平面任意力系的简化(11)
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力系的简化
作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。
F
1 2
ql
要求掌握
q
ql
xC
2 3
均布载荷的合力。 载荷集度为q。
l
A
l 2
B
l
方向：与分布力q 相同。
大小：等于载荷集度q乘以分布长度，即 ql。 作用线：通过分布长度的中点。
P29
其他不作要求
17
2.4.2 物体的重心、质心和形心 1、重心
xc
zc
zi Fi FR
x i Fi FR
yc
yi Fi FR
zc
zi Fi FR
15
2.4 平行力系的中心 重 心
【例2.2】水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大
值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。
解：合力F的方向向下。
求合力的大小：建立坐标系Axy。 y 在任意截面 x 处
xC
S
y
y
xdA
A
0
A
yC
ydA
A
A
C 形心 x O
22
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
5、确定物体重心的方法
（1）简单几何形状的物体的重心
均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称 面、对称轴、对称中心上。
MA
MA FAy
FA
FAx
也可按前面所讲的确定约束力的原则，固定端所限制的运动：水 平移动、竖直移动、转动。因此，约束力为正交分力和一个力偶。
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
平面任意力系的简化
F' F" F
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi
平面任意力系向作用面内一点简化
FAy
P 4
3 2
qa
例3-5已知：P 100kN, M 20kN m,
q 20kN m, l 1m; F 400kN,
求 固定端A处约束力.
：解：取T型刚架，画受力图.
其中F1
F x
1 q 3l 30kN 2
0 FAx F1
F
sin 600
0
解得FAx 316.4kN
Fy 0 FAy P F cos 60 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
F x
0
F y
0
(3 4)
M o 0
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个
任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及
10各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式
F x
0
F y
14
m 2n 3 平面复杂（超静定）桁架 m 2n 3 平面简单（静定）桁架 m 2n 3 非桁架（机构）
15
关于平面桁架的几点假设
1：、各杆件为直杆各杆轴线位于同一平面内
，
；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上且，位于桁架几何平面内；
4、各杆件自重不计或均分布在节点上
求：铰链A和DC杆受力（. 用平面任意力系方法求解）
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 45 0
F y
0
FAy Fc sin 45 F 0
M A 0 Fc cos 45 l F 2l 0
平面力系简化
x
A
O的合力 R' ,且
R' = Fi = Yi
o
x
(2) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且
MO = mo(Fi) = F x
(3) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R
R = R' = Fi = Yi
y
3m
C
P1
1.5m
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
5.7m
22
解: (1)取O为简化中心
ACB arctan AB 16.70 CB
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin
670.1kN
y
3m
C
P1
1.5m
原力系对于简化中心O的主矩.
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
7
结论:平面任意力系简化为主矢和主矩
力系的主矢 R'只是原力系中各力的矢量和,所以 它的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
(c) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R ,其 大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中
心点O的距离为: d M o
R
9
(d) R' = 0 , Mo = 0 原力系为平衡力系.其简化 结果与简化中心的位置无关.
9.29平面任意力系简化
（ 3 ）主矢为零，主矩不为 零：力偶系的合力偶矩； （ 4 ）主矢为零，主矩为零： 平衡力系。 最后简化结果只有三种可 能：合力、合力偶、平衡
主矢
主矩
最后结果
合力 合力 合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心 M O
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0 MO 0 MO 0
3．力系简化的方法：
（ 1 ）将复杂的平面力系用力向一点平移的 方法分解为平面汇交力系和平面力偶系； （ 2 ）分别按两种力系的合成方法简化得到 主矢与主矩。
4-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零） 。（此时与
力的平移定理
作用在刚体上的力F可以平行移动到任一点，但必须同 时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F 对平移点之矩。
F A
d
B
=
F A
d
B F1 F2
=
B F1 A
M
在B点加上一对平衡力 F1和F2，且F1=F2=F
F和F2组成力偶
M M B ( F ) Fd
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
4-1．平面任意力系向一点的简化
一般情况下，平面任一力系向 平面内任选的简化中心简化，可以 得到一个力和一个力偶。此力作用 在简化中心上，它的矢量等于力系 中各力的矢量和，称主矢。此力偶 的矩等于力系中各力对简化中心的 矩的代数和，称主矩。
平面任意力系
解：
对象：小车ABC T, TC = G, NA, NB
y
h
分析力：
C TC
E
d
T
B NB b x
选轴列平衡方程：
A Nb A G
X T T c sin 0 T T c sin 1 . 04 kN
N
A
Y
N B T c cos 0
B
例2. 轮轴AD, A为止推轴承,C为圆柱轴承，轮B重 W==40kN,外伸端D的齿轮直径为d，受径向力P=20kN和 轴向力Q=40kN。L=20cm. 求两轴承的约束力。
解：
对象：轮轴
y YA L XA A W
A
分析力： W, P, Q, YC, XA, YA 选轴列平衡方程：
L L B C d YC
m 2 2P 20 0 . 8 2 16 0 .8 2 20 12 KN
(3) 解方程组；
RB qa 2
R Ay P qa R B 20 20 0 . 8 12 24 KN
平面任意力系平衡方程的其它形式
平衡方程的多矩形式
m A (F ) N
2 b Td T c cos b T c sin h 0
N
B
T c sin ( h d ) T c cos b 2b
1 . 67 kN
代入二式解得 或利用两矩式
N
A
T C cos N B 2 . 19 kN
B
F’1
n
平面任意力系三
F’R O MO
汇交力系合力的力矢称为原力系的主矢。
平面力系的简化
平面 力系 的简
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
方向：
（2-14）
平面 力系 的简
化
力系的主矢是由原力系中的各分力的大小 和方向决定的，与简化中心的位置无关；而主 矩等于原力系中的各力对简化中心力矩的代数 和，当简化中心的位置不同时，得到的主矩的 大小和转向一般是不同的，即主矩与简化中心 的位置有关。
平面 力系 的简
化
2.平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向其作用面内的任意一点简化，得到 一个主矢R和一个主矩MO，但实际力系的作用情况不同 时，简化的结果也不一样，具体情况包括下面几种。
平面 力系 的简
化
1.几何法
如图2-4（a）所示，在刚体上作用一汇交力系，汇交点 为刚体上的O点。根据力的可传性原理，将各力沿作用线移 至汇交点，成为共点力系，然后根据平行四边形法则，依次 将各力两两合成，求出作用在O点的合力R。也可以连续应用 力的三角形法则，逐步合成求出合力R，如图2-4（b）所示。
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
方向：
（2-14）
平面 力系 的简
化
力系的主矢是由原力系中的各分力的大小 和方向决定的，与简化中心的位置无关；而主 矩等于原力系中的各力对简化中心力矩的代数 和，当简化中心的位置不同时，得到的主矩的 大小和转向一般是不同的，即主矩与简化中心 的位置有关。
平面 力系 的简
化
2.平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向其作用面内的任意一点简化，得到 一个主矢R和一个主矩MO，但实际力系的作用情况不同 时，简化的结果也不一样，具体情况包括下面几种。
平面 力系 的简
化
1.几何法
如图2-4（a）所示，在刚体上作用一汇交力系，汇交点 为刚体上的O点。根据力的可传性原理，将各力沿作用线移 至汇交点，成为共点力系，然后根据平行四边形法则，依次 将各力两两合成，求出作用在O点的合力R。也可以连续应用 力的三角形法则，逐步合成求出合力R，如图2-4（b）所示。
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。
平面任意力系的主矩与简化中心的位置
平面任意力系的主矩与简化中心的位置1. 概述在静力学中，平面任意力系的主矩与简化中心的位置是一个重要的研究课题。
主矩是指力系对某一点产生的合力矩，简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。
研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相互作用。
2. 平面任意力系的主矩平面任意力系是指作用在同一平面上的多个力所组成的力系。
在这样的力系中，力的方向和大小都是任意的，主矩则是力系对某一点产生的合力矩。
主矩可由力的大小、方向和作用点到参考点的距离等因素决定。
在计算主矩时，通常可以使用矢量法或解析法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
3. 主矩的计算方法计算主矩时，可以先将力系分解为多个力的矢量和，然后分别计算每个力对参考点产生的单个力矩，最终将所有力矩相加得到主矩。
另一种方法是使用解析法，通过数学方程式求解主矩的数值。
在实际问题中，可以根据具体情况选择适当的计算方法，以便高效地求解主矩。
4. 简化中心的定义简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。
在平面任意力系中，简化中心的位置可以通过数学方法求解。
对于简化中心，有以下几个重要特点：（1）简化中心的存在性：对于任意平面力系，都存在一个简化中心；（2）力系对简化中心的主矩为零：力系对简化中心的主矩等于零；（3）简化中心的独立性：简化中心的位置与力系的具体情况无关，只与力系的几何形状和作用点位置有关。
5. 简化中心的计算方法计算简化中心的位置可以采用矢量法或解析法，具体计算方法取决于力系的具体情况。
在应用矢量法时，可以将力系分解为多个力的矢量和，通过平衡条件求解简化中心的位置。
在应用解析法时，可以通过坐标系和数学方程式求解简化中心的位置。
选择合适的计算方法进行求解简化中心是十分重要的。
6. 主矩与简化中心的关系主矩与简化中心是密切相关的，它们相互依存、相辅相成。
在力系的平衡分析中，主矩和简化中心的计算是必不可少的环节。
通过计算主矩和简化中心的位置，可以更清晰地理解力系的平衡特性和作用规律。
平面任意力系
力线平移定理
4
为什么如此攻螺纹会断？ 为什么如此攻螺纹会断？
5
平面任意力系向作用面内一点简化‧ 二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
称点O为简化中心 称点 为简化中心
6
平面力系向作用面内一点简化
称点O为简化中心 称点 为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为 R’ 平面汇交力系， 、 、 平面汇交力系 合力为F M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为 O 平面力偶系，合力偶矩为M
=
=
处的约束力可简化为两个约束力F 固定端A处的约束力可简化为两个约束力 Ax、FAy和一个 矩为ＭA的约束力偶
9
动画
插入端约束实例
10
三、平面任意力系的简化结果分析
1．简化为一力偶的情况 则原力系简化为一个合力偶。 若FR′=0，MO≠0，则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为 则原力系简化为一个合力偶
第 3章
平面任意力系
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化 第2节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 第3节 物体系的平衡•静定和超静定问题 物体系的平衡• 第4节 平面简单桁架的内力计算
1
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系实例
2
各力的作用线在同一平面内， 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行 的力系叫平面任意力系 平面任意力系。 的力系叫平面任意力系
O i
0 0
平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件是： 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影代数和分别等于零， 标轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的 矩的代数和也等于零。 矩的代数和也等于零。 一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3个 一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3 独立的平衡方程式。 独立的平衡方程式。 22
4
为什么如此攻螺纹会断？ 为什么如此攻螺纹会断？
5
平面任意力系向作用面内一点简化‧ 二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
称点O为简化中心 称点 为简化中心
6
平面力系向作用面内一点简化
称点O为简化中心 称点 为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为 R’ 平面汇交力系， 、 、 平面汇交力系 合力为F M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为 O 平面力偶系，合力偶矩为M
=
=
处的约束力可简化为两个约束力F 固定端A处的约束力可简化为两个约束力 Ax、FAy和一个 矩为ＭA的约束力偶
9
动画
插入端约束实例
10
三、平面任意力系的简化结果分析
1．简化为一力偶的情况 则原力系简化为一个合力偶。 若FR′=0，MO≠0，则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为 则原力系简化为一个合力偶
第 3章
平面任意力系
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化 第2节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 第3节 物体系的平衡•静定和超静定问题 物体系的平衡• 第4节 平面简单桁架的内力计算
1
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系实例
2
各力的作用线在同一平面内， 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行 的力系叫平面任意力系 平面任意力系。 的力系叫平面任意力系
O i
0 0
平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件是： 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影代数和分别等于零， 标轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的 矩的代数和也等于零。 矩的代数和也等于零。 一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3个 一个研究对象在平衡的平面任意力系作用下具有3 独立的平衡方程式。 独立的平衡方程式。 22
力系的简化和平衡方程
表示，并 合成为一
个作用在点
O'
的力
v R
如图
3—2
所示。
R΄ O M O΄΄
R′ OR
R″O΄
Od R O΄
（a）
（b） 图 3-2
（c）
这个力
v R
就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在
O
的哪一侧，需根
据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式计算。
d = M0 R
必须指明是力系对哪一点的主矩。
二、简化结果的讨论
由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理
量来研（究一力）系若简主化矢的Rv最′ =后0 ，结主果矩。M 0 ≠ 0 ，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意
力系的合力偶，合力偶矩等于
M0
=
n
v
∑ m0 (Fi )
。由力偶的性质可知，力偶对任意点的力
一、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩
设刚体上作用一平面任意力系
v F1 ,
v F2
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅Fvn
如图(3—1)。根据力的平移定理，将力
矩系Fv1'分中, Fv别诸2' ..等力....F于向vn' 力平,以面MFv及11内,=F相v任2M应⋅ ⋅一0⋅(的⋅F点⋅v1⋅附F)vnO加对点M力O平2偶点=移系M的，0M矩(OF1v,,2M)点即2称:..M..为..3M简=nM化。0这中(Fv些心3 )力。偶这作样用得在到同作一用平于面O内点,它的们力系的
θ
态。取料斗车为研究对象，对料斗车进行受力分析，所
O
受力有：重力
平面任意力系的简化
此种情况下主矩与简化中心的位置无关。
20
(c) FR' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力FR ,其 大小和方向均与FR‘相同，而作用线位置与简化中 心点O的距离为:
Mo d FR
FR
FR
MO
=
(a)
α
x
=
O d A
(c)
合力FR在主矢 FR的左侧还是右侧？根据合力FR 对简化中心矩的转 向应与主矩MO的转向一致的原则来确定。
m2 F2 d 2
合力偶矩 m R d ( P 1P 2 )d P 1d P 2 d m1 m2
对由n个力偶组成的力偶系：
m m1 m2 mn
i 1
mi
n
mi
结论: 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力
偶矩的代数和。
表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。 ●该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体 作用效应的重要方法。 例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。
5
二、平面汇交力系的合成
设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形（或三 角形）法则：
F2
b
c
F3
R12
R12 F 1 F 2 R123 R12 F 3
MO =m1+m2+…+mn
mO ( F 1 ) mO ( F 2 ) ... mO ( F n ) mO ( F i )
原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心
的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。
15
F '1
平面任意力系的简化及重心资料
F1′
M1
F1 =F1′ M1=MO(F1)
O
简化中心 F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR′Βιβλιοθήκη MOOFR′ =F′1+F′2+F′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
y
FR′
MO
O
x
n
FR Fi i 1
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？
使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a)
F (b)
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于： 如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F′
F
M
Bd
B
A
A
F′ ′
M=F. d=MB(F)
xC
A
A
,
yC
A
A
,
zC
A
A
曲线：
xdl
ydl
zdl
xC
l
l
,
yC
l
l
,
zC
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心
例题9
求：半径为R，圆心角为2
的均质圆弧线的重心。
A
解: 取圆心 O 为坐标原点
xc 0
yC
ydl l l
n
平面任意力系的简化.
F2
Fn
O点:简化中心
= F'1 M1
F'2
M2
=
F'R MO
F'n
O Mn
O
Fi Fi
（i =1，2，…，n）
M i M O (Fi )
平面一般力系
平面汇交力系 平面力偶系
一个力 F'R ，称为力系的主矢 一个力偶 MO ，称为力系的主矩
力系的主矢 F'R ：
FR' x F1x F2x Fnx F1x F2 x Fnx
FR' ( FR'x )2 ( FR'y )2 709.4kN
（第四象限）
70.84
y
C
力系对点 O 的主矩为
MO MO F
MO
O
70.84º
A x
3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
F'R （2）合力 FR 的大小和方向与主矢 F'R 相同。
(1) FR 0, MO 0
(2) FR 0, MO 0
(3) FR 0, MO 0
(4) FR 0, MO 0
1.主矢不等于零，主矩等于零，即
FR 0, MO 0
F1
F'R
F'R
O
F2 =
MO
=
O
O
Fn
F'R 就是原力系的合力，而合力的作用线过简化中心 O 。
MO≠0 MO＝0
FR 0, MO 0
最后结果
合力 合力
合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
说明平面任意力系向任意一点简化的结果。
平面任意力系向任意一点简化的结果1. 概述任意力系是指作用在一个物体上的多个力, 这些力可能来自于不同的方向, 具有不同的大小和作用点。
在实际工程应用中, 经常需要对这些力进行简化, 以便于分析和计算。
对于平面任意力系向任意一点的简化, 是一种常见的力学分析方法, 本文将对其进行详细的说明。
2. 平面任意力系的简化平面任意力系是指作用在同一个平面内的多个力组成的力系。
当需要对平面任意力系作用在一点进行简化时, 可以采用以下方法：3. 平行力的合成如果平面任意力系中的多个力都是平行的, 则可以使用平行力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种简化方法在实际应用中非常常见, 如对梁上的多个集中力进行简化。
4. 共点力的合成当平面任意力系中的力作用在同一点上时, 可以利用共点力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。
合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。
这种方法常用于对物体受到的多个外力进行简化。
5. 一般情况下的简化如果平面任意力系中的力不具有上述特殊情况, 则可以使用力的分解和合成原理进行简化。
具体来说, 可以将各力分解为水平方向和垂直方向的分力, 然后分别对水平方向和垂直方向的力进行合成, 最终得到合力的大小和方向。
这种方法在一般情况下都适用, 但需要注意力的方向和正负问题, 以保证简化后的结果是正确的。
6. 结论平面任意力系向任意一点简化的结果, 可以通过平行力的合成、共点力的合成和力的分解和合成等原理进行。
在实际应用中, 需要根据具体情况选择合适的简化方法, 并注意力的大小和方向的计算。
通过简化,可以简化分析和计算过程, 提高工程设计的效率和准确性。
7. 应用举例为了更好地理解平面任意力系向任意一点简化的结果，我们可以通过一些实际的力学问题来进行举例说明。
（1）桥梁的力简化假设一座桥梁上受到多个施加力，有些力是水平方向的，有些力是垂直方向的，这时我们可以利用力的分解和合成原理来简化这些受力。
力系的简化(11)
∴力系（4）为一平衡力系 （零力系）
§6.4 特殊力系的简化(2)
2.空间平行力系 平行力系—— 各力的作用线相互平行。 由于 FR // Fi , M O Fi 故 FR M O 0 故平行力系简化后的 最简形式也只有三种： FR 0, M O 任意， 合力，
例题
例 题 2
解：
§5 力系的简化
（1）力系向A点简化 C FR 0 F1 F2 M A AC F2 AB F3 MA 60° B x A 3 2 a Fk 3aFk F3 F4 2 FR M A 0 y D ∴力系（1）的简化结果为一个合力偶
§5.1
力的平移定理
力为滑移矢量，可沿其作用线任意滑动。 若将其作用点任意移动，则应附加一个力偶：
F
F, M
A
O
F
M OA F M O ( F ) M Fd
F2
O
d M
A
F
平移前
平移后
F
作用于 点A
F2 F M
作用于 点O
2. FR 0, M O 0, FR M O 0
MO
O 原一般力系简化为一个作用于O点的合力 FR
——最简力系 4. FR 0, M O 0, FR M O 0 即 FR M O
3. FR 0, M O 0, FR M O 0
i i
rC Fi ri
Fx F
i i
xC
i
, yC
F y F
i
, zC
Fz F
i i
平面任意力系向作用面内一点简化教案
河南省中等职业学校省级优质课参赛教案学校名称：南阳建筑工程学校课程名称：建筑力学（少学时）授课题目：平面任意力系的简化授课班级：11级4班授课时间：2012年3月授课教师：徐宠尧2012年5月南阳建筑工程学校《建筑力学（少学时）》课程授课教案任课教师：徐宠尧授课班级：11级4班授课时数：1学时教学课题：第三章平面力系第一节平面任意力系的简化教学目的、要求：掌握平面任意力系向一点简化的方法会应用解析法求主矢和主矩熟知平面任意力系简化的结果教学重、难点：重点：1、平面任意力系向作用面内任一点的简化2、力系的简化结果教学过程及内容：复旧导新：通过课堂提问及举例,对力的平移定理,加减力系平衡原理等静力学公理加以回顾,从而引入本节讲授内容的理论基础。
讲授新课：§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化及其结果分析一、概述：各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。
平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。
首先，平面力系是工程中常见的一种力系。
另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。
下面介绍的方法是力系向一点简化的方法。
这种方法不但简便，易于分析简化结果，而且可以扩展到空间力系中去，力的平移定理是力系向一点简化的理论基础。
1、力的平移定理' F ⇔⇔'（3） (2) (1)定理：可以把作用在刚体上点O ′的力平移到任一点O ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点O 的力矩.证明：设一个力F ' 作用于刚体上的O ′点，如图（1）所示在刚体上任取一点O ，此点到力F ' 作用线的距离为d ，在O 点加上大小相等、方向相反而且与力F '平行的两力F F '' ,，并使F F F ''-='= ，根据加减平衡力系公理，显然力系),,()(F F F F '''≡。
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3.简化结果的讨论 由力的平移定理的逆过程可知，主矢FR和主矩 ＭO可以合成为一个合力FR。合力大小与方向 1）FR≠0 Ｍ0≠0 与主矢相同， 作用线到O点的距离为d=MO/FR， FR在O点哪一边，由MO符号决定。
2）FR≠0 Ｍ0=0 此时原力系只与一个力等效，主矢FR就是力系 的合力FR（简化中心恰好选在合力作用线上； 平面力偶系为平衡力系可以去掉）。 此时原力系只与一个力偶等效（平面汇交力系 为平衡力系可以去掉），这个力偶就是原力系 的合力偶。在这种情况下,主矩的大小与简化 中心的选择无关。 力系处于平衡状态(本章重点)。
平面任意力系简化的结果讨论
问题的引出
阳台梁上承受外荷载时如何保持平衡？
墙体对阳台梁的约束可以用哪个支座替代？
墙体对梁有约束 固定端支座
各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面任意 力系。
阳台梁的支 座反力如何 计算？
MeA FAx FAy
5kN/m
10kN
m
地位和作用
平面汇交力系 力矩、力偶
为了了解偏心力F对立柱的作用效果， 将F平移到轴线上，可以容易的看出立 柱的变形情况
例2：
二、平面任意力系的简化
简化中心
主矢、主矩共同作用等效于原力系
M1 O M3
2 2 2 2
△
F1 A B F2 = F3
F'1 M2
F3
O C
F'2
=
O
M0
FR
tan
1.主矢FR 2.主矩M0
( Fx ) ( Fy ) ( Fx ) ( Fy ) FR
3）FR=0 Ｍ0≠0
4）FR=0 Ｍ0=0
平面任意力系简化的最终结果，只有三种可 能：一个力；一个力偶；或平衡。
三、固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端。 A
A
F
A MA
RA
MA
FY
A
F
AX
A
四、平面任意力系的合力矩定理
内容：平面任意力系的合力对平面内任一点之矩等于力系中 各力对该点之矩的代数和
结论： 平面一般力系向平面一般点简化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0
汇交力系合力 FR ′ — 原力系的主矢，通过O点。 M0 M MO (F ) 力偶系合力偶矩 M0 — 原力系对于O点的主矩
F F
y x
主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代数和的平方和 再开方,作用在简化中心上,其大小和方向与简化中心的选取无关。 主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。其大小和方 向与简化中心的选取有关（特殊情况下无关），因此说到力系的主 矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。 。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师 授课 班级 12造价与建筑 授课 2013/1 时间 0 课型 学 时
2
课 题 教学 方法 教学 目的 教学 重点
教学 难点
平面任意力系的简化
新授课
讲授法、任务导向教学法、案例式教学法 了解平面任意力系简化的方法；掌握平面任意力系简化 的结果。 力的平移定理； 平面任意力系简化的结果。
x
F
0 F sin 60 F cos30 0
y
C F M 0 F B
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
2( F ) F sin 60 AB 3F AB 2
A
F
x
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
M M
第一节 平面任意力系向一点的简化
大多数空间力系可简化为平面力系；平面力系中平面任意力 系最常见。
一、 力的平移定理
FA Fo
平移
转动与移动效应
移动效应
若将力从轮的 边缘平移到O点, 将改变其对轮 的作用效应。
如何才等效？
作用在刚体上力的F， 可以平移到其上任 一点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩对 于原力F对新作用点之矩。即：M=MB（F）。 力偶的转向与原力对新作用点之矩的转向相 同。
Mo (FR) = FR d = Mo′ Mo′=∑Mo (F ) Mo (FR) =∑Mo (F )
MO ’ O
F’R
O
A FR
例4-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别 作用F力，试简化该力系。 解：1.求力系的主矢
F
x
F F cos60 F sin 30 0
平面任意力系 的平衡
材料力学与结构力学基础
静力学核心
△
旧课复习：
F1 FR12 FR F2
1.平面汇交力系 平面汇交力系总可以合成为一个合力FR 。
FR ( Fx )2 ( Fy )2
F3
O
M2
M1 MR
M3
2.平面力偶系 平面力偶系总可以合成为一个合力偶, 其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和 。
B F A B A F′ M F F′
＝
F″
＝
A
B
说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系 分解
力
合成
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d
③力的平移定理是任意力系简化的理论基础。
平面汇交力系简化的理论基础? 平面力偶系简化的理论基础? 力的平行四边形法则
力偶等效定理
应用实例
【课内作业】思考题4-1、4-2 【预习】平面一任意系平衡方程及其
应用