最新椭圆及其标准方程导学案
椭圆及其标准方程导学案(第1课时)
§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。
（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。
高中数学《椭圆及其标准方程》导学案
2．1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(□01大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的□02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的□03焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF 1|＋|MF 2|＝2a >|F 1F 2|这一个条件． (2)集合的语言描述为P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a >|F 1F 2|}． 2．椭圆的标准方程 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程□04x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) □05y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0) 图形焦距 |F 1F 2|＝□062c 焦点坐标 □07(±c,0)□08(0，±c )a ，b ，c 的关系 □09a 2＝b 2＋c 21．对椭圆定义中限制条件“常数(大于|F 1F 2|)”的理解(1)当动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝常数>|F 1F 2|时，动点M 的轨迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．2．椭圆定义的双向运用一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．3．椭圆的标准方程与焦点位置的关系(1)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大．(2)椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________．(2)椭圆的方程为y29＋x24＝1，则a＝________，b＝________，c＝________.(3)椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．(4)椭圆4x2＋y2＝4的焦点坐标为________．答案(1)x225＋y216＝1(2)325(3)6(4)(0，±3)探究1椭圆的定义例1如图所示，已知F1，F2是椭圆x2100＋y236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15，那么点P到另一个焦点F2的距离是多少？(2)过焦点F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．[解]由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.(1)由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|PF1|＝15，所以|PF2|＝20－15＝5.(2)△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)．由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝40.拓展提升椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．【跟踪训练1】已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|P A|的最小值．解 由椭圆方程5x 2＋9y 2＝45可知a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)，如图所示．P 为椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝6.而|PF 1|＋|P A |＝|PF 1|＋|PA |＋|PF 2|－|PF 2|＝6－(|PF 2|－|P A |)．又|PF 2|－|P A |≤|AF 2|，当且仅当P ，A ，F 2三点共线时，|PF 2|－|P A |＝|AF 2|＝ 2.所以当P ，A ，F 2三点共线时，|PF 1|＋|P A |有最小值为6－ 2.探究2 椭圆的标准方程例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.[解] (1)由题意得，2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28. 当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 264＋y 228＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1. 故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 例2(1)(3)有没有其他解法呢？ 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎨⎧16b 2＋18a 2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1.例3 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .② 由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．【跟踪训练2】 (1)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解 设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程． 解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上， ∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1.∴a 2＝15.∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 探究3 椭圆标准方程的应用例4 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72 C.72<m <16D ．m >72[解析]依题意可得⎩⎨⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16. [答案] C[结论探究] 如果把例4的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解 由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7， 所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)， 所以焦距2c ∈(0,10)．拓展提升方程x 2m ＋y 2n ＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练3】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析由方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7， 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值． 解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2 ，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立可得|PF 1|＝65. 所以S △PF1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335. [条件探究] 例5中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos60°.∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4， ∴S △PF1F2＝12|PF 1||PF 2|·sin60°＝12×4×32＝ 3. 拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式|PF 1|＋|PF 2|＝2a . (2)利用正、余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式．这样我们便可求解出|PF 1|，|PF 2|.但是通常情况下我们是把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF 1|与|PF 2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2.(3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin ∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m >0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化.3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法； (2)待定系数法； (3)定义法； (4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M 到定点F 1(0，－1)、F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．直线F 1F 2C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2. 2．方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)答案 A解析 因为方程x 2m ＋y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以m >1. 3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A.(±3,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36， 所以b 2＝9，b ＝3.5．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)由题意知椭圆的焦点在x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件易知c ＝4，a ＝5， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．椭圆经过点(0,2)和(1,0)，结合图象易知a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．已知点A (－3,0)，B (0,2)在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m 2＝1，4n 2＝1，解得m 2＝9，n 2＝4，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．射线D ．圆 答案 A解析 根据题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线，所以|MP |＝|PF |，所以|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)，又因为|MO |>|FO |，根据椭圆的定义可判断出点P 的轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆．3．方程(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 225＋y 216＝1B.x 225＋y 221＝1 C.x 225＋y 24＝1 D.y 225＋x 216＝1 答案 B解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝2，a ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝21，故化简结果为x 225＋y 221＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32 答案 B解析 设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.5．命题p ：方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是( )A ．3<m <5B ．4<m <5C ．1<m <5D ．m >1 答案 B 解析 若方程x 25－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m －1>5－m >0，解得3<m <5.所以p 成立的充要条件是3<m <5.结合四个选项可知，p 成立的充分不必要条件是4<m <5.6．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图所示，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A.72，1 B.3，1 C ．5,3 D ．5,4 答案 A解析 由题意知，a 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，b 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，∴a 2－c 2＝1.又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝1，b ＝1. ∴a 2＝74，a ＝72. 二、填空题7．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案 1解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因c 2＝5k －1＝4，得k ＝1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin C sin B ＝________.答案 54解析 由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8. 于是，在△ABC 中，由正弦定理，得 sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.9．M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．答案 9解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝a 2＝9. 三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解 设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r . ∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r . ∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64. 又∵A ，B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为y 2100＋x 264＝1.B 级：能力提升练1．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标． 解 (1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. (2)设点P 坐标为(x 0，y 0)，依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23， ∴|y 0|＝3，y 0＝±3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)． 2．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程． 解 (1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1为所求点的轨迹方程．。
(导学案)2.2.1椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程（1） （导学案）【学习目标】（1）从具体情境中抽象出椭圆的模型；（2）掌握椭圆的定义，能用坐标法求椭圆的标准方程； （3）掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程的形式。
【重点、难点】重点：椭圆的定义及其标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导与化简。
【学习方法】探究、讨论、归纳、类比 一、【基础知识链接】1、曲线可以看作是适合某种条件的点的集合或轨迹。
求曲线方程的一般步骤是： → → → → 。
其中，建立坐标系一般应遵循 的原则。
2、平面内两点间的距离公式：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则︱AB ︱=二、【新知导学】 探究任务一：椭圆的定义 【教材导读】 预习课本P38的内容，动动手，做教材P38中的“探究”，并完成下列问题：（1）、设笔尖（动点）为M ，两个定点1F ，2F 的距离为2c ，绳长为2a ，当22a c >时，动点M 的轨迹是 ；当22a c =时，动点M 的轨迹是 ；当22a c <时，动点M 的轨迹是 。
（2）、椭圆的定义：把平面内动点M 与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（2a大于 ）的点的轨迹叫做 . 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离（2c ）叫做 .探究任务二：椭圆的标准方程【教材导读】 预习课本P38至P39的内容，并完成下列问题（1）、观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是 对称图形，又是 对称图形。
（2）、怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？①、建系；以 为x 轴， 为y 轴，建立平面直角坐标系，则1F ，2F 的坐标分别为：. ②、设点并写出点集：设M （ ， ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：③、列方程：④、化简方程得：⑤、为使上述方程简单并具有对称美，引入字母 ，令 = a 2 - c 2，则方程可化为（3）、类似的，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 ： ，其中焦点1F ，2F 的坐标为： .（4）点的位置？试一试：根据下列椭圆方程，写出,,a b c 的值，并指出焦点的坐标： （1）221169y x +=； （2） 2212516y x +=； （1）a = ；b = ；c = （2）a = ；b = ；c = 焦点坐标为： 焦点坐标为： 待课堂上与老师和同学探究解决。
椭圆及其标准方程--导学案
阜阳市城郊中学高二数学学案 NO: 姓名：高二数学导学案编制： 代俊俊 审核：课题：椭圆及其标准方程 【学习目标】：1．理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念;2．掌握推导椭圆标准方程的过程;3．掌握并会求一些简单的椭圆的标准方程.【重点难点】重点：椭圆的定义和标准方程；难点：椭圆标准方程的推导．【自学导引】同学阅读教材P61-P62页，举一些生活中给人椭圆形象的一些例子.【探究活动一】 椭圆的定义问题一：动点到两定点的距离之和为定长，将会形成什么样的轨迹曲线？作图过程中，动点是在什么条件下运动的？椭圆的定义：问题二：动点P 到两定点的距离的之和等于21F F ，P 的轨迹是椭圆吗？ 小于21F F 呢？问题三：绳长不变，只改变两定点的距离，椭圆的形状有怎样的变化？学习笔记【探究活动二】椭圆的标准方程思考：直线有方程、圆有方程，那椭圆有没有方程？如何建立坐标系使求出的方程形式最简单？1、回顾推导圆的标准方程的步骤：2、推导椭圆的标准方程：① 建系：（如图1 ）② 设点： 图1③ 列式：④ 化简：⑤证明：我们还可以证明，以这个方程每一组解为坐标的点都在椭圆上.(有兴趣的同学可以阅读P63-P64页小字部分的证明过程.) 由此可得椭圆的标准方程.问题四： ①联系椭圆标准方程的推导过程判断b a ,的大小关系？②联系直线的截距式方程，结合图形判断椭圆在x 轴和y轴上的截距是什么，思考c b a ,,的几何意义？③在建立坐标系时，若以两定点所在直线为y轴，得到的方程又会怎样？④怎样根据标准方程判断焦点的位置？【典例剖析】例1、判断下列椭圆的焦点在x轴还是y轴，并写出焦点坐标?（1）221 2516x y+=（2）221 144169x y+=（3）222211x ym m+=+课堂小结课后练习1、已知椭圆的标准方程为13610022=+y x ①2a = , 2b = , 2c = , a = , b = , c = ,焦点坐标为②如果椭圆上的一点P 到焦点1F 的距离为6，那么点P 到焦点2F 的距离为 思考：如果椭圆的标准方程变为11003622=+y x ，那么上述两个问题的结果会怎样变化呢？2、①已知动点M 到两个定点12,F F 的距离之和为10，且126,F F =那么动点M 的轨迹为 ，其标准方程为 ②已知动点 (,)M x y 的坐标,x y 满足方程则点M 的轨迹为 ，其标准方程为()()10332222=-++++y x y x。
椭圆及其标准方程导学案
2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。
2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。
a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a2<|1F 2F |时，点的轨迹 。
预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。
椭圆及其标准方程导学案
２．２．１椭圆及其标准方程导学案知识点：1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 一、椭圆的定义问题一：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。
动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?圆的定义：平面内____________________________的点的轨迹叫做圆。
问题二：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。
动手操作并观察，笔尖画出的轨迹是什么图形?椭圆定义:平面内__________________________的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1、F 2叫做椭圆的_____，两焦点的距离叫做椭圆的_____。
其中令与定点F 1、F 2距离的和等于常数2a,焦距 ,且2a>2c.问题三：将细绳的两端由问题二中的位置继续拉开一段距离，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖。
动手操作并观察:随着两定点间的距离变大，轨迹怎么变？________________________________ 当绳子拉直时，轨迹是什么？________________________________________________结论：绳长记为2a ，两定点间的距离记为2c . （1）当c=0时，轨迹是________； （2）当2a >2c 时，轨迹是_______； （3）当2a =2c 时，轨迹是 ________.例1．已知定点12,F F ，其中()()124,0,4,0F F -，动点p 满足128PF PF +=，则动点p 的轨迹是（ ）A 椭圆B 圆C 直线D 线段变式. 已知定点12,F F ，其中()()124,0,4,0F F -，动点p 满足1210PF PF +=，则动点p 的轨迹是（ ）A 椭圆B 圆C 直线D 线段二、椭圆的标准方程122F F c =⒈建立平面直角坐标系思考：类比利用圆的对称性建立圆的标准方程的过程，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使的椭圆的标准方程简单？⒉椭圆的标准方程的推导① 当椭圆的焦点在x 轴上时，以经过椭圆的两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy 。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
高中数学椭圆及其标准方程导学案
2.椭圆及其标准方程〔第一课时〕导学案【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；3.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
4.稳固用坐标化的方法求动点轨迹方程。
【重点难点】重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用难点：标准方程的建立与推导【课前探究】阅读并预习教材，找出疑惑之处，完成以下问题1、自制工具，使用拉线法在纸板上演示椭圆定义做出椭圆思考:改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、圆的定义：椭圆的定义：3、类比圆的方程的推导过程，尝试自己推导椭圆的标准方程【课中探究】研讨互动，问题生成1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a 〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。
2、椭圆的标准方程：思考1：根据椭圆的定义，找出椭圆中的等量关系，并用集合表示？思考2：建系设点，推导椭圆的标准方程？以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M〔x , y〕,则F1(-c,0),F2(c,0)，设122MF MF a+=思考3：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜测椭圆的方程有何改变？椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b ab+=>>课中反应练习：1、请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出22,a b 。
〔1〕22110036x y += 〔2〕22136100x y += 〔3〕2213636x y += 〔4〕22110036x y -=请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点：，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。
2.2.1椭圆及其标准方程导学案
2.2.1 椭圆及其标准方程导学案（第一课时）【学习目标】知识目标：掌握椭圆的定义及标准方程，通过对标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法；能力目标：通过实验操作、自我探究、数学思想方法（待定系数法）的运用等，提高分析问题、解决问题的能力；情感目标：充分感受“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学习数学的兴趣，培养勇于探索的精神。
【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【创设问题情境】请同学们举出生活中你遇到的一些椭圆的实例。
【基础预学】请同学们仔细阅读课本P38-P40内容（阅读到第40页思考题结束），要求读完课本后达到如下要求：1、会画出椭圆；2、能够准确给出椭圆的定义；3、能够说出椭圆方程的推导思路，初步掌握椭圆标准方程的推导过程。
【一、小组合作，探究新知】1、 小组成员合作画出椭圆，并说出在画椭圆的过程中移动的笔尖（动点）满足的几何条件 。
2、同学们根据上面的几何条件准确地给出椭圆的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3、对定义的理解：（1）将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”，其他条件不变，动点的轨迹是（2）将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”，其他条件不变，动点的轨迹存在吗？【二、归纳总结，明确新知—椭圆定义 】 1、理解定义：用定义判断下列动点P 的轨迹是否为椭圆？(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
( )(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
( )(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。
( ) 【二、归纳总结，明确新知—椭圆的标准方程】2、椭圆的标准方程及其推导：复习思考：用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么？（1）（2）（3）（4）焦点在x轴上的椭圆的标准方程：请先写出已知条件：推导过程如下：令=-22c a ，可整理得方程)0(12222>>=+b a by a x ①由曲线与方程的关系可知，方程 ① 为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，两个焦点坐标分别是 ，其中c b a ,,观察右图，你能从中找出表示22,,c a c a - a = ； c = ；22c a -=【探究与创新】探究一：如何得出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？焦点在y 轴上的椭圆的标准方程 ，两个焦点坐标分别是 ，其中c b a ,,满足的关系式为 。
椭圆及其标准方程(第一课时)导学案
课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
（2）了解圆锥曲线的初步应用。
编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。
【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。
通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。
从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。
【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。
5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。
但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。
高中数学《椭圆及其标准方程》教案（精选7篇）
高中数学《椭圆及其标准方程》教案作为一名专为他人授业解惑的人民教师，就难以避免地要准备教案，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
教案要怎么写呢？下面是小编精心整理的高中数学《椭圆及其标准方程》教案，欢迎阅读与收藏。
高中数学《椭圆及其标准方程》教案篇1一、教材分析1、教材的地位及作用圆锥曲线是高考重点考查内容。
“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线与方程》第一节内容,是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式；所以，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
2、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。
（2）、能力目标：让学生通过自我探究、合作学习等，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。
（3）、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数与形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于钻研的精神。
3、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
在学习本课前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，对坐标法解决几何问题掌握还不够。
另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。
据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。
高中数学《椭圆及标准方程》导学案 (2)
第二章 圆锥曲线与方程2.1.1 椭圆及其标准方程一、学习目标1. 掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程，了解椭圆的实际背景。
2.会求椭圆的标准方程并能解决有关问题。
3.了解椭圆中参数a,b,c 的意义及相互关系.【重点、难点】椭圆的定义；椭圆的标准方程。
二、学习过程【情景创设】取一条定长的细绳,把它的两端分别固定在图板的两个不同点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖(动点)画出的轨迹是什么曲线?【导入新课】1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的________等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．【归纳】（1）当常数2a 等于|F 1F 2|时轨迹为____________;(2)当常数2a 小于|F 1F 2|时，轨迹__________．2．椭圆的标准方程：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1（ a>b>0）表示焦点在x 轴上的椭圆；方程y 2a 2＋x 2b 2＝1（ a>b>0）表示焦点在y 轴上的椭圆。
【归纳】焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．【典型例题】例1：如果椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)和F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，那么椭圆的方程是( )A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216＋y 212＝1 C ．x 24＋y 23＝1 D ．x 23＋y 24＝1例2：椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________ ______；∠F 1PF 2的大小为__________ ________.【变式拓展】1.已知椭圆+=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( )A.2B.4C.8D. 2.设P 是椭圆+=1上一点,F 1,F 2是椭圆的焦点,若∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积.三、总结反思求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法．无论何种方法都应做到：①先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A ≠B))，避免讨论；②后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数．四、随堂检测1．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( )．A．椭圆B．圆C．直线D．线段2．若P是以F1，F2为焦点的椭圆22=1259x y+上一点，则三角形PF1F2的周长等于()．A．16 B．18 C．20 D．不确定3．已知方程22=1259x ym m+-+表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()．A．－9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞84．已知F1，F2为椭圆22=1259x y+的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝__________．。
椭圆标准方程的教案6篇
椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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椭圆及其标准方程 导学案
全国名校学案，高二数学，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解）1高二数学选修 2-1 §2.2.1《椭圆及其标准方程》导学案一、学习任务：1．理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程，和一些几何性质。
培养解析法的思想。
2．椭圆的定义和标准方程。
二、探究新知：（学习情景，自主学习，合作探究，（问题1,2,3）当堂检查，巩固训练，拓展延伸，对点训练，感受高考等） 自主学习：（一）、学习情景: 已知两定点F 1F 2距离为6,求动点M 到两定点距离的和为10的轨迹方程.（二）、 问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆？问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。
两个定点的距离用______表示。
常数用______表示 问题4：椭圆的定义为什么要满足2a >2c 呢？(1)当2a >∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (2)当2a =∣F 1F 2∣时，轨迹是_____ (3)当2a <∣F 1F 2∣时轨迹是. _____对点训练: 动点P 到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）线段F 1F 2 （C ）直线F 1F 2 （D ）不能确定。
问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴? (三)、当堂检查根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ；(2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c . 书本课后练习1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____. 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上；(2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.（3）a +b =10，c =25 (四)、合作、探究、展示：例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程. 变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.规律方法总结例2、 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD的中点M 的轨迹方程例3、如图，设A ，B 的坐标分别为()10,0-，()10,0．直线AM，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．三、 本节小结和感悟思考：1若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是？2 方程 √x 2 + (y+3)2 + √x 2 + (y-3)2 = 10表示曲线为 。
椭圆及其标准方程导学案
课题：3.1.1椭圆及其标准方程(第1课时)来宾高级中学 执教教师：陈桢【三导：课前阅读案】一、学习目标导航1. 了解椭圆的形成过程，理解椭圆、焦点、焦距的定义2. 掌握椭圆标准方程的推导过程3. 会求椭圆的标准方程 二、背景知识推送1.圆的定义及圆的标准方程2.两点间的距离公式3.三角形三边关系 三、知识要点与方法1.椭圆的定义：我们把平面内两个定点12F F 、的距离之和等于 （大于|F 1F 2|）的点的集合叫做椭圆。
定点12,F F 称为椭圆的 ， 12F F 、间的距离12F F 称为 。
2.【三练：课前、中、后检测训练案】 【一练：课前检测训练案】1.已知(3,0),(3,0)A B -，点M 到,A B 两点的距离为10，则M 的轨迹是（ ）.A 椭圆 .B 线段AB .C 圆 .D 不存在2.已知(3,0),(3,0)A B -，点M 到,A B 两点的距离为6，则M 的轨迹是（ ）.A 椭圆 .B 线段AB .C 圆 .D 不存在3.已知(3,0),(3,0)A B -，点M 到,A B 两点的距离为5，则M 的轨迹是（ ）.A 椭圆 .B 线段AB .C 圆 .D 不存在【二练：课中活动探究案】[动手探究]取一条一定长度的细绳，把它的两端都固定在绘图纸上同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 。
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在绘图纸上两个定点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 小组合作探究绘图纸上的三个问题：1. 笔尖视为点P ，绳两端分别固定于点12,F F 处， 满足什么条件，其轨迹为椭圆？2. 点12,F F 间的距离恰等于绳长，画出的图形还是椭圆吗？3. 绳长能小于点12,F F 间的距离吗？观察后思考：移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数。
复习圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
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2.2.1 椭圆及其标准方程
【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用
红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。
2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆
的标准方程。
【学习重、难点】
学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．
【预习案】
预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题）
1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什
么曲线
在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹
是
将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨
迹存在吗？
结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。
a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ；
a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ；
a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。
预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）
结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【探究案】
探究一、椭圆定义的应用
设P 是椭圆11625
2
2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）
A.10
B.8
C.5
D.4
（解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。
）
解：椭圆中=2a ，a 2= 。
由椭圆的定义知21PF PF += = 。
变式训练：
椭圆19
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）
A.5
B.6
C.4
D.10
探究二、求适合下列条件的椭圆的标准方程。
（1）两个焦点坐标分别是（－4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；
（2）焦点在y 轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）。
（解法指导：判断焦点在哪个坐标轴上，设椭圆的标准方程，依据已知条件列方程，解方程得出a 与b ，带回所设的椭圆的标准方程。
）
解：
（1）椭圆焦点坐标为 ，
可设椭圆的标准方程为 （ ），且=c ，
所以，椭圆的方程变成了 ，代入点（5，0），得 。
则=2a ，=2b = 。
因此，椭圆的标准方程 。
（2）焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为 ，
把点（0，2）和（1，0）分别代入椭圆方程，得 ， ， 即=2a ，=2b ，
所求椭圆的标准方程为 。
变式训练：
椭圆两个焦点坐标分别为（－3，0）和（3，0），且椭圆经过点（5，0）；求这个椭圆的标准方程。
【检测案】
我的收获：
你在这堂课上学到了什么？
1.
2.。