小波相关性与相干性

前言 时域指标参数 1. 均值

当观测时间T 趋于无穷时，信号在观测时间T 内取值的时间平均值就是信号()x t 的均值。均值定义为

()dt t x T T

T x ⎰

∞→=01lim

μ （1） 式中：T 是信号的观测区间。实际T 不可能为无穷，算出的x μ必然包含统计误差，只能作为真值的一种估计。

2. 均方值和方差

当观测时间T 趋于无穷时，信号在观测时间T 内取值平方的时间平均值就是信号()x t 的均方值，定义为：

()dt t x T T T x

⎰∞→=0

2

21lim φ （2）

如果仅对有限长的信号进行计算，则结果仅是对其均方值的估计。均方值的正平方根，为均方根值（或有效值）m ax x 。 方差定义为

()[]dt t x T T x T x

⎰-=∞→0

2

21lim μσ （3）

方差反应了信号()x t 中的动态部分。方差的正平方根x σ称为标准差。若信号()x t 的均值为零，则均方值等于方差。若信号()x t 的均值不为零时，则有下列成立

2

22x x x μφσ-= （4）

3. 概率密度函数

随机信号()x t 的取值落在区间内的概率可用下式表示 ()[]T

T

x x t x x P T prb ∆=∆+≤<=∞→lim

（5）

式中：T ∆为信号()x t 取值落在区间(]x x x ∆+,内的总时间；T 为总观察时间。

当0→∆x 时，概率密度函数定义为 ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∆∆=∞→∞→∆T T x x p T x lim 1lim

（6）

随机信号()x t 的取值小于或等于某一定值δ的概率，称为信号的概率分布函数。常用()x P 来

表示。概率分布函数的定义为

()()[]T

T t x P x P T prb δ

δ∆=≤==∞→lim

（7）

式中：δT ∆为信号()x t 取值满足()δ≤t x 的总时间；T 为总的观察时间。

1 相关分析

1.1 相关的概念

在信号分析中相关是一个非常重要的概念。所谓相关，就是指变量之间的线性联系或相互依赖关系。经典的互相关用于量化两个信号()x t 和()y t 的相关程度。两个随机信号的互相关XY R 定义为：

YY

XX XY

XY C C C R =

(1)

式中，[])()(t y t x E C XY =，[]2)(t x E C XX =，[]

2)(t y E C YY =。 在信号平稳的假设下

若两个信号间的延迟为τ，则定义两个信号的互相关为

YY

XX XY XY C C C R )()(ττ=

(2)

式中，()⎰-∞

→=

dt t y t x T T C XY )()(1lim ττ，T 为信号()x t 和()y t 的观测时间。互相关函数()τXY R 是τ的函数，它完整的描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。

式(2)说明互相关分析提供了两个信号在时域内平移时的相关度的量化方法，也提供了两信号

延迟时产生的信号分量的识别方法。这种经典互相关性适用于平稳信号分析。 1.2 小波相关性

小波互相关类似于经典的信号互相关，有效地提供了两个信号相关性对尺度的依赖程度。设两个互相关信号()x t 和()y t ，在给定尺度a 和时延u 下，x 、y 的小波互相关性定义为：

()()[]u a W a W E u a W C YY XX XY +=ττ,,),( (3)

式中，),(τa W XX 和),(u a W YY +τ分别为()x t 和()y t 的小波变换系数。

若分离小波变换系数的实部),(τa RW XX 和虚部),(u a IW YY +τ，只讨论用实部量化给定尺度

a 下两个信号的相关程度，则小波互相关定义为：

()()()

0,0,,),(a RWC a RWC u a RWC u a WR YY XX XY XY =

(4) Sello 和Bellazzini 建议只考虑小波变换的实部，用小波交叉谱()()()u a W u a W u a W YY XX XY ,,,=定义小波局部相关系数为：

()()()()

u a W u a W u a RW u a WLCC YY XX XY ,,,,=

(5) 该小波局部相关系数定义的理论基础是经典互相关和交叉小波频谱间的关系：

()ττψ

dad a RW C dt t y t x XY ⎰⎰

⎰

+∞+∞

∞

-+∞

∞

-=

,1)()(。

若考虑小波变换的实部和虚部提供的信息具有一定的联系。则小波互相关定义为：

()()()

()()

0,0,,,,2

2

a WC a WC a IWC a RWC a WR YY XX XY XY XY τττ+=

(6)

式中XY RWC 和XY IWC 分别是式(3)定义的交叉小波相关性函数的实部和虚部。

从经典互相关和小波互相关定义可以看出，小波互相关相比经典互相关引入了参数a ，而正是这一参数的引入，使得将经典相关性只在时域内分析两个信号在不同延迟时的相关性，引入到在时频两域内分析信号的相似程度。也就是说小波互相关随尺度的变化而变化，是两个信号在不同延迟时的相关性，因而能够反映出信号互相关最大时，在该频率处两个信号的延迟(相差)等信息，为探测两个信号的相似程度提供更丰富的信息，对分析两个信号的某一频率成分的相似程度有着重要的作用，实现了在时频两域内同时分析两个信号的相关性。 1.3 小波谱

为了探测信号内涵的特征信息及尺度，引入小波谱概念。小波谱首次由Hudgins 和Brunet 、Colloneau 提出，它是基于时域和时间尺度域间的能量守恒定义的：

⎰⎰⎰+∞

∞

-+∞+∞

∞

-=

2

2

2

),(1

)(a

a C K x

dad X dt t τ

τψ (7)

对于连续信号()t x ，其小波谱()τ,a W x 可用小波系数的模确定：

)

,(2

*

),(),(),(ττττa C C C W

X a a a X X X

=

= （8）

对于离散信号()t x ，设其二进离散小波变换为()j C x ，则有

∑∈≤z

j j C x

X )

(2

22

（9）

说明原始信号的二范数等于小波变换各层细节信号绝对值的平方和。第j 层细节的能量

()()2

j C j W x x = 称之为小波能量时谱。其相应的Fourier 域的二进离散小波能量