4-矩阵乘法的概念与性质
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例3: 已知单位矩阵E和零矩阵O，对任意二 阶矩阵A，证明恒有下列等式： EA=AE=A，OA=AO=O
回顾小结
1、二阶矩阵乘法满足结合律但不满足 交换律、消去律； 2、一些特殊的交换之间也可能满足交换律, 如旋转变换复合，伸压变换复合。
试计算：AB, BA
数学运用
1 0 例1 （3）已知A= 0 0
1 0 1 0 B= C= 0 2 0 1
试计算：AB，AC
说明： （1）矩阵A，B都是非零矩阵但它们的乘积可能 是零矩阵； （2）对于矩阵A，B不一定有AB=BA； （3）对于矩阵A，B，C虽有AB=AC，但不一定 有B=C
源自文库
数学运用
例1
1 2 （1）已知A= 1 2 1 2 1 2
B=
1 1 2 2 1 1 2 2
试计算：AB，A2
数学运用
1 0 例1 （2）已知A= 0 2
1 4 B= 2 3
数学运用
例2: 已知梯形ABCD, A(0, 0), B(3, 0),C(2, 2), D(1, 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将 0 90 所得图形绕原点逆时针旋转 . （1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M； （2）求点A, B, C, D在 TM作用下所得到的结果； （3）在平面直角坐标系内画出两次变换对应 的几何图形，并验证(2)中的结论。
0 1 D(0, 1)变换T1对应矩阵为M＝ ,变换T2 1 0 1 0 对应矩阵为N＝ , 对应的变换, 计算MN, 0 0.5
NM, 比较它们是否相同, 并从几何变换的角度 解释。
建构数学
矩阵乘法的运算律： （1）矩阵乘法不满足交换律： 对于二阶矩阵A, B, 尽管AB, BA均有意义但 一般AB BA。在适当时候,有些特殊几何 变换(如两次连续旋转变换)满足交换律. （2）矩阵乘法满足结合律： (AB)C＝A(BC) （3）矩阵乘法不满足消去律: AB＝AC B＝ C
矩阵乘法的概念
问题情境
问题 生活实例 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手 初、复赛成绩如下：
初 赛 甲 80 乙 86 复 赛 90 88
80 90 86 88
问题情境
如果规定综合成绩按如下方法裁定，其中期中占 40%，期末占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩 阵的形式表示
a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a b a b a b a b 21 11 22 21 21 12 22 22
2. 矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法MN的几何意义对向量连续实施的两次 几何变换(先TN, 后TM)的复合变换.
80 90 0.4 80 0.4 90 0.6 86 86 88 0.6 86 0.4 88 0.6 87.2
建构数学
1、矩阵乘法法则:
a11 a12 b11 b12 = a a b b 22 21 21 22
数学运用
1 0 0 0
例2:已知：A=
1 0 1 0 , B＝ ，C＝ 0 1 0 1
计算AB，AC。 说明：此题说明矩阵乘法不满足消去律。 虽然有AB=AC，但 B C 思考：在什么条件下矩阵的乘法可以满足 消去律？
数学运用
数学运用
例1 已知梯形ABCD, A0,0, B3,0, C 2,2, D1,2
1 0 变换 T1 对应的矩阵 P 0 2 , 变换 T2 对应的 2 0 矩阵 Q ,计算PQ, QP, 比较它们是否相 0 1
同, 并从几何变换的角度予以解释。 思考：在什么条件下矩阵的乘法可以满足 交换律？（即二阶矩阵P, Q使得PQ=QP） 时有什么共同特征？
建构数学
3. n次变换的表示方式——Mn 当连续对向量实施n ( n N )次变换 TM 时记为
Mn M M M
n个 M
4．初等变换及初等变换矩阵 初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变 换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一 次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫 做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。
数学运用
cos - sin cos sin 例3: 已知A= ，B= ， sin cos sin cos
试求AB, 并对其几何意义给予解释。
矩阵乘法的简单性质
问题情境
问题1 已知正方形ABCD, A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1),
回顾小结
1、二阶矩阵乘法满足结合律但不满足 交换律、消去律； 2、一些特殊的交换之间也可能满足交换律, 如旋转变换复合，伸压变换复合。
试计算：AB, BA
数学运用
1 0 例1 （3）已知A= 0 0
1 0 1 0 B= C= 0 2 0 1
试计算：AB，AC
说明： （1）矩阵A，B都是非零矩阵但它们的乘积可能 是零矩阵； （2）对于矩阵A，B不一定有AB=BA； （3）对于矩阵A，B，C虽有AB=AC，但不一定 有B=C
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数学运用
例1
1 2 （1）已知A= 1 2 1 2 1 2
B=
1 1 2 2 1 1 2 2
试计算：AB，A2
数学运用
1 0 例1 （2）已知A= 0 2
1 4 B= 2 3
数学运用
例2: 已知梯形ABCD, A(0, 0), B(3, 0),C(2, 2), D(1, 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将 0 90 所得图形绕原点逆时针旋转 . （1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M； （2）求点A, B, C, D在 TM作用下所得到的结果； （3）在平面直角坐标系内画出两次变换对应 的几何图形，并验证(2)中的结论。
0 1 D(0, 1)变换T1对应矩阵为M＝ ,变换T2 1 0 1 0 对应矩阵为N＝ , 对应的变换, 计算MN, 0 0.5
NM, 比较它们是否相同, 并从几何变换的角度 解释。
建构数学
矩阵乘法的运算律： （1）矩阵乘法不满足交换律： 对于二阶矩阵A, B, 尽管AB, BA均有意义但 一般AB BA。在适当时候,有些特殊几何 变换(如两次连续旋转变换)满足交换律. （2）矩阵乘法满足结合律： (AB)C＝A(BC) （3）矩阵乘法不满足消去律: AB＝AC B＝ C
矩阵乘法的概念
问题情境
问题 生活实例 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手 初、复赛成绩如下：
初 赛 甲 80 乙 86 复 赛 90 88
80 90 86 88
问题情境
如果规定综合成绩按如下方法裁定，其中期中占 40%，期末占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩 阵的形式表示
a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a b a b a b a b 21 11 22 21 21 12 22 22
2. 矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法MN的几何意义对向量连续实施的两次 几何变换(先TN, 后TM)的复合变换.
80 90 0.4 80 0.4 90 0.6 86 86 88 0.6 86 0.4 88 0.6 87.2
建构数学
1、矩阵乘法法则:
a11 a12 b11 b12 = a a b b 22 21 21 22
数学运用
1 0 0 0
例2:已知：A=
1 0 1 0 , B＝ ，C＝ 0 1 0 1
计算AB，AC。 说明：此题说明矩阵乘法不满足消去律。 虽然有AB=AC，但 B C 思考：在什么条件下矩阵的乘法可以满足 消去律？
数学运用
数学运用
例1 已知梯形ABCD, A0,0, B3,0, C 2,2, D1,2
1 0 变换 T1 对应的矩阵 P 0 2 , 变换 T2 对应的 2 0 矩阵 Q ,计算PQ, QP, 比较它们是否相 0 1
同, 并从几何变换的角度予以解释。 思考：在什么条件下矩阵的乘法可以满足 交换律？（即二阶矩阵P, Q使得PQ=QP） 时有什么共同特征？
建构数学
3. n次变换的表示方式——Mn 当连续对向量实施n ( n N )次变换 TM 时记为
Mn M M M
n个 M
4．初等变换及初等变换矩阵 初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变 换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一 次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫 做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。
数学运用
cos - sin cos sin 例3: 已知A= ，B= ， sin cos sin cos
试求AB, 并对其几何意义给予解释。
矩阵乘法的简单性质
问题情境
问题1 已知正方形ABCD, A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1),