4-矩阵乘法的概念与性质
矩阵乘法的性质
������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3
1 0
3 1
=
1 0
6 1
下面考察二阶矩阵的乘法是否满足交换律。我们从某些具体的
二阶矩阵所对应的线性变换对平面图形的作用效果入手，
1
例如：矩阵 2
0 确定的伸缩变换
01
β：
x‘ ������′
1
=2 0
0 1
x ������
矩阵
0 1
−1 0
确定的是旋转变换
������900
:
x‘ ������′
A=
������1 ������1
������1 ������1
B=
������2 ������2
������2 ������2
C=
������3 ������3
������3 ������3
一方面
AB
=
������1 ������1
������1 ������1
������2 ������2
=
������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3
矩阵相乘法则
矩阵相乘法则矩阵相乘法则是线性代数中的重要内容。
它描述了如何将两个矩阵相乘，并且提供了一些非常有用的解决问题的方法。
在本文中，我们将介绍矩阵相乘法则的各个方面。
1. 矩阵的乘法矩阵的乘法是线性代数中一个基本概念。
如果有两个矩阵$A$和$B$，它们可以相乘当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
如果$A$是$m×n$的矩阵，$B$是$n×p$的矩阵，那么它们的乘积为 $C=AB$，结果矩阵$C$是$m×p$的矩阵。
在矩阵$C$中，元素$c_{ij}$的值是矩阵$A$的第$i$行和矩阵$B$的第$j$列的乘积之和，即：$${\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}$$以下是矩阵乘法的一个例子：$${\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & 8\\9 & 10\\11 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58 & 64\\139 & 154\end{pmatrix}}$$2. 矩阵相乘的性质矩阵相乘具有以下性质：（1）结合律：$(AB)C=A(BC)$（2）分配律：$A(B+C)=AB+AC$；$(A+B)C=AC+BC$（3）不满足交换律：$AB\neq BA$。
可以看到，矩阵相乘的结合律和分配律与实数的运算性质相似。
但是，矩阵相乘不满足交换律，即矩阵的乘积与乘法的顺序有关。
这是因为在矩阵相乘时，乘法的顺序会影响结果矩阵中元素的计算方式。
3. 矩阵乘法的应用矩阵相乘法则不仅仅是线性代数的基本内容，还被广泛应用于其他领域，如计算机科学、物理学、经济学、统计学等。
以下是一些矩阵相乘的应用：（1）图像处理图像可以表示为像素矩阵，矩阵相乘可以实现图像的旋转、缩放等变换。
矩阵的乘法运算
矩阵的乘法运算矩阵是线性代数中重要的概念，乘法运算是矩阵操作中的核心。
本文将介绍矩阵的乘法运算并详细解析其计算方法。
一、基本概念矩阵是一个由数字构成的矩形阵列。
在描述矩阵时，我们用m行n列的格式表示，即一个m×n的矩阵。
其中，m代表矩阵的行数，n代表列数。
例如，一个2×3的矩阵由2行3列的数字构成，如下所示：```a b cd e f```在矩阵乘法运算中，我们需要注意两个矩阵的尺寸要满足乘法规则：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
二、乘法运算步骤矩阵乘法运算的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
具体的计算步骤如下所示：1. 确定结果矩阵的行数和列数：结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 计算元素的值：将第一个矩阵的第i行和第二个矩阵的第j列对应元素相乘，然后将结果累加，得到结果矩阵中的元素值。
通过以上步骤，我们可以进行矩阵的乘法运算。
下面通过一个实例进行具体讲解。
三、实例演示假设有两个矩阵A和B，分别为3×2和2×4的矩阵：```A = a1 a2a3 a4a5 a6B = b1 b2 b3 b4b5 b6 b7 b8```根据乘法规则，我们可以得到结果矩阵C，其尺寸为3×4：```C = c1 c2 c3 c4c5 c6 c7 c8c9 c10 c11 c12```根据乘法运算步骤，我们可以逐个元素地计算矩阵C的值。
C的第一个元素c1的值为a1×b1 + a2×b5，通过类似的计算，我们可以得到C的所有元素值。
通过以上实例演示，我们可以清晰地了解矩阵的乘法运算及其计算步骤。
四、乘法运算的性质矩阵的乘法运算具有一些重要的性质，包括结合律、分配律等。
这些性质使得矩阵乘法在实际中有广泛的应用。
1. 结合律：对于任意的三个矩阵A、B和C，满足(A×B)×C =A×(B×C)。
矩阵的乘法实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵乘法的概念和运算规则。
2. 掌握矩阵乘法的编程实现方法。
3. 通过实验验证矩阵乘法的正确性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 库：NumPy三、实验原理矩阵乘法是指两个矩阵相乘的运算。
设矩阵A为m×n的矩阵，矩阵B为n×p的矩阵，则它们的乘积C为一个m×p的矩阵。
矩阵乘法的运算规则如下：C[i][j] = Σ(A[i][k] B[k][j])，其中k为1到n的整数。
四、实验步骤1. 导入NumPy库。
```pythonimport numpy as np```2. 定义矩阵A和B。
```pythonA = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])```3. 计算矩阵A和B的乘积C。
```pythonC = np.dot(A, B)```4. 打印结果。
```pythonprint("矩阵A：")print(A)print("矩阵B：")print(B)print("矩阵C（A乘B）：")print(C)```五、实验结果与分析1. 运行实验程序，得到以下结果：```矩阵A：[[1 2][3 4]]矩阵B：[[5 6][7 8]]矩阵C（A乘B）：[[19 22][43 50]]```2. 分析结果：- 矩阵A为2×2的矩阵，矩阵B为2×2的矩阵，它们的乘积C为2×2的矩阵。
- 根据矩阵乘法的运算规则，我们可以计算出矩阵C的每个元素。
- 实验结果与理论计算相符，说明矩阵乘法的编程实现是正确的。
六、实验总结1. 本实验成功实现了矩阵乘法的编程，验证了矩阵乘法的正确性。
2. 通过实验，加深了对矩阵乘法概念和运算规则的理解。
3. NumPy库在矩阵运算方面具有强大的功能，为编程提供了便利。
矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。
本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。
一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。
在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。
具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。
矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。
在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。
二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。
例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。
三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。
矩阵的乘除法-概述说明以及解释
矩阵的乘除法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它是一个由数值排列成的矩形阵列。
矩阵可用于描述线性方程组、变换矩阵和向量空间等数学问题。
在实际应用中，矩阵广泛应用于计算机图形学、物理学、金融和工程等领域。
本文主要介绍矩阵的乘除法。
矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
矩阵的乘法具有结合性和分配性，但不满足交换律。
我们将详细探讨矩阵乘法的定义、基本性质和计算方法。
然而，矩阵的除法并不像乘法那样直接定义。
事实上，不存在矩阵的除法运算，因为矩阵除法的定义涉及到矩阵的逆。
我们将介绍矩阵的逆以及与矩阵除法相关的概念。
在文章的结论部分，我们将强调矩阵乘法在数学和实际应用中的重要性。
同时，我们也会讨论矩阵除法的限制和应用领域，并提供一些示例。
通过深入了解矩阵的乘除法，读者将能够更好地理解线性代数中的重要概念和运算，并将其应用于实际问题的求解中。
本文旨在为读者提供一个全面而清晰的介绍，帮助他们建立起对矩阵乘除法的深入理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容:文章结构部分提供了对整篇文章的概要介绍和组织方式的说明。
通过明确提供文章的大纲，读者可以更好地理解文章的逻辑和结构，有助于他们更好地阅读和理解文章的内容。
在本文中，文章结构部分主要包括以下几个方面的信息：1. 引言：引言部分将对整篇文章的内容进行简要介绍和概述。
读者可以通过引言部分了解文章的主题和要解决的问题，从而更好地准备阅读和理解后续的内容。
2. 正文：正文部分是文章的主体，包含了关于矩阵的乘除法的详细讨论和分析。
正文部分将分为两个小节，分别介绍矩阵的乘法和除法的相关知识。
2.1 矩阵的乘法：在这一小节中，将给出矩阵的乘法的定义和基本性质的介绍。
读者将了解到矩阵乘法的基本概念和性质，从而为后续的计算方法提供基础。
2.1.1 定义和基本性质：本小节将详细介绍矩阵乘法的定义和基本性质。
从定义上了解矩阵乘法的运算规则，以及矩阵乘法的交换律、结合律等基本性质。
矩阵乘法的五种观点
矩阵乘法的五种观点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，其在数学领域和工程领域中都有着广泛的应用。
矩阵乘法的计算是可以通过矩阵的相乘规则进行的，但是在实际的应用中，人们对于矩阵乘法有着不同的观点和理解。
下面将介绍五种关于矩阵乘法的观点。
第一种观点是矩阵乘法的基本定义。
在数学中，两个矩阵相乘的定义是第一个矩阵的行乘以第二个矩阵的列，然后将结果相加。
这种观点强调了矩阵乘法的基本规则和定义，是研究矩阵乘法的起点。
第二种观点是矩阵乘法的几何意义。
矩阵乘法可以用来表示空间中的变换。
一个2x2的矩阵可以表示平移、旋转等线性变换，通过矩阵相乘可以将多个变换叠加起来，实现复杂的几何变换。
这种观点将矩阵乘法和几何图形联系起来，为研究矩阵乘法提供了一种直观的理解方式。
第三种观点是矩阵乘法的应用。
矩阵乘法在计算机图形学、机器学习、信号处理等领域有着广泛的应用。
在图像变换中，我们可以通过矩阵乘法来实现图片的缩放、旋转和平移。
在神经网络中，矩阵乘法用来实现神经元之间的连接和参数的更新。
这种观点强调了矩阵乘法在实际应用中的重要性和必要性。
第四种观点是矩阵乘法的性质。
矩阵乘法具有一些特殊的性质，比如结合律、分配律等。
这些性质在计算和证明中有着重要的作用。
通过研究矩阵乘法的性质，我们可以更好地理解和应用矩阵乘法。
第五种观点是矩阵乘法的算法。
矩阵乘法有多种算法可以实现，比如经典的乘法算法、Strassen算法、分块矩阵算法等。
不同的算法在时间复杂度和空间复杂度上有所不同，选择合适的算法可以提高计算效率。
这种观点强调了对矩阵乘法算法的研究和优化，是研究矩阵乘法的一个重要方面。
矩阵乘法是一个重要的数学概念，在实际应用中有着广泛的应用。
通过不同的观点和方法，我们可以更深入地理解和应用矩阵乘法，促进其在不同领域的发展和应用。
【这里需要您继续进行撰写】。
第二篇示例：矩阵乘法是线性代数中非常重要的一个运算方法，被广泛应用于科学和工程领域。
矩阵乘法的定义及其性质
矩阵乘法的定义及其性质矩阵乘法是矩阵运算中的一种重要形式，矩阵乘法能够将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，是矩阵运算中应用广泛的一种运算方式。
在矩阵乘法的运算中，向量、矩阵和多项式相乘都可以使用矩阵乘法来实现。
矩阵乘法的定义在矩阵乘法中，两个矩阵相乘的前提条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即A(m,n)与B(n,p)可以相乘。
将A和B 相乘，得到的矩阵C是一个m行p列的矩阵，其第i行第j列的元素可以表示为：C(i,j)=sum(A(i,k)*B(k,j))其中k的取值范围为1到n，sum表示对k的求和。
矩阵乘法的运算法则是“行乘列加”，即矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行乘法运算，将结果相加得到新矩阵中的对应元素。
矩阵乘法的性质1. 不满足交换律矩阵乘法不满足交换律，即A*B与B*A是不相等的。
这一性质可以通过矩阵乘法的定义进行理解，因为AB的定义中，A的列数必须等于B的行数，而BA的定义中，B的列数也必须等于A 的行数，这两种情况下的矩阵乘法所得到的结果是不同的。
2. 满足结合律矩阵乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
这一性质可以通过对矩阵乘法的运算法则进行分析得到，因为矩阵乘法是按照行乘列加的方式运算的，所以多个矩阵连乘时，括号的位置不影响结果。
3. 矩阵乘法满足分配律矩阵乘法满足分配律，即A*(B+C)=A*B+A*C。
这一性质也可以通过矩阵乘法的定义得到，即将A的每一行与B+C的对应列相乘，然后将结果相加得到新矩阵中的对应元素，即A*B+A*C。
4. 矩阵乘法中的单位矩阵在矩阵乘法中，单位矩阵是指一个元素在对角线上为1，其余所有元素都为0的矩阵。
如果一个矩阵乘以一个单位矩阵，其结果矩阵仍然是该矩阵本身。
例如，矩阵A和其对应的单位矩阵I 相乘得到的结果矩阵是A本身，即A*I=A。
5. 矩阵乘法中的逆矩阵在矩阵乘法中，如果一个矩阵A乘以另一个矩阵B得到的结果矩阵是单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
矩阵乘法及求逆运算最终版
逆矩阵求解方法一——伴随矩阵法 A1 1 A* A
逆矩阵求解方法二——初等变换法
( A E) 行(E A1)
逆矩阵求解方法三——因式分解法
若 A k 0 ， 即 （ I A ） 可 逆 ， 且 有 （ I - A ） 1 I A A 2 A K 1 我 们 通 过 上 式 ， 求 出 A 1
0 0,Aii是 矩 阵 。 (i1,2, n)
Ann
其求逆的方法：
可以证明：如果A11,A22, ,Ann都可逆，则准对角矩阵也可逆，且
A11 0
0
A22
0
0
0 0
1
A0111
0 A1
22
Ann
0
0
0
0
Ann1
4 0 0 0
例.已知0 3 2
0
，求A1。
0 1 5 0
0 0 0 5
0 0
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例. 已知A6I，求A11，其中A 2 2
3 1
2 2
解：恒等变形，得: A 6 I • A 6 A 6 • A 6 A • A 1 1 I
（ 2） 初 等 矩 阵 求 逆 公 式 ：
E i j1E ij
E i1(k)E i(1 k)
E i j1(k)E ij(k)
（3）对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵
1 1 A0 1
0 0
1 1 0
1 1
矩阵乘法及其应用
矩阵乘法及其应用矩阵乘法是一种数学运算，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
在数学中，矩阵乘法不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也具有广泛的应用。
本文将介绍矩阵乘法的基础知识和其应用。
一、矩阵乘法的基本概念矩阵是一种数学工具，它可以用来表示数据和运算规则。
在矩阵中，数据以行和列的形式排列，行和列的交点称为元素。
例如，下面是一个3行2列的矩阵：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}$矩阵乘法是一种矩阵间的二元运算，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的定义如下：设$A$是$m \times n$的矩阵，$B$是$n \times p$的矩阵，那么它们的乘积$C = AB$是一个$m \times p$的矩阵，其中$C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$，$i=1,2,\cdots,m$，$j=1,2,\cdots,p$。
例如，下面是两个矩阵的乘积：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}27 & 30 & 33 \\ 61 & 68 & 75 \\ 95 & 106 &117\end{bmatrix}$二、矩阵乘法的性质矩阵乘法具有如下性质：1.结合律$(AB)C=A(BC)$2.分配律$(A+B)C=AC+BC$，$A(B+C)=AB+AC$3.单位矩阵与矩阵的乘积$EI=IE=A$其中，$E$是单位矩阵，它是一种特殊的矩阵，满足$E_{ij}=1$，当$i=j$时；$E_{ij}=0$，当$i \neq j$时。
矩阵叉乘运算法则
矩阵叉乘运算法则矩阵叉乘是线性代数中的一个重要概念，用于计算两个矩阵之间的乘积。
在进行矩阵叉乘运算时，需要遵循一定的法则和规则。
1. 矩阵的定义我们需要明确矩阵的定义。
矩阵是一个按照矩形排列的数表，由行和列组成。
一般用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。
2. 矩阵的乘法运算矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
要进行矩阵乘法，需要满足以下条件：- 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数；- 乘法的结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
3. 矩阵乘法的计算方法矩阵乘法的计算方法是按行乘以列的方式进行运算。
具体步骤如下：- 第一个矩阵的第一行与第二个矩阵的第一列对应元素相乘，然后相加得到结果矩阵的第一个元素；- 第一个矩阵的第一行与第二个矩阵的第二列对应元素相乘，然后相加得到结果矩阵的第二个元素；- 依此类推，直到计算出结果矩阵的所有元素。
4. 矩阵乘法的性质矩阵乘法具有以下性质：- 结合律：(AB)C = A(BC)，即矩阵乘法满足结合律；- 分配律：A(B + C) = AB + AC，即矩阵乘法对加法满足分配律；- 不满足交换律：一般情况下，AB ≠ BA，即矩阵乘法不满足交换律。
5. 矩阵乘法的应用矩阵乘法在许多领域中都有广泛的应用，例如：- 图像处理：矩阵乘法可以用于图像的变换和滤波；- 线性方程组求解：矩阵乘法可以用于求解线性方程组；- 神经网络：矩阵乘法是神经网络中的核心运算。
6. 矩阵乘法与矩阵转置矩阵乘法与矩阵转置之间存在一定的关系。
设A和B分别为m×n和n×p的矩阵，则有：- (AB)T = BTAT，即矩阵乘法的转置等于转置的乘法顺序。
7. 矩阵乘法的计算复杂度矩阵乘法的计算复杂度为O(n^3)，其中n表示矩阵的维数。
因此，在实际应用中，对于大规模的矩阵乘法运算，需要考虑到计算时间的消耗。
总结：矩阵叉乘运算法则是线性代数中的重要内容，它定义了矩阵的乘法运算方式和规则。
矩阵乘法
矩阵乘法编辑矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。
矩阵，是线性代数中的基本概念之一。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。
中文名矩阵乘法外文名Matrix multiplication基本性质结合性等类别对称矩阵等应用学科数学应用领域代数1适用范围2C语言程序3相关符号4基本性质5特殊类别6经典题目7乘法算法1适用范围编辑只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。
一个m×n的矩阵a(m,n)左乘一个n×p的矩阵b(n,p)，会得到一个m×p的矩阵c(m,p)。
左乘：又称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，比如说,A左乘E即AE。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和约去律一般的矩乘要结合快速幂才有效果。
（基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的）在计算机中，一个矩阵实际上就是一个二维数组。
一个m行n列的矩阵与一个n行p 列的矩阵可以相乘，得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数为第一个矩阵第i行上的n个数与第二个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个乘积之和。
比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果矩阵的那个4（结果矩阵中第二（i）行第二（j)列）=2（第一个矩阵第二(i)行第一列）*2（第二个矩阵中第一行第二(j)列）+0（第一个矩阵第二(i)行第二列）*1（第二个矩阵中第二行第二(j)列）：2C语言程序编辑#include<stdio.h>int p, q, k;int fun(float A[][2], float B[][1]{float C[2][1] = { 0 };for (p = 0; p < 2; ++p){for (q = 0; q < 1; ++q){for (k = 0; k < 2; ++k)C[p][q] += A[p][k] * B[k][q];}}for (p = 0; p < 2; p++){for (q = 0; q < 1; q++){printf("%f", C[p][q]);printf("\n");}}return 0;}int main(){float A[2][2] = { 1, 1, 2, 1 }, B[2][1] = {2, 1}; printf("矩阵A*矩阵B为:\n"); // 计算两个矩阵相乘；以[2][2]*[2][1]为例fun(A, B);system("pause");return0;}程序运行结果示例：一般矩乘的代码：function mul( a , b : Tmatrix ) : Tmatrix;vari,j,k : longint;c : Tmatrix;beginfillchar( c , sizeof( c ) , 0 );for k:=0 to n dofor i:=0 to m dofor j:=0 to p dobegininc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );if c[ i , j ] > ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ] mod ra;end;mul:=c;end;这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
矩阵 点乘 和相乘-概述说明以及解释
矩阵点乘和相乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它由若干行与若干列元素组成的数组所构成。
矩阵在数学、物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，因此矩阵运算也成为了研究和实践中的重要内容之一。
在矩阵运算中，点乘和相乘是两种常见的操作。
点乘是指两个矩阵中对应位置元素相乘并相加得到一个标量值的运算，而矩阵相乘是指两个矩阵按一定规则相乘得到新的矩阵的运算。
这两种运算在实际问题中有着各自的应用场景和重要性。
本文将深入探讨矩阵的定义和性质，以及点乘和相乘的概念、规则和重要性。
通过对矩阵运算的全面解析，希望读者能够更深入地理解矩阵运算的重要性以及在实际问题中的应用价值。
1.2 文章结构本文将分为三个部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分，将介绍矩阵、点乘和相乘的基本概念，以及文章的结构和目的。
在正文部分，将详细探讨矩阵的定义和性质，点乘的概念和应用，以及矩阵相乘的规则和重要性。
在结论部分，将总结矩阵运算的重要性，指出矩阵点乘和相乘的应用场景，并展望矩阵运算的未来发展。
通过这样的结构，读者可以全面了解矩阵运算的相关知识和重要性，同时也可以展望未来在这一领域的发展方向。
1.3 目的目的部分本文的目的在于探讨矩阵运算中的点乘和相乘操作，分析它们在数学和实际应用中的重要性和作用。
通过深入理解矩阵的定义、性质以及点乘、相乘的规则，可以帮助读者更好地掌握这些概念，并在解决实际问题时运用到矩阵运算中。
此外，本文还旨在展示矩阵运算在不同领域的广泛应用，以及展望未来矩阵运算的发展方向与趋势。
通过阅读本文，读者能够深入了解矩阵运算的重要性和实用性，为其在学术和职业生涯中带来更多的启发和帮助。
2.正文2.1 矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种非常重要的概念，它是由数字组成的二维数组。
一个矩阵通常用一个大写字母表示，比如A、B、C等。
一个矩阵可以用m ×n的形式表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵相乘运算法则
矩阵相乘运算法则矩阵相乘是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
矩阵相乘运算法则是指矩阵乘法的基本规则和性质，它可以帮助我们正确进行矩阵相乘运算，得到正确的结果。
首先，我们来讨论矩阵相乘的定义。
设有两个矩阵A和B，它们的乘积记为C。
如果A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么乘积C就是一个m行p列的矩阵。
换句话说，矩阵相乘的结果的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
接下来，我们来介绍矩阵相乘的运算法则。
（1）矩阵相乘不满足交换律。
也就是说，对于任意两个矩阵A和B，一般情况下AB≠BA。
这是因为矩阵相乘的定义中，第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数是有限制的。
（2）矩阵相乘满足结合律。
也就是说，对于任意三个矩阵A、B和C，(AB)C=A(BC)。
这意味着在进行连续的矩阵相乘时，可以不必考虑括号的位置。
（3）单位矩阵的相乘规则。
单位矩阵是一个特殊的矩阵，它的对角线元素为1，其余元素都为0。
对于任意矩阵A，有IA=A=AI，其中I 表示单位矩阵。
这条规则保证了单位矩阵在矩阵相乘中起到“恒等”作用。
（4）矩阵相乘的行列运算规则。
设A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么矩阵C=AB的第i行第j列的元素可以表示为C[i][j]=A的第i行与B的第j列的乘积之和。
具体计算时，可以将第i行的每个元素与第j列的对应元素相乘，然后将乘积相加。
（5）矩阵相乘的逆运算。
直观上来看，矩阵相乘的逆运算是矩阵除法。
在数学中，我们可将矩阵B称为A的逆矩阵，即B=A^-1，如果AA^-1=I=A^-1A。
然而，并非所有矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才存在逆矩阵。
通过以上的介绍，我们对矩阵相乘运算法则有了更加全面的了解。
矩阵相乘运算法则可以帮助我们正确进行矩阵相乘运算，得到准确的结果。
它在解线性方程组、计算复杂的线性变换等问题时具有重要的应用价值。
因此，掌握矩阵相乘运算法则对于学习和应用线性代数知识来说是非常重要的。
人教版高中数学选修四教学课件-矩阵乘法的性质
有AmAn=AnAm等.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 矩阵的乘法不满足消去律
10 【例 4】 求证:等式
-1 0
10 =
00
01
成立, 并从变换的角度给予解释.
分析:利用矩阵的乘法运算法则进行计算.
00
-1 0 0 -1
题型一
题型二 题型三 题型四
1 0 -1 0
-1 0
证明: ∵
=
10 ,
题型一 题型二 题型三 题型四
反思对于实数a,b,c来说,ab=ac,且a≠0等价于b=c.但对于矩阵而言, 由例题可以看出,对于二阶矩阵A,B,C,即使满足AB=AC(或 BA=CA),且A≠0,一般来说,也不一定有B=C,即矩阵的乘法不满足 消去律.这一点也是零矩阵与实数零的不同之处.
题型一 题型二 题型三 题型四
-1 1 解:A2 =
-1 1
10
=
,
01
01
10
∴A2 016=(A2)1 008 =
.
01
01
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 矩阵的乘法不满足交换律
12
10
-2 0
【例 3】已知 A=
,B=
0
1 ,C=
2
, 求ABC
01
13
与 ACB,并判断二者是否相等.
12
解:AB= 01
-2 0
-2 1
0
1=
2
0
1,
2
10
-2 1
∴ABC=
0
1 2
-1 3 =1 3.
13
22
题型一 题型二 题型三 题型四
矩阵乘法和可逆矩阵
矩阵乘法和可逆矩阵1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12⋯ a1nb11b12⋯ b1sc11c12⋯ c1sA= a21 a22⋯ a2n B= b21 b22⋯ b2s C=AB=c21 c22⋯ c2s ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a m1 am2⋯ amn, bn1bn2⋯ bns, cm1cm2⋯ cms,则cij =ai1b1j+ai2b2j+ ⋯+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. 乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn,B的列向量组为β1, β2,⋯ ,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,⋯ ,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出:①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,⋯,s.即A(β1, β2,⋯ ,βs)=(Aβ1,Aβ2,⋯ ,Aβs).②β=(b1,b2, ⋯,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+ ⋯+b nαn.应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i, ⋯,b ni)T,则γi=AβI= b1iα1+b2iα2+ ⋯+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,⋯ ,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.请注意,以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 -1B= 2 -1 1 ,则C=AB.-1 1 23. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质 |AB|=|A||B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h. ② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) n阶矩阵的多项式乘法公式设f(x)=am x m+am-1x m-1+⋯+a1x+a,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+⋯+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性的障碍,数的多项式的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项公式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵) (1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设 B =(β1, β2,⋯ ,βs ),则 X 也应该有s 列,记X =(χ1, χ2,⋯,χs ),则有A χi =βi ,i=1,2, ⋯,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX =B 有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得 (I)的解法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X . (A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T ,转置得X .. (A T |B T )→(E |X T )矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义 设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得AB =E , BA =E ,则称A 为可逆矩阵. 此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作A -1.如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=0,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C方便是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)→(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21⋯ An1A*= A12 A22⋯ A n2 =(A ij)T.⋯⋯⋯A 1n A2n⋯ Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1. ③ (A T)*=(A*)T. ④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.。
矩阵乘法知识点总结
矩阵乘法知识点总结1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数集合，其中包含有m行n列的数，其中m和n均为正整数。
我们可以用下面的形式表示一个矩阵：A = [a11 a12 ... a1n][a21 a22 ... a2n]...[am1 am2 ... amn]在这个表示中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素，其中i表示行数，j表示列数。
2. 矩阵的乘法两个矩阵相乘的定义如下：设A为一个m×n的矩阵，B为一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中AB中的第i行第j列的元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
即：AB = [c11 c12 ... c1p][c21 c22 ... c2p]...[cm1 cm2 ... cmp]其中ci,j = a1j * b1j + a2j * b2j + ... + anj * bnj。
需要注意的是，对于矩阵乘法来说，AB和BA的乘积结果不一定相等。
3. 矩阵乘法的性质矩阵乘法具有一些重要的性质，包括结合律、分配律等。
结合律：对于矩阵A、B和C，(AB)C = A(BC)。
分配律：对于矩阵A、B和C，A(B + C) = AB + AC。
但是需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
4. 矩阵乘法的应用矩阵乘法在实际中有各种各样的应用，包括图像处理、信号处理、机器学习等领域。
在图像处理中，矩阵乘法可以用来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。
在信号处理中，矩阵乘法可以用来进行滤波、变换等操作。
在机器学习中，矩阵乘法可以用来进行特征提取、模型训练等操作。
5. 矩阵乘法的计算对于大型的矩阵乘法计算来说，需要考虑如何进行高效的计算。
传统的方法是使用循环来计算乘积矩阵中的每一个元素，但这种方法的效率较低。
因此，人们提出了一些更高效的算法来进行矩阵乘法的计算，包括Strassen算法、Coppersmith-Winograd算法等。
矩阵乘法满足的运算规律
矩阵乘法满足的运算规律
今天我们要讨论的话题是：“矩阵乘法满足的运算规律”。
首先，让我们来看看矩阵乘法的定义：在线性代数的数学概念中，矩阵乘法是指将两个矩阵通过乘积运算来合成一个新的矩阵。
矩阵乘法满足一些重要的性质，其中最重要的是结合律和分配律。
结合律表示在矩阵乘法中，操作顺序不影响计算结果，它可以被表示为：$AB=BA$，其中A和B分别是参与乘法的两个矩阵。
分配律表示，对于矩阵乘法中的两个乘积，可以进行分配来实现多次乘法，可以表示为：$(A_1A_2)A_3=A_1(A_2A_3)$。
此外，矩阵乘法还遵循交换律，交换律表示在参与乘法的两个矩阵中，只要调换了位置，计算结果也会随之改变，可以表示为：$AB
≠BA$，在这里A和B是参与乘法的两个矩阵。
此外，矩阵乘法还遵循可逆性质，可逆性是指如果一个矩阵的逆矩阵存在，那么这个矩阵的乘积与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵。
可以表示为：$AA^{-1}=A^{-1}A=I$，其中A表示参与乘法的矩阵，A^{-1}表示A的逆矩阵，I表示单位矩阵。
最后，还要讨论一下，矩阵乘法的逆运算规律。
矩阵乘法的逆运算表示，将两个矩阵按照原来乘法的顺序相乘，但是顺序会发生变化，可以表示为：$AB=BA^{-1}$，其中A和B分别是参与乘法的两个矩阵，A^{-1}表示A的逆矩阵。
以上就是我们要讨论的“矩阵乘法满足的运算规律”，希望我们
的说明对您有所帮助，谢谢。
从上面可以看出，矩阵乘法满足结合律、
分配律、交换律和可逆性，这些规律都很重要，因为它们是矩阵乘法的基础和前提。
在讨论矩阵乘法满足的运算规律时，我们应该着重关注这些规律，以便更好地理解矩阵乘法的本质。
4阶矩阵运算
4阶矩阵运算摘要：1.4 阶矩阵的定义与表示2.4 阶矩阵的加法运算3.4 阶矩阵的乘法运算4.4 阶矩阵的转置运算5.4 阶矩阵的逆运算正文：一、4 阶矩阵的定义与表示在数学中，矩阵是一个重要的概念，特别是在线性代数和统计学等领域。
4 阶矩阵，又称为4 阶方阵，是指具有4 行4 列的一个矩阵。
用A 表示一个4 阶矩阵，其形式可以写作：A = | a11 a12 a13 a14 || a21 a22 a23 a24 || a31 a32 a33 a34 || a41 a42 a43 a44 |二、4 阶矩阵的加法运算两个4 阶矩阵相加，只需将它们对应位置的元素相加即可。
设A 和B 是两个4 阶矩阵，则它们的和可表示为：A +B = | a11 + b11, a12 + b12, a13 + b13, a14 + b14 || a21 + b21, a22 + b22, a23 + b23, a24 + b24 || a31 + b31, a32 + b32, a33 + b33, a34 + b34 || a41 + b41, a42 + b42, a43 + b43, a44 + b44 |三、4 阶矩阵的乘法运算两个4 阶矩阵相乘，需要满足矩阵乘法的条件，即左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
设A 和B 是两个4 阶矩阵，则它们的乘积可表示为：AB = | a11 * b11 + a12 * b21, a11 * b12 + a12 * b22, a11 * b13 +a12 * b23, a11 * b14 + a12 * b24 || a21 * b11 + a22 * b21, a21 * b12 + a22 * b22, a21 * b13 + a22 * b23, a21 * b14 + a22 * b24 || a31 * b11 + a32 * b21, a31 * b12 + a32 * b22, a31 * b13 + a32 * b23, a31 * b14 + a32 * b24 || a41 * b11 + a42 * b21, a41 * b12 + a42 * b22, a41 * b13 + a42 * b23, a41 * b14 + a42 * b24 |四、4 阶矩阵的转置运算一个4 阶矩阵的转置，是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
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问题情境
问题 生活实例 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手 初、复赛成绩如下：
初 赛 甲 80 乙 86 复 赛 90 88
80 90 86 88
问题情境
如果规定综合成绩按如下方法裁定，其中期中占 40%，期末占60%，那么甲、乙的最后成绩可用如下矩 阵的形式表示
数学运用
例2: 已知梯形ABCD, A(0, 0), B(3, 0),C(2, 2), D(1, 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将 0 90 所得图形绕原点逆时针旋转 . （1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M； （2）求点A, B, C, D在 TM作用下所得到的结果； （3）在平面直角坐标系内画出两次变换对应 的几何图形，并验证(2)中的结论。
建构数学
3. n次变换的表示方式——Mn 当连续对向量实施n ( n N )次变换 TM 时记为
Mn M M M
n个 M
4．初等变换及初等变换矩阵 初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变 换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一 次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫 做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。
例3: 已知单位矩阵E和零矩阵O，对任意二 阶矩阵A，证明恒有下列等式： EA=AE=A，OA=AO=O
回顾小结
1、二阶矩阵乘法满足结合律但不满足 交换律、消去律； 2、一些特殊的交换之间也可能满足交换律, 如旋转变换复合，伸压变换复合。
数学运用
例1
1 2 （1）已知A= 1 2 1 2 1 2
B=
1 1 2 2 1 1 2 2
试计算：AB，A2
数学运用
1 0 例1 （2）已知A= 0 2
1 4 B= 2 3
数学运用
cos - sin cos sin 例3: 已知A= ，B= ， sin cos sin cos
试求AB, 并对其几何意义给予解释。
矩阵乘法的简单性质
问题情境
问题1 已知正方形ABCD, A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1),
数学运用
1 0 0 0
例2:已知：A=
1 0 1 0 , B＝ ，C＝ 0 1 0 1
计算AB，AC。 说明：此题说明矩阵乘法不满足消去律。 虽然有AB=AC，但 B C 思考：在什么条件下矩阵的乘法可以满足 消去律？
数学运用
试计算：AB, BA数学运用1 0 来自 例1 （3）已知A= 0 0
1 0 1 0 B= C= 0 2 0 1
试计算：AB，AC
说明： （1）矩阵A，B都是非零矩阵但它们的乘积可能 是零矩阵； （2）对于矩阵A，B不一定有AB=BA； （3）对于矩阵A，B，C虽有AB=AC，但不一定 有B=C
数学运用
例1 已知梯形ABCD, A0,0, B3,0, C 2,2, D1,2
1 0 变换 T1 对应的矩阵 P 0 2 , 变换 T2 对应的 2 0 矩阵 Q ,计算PQ, QP, 比较它们是否相 0 1
同, 并从几何变换的角度予以解释。 思考：在什么条件下矩阵的乘法可以满足 交换律？（即二阶矩阵P, Q使得PQ=QP） 时有什么共同特征？
a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a b a b a b a b 21 11 22 21 21 12 22 22
2. 矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法MN的几何意义对向量连续实施的两次 几何变换(先TN, 后TM)的复合变换.
80 90 0.4 80 0.4 90 0.6 86 86 88 0.6 86 0.4 88 0.6 87.2
建构数学
1、矩阵乘法法则:
a11 a12 b11 b12 = a a b b 22 21 21 22
0 1 D(0, 1)变换T1对应矩阵为M＝ ,变换T2 1 0 1 0 对应矩阵为N＝ , 对应的变换, 计算MN, 0 0.5
NM, 比较它们是否相同, 并从几何变换的角度 解释。
建构数学
矩阵乘法的运算律： （1）矩阵乘法不满足交换律： 对于二阶矩阵A, B, 尽管AB, BA均有意义但 一般AB BA。在适当时候,有些特殊几何 变换(如两次连续旋转变换)满足交换律. （2）矩阵乘法满足结合律： (AB)C＝A(BC) （3）矩阵乘法不满足消去律: AB＝AC B＝ C