEk / 2) 1 e
6、计算升交距角
k fk w 式中w——为卫星电文给出的近地点角距。
oe tk
式中 oe －参考时刻 toe 的升交点赤经； -交点赤经的变化率。 卫星电文仅提供了一个星期的历元开始时 刻 t 的格林尼治恒星时 GATS
因为地球自转，GAST随之不断增加，其速率 即为地球自转的角速度 。故观测时刻t的格 林尼治恒星时为
w
GAST GAST e t
开普勒轨道参数
开普勒方程求解
1. 求偏wenku.baidu.com点角E
x a cos E y b sin E
r 2 (a cos E c) 2 (b sin E ) 2
y
b2 a 2 (1 e)2 , c ae
ms
b a
E
r a(1 e cos E )
o
r
c
m
H
x
开普勒方程求解
t GAST t Lk oe k e
若令
0 oe GAST
t t Lk 0 k e
因
tk t toe
则上式变为
)t t Lk 0 ( e k e oe
11、计算卫星在WGS-84坐标系的位置
GPS卫星轨道
卫星历书——卫星概略星历，用于计算卫星空
间位置，便于捕获卫星 广播星历——卫星运行轨道参数，可用于计算 卫星空间三维坐标 精密星历
GPS卫星轨道参数
GPS卫星轨道摄动参数
n : : i: Cus • C Cis • C Crs • C
uc ic rc
平地点角改正值 升交点赤经变化率 轨道倾角变化率
7、计算摄动改正项
u cuc cos(2 k ) Cus sin(2 k ) r Crc cos(2 k ) Crs sin(2 k ) C cos(2 ) C sin(2 ) ic k is k i
8、计算经摄动改正的升交矩角rk 、卫星矢 径 ik和轨道倾角u k ：
X k xk cos Lk yk cos ik sin Lk Y x sin L y cos i cos L k k k k k k yk sin ik Zk
第3章 卫星运动基础与轨道计算
中国矿业大学（北京）
基本概念
卫星轨道
–定义:卫星运行轨道 –卫星轨道运动原于牛顿引力理论
引力特点
–引力作用距离远 –引力与物体间介质无关 –引力传播瞬息即至，无传播速度
卫星运动
–二体运动：只研究二个天体的作用 –限制二体运动：不考虑被吸引物体质量被吸引体在引力作 用运动状态
d
P(t)
卫星运动轨道方程
椭圆轨道参数 a：长半轴；b：短半轴 c：焦点与椭圆中心间距 e：偏心率；p：焦参数
a b c
2 2
2
2
b a 1 e2
p
p a(1 e ) p p r r0 , 1 e 1 e
r
c
r0
卫星运动轨道方程
p 卫星轨道方程：r 1 e cos l 讨论： e=0, r=p 即a=b, 轨道为圆 e<1， min p p , max p 为椭圆轨道
e 1, min
1 e
2
1 e
p , max 为抛物线，卫星飞离地 2 p p 球 e 1, min , max 1 e 2 为双曲线
发射参数与轨道方程的关系
第一、二、三宇宙速度
卫星运动轨道
开普勒第三定律
卫星运动周期 T 的平方与轨道椭圆长半径 a 的
开普勒方程求解
9.卫星在地球坐标系中位置 X指向格林尼治平子午线
X x Y R (GAST ) y 4 Z z
开普勒方程求解
10. 加上极移修正
X X Y R ( x ) R ( y ) Y 6 p 5 p Z CTS Z
卫星运动微分方程
根据牛顿万有引力定律
其中：
–G为引力常数，M为地球质量， –m为卫星质量，r为卫星的地心向径
卫星的质量m相对地球的质量M可以忽略，于是有
2
d r r K 3 0 令K=GM，上式也可以表示为： 2 dt r
开普勒第一定律
在中心力场作用下，卫星绕地球运行，轨道面是过地球质心 平面，卫星运行轨道是椭圆，地球质心在椭圆一个焦点上。
n n0 n
根据电文给出的摄动改正数，计算经摄动修正后的 平均角速度n：
2、计算归化观测时间 电文中给出的 GPS 卫星轨道参数是对应于参考时 刻 toe的。因此，于某时刻t观测卫星，需将观测 时刻t归化为 t k ：
tk t toe
式中 t k 称作参考时刻 toe为基准的归化观测时间。 在计算时，应注意是由每星期历元（星期六 / 星 t k >302400s 期日子夜零点）开始计量的。当 时，应减去 604800s ；当 <-302400s 时，应 tk 加上604800s。
2 1 v GM ( ) r 2
T0 2 r0
3/ 2
/ GM 84.3分钟
·要求卫星发射周期为T时，只要求出H近，H远 即可设计卫星高度
a 1 (2r0 H 近 H 远 ) 2
开普勒轨道参数
开普勒轨道参数
a ——轨道椭圆的长半轴， e ——轨道椭圆的偏心宰， 以上两个参数确定开普勒椭圆的形状和大小 Q——升交点的赤经。即在地球赤道平面土，升交点与春分点之间的地心 夹角，升交点即当卫星由南向北运行时，其轨道与地球赤道面的一个交点 。 i ——轨道面的倾角，即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角， 以上两个参数唯一确定卫星轨道平面与地球体之间的相对定向。 w——近地点角距，即在轨道平面上升交点与近地点之间的地心角距 这一参数表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。 f——卫星的真近点角，即在轨道平面上，卫星与近地点之间的地心角距 。 该参数为时间的函数，它确定了卫星在轨道上的瞬时位置。 前5个参数与时间无关，由卫星的发射条件决定的。
uk k u rk a (1 e cos Ek ) r i i i t i k k 0
9、计算卫星在轨道坐标系的位置
xk rk cos uk yk rk sin uk z 0 k
10、计算观测时刻t的升交点经度 Lk 卫星轨道参数是以地心赤道坐标系（惯 性系）为基准的。其升交点赤经是由春 分点起算。因此，要将（ xk , yk , zk ）转 换为WGS-84坐标系的坐标，首先要计算 出升交点在观测时刻t的大地经度 Lk。 观测时刻的升交点的大地经度等于该时 刻升交点赤经与格林尼治恒星时GAST（ 春分点与起始子午线间的角矩）之差， 即 Lk GAST 且知，观测时刻的升交点赤经为
: :
升交点赤经角距、改正的正弦、余弦振幅 倾角角距、改正的正弦、余弦振幅 轨道半径角距、改正的正弦、余弦振幅
:
GPS卫星轨道
GPS卫星位置计算 1、计算卫星运行的平均角速度n
n0 GM / a 3 /( a )3
GM 3986005 108 m3 / s 2
首先按下式计算：
开普勒方程求解
d ( E e sin E ) n dt
积分，得开普勒方程 E e sin E n(t t0 ) h
h Ms为平近点角
开普勒方程求解
4.由偏近点E求真近点角
p r a(1 e cos E ), r 1 e cos
p a(1 e)2
立方之比为一常数，该常数为地球引力常数 GM的倒数。
T2 4 2 3 a GM
2 T a 3/ 2 GM 卫星速度与r有关，r越大周期越长，速度越慢。 · 同步卫星： r=42156km 或 35765km 时，卫星 运动周期和地球自转周期相等 ·静止卫星：卫星相对于地球任何一点位置固定 不变卫星在赤道上空，卫星轨道面和赤道面倾 角为零 ·当卫星紧贴地面，即高度为零时：
2 1 d r r 2 k 3 (r r ) 0 dt r 2 2 d d r dr dr d r d dr r 2 r 2 [r ] [r v ] 0 dt dt dt dt dt dt dt
上式积分后得面积积分
1 e2 1 e cos E 1 e cos
1 e 2 E tg tg 2 1 e 2
2
开普勒方程求解
5.开普勒方程求解 由
Ms E
E e sin E M s
由迭代法求解
开普勒方程求解
6.求卫星在轨道面的直角坐标系中的坐标
cos r sin 0
M
ms
r
近地点
开普勒方程求解
7.轨道面坐标转向升交点为轴
x0 cos y r sin 0 z0 0
w
x 春分点
w
x0
i 升交点
开普勒方程求解
8.卫星在天球坐标系中位置
x y R () R (i) R ( w) 3 1 2 z
研究思路
将地球作为均质球体，质量集中在质心（中心
力）对卫星的引力，求卫星运行的理想轨道
再考虑摄动力（非中心力）对卫星轨道的影响
–地球非对称作用力 –日、月阻力 –光辐射压力 –地球海水潮汐，固体潮汐
天体力学的理论基础
牛顿万有引力定律
开普勒三大定律
牛顿万有引力定律
开普勒三大定律