有效值 平均值和平均功率

②对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各 谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相于短路。）
③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
返回 上页 下页
2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
100 A
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率： 2π 2 3.14 10 6 rad/s
T 6.28 106
返回 上页 下页
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5μA is1 100sin106t μA
is 3
iS
R
Cu
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS
Im 2
2Im π
(sin t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
t
0 T/2 T
代入已知数据： Im 157μA, T 6.28μs
返回 上页 下页
直流分量：
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 3.14
cos
k1t
k
2
dt
返回 上页 下页
I
1
T
T 0
I
0
k 1
I km
cos
k1t
k
2
dt
1
T
T 0
I 02dt
I2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k )dt
1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t
k
)d(1t )
I
2 km
2
I
2 k
1T T 0 2I 0 I km
设：
4.166 89.53mV 2
百度文库
208.3 89.53 2
返回 上页 下页
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
U3
12.47 2
89.2
mV
U1
5000 2
00 mV
U5
4.166 2
89.53mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000sint 12.47sin(3t 89.2 ) 4.166sin(5t 89.53 ) mV
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I 0 I km cos(k1t k ) k 1
其平均值为：
1T
I av T
i(t) dt
0
正弦量的平均值为：
1
I av T
T 0
Im
cos(1t) dt
4I m T
T
4 0
cos(1t
)dt
4Im T
T
sin(1t) 4
0
0.898I
Ik
I km 2
cos(k1t k )dt
0
1 T
T
0
2 I km
cos(kt
k
k )Iqm
q
cos(qt
q
)dt
0
返回 上页 下页
I
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
2 0
I
2 k
k 1
I
I2 0
I2 1
I2 2
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分
量有效值平方和的方根。
返回 上页 下页
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0
π
sin
ktd
(t
)
0
2
0
π
cos
ktd(t
)
0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数
2
0
π
sin
2
ktd(t
)
π
2
0
π
cos2ktd(t
)
π
返回 上页 下页
③三角函数的正交性
2π
0
cos
(k uk ik )
Uk
U km 2
, Ik
I km 2
返回 上页 下页
P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
返回 上页 下页
13.4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号；
1
1
1kΩ
1C 106 1000 1012
iS1
R
Cu
1L 106 103 1kΩ
L
XL>>R
Z (1)
(R R
jX L ) ( jX C ) j( X L X C )
50kΩ
U1
I1
Z
(1）
100 106 2
5000
5000 2
00
mV
返回 上页 下页
(c)三次谐波作用
is 3
100 sin 3 106t 3
返回 上页 下页
(d)五次谐波作用
is 5
100 5
sin
5 106t
μA
1
1
0.2k
51C 5 106 1000 1012
iS 5
R
Cu
51L 5 106 103 5kΩ
L
Z
(51 )
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U5 Is5 Z (51) 20 106
kt
sin
ptd(t)
0
2
0
π
cos
kt
cos
ptd(t
)
0
2π
0
sin
kt
sin
ptd(t)
0
k p
返回 上页 下页
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I 0 I km cos(k1t k ) k 1
则有效值:
I 1 T i 2 tdt
T0
1 T
T 0
I
0
k 1
I km
返回 上页 下页
例2
iR
uS = [10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t)
+28.28 cos(51t)+20.20 cos(71t)
uS
+15.71 cos(91t) + ] V, 试求 i 和P。
3
C j9.45
解：分析步骤
①分解；已是级数形式。
返回 上页 下页
4.非正弦周期交流电路的平均功率
u(t) U 0 U km cos(k1t uk )
k 1
i(t) I 0 I km cos(k1t ik )
k 1
P
1 T
T
0
u
idt
利用三角函数的正交性得：
P U0I0 Uk Ik cosk k 1
P0 P1 P2 ......
100 3
sin
3
106 t
μA
is 5
100 5
sin 5 106t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
返回 上页 下页
（b)基波作用 is1 100sin106t μA
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)
374.5
89.190
U3
IS 3
Z
(31 )
33.3
106 2
374.5
89.190
12.47 89.20 mV 2