量子力学 力学量用算符表达

lˆx , y ihz,
lˆy , x ihz,
lˆy , y 0,
lˆz , x ihy,
lˆz
,
y
ihx,
lˆx
,
z
ihy,
lˆy , z ihx,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε ihx
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε ε123 1
算符 ˆ 的转置算符 ˆ%定义为
d *ˆ% dˆ *
即
, ˆ% *, ˆ *
式中 与 是任意两个波函数.
~
ˆ ˆ
ˆ%ˆ%
(g) 复共轭算符与厄米共轭算符
算符 ˆ 的复共轭算符 ˆ* 定义为
ˆ * ˆ * *
通常算符 ˆ 的复共轭 ˆ * ,可如下构成, 即把 ˆ 的表达 式中所有量换成其复共轭.
注意
算符 ˆ 的共轭算符的表达式与表象有关
例如, 在坐标表. 象中
pˆ * ih * ih pˆ
而在动量表象中
p* p
算符 ˆ 之厄米共轭算符 ˆ 定义为
, ˆ ˆ ,
由此可得
, ˆ
, ˆ
*
*, ˆ * *
, %*
推出
ˆ ˆ%*
例如: pˆ pˆ%* p%ˆ pˆ 可以证明
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分
d 是, 坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
, * ,
, c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c2 2 , c1* 1, c2* 2 ,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
(f) 转置算符
量子力学中的一个基本假定: 测量力学量 A 时所有可能出现的值, 都是相应的线
性厄米算符 Aˆ 的本征值. 当体系处于 Aˆ 的本征态 n 时, 则每次测量所得结果都是完全确定的,即 An .
所以, 在 n态下(设 n 已归一化)
A n , Aˆ n An n , n An
推出 定理1 厄米算符的本征值必为实.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 c1Aˆ1 c2 Aˆ 2
其中1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
, , 1, 2,3或x, y, z
还可以证明:
lˆ , pˆ ε ihpˆ ,
即角动量各分量的对易式为:
lˆ
, lˆ
ε
ihlˆ
lˆx ,lˆx 0, lˆx ,lˆy ihlˆz ,
lˆy ,lˆy 0,
lˆy
,
lˆz
ihlˆx
,
lˆz ,lˆz 0, lˆz ,lˆx ihlˆy
上式右乘 n , 积分, 得到
Aˆ m , n Am m , n .
由于 Aˆ Aˆ ,上式左边= m, Aˆ n An m, n ,因此得
Am An m, n 0. 如 Am An ,则必有 m , n 0.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
(d) 逆算符 设
ˆHale Waihona Puke Baidu ,
能够唯一地解出 ,则可以定义算符 ˆ 之逆 ˆ 1 为
ˆ 1
并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.
若算符 ˆ之逆存在,则
ˆˆ 1 ˆ 1ˆ I , 设 ˆ 与 Bˆ 之逆均存在,则
ˆ , ˆ 1 0
ˆ Bˆ 1 Bˆ 1ˆ 1
(e) 算符的函数
简并问题
在处理力学量本征问题时,特别是能量 的本征值问题, 常常出现本征态的简并,
这与体系的对称性有密切关系.
在能级简并的情况下, 仅根据能量本征值并不能把各 能量的简并态确定下来.
设力学量 A 的本征方程表为
Aˆ n An n ,
1, 2,L , fn
即属于本征值 An 的本征态有 fn 个,则称本征值 An 为 fn 重简并.
两个任意常数（一般为复数）.例如pˆ ih 就是线性算符.
注
量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复
意
共轭),但刻画可观测量的算符都是线性算符.
I ,
Aˆ Bˆ ,
I 为单位算符
Aˆ
与B
两个算符相等
其中, 是任一波函数.
(b) 算符之和
对于任意波函数 , 有
ˆ ˆ ˆ ˆ
显然, 算符的求和满足交换律和结合律:
推论 设 ˆ 为厄米算符, 则在任意态 之下,
2 , ˆ 2 ˆ , ˆ 0
以上是关于算符的一般规律和定则, 在 接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算 符-------厄米算符, 及其本征值与本征函数!
量子力学教程(第二版)
3.2 厄米算符的本征值与本征函数
涨落 对于都用 来描述其状态的大量完全相同的
则量子力学中最基本的对易关系可以化成:
角动量对易式
x , p ihδ
角动量算符: lˆ r pˆ ,
lˆx
ypˆ z
zpˆ y
ih
y
z
z
y
各分量表为
lˆy
zpˆ x
xpˆ z
ih
z
x
x
z
lˆz
xpˆ y
ypˆ x
ih
x
y
y
x
由代数恒等式, 不难证明
lˆx , x 0,
在线性代数中, 通常采用Schmidt正交化程序来进行正 交化.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
在常见问题中,当出现简并时, 往往是用(除 Aˆ 之 外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类, 从而 把它的简并态确定下来.
此时, 正交性问题将自动解决. 这就涉及两个或多 个力学量的共同本征态问题.
xpˆ y pˆ y x 0,
ypˆ y pˆ y y ih,
zpˆ z pˆ z z ih,
xpˆ z pˆ z x 0L
概括
量子力学中最基本的对易关系:
x pˆ pˆ x ihδ
, x, y, z,或1, 2,3
定义:
对易式(commutator)
ˆ, ˆ ˆˆ ˆˆ
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a 有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ , Bˆ F n,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
另一个力学量 Bˆ 时,却不一定得到一个确定值.
下面我们普遍地分析此问题.
设有两个任意的力学量 Aˆ 和 Bˆ,
分析下列积分不等式
I
Aˆ
iBˆ
2
d
0
其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
因为 Aˆ 与 Bˆ 为厄米算符， 所以
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
厄米算符的本征函数的一个基本性质:
定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数, 彼此 正交.
证明如下:
设
并设 m, n 存在, 对
Aˆ n An n ,
Aˆ m Am m ,
Aˆ m Am m , 取复共轭, 得到
Aˆ *
* m
Am m*.
两个力学量是否可以有共同本征态? 或者说 是否可以同时测定?
这将是下一节不确定度关系要讨论的问题!
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版) 3.3.1 不确定度关系的严格证明
引 当体系处于力学量 Aˆ 的本征态时,对其测量,可得一 入 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量
(2)
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
如果体系处于一种特殊的态, 测量 A 所得结果是 唯一确定的, 即涨落 A2 0 , 则这种状态称为力学
量 A 的本征态.
在本征态下, 由式(2)可以看出, 被积函数必须为零,
即 必须满足
Aˆ A 0
或
Aˆ 常数
3.1 算 符 的 运 算 规 则
I Aˆ iBˆ , Aˆ iBˆ
2 Aˆ , Aˆ i Aˆ , Bˆ i Bˆ , Aˆ Bˆ , Bˆ
2 , Aˆ 2 i , Aˆ, Bˆ , Bˆ 2
引进厄米算符
Cˆ Aˆ, Bˆ / i Cˆ
则
I 2 A2 C B2
可以写成
lˆ, lˆ ihlˆ
定义:
lˆ2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
则容易证明:
lˆ2
,
lˆ
0,
x, y, z
在球坐标系中lˆ , 各分量可表示成
lˆx
ih
sin
cot
cos
lˆy
ih
cos
cot
sin
lˆz
ih
lˆ2
h2
1
sin
sin
1
sin2
2
2
不难证明, 对易式满足下列代数恒等式:
ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ Cˆ ˆ , ˆ ˆ , Cˆ
ˆ , ˆ Cˆ ˆ ˆ , Cˆ ˆ , ˆ Cˆ
ˆˆ ,Cˆ ˆ ˆ ,Cˆ ˆ,Cˆ ˆ
ˆ ,
ˆ
,
Cˆ
ˆ
,
Cˆ ,
ˆ
Cˆ ,
ˆ ,
ˆ
0(Jacobi恒等式）
体系(系综), 如进行多次测量, 所得结果的平 均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结 果则围绕平均值有一个涨落.
涨落定义为
A2
Aˆ A 2 *
Aˆ
A
2
d
(1)
因为 Aˆ 为厄米算符, A 必为实数, 因而 A Aˆ A 仍为
厄米算符, 再利用3.1节所学知识, 有
A2 Aˆ A 2 d 0
2
A2 C / 2A2 B2 C 2 / 4A2 0
C 为实，不妨取 C / 2A2 ,则得
B2 C2 / 4A2 0
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
即 A2 B2 1 C 2 ,或表成 4
A2 B2
1 2
C
1 2
Aˆ, Bˆ
1
在上式中，Aˆ 与 Bˆ 为厄米算符, A 与 B 又均为实数, Aˆ Aˆ A 与 Bˆ Bˆ B 也是厄米的.
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ Cˆ ˆ ˆ Cˆ
所以, 两个线性算符之和仍为线性算符.
(c) 算符之积 算符ˆ 与 ˆ 之积,记为ˆˆ ,定义为
ˆˆ ˆ ˆ
任意.
一般说来,算符之积不满足交换律,即
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x ih,
ˆˆCˆ L L Cˆ ˆ ˆ
(h) 厄米算符 满足下列关系的算符
, ˆ ˆ , ,或ˆ ˆ
称为厄米算符, 也称为自共轭算符.
※ x, px , l, V x (实)等都是厄米算符.
两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一 般不是厄米算符, 除非 ˆ,ˆ 0(可对易).
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
出现简并时, 简并态的选择是不唯一的, 而且也不一 定彼此正交, 但总可以把它们适当线性叠加, 使之彼此 正交.
证明如下
令 因为
fn
n a n , 1
1, 2,L fn,
Aˆn a Aˆ n An a n Ann .
a
a
所以只要选择 a , 使 n ,n δ , 即可得证.
关于厄米算符的重要定理:
定理 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数.
证明如下:
在 态下厄米算符 ˆ 的平均值为
, ˆ ˆ , , ˆ * *.
逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算 符.
实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此, 相应的算符必须是厄米算符.
让 Aˆ Aˆ, Bˆ Bˆ, 则(1)式仍成立.
量子力学教程(第二版)
一般, 把常数记为 An ,并把本征态记为 n , 得到
Aˆ n An n
An 称为 式即算符
Aˆ
Aˆ
的一个本征值, 的本征方程.
n 为相应的本征态.上
注意
求解时, n 作为力学量的本征态,还要满
足物理上的一些要求.
3.1 算 符 的 运 算 规 则
量子力学教程(第二版)
设给定一函数 F x , 其各阶导数均存在, 幂级数展开收敛
F x F n 0xn n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
e
a
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx