有效值 平均值和平均功率
29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数： 可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为： 代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。 绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测 对于同一非正弦周期电流， 量时，会得到不同的结果。例如： 量时，会得到不同的结果。例如： 用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流 用磁电系仪表（直流仪表）测量， 的恒定分量； 的恒定分量； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值； 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值， 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。 因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适 因此，在测量非正弦周期电流和电压时， 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。 的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值,平均值和平均功率,非正弦周期电流电路的计算
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波 分量的代数和。
10
例 周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)
I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0
1 T
T 0
iS
(t )
dt
1 T
T /2
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱 各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
Um V
5 10
10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
电子示波器内的水平扫描电压锯齿波自动控制计算机等领域的脉冲电路中的脉冲信号和方波信号脉冲电流方波电压非正弦周期电路的分析把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号称为非正弦周期信号的各次谐波
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数 §13-3 有效值、平均值和平均功率 §13-4 非正弦周期电流电路的计算
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)
交流电的有效值和平均值定义与计算
交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
30第三十讲 拉普拉斯变换的定义和基本性质
设：L[ f ( t )] = F ( S )
L[e −αt f ( t )] = F ( S + α )
例１４－５ １４－
证： L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = e − st0 F ( s )
L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = ∫ f (t − t0 )ε (t − t0 )e − st dt
= F1 ( S ) F2 ( S )
证明
证： L[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] =
∫
∞
0
∫
t
t f (t − ξ ) f (ξ )dξ dt e ∫ 1 2 0
频域导数性质
L[ f (t )] = F ( s)
L[ f / (t )] = sF ( s ) − f (0 − )
设：L[ f ( t )] = F ( S )
dF ( S ) L[− t f ( t )] = dS
证明
例１４－３ １４－
证： L f / (t ) = SF (S ) − f (0 − ) 设： u = e − st
第十四章 线性动态 电路的复频域分析
§１４－１ 拉普拉斯变换的定义 １４－ §１４－２ 拉普拉斯变换的基本性质 １４－ 重点： 重点： 拉普拉斯变换； １、拉普拉斯变换； 拉普拉斯反变换； ２、拉普拉斯反变换； ３、拉普拉斯变换的基本性质。 拉普拉斯变换的基本性质。
一、知识回顾
１、有效值、平均值和平均功率 有效值、 ２、谐波分析法 １３－ ３、作业讲解：Ｐ341 １３－６ 作业讲解：
f (t ) = ε (t )
F ( s ) = L[ f (t )] = ∫ ε (t )e dt = ∫ e − st dt
电流有效值和平均值
电流有效值和平均值电流是电荷在电路中流动时所带电荷的量度。
在电路中，我们常常会提到电流的有效值和平均值，这两个概念对于理解电流的性质和应用非常重要。
电流的有效值是指交流电流中等效于相同功率的直流电流值。
在交流电路中，电流的大小是随时间变化的，通过对电流的波形进行采样和计算，可以得到电流的有效值。
有效值的计算方法是将电流的每个采样点的平方值求平均后再开平方根。
这是因为交流电流的波形是正弦波形，它的平方和的平均值等于平方根的平方。
在电路设计和分析中，有效值常常用来计算电流通过电阻、电容或者电感时的功率损耗。
例如，在家庭用电中，我们常常使用交流电，而电器的功率通常是以有效值来标识的。
通过使用有效值，我们可以更准确地计算电器的功耗，并且可以更好地设计电路以满足功率要求。
另一方面，电流的平均值是指电流波形在一个周期内的平均值。
对于直流电流来说，平均值等于电流的值。
但对于交流电流来说，由于其波形的周期性变化，平均值并不等于电流的值。
交流电流的平均值计算方法是将电流波形在一个周期内的面积除以周期的长度。
平均值在某些特定情况下非常有用。
例如，在交流电路中，平均值可以用于计算电压和电流的相位差。
此外，平均值也可以用来计算电路中的功率因数，即有用功与视在功的比值。
功率因数对于电路的效率和运行稳定性非常重要。
总结起来，电流的有效值和平均值是电流波形的两个重要的量度。
有效值用于计算功率损耗和电器功耗，平均值用于计算相位差和功率因数。
通过准确理解和应用这两个概念，我们可以更好地设计和分析电路，提高电路的效率和稳定性。
对于电流的研究和应用，这两个概念是不可或缺的。
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
交流电的有效值和平均值定义和计算
交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间内，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期内的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期内交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期内的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
k
)
其中:
A
0
： 恒定分量 (直流分量)
： 一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、 频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1
(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A
sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A
(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、 付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T
k
cke
jk 1 t
T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、 说明：
因为： 且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P
k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k
交流电的有效值和平均值定义及计算
交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间内，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期内的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期内交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期内的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。
有效值平均值和平均功率
1
T
4 102 dt =5A
T0
平均值为
I av
1 T
T
| i | dt
0
10*T/4
=
=2.5A
T
三、正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率 任意一端口的瞬时功率（吸收）定义为
p ui
U 0
U km
k 1
cos(k1t
ku
)
I
0
k 1
I km
cos(k1t
k
)
式中u、i取关联方向。
2、平均功率的定义
使用时，直接删除本页！
u 10 20cos(30t 27) 30sin(60t 11) 40sin(120t 15)V i 2 3cos(30t 33) 4sin(90t 52) 5sin(120t 15)A
平均功率
× P = 10×2 + 20×3 + 30×4 +40×5
× P = 10×2 + 20×3cos60° + 30×4cos41°+ 40×5cos30 °
=2Im/π =0.637Im =0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各 个值变为对应的正值。
i Im
Iav
O
ωt
3、不同的测量结果
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表 进行测量时，会有不同的结果。
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将 是电流的恒定分量；
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
此结论可推广用于其他非正弦周期量。
二、非正弦周期量的平均值
交流电的有效值和平均值定义及其计算
交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间内，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期内的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期内交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期内的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。
13.3 有效值、平均值和平均功率
一、非正弦周期量的有效值
1、有效值的定义
1 T 2 I i dt T 0
2、有效值与各次谐波有效值之间的关系 假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i I 0 I km cos( k1t k )
k 1
则得电流的有效值为
例：计算有效值和平均值
i(A)
10
O T/4
T
T 4 0
t
解：有效值为
1 2 =5A I= 10 dt T
10*T/4 T =2.5A
平均值为 I0 =
三、非正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率 任意一端口的瞬时功率（吸收）为
p ui U 0 U km cos( k1t ku ) k 1 I 0 I km cos( k1t k ) k 1
式中u、i取关联方向。
2、平均功率
P U 0 I 0 U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐 波平均功率的代数和。
已知一端口的电压和电流，求 电压和电流的有效值和一端口 的平均功率。
1 T I I 0 I km cos( k1t k ) dt T 0 k 1
2
有效值与各次谐波有效值之间的关系Hale Waihona Puke I I I I I
2 0 2 1 2 2 2 3
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。 此结论可推广用于其他非正弦周期量。
i
+ u -
邱关源《电路》笔记及课后习题(非正弦周期电流电路和信号的频谱)【圣才出品】
第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱13.1 复习笔记一、非正弦周期函数的傅里叶分解1．周期函数分解为傅里叶级数设周期函数f（t）＝f（t＋kT）（k＝0，1，2…），T为周期。
若给定的f（t）满足狄里赫利条件，那么它就能展开成一个收敛的傅里叶级数，其数学表达式为其中，各个参数的表达式如下A0＝a0φk＝arctan（－b k/a k）2．周期函数的谐波定性分析定性判断周期函数存在哪些谐波成分，然后具体计算各次谐波的幅值与相位。
（1）f（t）为奇函数，即f（t）＝－f（－t），f（t）的展开式中只能含有奇函数，即（2）f（t）为偶函数，即f（t）＝f（－t），f（t）的展开式中只含有偶函数，即（3）f（t）为奇谐波函数，即f（t）＝－f（t±T/2），f（t）的展开式中只含奇次谐波，即（4）f（t）为偶谐波函数，即f（t）＝f（t±T/2），f（t）的展开式中只含直流分量和偶次谐波，即二、有效值、平均值和平均功率1．非正弦周期电流电路的有效值和平均值设非正弦周期电流其有效值、平均值的计算方法如表13-1-1所示。
表13-1-1注：①非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值；②正弦量平均值I av＝0.898I。
2．非正弦周期电流电路的功率计算（1）非正弦周期电流电路的瞬时功率为（2）非正弦周期电流电路的平均功率为其中，φk＝φuk－φik，k＝1，2…。
即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。
（3）非正弦周期电流电路的视在功率：S＝UI。
三、非正弦周期电流电路的计算在非正弦周期激励电压、电流或外施信号作用下，分析和计算线性电路的方法，主要利用傅里叶级数展开法——谐波分析法。
计算步骤：（1）把已知的非正弦周期电压u（t）或电流i（t）展开成傅里叶级数，高次谐波取到哪一项，要根据所需准确度的高低而定；（2）应用叠加定理对直流分量和各次谐波分量单独作用计算；（3）将第二步所得结果在时域中进行叠加，即得最后所需要的结果。
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正 弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率； 电路的平均功率不 变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根 值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流 为i(t) 例，其有效值 为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例 试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、 平均值、平均功率
直流脉冲电流的平均值与有效值的关系-概述说明以及解释
直流脉冲电流的平均值与有效值的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述直流脉冲电流是一种特殊的电流波形，它由直流电流和脉冲电流组合而成。
直流电流是指电流在一段时间内保持不变的电流，而脉冲电流则是指电流在一段时间内以瞬时高电流或低电流的形式出现。
直流脉冲电流的平均值与有效值的关系在电力工程、电子技术和通信领域中具有重要的意义。
平均值是指在一个周期内电流的总和除以周期的长度，而有效值则是指一个周期内电流的平方和再取平均值后开平方根得到的值。
平均值和有效值是描述电流大小的两个重要指标。
本文将深入探讨直流脉冲电流平均值与有效值之间的关系，包括其定义、概念和计算方法。
通过对这些内容的研究，我们将能够更好地理解和应用直流脉冲电流的特性。
在正文部分，我们将首先对直流脉冲电流进行定义，并介绍平均值和有效值的概念。
随后，我们将详细讨论平均值和有效值的计算方法，并解释它们之间的数学关系。
结论部分将总结我们的研究结果，并探讨平均值和有效值的关系对于实际应用的意义。
我们还将介绍一些应用场景，说明在不同领域中如何利用平均值和有效值来解决实际问题。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解直流脉冲电流的平均值与有效值的关系，并在实际应用中灵活运用这些知识。
无论是从事电力工程、电子技术还是通信领域的专业人士，都将受益于本文所提供的理论和实践指导。
1.2文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构，包括引言、正文和结论三个部分。
通过明确文章的结构，读者可以更好地理解和阅读文章的内容。
在引言部分，我们将对该主题进行概述，介绍直流脉冲电流的基本定义和特点。
接着，我们会对文章的结构进行说明，包括正文部分的各个小节内容和目的。
正文部分是文章的核心内容，将详细探讨直流脉冲电流的平均值与有效值之间的关系。
我们首先会给出直流脉冲电流的定义，包括其产生原理和应用领域。
然后，我们会介绍平均值和有效值的概念，同时解释它们之间的区别和联系。
最后，我们会详细讲解平均值和有效值的计算方法，包括数学公式和实际操作步骤。
电工基础第八章 非正弦周期电流电路
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节 非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。 其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect
1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率） 根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)
a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节 非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节 非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的
13.3 有效值、平均值和平均功率
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2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
R C
u
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS
Im 2
2Im π
(sin t
1 sin 3t
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31)
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)
374.5
89.190
U3
IS 3
Z
(31 )
33.3
sin
5
106 t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
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（b)基波作用 is1 100sin106t μA
1
1
1kΩ
1C 106 1000 1012
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k
)dt
1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t
电路原理电压的有效值 峰峰值 与平均值
电路原理中的电压在电路原理中，电压是指电路中电荷运动所产生的电势差。
它是衡量电路中电子流动的力量大小的物理量。
在电路中，电压通常用符号”V”表示，单位是伏特（V）。
有效值在电路中，电压的有效值（也称为RMS值）是指交流电压的平方平均值的开平方。
它是衡量交流电压大小的一个重要参数。
有效值可以用来比较不同电压波形的大小，并且在电路分析和设计中有广泛应用。
对于一个正弦波形的电压，其有效值可以通过以下公式计算：V rms=V √2其中，V r ms表示有效值，V peak表示峰值电压。
有效值的概念源于热力学中的平均功率定理。
根据平均功率定理，电阻中消耗的功率与电压的平方成正比。
因此，有效值可以看作是产生相同平均功率的直流电压。
有效值在电路分析中的应用非常广泛。
例如，在计算电路中电阻的功率消耗时，可以使用有效值。
此外，电器设备的额定电压通常指的是交流电压的有效值。
峰峰值峰峰值是指交流电压波形的最大正值与最大负值之间的差值。
它表示了交流电压波形的振幅大小。
对于一个正弦波形的电压，其峰峰值可以通过以下公式计算：V p p=2⋅V peak其中，V p p表示峰峰值，V peak表示峰值电压。
峰峰值常用于描述交流电压波形的振幅大小。
例如，在音频设备中，峰峰值可以用来衡量音频信号的幅度范围，从而确定设备的动态范围。
平均值在电路中，电压的平均值是指电压波形在一个完整周期内的平均值。
它是衡量电压波形的直流分量的一个重要参数。
对于一个正弦波形的电压，其平均值为零。
因为正弦波形的上半周期与下半周期的面积相等，所以它们的平均值相互抵消，结果为零。
然而，对于非对称的波形，平均值将不为零。
例如，对于一个矩形波形的电压，其平均值等于其占空比乘以峰值电压。
平均值在电路分析和设计中也有广泛应用。
例如，在直流电源的设计中，需要使用平均值来确定输出电压的稳定性。
总结在电路原理中，电压的有效值、峰峰值和平均值是描述交流电压波形特征的重要参数。
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kt
sin
ptd(t)
0
2
0
π
cos
kt
cos
ptd(t
)
0
2π
0
sin
kt
sin
ptd(t)
0
k p
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2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I 0 I km cos(k1t k ) k 1
则有效值:
I 1 T i 2 tdtT0Fra bibliotek1 T
T 0
I
0
k 1
I km
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 2
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(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
U3
12.47 2
89.2
mV
U1
5000 2
00 mV
U5
4.166 2
89.53mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000sint 12.47sin(3t 89.2 ) 4.166sin(5t 89.53 ) mV
②对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各 谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相于短路。）
③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
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2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
(k uk ik )
Uk
U km 2
, Ik
I km 2
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P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
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13.4 非正弦周期电流电路的计算
1. 计算步骤
①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若 干种频率的谐波信号；
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)
374.5
89.190
U3
IS 3
Z
(31 )
33.3
106 2
374.5
89.190
12.47 89.20 mV 2
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4.非正弦周期交流电路的平均功率
u(t) U 0 U km cos(k1t uk )
k 1
i(t) I 0 I km cos(k1t ik )
k 1
P
1 T
T
0
u
idt
利用三角函数的正交性得：
P U0I0 Uk Ik cosk k 1
P0 P1 P2 ......
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I 0 I km cos(k1t k ) k 1
其平均值为：
1T
I av T
i(t) dt
0
正弦量的平均值为：
1
I av T
T 0
Im
cos(1t) dt
4I m T
T
4 0
cos(1t
)dt
4Im T
T
sin(1t) 4
0
0.898I
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(d)五次谐波作用
is 5
100 5
sin
5 106t
μA
1
1
0.2k
51C 5 106 1000 1012
iS 5
R
Cu
51L 5 106 103 5kΩ
L
Z
(51 )
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U5 Is5 Z (51) 20 106
100 3
sin
3
106 t
μA
is 5
100 5
sin 5 106t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
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（b)基波作用 is1 100sin106t μA
Ik
I km 2
cos(k1t k )dt
0
1 T
T
0
2 I km
cos(kt
k
k )Iqm
q
cos(qt
q
)dt
0
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I
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
2 0
I
2 k
k 1
I
I2 0
I2 1
I2 2
结论 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分
量有效值平方和的方根。
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1
1
1kΩ
1C 106 1000 1012
iS1
R
Cu
1L 106 103 1kΩ
L
XL>>R
Z (1)
(R R
jX L ) ( jX C ) j( X L X C )
50kΩ
U1
I1
Z
(1）
100 106 2
5000
5000 2
00
mV
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(c)三次谐波作用
is 3
100 sin 3 106t 3
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例2
iR
uS = [10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t)
+28.28 cos(51t)+20.20 cos(71t)
uS
+15.71 cos(91t) + ] V, 试求 i 和P。
3
C j9.45
解：分析步骤
①分解；已是级数形式。
cos
k1t
k
2
dt
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I
1
T
T 0
I
0
k 1
I km
cos
k1t
k
2
dt
1
T
T 0
I 02dt
I2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t
k )dt
1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t
k
)d(1t )
I
2 km
2
I
2 k
1T T 0 2I 0 I km
设：
100 A
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率： 2π 2 3.14 10 6 rad/s
T 6.28 106
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电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5μA is1 100sin106t μA
is 3
iS
R
Cu
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS
Im 2
2Im π
(sin t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
t
0 T/2 T
代入已知数据： Im 157μA, T 6.28μs
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直流分量：
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 3.14
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0
π
sin
ktd
(t
)
0
2
0
π
cos
ktd(t
)
0
② sin2、cos2 在一个周期内的积分为。 k整数
2
0
π
sin
2
ktd(t
)
π
2
0
π
cos2ktd(t
)
π
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③三角函数的正交性
2π
0
cos