数学模型数学建模第一次作业入门实验

1、数学建模入门作业

1、贷款问题

小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。

(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？

(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？

(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三

年还清贷款。但条件是:

(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款

额的1/2；

(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总

额10%的佣金。

试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。

解答：

（1）根据题意设A k为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额

则有，第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额×月利率+第k-1个月的欠款额-每个月的还款额

即第k个月的欠款额：A k= A k－1（1+r）－x，k=1，2，……，N （1）

其中N为贷款的总月数，A0为最初贷款额；

由方程（1）容易推出

A1 = A0(1 + r ) x;

A2 = A1(1 + r ) x = A0(1 + r )2- x[(1 + r ) + 1];

第k个月的还款金额为

A k= A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1]

= 0(1)1(1)(1)1k k

r A r x r +-+-+- （2） 贷款总月数为N ，也就是说，第N 个月的欠款额为0，即A N ＝0，在方程（2）中令N=k ，导出每月的还款额

00(1)(1)1

n

n A r r x A r r +=>⋅+-，可见每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。 综上所述

将r ＝0.006，n ＝240，A 0＝2×105代入可计算出每月还款额x=1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。

（2）在贷款满5年后，根据题意有k ＝5×12=60，代入公式计算可得到则一次付款额A 60＝173034.90元。

（3）根据题意从银行调整利率后算起，A 0=173034.90，n=15×12=180，r ＝0.008，由此可以得到x ＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。

（4）根据题意，提前3年还完贷款则为17年还完贷款。

如果小王夫妇不请请这家借贷公司帮助还款，则每月的还款额约为1574.7元，则总共的还款额为1574.7×12×20＝377928元。

如果小王夫妇请这家借贷公司帮助还款，根据题意，每半个月付款一次，即每月付款2次，一次付款额是原付给银行还款额的1/2，还需考虑付给借贷公司的佣金，因此总的还款额是1574.699×0.5×17×12×2+200000×10%＝341238.60元。 因此，小王夫妇应该请这家借贷公司帮助还款。

2、冷却定律与破案

按照Newton 冷却定律，温度为T 的物体在温度为To (To

首先根据Newton 冷却定律列出其方程：

)(0T T k dt

dT -=， （1） 式中T 为系统的温度，0T 为环境的温度，t 为客观时间，k 为散热系数。

若尸体温度按照牛顿的冷却定律来变化，设)(t T 表示t 时刻尸体的温度，并记晚上8点20分为t=0时刻。则根据实测数据有

C T C T οο4.31)1(,6.32)0(==， （2）

推理一下：假设受害者死亡时体温是正常的，即C T ο37)0(=，如果知道C t T ο.37)(=的解，则可以知道t 0。

由方程（1）得其通解

kt e C T t T +=0)(， （3）

式中C T ο1.210=为被害者家的温度，即环境温度。根据方程（2）确定常数C 和散热系数k ，于是有

6.321.21)0(0=+=⨯k e C T ，

4.311.21)1(1=+=⨯k e C T ，

解方程组得，5.11=C ，11.0103ln 115ln ≈-=k ，代入方程（3）

t e t T 11.05.111.21)(+=， （4）

当C t T ο

.37)(=时，该方程的解为 95.20-≈t h 2-≈h 57min

所以，被害者的死亡时间约为：

8：20- 2：57 =5：23；

这也就是说，被害人的死亡时间约为5：23，张某有足够长的时间可以作案，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。

3、锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）

(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？

解答：