量子力学 力学量用算符表达
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
关于量子力学中的算符
关于量子力学中的算符1对微观粒子的力学量不能用经典的方法来描述，而引入了一种新的数学手段——力学量用算符来表示，这实际上是量子力学的基本假设之一。
2在物理学中，只有其平均值为实数的算符才能表示量子力学中的力学量。
厄米算符的平均值是实数，因此，表示力学量的算符必须是厄米算符。
3由于量子力学中的态满足迭加原理，所以表示力学量的算符还应当是线性的。
4线性厄米算符作用在波函数上，其物理意义为：在波函数所描述的状态下，对微观粒子的某个力学量F进行测量，在测量过程中可能会出现不同的结果，但对同一状态进行多次测量，力学量F的平均值将趋于一个确定的值A。
而每一次测量结果相对于平均值都有一个误差∆F-=FFˆ来表示力学量的偏差，故力学量均方偏差的平均值为在量子力学中，引入算符F∆ˆFF-=由力学量算符的厄米性，上式可写成5在对微观粒子的不同力学量同时进行测量时，一般是不可能使每个力学量都获得准确的值的，即使是从理论上也是如此。
这与所用实验仪器的精度或实验者的能力无关，而是微观粒子的二象性所带来的必然结果，这就是量子力学中的不确定关系。
不确定关系指出了用经典方法描述微观粒子所产生误差的极限，以精炼的数学形式反映了微观粒子的二象性，是量子力学中的一个十分重要的原理。
算符理论对此关系给出了严格的证明，并以其独特的表达方式给出了不同力学量和其算符间的联系：6 所谓“力学量用算符表示”这一量子力学假设，包含着如下物理意义：（1） 力学量的平均值与算符的关系为：r d r F r F )(ˆ)(*ψψ⎰=（2） 力学量的测量值与该力学量算符之间的关系：实验中测得的力学量的值，就是该力学量所对应算符的一系列本征值；（3） 力学量之间的关系也可以通过算符之间的关系反映出来：相互对易的算符，它们对应的力学量同时具有确定的测量值。
7 力学量在一般情况下不能同时确定，若系统处于某力学量的本征态中，这个力学量就有确定值。
对两个或多个力学量同时进行测量，只要系统同时处于每个力学量共同的本征态时，它们就同时具有确定值。
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics
量子力学 算符
ˆx ˆ 1 0 ˆx ˆD D
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
（5）算符服从乘法结合律
ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆC ˆ )C A
d ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ, C , Bx 例如： A dx
ˆ 3x ˆ (B ˆ )] f D ˆC ˆC ˆ (3xf ) 3 f 3xf ˆ, [ A B
量子力学的哈密顿算符：
2 2
px V ( x) 2m
其本征值为体系 能量的可能值
2
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。这是量子力 学的一个基本假定。即：每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？
第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 第二步：做以下变换：
笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符，即：q ˆ q 线动量的每个笛卡儿分量pq代之以算符：
i ˆq p 2 i i q i q q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标：
2 2 d ˆ T ˆ V ˆ H V ( x) 2 2m dx
这与不含时间的薛定谔方程一致。
d [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
2
2
量子力学算符与体系对应的性质的关系
ˆ 的具有本征值 若i 是 F
a i 的本征函数，则有：
ˆ a F i i i
由此可见，算符的假设和薛定谔方程实际上是一致的。
2
2
量子力学体系的态用包含我们可能了解的关于体系的全 部知识的态函数Ψ(x，t)来描述。Ψ如何给出关于性质F 的知识呢？
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。
它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。
例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。
例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。
例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-力学量用算符表达】
第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-力学量用算符表达(圣才出品)
3 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（2）算符的标积
定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ 与 的“标积”
以下为常用算符标积运算公式：
式中 c1 与 c2 为任意常数．
7．转置算符 算符 Â 的转置算符 A 定义为
特例 对于
利用
（h 是一个普适常数，不为 0），则有
2．（l2,lz）的共同本征态 称为球谐（spherical harmonic）函数，它们满足
l2 和 lz 的本征值者都是量子化的．l 称为轨道角动量量子数．m 称为磁量子数．
6 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
式中
称为 Levi—Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：
②角动量算符与动量算符之间的对易关系 ③角动量算符之间的对易关系 分开写出，即
5．逆算符 设
能够唯一地解出 ψ，则可以定义算符 Â 之逆 Â－1 为
6．算符的函数与标积 （1）算符函数 给定一函数 F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，
3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）
（1）对易力学量完全集
设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符
，它们的共同本征态记为
也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数 a 之后，就能够确定体系的唯一一个可能状
态，则我们称（Aˆ1，Aˆ2， ）构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of
式中 ψ 与 φ 是任意两个波函数．
8．复共轭算符与厄米共轭算符 算符 Â 的复共轭算符 Â*．定义为
量子力学中的量子力学力学量的算符关系
量子力学中的量子力学力学量的算符关系量子力学是研究微观粒子行为和性质的理论框架，它描述了自然界中微观领域中的物质和能量的行为方式。
在量子力学中，量子力学力学量的算符关系是描述物理量之间的对易关系或反对易关系的数学表达式。
这些算符关系是量子力学理论的基石，对于量子力学系统的描述和计算具有重要意义。
一、量子力学力学量的基本概念在量子力学中，力学量指的是描述物理系统状态的特性，比如位置、动量、角动量、能量等。
这些力学量由相应的物理量算符来表示，量子态的演化和测量是通过这些算符的操作来实现的。
在量子力学中，力学量算符是一种特殊的线性算符，它们作用于量子态（波函数或矢量表示）来得到相应的测量结果。
力学量算符的本征态对应于测量得到的确定值，而本征值则是该测量值对应的物理量数值。
二、量子力学力学量的算符关系量子力学力学量的算符关系可以通过对易关系或反对易关系来描述。
对于可同时测量的力学量，它们的算符满足对易关系；而对于不可同时测量的力学量，它们的算符满足反对易关系。
1. 对易关系对易关系表示两个力学量算符的乘积与其反序乘积之间的关系。
对于两个可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足对易关系：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示算符的对易子。
对于满足对易关系的力学量算符，它们的本征态可以共享相同的基础。
2. 反对易关系反对易关系描述的是两个不可同时测量的力学量算符之间的关系。
对于不可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足反对易关系：{A, B} = AB + BA = 0其中{A, B}表示算符的反对易子。
反对易关系的存在意味着这两个力学量之间存在一定的互换关系，即测量一个力学量会影响到另一个力学量的测量结果。
三、具体力学量的算符关系1. 位置和动量在量子力学中，位置算符和动量算符是最基本的力学量。
它们的算符关系由玻尔-海森堡不确定关系给出：Δx · Δp ≥ h/4π其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
量子力学第三章算符
第三章算符和力学量算符之宇文皓月创作3.1 算符概述设某种运算把函数u变成函数v，用算符暗示为：3.1-1）u与v中的变量可能相同，也可能分歧。
例如，x，1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u（2）算符的相加：对于任意函数u，若，则（3）算符的相乘：对于任意函数u2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u与v算符。
（3）逆算符对于任意函数u并不是所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
的线性算符，a为常数。
其解u可暗示为对应齐次方程的通解u。
与分，但如果当a=0述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。
（4）转置算符函数的转置就等于它自己。
3.1-2）也应满足连续性条件：可都等于零]（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符自己要取共义为：3.1-3）可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。
因x是实数，而，所以。
在任意标积中，因，所以3.1-3）出发，来证（6）幺正算符（7）算符的函数设函数F（A F为：（3.1-4）n3.2算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson）括号为：（3.2-1）的。
1．量子力学中基本对易关系在位置表象中，，即在动量表象中可见在位置表象中与动量表象中都得：（3.2-2）如果两个算符所含的独立变量分歧，则这两个算符是对易的。
例yx。
又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是rx，y，z（3.2-3）（3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。
2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下关系式：（其证明供练习）3.2-5）为常数（3.2-6）为常数（3.2-7）3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系采取爱因斯坦记号，则上式可写为：3.2-11）Levi-Civita所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，数学性质：3.2-12）i ，j 反对称之故。
第三章力学量用算符表达
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足 交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
第三章-力学量的算符表示
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix
量子力学讲义第三章讲义
量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
vAu表示把函数u变成v，就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符，称为线性算符(cc)cAA112211c2A2其中c1,c2是任意复常数，1,2是任意两个波函数。
i，例如：动量算符p单位算符I是线性算符。
2、算符相等对体系的任何波函数的运算结果都相同，即A相等记为B，则算符和算符B若两个算符、BBA3、算符之和B称为算符之对体系的任何波函数有：(ACBB，则A)AC若两个算符、B和。
B，ABA(B)(ABC)CA4、算符之积，定义为之积，记为AB算符与B)A(B)C(ABBA是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即AB5、对易关系BA，则称与B不对易。
若ABB，则称与BBA对易。
若ABA和B，则称A反对易。
若算符满足AB某i例如：算符某,p不对易某1某某(i证明：(1)某p)i某某某某某(i(2)p)某ii某某某显然二者结果不相等，所以：某p某某某p某p某某)i(某p因为是体系的任意波函数，所以某p某某i对易关系某p同理可证其它坐标算符与共轭动量满足zpzziypyyi，zpyp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
ypy某0yp某p某z0某p某y0某pzp，，zppz0yppy0yz某pzpz某0zyzp某p某pz0ypzpzpy0，p某pypyp某0，ppy某0，pzp某p某pz0ypzpzpy0，p某y写成通式(概括起来)：p某i(1)某p某某某0某ppp0其中,某,y,z或1,2,3p量子力学中最基本的对易关系。
对易，B与对易，不能推知与对易与否。
注意：当与B6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,BBA]AB[A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：]i[某,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式：,B]][B,A1)[A,B][A,B,C]C][A2)[A,kB,B,BC,C][A,B，[AB,C]A[B][A,C]B]k[A]]B[A]C,C，[A3)[A,[B]][B,A]][C,[A,B,C,[C]]0——称为Jacobi恒等式。
第3章 力学量用算符表达
ˆ ˆ z zp ˆ y i( y z ) Lx yp z y ˆ L x i (sin cot cos ) ˆ cot sin ) L y i ( cos ˆ L z i 2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
ˆ 的 A
表达式中所有量换成其复共轭。
例如坐标表象中的动量算符的复共轭
ˆ ˆ p* (i)* i p
为下面介绍算符的转置、厄米共轭等的方便，我 们先介绍两个波函数(量子态)ψ与 的“标积”， 定义为
( , ) d *
10
积分是对体系的全部空间进行的， d 是坐标空间
分别令c = 1和c = i 所得两式相加减可得 ˆ ) (A ˆ , ) , ( , A ˆ ) (A ˆ , ) ( 1 , A 2 1 2 2 1 2 1
15
此即厄米算符定义的要求。
注意：a)区分厄米共轭算符与厄米算符； b)可测物理量的算符是厄米算符(这由于可测物理 量的平均值是实数)；
7
6 逆算符
ˆ 能够唯一的解出 ，则可定义算符 A ˆ 设A 1 ˆ ˆ 1 为 之逆 A A 说明：1）并非所有的算符都有逆算符存在(如投 影算符) ˆ 的逆存在, ˆA ˆ1 A ˆ1A ˆ I 2)若A 则 A
1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ( AB) B A
F ( n ) (0) n F ( x) x n! n 0
两个或多个算符的函数也可类似定义 如
( m,n ) F (0,0) ˆ m ˆ n ˆ ˆ F ( A, B) A B m!n! m , n 0
量子力学中的量子力学力学量与对易关系
量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。
量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。
而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。
本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。
一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。
算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。
在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。
1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。
位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。
2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。
在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。
动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。
3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。
在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。
能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。
二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。
对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。
1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。
根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。
这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。
这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。
2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。
第3章 力学量用算符表达
证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论 量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两 边分别对 x y z 求偏导数得：
量子力学 第三章
ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并，所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ)， ± 是常数 lm l
物理上认为： 描述同一方位， ϕ 物理上认为：ϕ与 + 2π 描述同一方位，
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时， 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ，对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ； ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值)； 2. F
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 c1Aˆ1 c2 Aˆ 2
其中1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
让 Aˆ Aˆ, Bˆ Bˆ, 则(1)式仍成立.
2
A2 C / 2A2 B2 C 2 / 4A2 0
C 为实，不妨取 C / 2A2 ,则得
B2 C2 / 4A2 0
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
即 A2 B2 1 C 2 ,或表成 4
A2 B2
1 2
C
1 2
Aˆ, Bˆ
1
在上式中，Aˆ 与 Bˆ 为厄米算符, A 与 B 又均为实数, Aˆ Aˆ A 与 Bˆ Bˆ B 也是厄米的.
算符 ˆ 的转置算符 ˆ%定义为
d *ˆ% dˆ *
即
, ˆ% *, ˆ *
式中 与 是任意两个波函数.
~
ˆ ˆ
ˆ%ˆ%
(g) 复共轭算符与厄米共轭算符
算符 ˆ 的复共轭算符 ˆ* 定义为
ˆ * ˆ * *
通常算符 ˆ 的复共轭 ˆ * ,可如下构成, 即把 ˆ 的表达 式中所有量换成其复共轭.
另一个力学量 Bˆ 时,却不一定得到一个确定值.
下面我们普遍地分析此问题.
设有两个任意的力学量 Aˆ 和 Bˆ,
分析下列积分不等式
I
Aˆ
iBˆ
2
d
0
其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
因为 Aˆ 与 Bˆ 为厄米算符， 所以
则量子力学中最基本的对易关系可以化成:
角动量对易式
x , p ihδ
角动量算符: lˆ r pˆ ,
lˆx
ypˆ z
zpˆ y
ih
y
z
z
y
各分量表为
lˆy
zpˆ x
xpˆ z
ih
z
x
x
z
lˆz
xpˆ y
ypˆ x
ih
x
y
y
x
由代数恒等式, 不难证明
lˆx , x 0,
体系(系综), 如进行多次测量, 所得结果的平 均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结 果则围绕平均值有一个涨落.
涨落定义为
A2
Aˆ A 2 *
Aˆ
A
2
d
(1)
因为 Aˆ 为厄米算符, A 必为实数, 因而 A Aˆ A 仍为
厄米算符, 再利用3.1节所学知识, 有
A2 Aˆ A 2 d 0
(d) 逆算符 设
ˆ ,
能够唯一地解出 ,则可以定义算符 ˆ 之逆 ˆ 1 为
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
若算符 ˆ之逆存在,则
ˆˆ 1 ˆ 1ˆ I , 设 ˆ 与 Bˆ 之逆均存在,则
ˆ , ˆ 1 0
ˆ Bˆ 1 Bˆ 1ˆ 1
(e) 算符的函数
量子力学教程(第二版)
一般, 把常数记为 An ,并把本征态记为 n , 得到
Aˆ n An n
An 称为 式即算符
Aˆ
Aˆ
的一个本征值, 的本征方程.
n 为相应的本征态.上
注意
求解时, n 作为力学量的本征态,还要满
足物理上的一些要求.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
I Aˆ iBˆ , Aˆ iBˆ
2 Aˆ , Aˆ i Aˆ , Bˆ i Bˆ , Aˆ Bˆ , Bˆ
2 , Aˆ 2 i , Aˆ, Bˆ , Bˆ 2
引进厄米算符
Cˆ Aˆ, Bˆ / i Cˆ
则
I 2 A2 C B2
, , 1, 2,3或x, y, z
还可以证明:
lˆ , pˆ ε ihpˆ ,
即角动量各分量的对易式为:
lˆ
, lˆ
ε
ihlˆ
lˆx ,lˆx 0, lˆx ,lˆy ihlˆz ,
lˆy ,lˆy 0,
lˆy
,
lˆz
ihlˆx
,
lˆz ,lˆz 0, lˆz ,lˆx ihlˆy
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a 有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ , Bˆ F n,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分
d 是, 坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
, * ,
, c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c2 2 , c1* 1, c2* 2 ,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
(f) 转置算符
(2)
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学
量 A 的本征态.
在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零,
即 必须满足
Aˆ A 0
或
Aˆ 常数
3.1 算 符 的 运 算 规 则
lˆx , y ihz,
lˆy , x ihz,
lˆy , y 0,
lˆz , x ihy,
lˆz
,
y
ihx,
lˆx
,
z
ihy,
lˆy , z ihx,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε ihx
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε ε123 1
设给定一函数 F x , 其各阶导数均存在, 幂级数展开收敛
F x F n 0xn n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
e
a
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
在线性代数中, 通常采用Schmidt正交化程序来进行正 交化.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
在常见问题中,当出现简并时, 往往是用(除 Aˆ 之 外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类, 从而 把它的简并态确定下来.
此时, 正交性问题将自动解决. 这就涉及两个或多 个力学量的共同本征态问题.
两个力学量是否可以有共同本征态? 或者说 是否可以同时测定?这Leabharlann 是下一节不确定度关系要讨论的问题!
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版) 3.3.1 不确定度关系的严格证明
引 当体系处于力学量 Aˆ 的本征态时,对其测量,可得一 入 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
出现简并时, 简并态的选择是不唯一的, 而且也不一 定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此 正交.
证明如下
令 因为
fn
n a n , 1
1, 2,L fn,
Aˆn a Aˆ n An a n Ann .
a
a
所以只要选择 a , 使 n ,n δ , 即可得证.
ˆˆCˆ L L Cˆ ˆ ˆ
(h) 厄米算符 满足下列关系的算符
, ˆ ˆ , ,或ˆ ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符.
※ x, px , l, V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一 般不是厄米算符, 除非 ˆ,ˆ 0(可对易).
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ Cˆ ˆ ˆ Cˆ
所以, 两个线性算符之和仍为线性算符.
(c) 算符之积 算符ˆ 与 ˆ 之积,记为ˆˆ ,定义为
ˆˆ ˆ ˆ
任意.
一般说来,算符之积不满足交换律,即
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x ih,
上式右乘 n , 积分, 得到
Aˆ m , n Am m , n .
由于 Aˆ Aˆ ,上式左边= m, Aˆ n An m, n ,因此得
Am An m, n 0. 如 Am An ,则必有 m , n 0.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
关于厄米算符的重要定理:
定理 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数.
证明如下:
在 态下厄米算符 ˆ 的平均值为
, ˆ ˆ , , ˆ * *.
逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算 符.
实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此, 相应的算符必须是厄米算符.
不难证明, 对易式满足下列代数恒等式:
ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ Cˆ ˆ , ˆ ˆ , Cˆ