1.2 二次根式的性质(二)
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
二次根式的性质
二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。
它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。
一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
这里√称为根号，a称为被开方数。
当然，a可以是一个整数、小数或者分数。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。
3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。
当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。
例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。
两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。
例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。
（3）除法：二次根式可以进行除法运算。
两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。
例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。
4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。
化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。
（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。
例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。
3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。
这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。
四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。
1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。
二次根式的性质课件(浙教版)
( a)
2
a
a≥0
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
( a)
2
=a
a (a≥0)
2
a =∣a∣ =
-a(a＜0)
例1 计算:
(1) (−10)2 − ( 15)2
(2)( 2 − (−2)2) × 2 + 2 2
解： （1）（-10）2 -（15）2 = -10 -15=10-15=-5
(2)
( 2 − (−2)2) × 2 + 2 2
1
3
( 0) =
2
2
2
0
2是2的算术平方根，
根据算术平方根的意义，
2是一个平方等于2的非负数，
2
因此有（ 2）
2
性质.( a )2=a (a≥0)
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
温故知新：齐声朗读
非负数的三种表现情势：a2, ︱a︱,
(-13)2 = 169
(-12)2 = 144
= 2−1+1+ 2
=2 2
6、如图，P是直角坐标系中一点。
（1）用二次根式表示点P到原点O的距离。
（2）如果x= , y=
y
┓
┓
，求点P到原点O的距离。
1.
OP= 2 + 2
2.
OP=
( 2)2 + ( 7)2
x
=
=3
2+7
连续递推，豁然开朗
7.实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1 − )2 + | 2 − p |
= ( 2 − 2) × 2 + 2 2
二次根式的概念和性质
二次根式与有理数的关系
二次根式与有理数存在着紧密的关系。有理数可以表示为二次根式的特殊形 式，而二次根式也可以化简为有理数的形式。理解这种关系可以帮助我们更 好地处理二次根式的运算和问题。
胡克定理和三角不等式
胡克定理
三角不等式
胡克定理描述了弹簧的弹性变形与所受力的关系， 可以用二次根式的形式表示。
二次根式的运算法则
加减法
二次根式加减法遵循同底 同幂原则，将根号内的数 值进行合并，然后进行相 应操作。
乘除法
二次根式乘除法时，可以 通过有理化的方法将根号 内的数值转化为有理数， 然后进行相应操作。
化简
化简二次根式是将一个二 次根式转化为另一种形式， 通常是将根号内的数值合 并或提取出满足条件的因 式。
二次根式的概念和性质
二次根式是代数Leabharlann 的一种重要形式，表示为一个数的平方根。学习二次根式 的概念和性质，将帮助我们更好地理解和运用这一概念。本章将系统介绍二 次根式的相关内容。
什么是二次根式？
二次根式是一个数的平方根，如√2、√5等。它们在代数和几何中都有重要的 应用。通过学习二次根式的性质，可以深入理解数学中的平方根概念。
三角不等式是数学中一条基本不等式，可以用二 次根式的形式表示。它在几何和代数中都有应用。
二次根式的图像及其性质
二次根式的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。通过研究二次根式的图像特性，我们可以了解它 的曲线形状、对称性以及其他重要的几何性质。
二次根式在实际生活中的应用
二次根式在实际生活中有广泛的应用，例如在物理学中描述速度和加速度，以及在几何学中描述曲线和 曲面的形状。了解这些应用可以帮助我们更好地应用二次根式。
二次根式的加减法和乘除法
《二次根式的性质(2)》练习(有答案)
初中精品试卷1.2 二次根式的性质（ 2）同步练习课内练习A 组1．下列运算正确的是（ ）A ． 52 42 = 52 - 42 =5-4=1B ． ( 16)( 25) =16 × 25 =-4 ×（-5）=20C ． (5)2(12)2 = 5 +12=17 D ． 42 7= 42×7=4 7131313 13 132．下列化简错误的是（）A ． 5 =5 = 5 B ． 0.010.49 = 0.01 × 0.49 =0.1 ×0.7=0.0799 3C ． 2=2 = 1 14D ． 11=1·1=1×1 =17 7 74949 773． 169 196 =______;4． 423 =_______;5．5=________;36． ( 18)( 24) =_____;7． 0.001 =________;8．1 1=_______．2 39．（1） 5 =________； （2） 103 =_________．810．（ 1） 1( 8) 2 =_______； （2） 8.1 102 =________．17B 组11．计算：211=________;12．化简： 152302 =_______．3413．?已知等腰三角形的底边长为 10cm ，?腰为 13cm ，?则此等腰三角形的面积为________cm 2．0.9 169 14．-=________．3.619615．在△ ABC 中，∠ C=Rt ∠，若 AB=8 ，BC=1，则 AC=_______．16．在直角坐标系中，已知点A （1，-2），B （5，-7），C （ 5， -2）是三角形的三个顶点，求 AB 的长．课外练习A 组1．判断题（对的打 “∨”，错的打 “×”）（ 1） (3.14)2=3.14-（ ）（2） 3252=32×5 5=135 5 （ ）（ 3）1 1 8 8 （ ）（ ）5( 5) 25 （ ）8 888552．化简： 169 121 4 =_________;3．化简： (2.5 103 )(1.6 105 ) =_________．4．化简：16 =________;1255．化简 52结果正确的是（）5A ．110B ． 25 10C ． 2D ． 1056．计算：32 的值为（ ）25A ．32B ．32C ．36D ．8 62887．化简：11=________;808． ( 8 ) 2 ( 2 ) 2=_________;15159．化简：332=________．4 2710．已知△ ABC 中，∠ C=Rt∠，若 AC=5cm，BC=4cm，求 AB 的长．B 组11．化简： 132392 =________;912．化简： 1.6105=________．8.11013．已知等边三角形的边长为4 2 cm，则它的高为______cm．14．在如图的 4×4 方格内画△ ABC ，使它的顶点都在格点上，?三条边长分别为1125 ，4，3222．5参考答案【课内练习】1．D 2．D3．1824．4 35．1156．12 3 37．1108．169．（1）110 （2）10 10 ? 1006410．（ 1）15（2）9 1011．1312．15 5 17313．6014．- 1315．3716．41 28【课外练习】1．（1）× （2）× （3）×（4）∨2．2863．2×1044．455．D 6．B 257．958．2159．1610．41 cm 2015311．131012．40013．26 914．如图所示513。
16.1.2 二次根式的性质
学习目标：1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
重点：二次根式的性质
难点：综合运用性质 进行化简和计算。
学习环节
一．前置作业：
1、什么是二次根式，它有哪些性质？
2、二次根式 有意义，则x。
3、在实数范围内因式分解：
( )2=（x+）(y-)
主备人：郭海ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ审核人：姜瑞风时间：编号1602
（四）拓展提升
1、化简下列各式
（1） (2)
2、化简下列各式
（1）
（2） （x＜-2）
（五）达标测试：
A组
1、填空
（1）、 - =_________.
（2）、 =
（3）a、b、c为三角形的三条边，则
________.
2、已知2＜x＜3，化简：
B组
3 已知0＜x＜1，化简： －
（二）自主学习
1、计算： ，
，
，
。
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
当
当
（三）合作交流
归纳总结：将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
巩固训练：1、化简下列各式：
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、 =（ ）
2、教材P4练习2、P5复习巩固2
3、总结你在计算过程中需要提醒大家注意的事项：
4 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
5、把 的根号外的 适当变形后移入根号内，得（ ）
A、 B、
C、 D、
二次根式性质
二次根式性质二次根式是高中数学中的一个重要概念，它是指含有二次根号的数。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解其性质和应用。
本文将介绍二次根式的性质，并探讨其在实际生活中的应用。
首先，让我们回顾一下二次根式的定义。
二次根式是形如√a或a^0.5的数，其中a是一个正实数。
当我们计算二次根式时，需要注意以下几个性质。
首先，二次根式可以进行加减乘除运算。
对于两个二次根式，如果它们的根号内的数相同，那么只需要将它们的系数相加或相减即可。
例如√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0。
如果根号内的数不同，我们无法直接进行加减运算，但可以通过有理化来化简。
具体而言，需要将根号内的数进行因式分解，并利用公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2将其转化为差的平方。
例如√3 + √2可以有理化为√6 + 1。
其次，二次根式的乘法可以通过指数运算进行简化。
如果我们有两个相同的二次根式相乘，例如√2 × √2，可以利用指数运算的规律，将它们转化为2的平方根，即2。
同样地，如果我们有两个不同的二次根式相乘，例如√2 × √3，可以将其转化为√6。
除了基本的加减乘除运算性质外，二次根式还具有一些特殊的性质。
其中最重要的就是有理化。
当二次根式出现在分母部分时，我们一般需要进行有理化处理。
具体而言，可以通过乘以分母的共轭形式，将分母中的二次根式转化为有理数。
例如1/√2可以有理化为√2/2。
现在让我们来看一些实际生活中的应用。
二次根式在物理学和工程学中广泛应用。
例如，在计算力学问题中，我们常常需要使用二次根式来计算速度、加速度和力的大小。
此外，二次根式也可以应用于电路分析、声学和天文学等领域。
在电路分析中，二次根式可以用于计算电压、电流和电阻等参数。
通过使用二次根式，我们可以更准确地描述电路的特性，并进行电路设计和故障诊断。
在声学中，二次根式可以应用于波长、频率和声强度等参数的计算。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
二次根式的性质及其应用
二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性对于二次根式,：①≥0; ②≥0.a a a （2）转化性.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.a a =2（3）自身性（≥0）.()a a =2a 一、二次根式性质的应用双重非负性的应用 二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式（≥a a 0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0. 已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围是__________.10+x x x 分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于的一个不等式.x 本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于的另一个不等式.两个不等式x 组成的不等式组的解集即为的取值范围.x 解:由题意可得:,解之得:且 ⎩⎨⎧≠>+001x x 1->x 0≠x∴的取值范围是且.x 1->x 0≠x 例2. 已知都是实数,且满足,则_________.b a ,21221--+-=a a b =b a 分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式与B A -都有意义,那么.A B -B A =解:由题意可知:,解之得:. ⎩⎨⎧≥-≥-012021a a 21=a ∴2-=b ∴.4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a 例3. 已知均为实数,且,求的值.c b a ,,()012112=++++-c b a c b a ,,分析 本题考查非负数的性质,二次根式是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类a 问题要注意过程的书写规范.解: ∵ ()012112=++++-c b a ≥0,≥0,≥0 1-a 1+b ()212+c ∴012,01,01=+=+=-c b a ∴.12,1,1-=-==c b a 例4. 已知实数满足,求的值.a a a a =-+-2023202222022-a 分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. a 解:由题意可得:≥02023-a 解之得:≥2023a ∴a a a =-+-20232022∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a ∴.202320222=-a 例5. 关于代数式的说法正确的是【 】43+-x （A ）当时有最大值 （B ）当时有最小值0=x 0=x （C ）当时有最大值（D ）当时有最小值 4-=x 4-=x 分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式有最小值0,此时,且有最大值,最大值为4+x 4-=x 43+-x 3.∴当时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.4-=x 解法二: ∵≥0,当时取等号 4+x 4-=x ∴≤0 4+-x ∴≤343+-x ∴当时,该代数式有最大值3.4-=x 转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:. ()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a 在对二次根式进行化简时,先转化为,再根据的符号去掉绝对值,以达到最终2a a a 化简二次根式的目的. 例6. 实数在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简.b a ,()22b a b b a ---+解:由数轴可知:,且. a b <<00<+b a ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2例7. 已知,则__________. 01<<-a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a 解: ∵01<<-a ∴ a aa a <<+1,01∴ 414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. a2-=点评 两个重要的结论:①当时,;②当时,. 01<<-a 01<<a a 10<<a a a 10<<例8. 已知为任意实数,化简.x 961222++++-x x x x 分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当≤时x 3-原式;()2231--=--+-=x x x②当时13<<-x 原式;()431=--+-=x x ③当≥1时x 原式.()2231+=--+-=x x x 自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算.例9. 计算:()()222121323-++-解:原式121318-++= 43121318=++=例10. 下列结论正确的是【 】（A ） （B ） ()662-=--()932=-（C ） （D ） ()16162±=-251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解:对于（A ）,,故（A ）正确; ()6662-=--=--对于（B ）,,故（B ）错误; ()332=-对于（C ）,,故（C ）错误;()1616162=-=-对于（D ）,,故（D ）错误. 251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴选择答案【 A 】.。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
15.1.2 二次根式的性质
知识点 2
a a a 0，b 0
bb
1. 4与 4 是否相等? 99
2.当a≥0，b＞0时，对
25与 25 呢? 49 49 a 和 a 的关系提出你的猜想， bb
并说明理由.
（来自《教材》）
事实上， a a 理由如下： bb
(2)因为当a≥0，b＞0时，
a 2 a a 2
2
aa
b b , b
(4) 0.49x5 y6 ( y＞0)；
(5)
a2 b2
2
a2 b2
2 (ab＞0)；
(6)
4
y5
4 xy4
x2
y3
y＞ 1 2
x
.
（来自《点拨》）
知1－练
导引：应用积的算术平方根的前提是乘积的算术平方根， 若不是则需将其转化为积的形式，其次是每个因数 (式)必须是非负数． (1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数是含有字 母的单项式，都可利用 a b a b (a≥0，b≥0) 和 a2 ＝a(a≥0)进行化简；(5)(6)中被开方数为多项 式，化简时要先分解因式．
（来自《点拨》）
知1－练
解：(1) 125 25 5 25 5 5 5.
(2) 7 14 714 2 72 2 72 7 2.
(3) m3n5 m2n4 mn m2 n4 mn mn2 mn.
(4) 0.49x5 y6
0.72
x2 2
y3
2
x
0.72
本性质，先将分式的分子、分母同乘一个不等于0的数或
整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算
术平方根进行化简．
（来自《点拨》）
1 化简: (1) 1 9 ； 16 (3) 4 ； 9x
1.2二次根式的性质(2)
1 18 24 2
0.001 0.5
3
12 24
2
2
1
9 25
2
121 16
3
2 7
4
二次根式化简方法二：
5 8
5
0.027
有分母的要分母有理化，分母凑 成平方数。
2 15 5
2
2
3 1 5 3
3
1 根号内不再含有开得尽方的因式. 最简二次根式： 根号内不再含有分母． 2
8 2 2 ( ) 13 13
判断！
1 4 9 4 9 2 2 2 2 2 13 12 13 12 13 12 1 3
4a 4a 4 2对任意实数a都成立 a a
1.二次根式的性质:
ab a b (a 0, b 0) a a (a 0, b 0) b b
1.2二次根式的性质(2)
一般地,二次根式也有下面的性质:
ab a b (a 0, b 0) a a (a 0, b 0) b b
1
3
25 4
3 44Βιβλιοθήκη 220.01 0.49
4
12 15
5
18 6
二次根式化简方法一：
被开方数分解出平方数，分解到 不能再分解为止。
根号内不再含有开得尽方的因式. 1 2.运用性质化简: 根号内不再含有分母． 2
2 2 2 _______, 2 _______ 3 3
3 3 3 ______, 3 ______ 8 8
4 4 4 ______ 4 ______ 15 15
5 5 5 _______ 5 ______ 24 24
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
2.ba b a =(a ≥0，b >0) 二、最简二次根式 像33、22、a a 2这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.【经典例题】【例1】下列二次根式中，最简二次根式（ ）A ．√12B ．√0.7C ．√8D ．√x 2+1 【例2】已知 a >0 ，那么 √−4a b 可化简为（ ） A ．2b √−ab B ．−2b √ab C ．−2b √−ab D ．2b √−ab【例3】观察下列各式：√1+112+122=1+11×2=1+(1−12) ， √1+122+132=1+12×3=1+(12−13) ， √1+132+142=1+13×4=1+(13−14) ， ……请利用你发现的规律，计算：√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+120202+120212 其结果为【基础训练】1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A ．√a 2B ．√a +2C ．√1aD ．√a 2b2．下列化简错误的是（ ） A ．√1625=45B ．√1916=134C ．√2764=38√3D ．−√715=−65√5 3．下列二次根式中，最简二次根式的个数有（ ）①√0.2②√3a (a>0)③√a 2+b 2④√25A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．√(−4)2 = ； √(−64)×(−81) = .5．在下列二次根式 √5a ， √2a 3 ， √b ， √8x 中，最简二次根式有 .6．计算： √3×√8√6= 。
7．计算：√48a 3÷√6a b= . 8．王聪学习了二次根式性质公式 √a √b = √a b 后，他认为该公式逆过来 √a b= √a √b 也应该成立的，于是这样化简下面一题： √−27−3 = √−27√−3 = √(−3)×9√−3 = √9 =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.9．观察下列式子：√2+23 =2 √23 ； √3+38 =3 √38 ； √4+415 =4 √415 ； √5+524 =5 √524 你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．10．求代数式(√1a −√b)·√ab 的值，其中a ＝3，b ＝2．【培优训练】11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）A ．√4a 2+4a +1B ．√0.5C ．√4x +y 3D ．√xy 3 12．已知b ＞0，化简 √−a 3b 的结果是（ ）A ．a √abB ．−a √abC ．−a √−abD ．a √−ab 13．已知n 是正整数，√3n 是整数，则n 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－3 14．若k ，m ，n 都是整数，且√135＝k √15，√450＝15√m ，√180＝6√n ，则下列关于k ，m ，n 的大小关系，正确的是( )A ．m ＜k ＜nB ．m ＝n ＞kC ．m ＜n ＜kD ．k ＜m ＝n 15．已知a =√2023×2021，b =√20202+4×2021，c =2021×2020−2019×2021，则(a −b)(b −c)的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．无法确定16．记S n =√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+1n 2+1(n+1)2，则S 20162016=（ ） A ．20162017 B ．20172016 C ．20172018 D ．20182017 17．已知a 为实数，化简 √−a 3−a √−1a= ． 18．借助于计算器可以求得√42+32 ＝ ，√442+332 ＝ ，√4442+3332 ＝ ，√44442+33332 ＝ ，……仔细观察上面几道题的结果，试猜想 √44⋯42︸2011个＋33⋯32︸2011个＝ .19．已知 √9−x x−6=√9−x √x−6 ，且x 为偶数，求（1+x ） ⋅√x 2−5x+4x 2−1的值.20．若a=3+ √2 ，b=3- √2 ，求a 2b -ab 2的值【直击中考】21．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√19B ．√4C ．√a 2D ．√a +b 22．化简 √8 的正确结果是（ ）A ．4B ．±4C ．2√2D ．±2√223．下列等式成立的是（ ） A ．√16=±4 B ．√−83=2C ．−a √1a=√−a D ．−√64=−8 24．计算： (√2+√3)2−√24= ．25．已知m 为正整数，若√189m 是整数，则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7=21.设n 为正整数，若√300n是大于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 .。
二次根式与无理方程
二次根式与无理方程引言数学作为一门科学，其理论体系庞大而复杂。
在数学的世界中，二次根式与无理方程是一个重要的概念与工具。
本文将介绍二次根式与无理方程的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
一、二次根式的基本概念与性质1.1 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式可以简单地理解为对一个数的平方根的表达式。
1.2 二次根式的性质二次根式具有以下性质：（1）非负性：二次根式的值始终为非负实数。
（2）封闭性：对于任意的非负实数a和b，√(a+b) = √a + √b。
（3）分配律：对于任意的非负实数a和b，√(a*b) = √a * √b。
二、无理方程的基本概念与性质2.1 无理方程的定义无理方程是指方程中含有二次根式的方程。
无理方程的求解是数学中的一个重要问题。
2.2 无理方程的性质无理方程具有以下性质：（1）根的存在性：对于任意给定的无理方程，其解一定存在。
（2）根的唯一性：无理方程的解不一定是唯一的，可能存在多个解。
（3）解的性质：无理方程的解可能是有理数，也可能是无理数。
三、二次根式与无理方程的应用3.1 几何应用二次根式与无理方程在几何中有广泛的应用。
例如，在解决一些几何问题时，需要求解含有二次根式的方程，来确定几何对象的性质和位置关系。
3.2 物理应用在物理学中，二次根式与无理方程也有重要的应用。
例如，在计算物体的运动轨迹、力的大小等问题时，常常需要利用二次根式与无理方程进行计算和求解。
3.3 经济应用在经济学中，二次根式与无理方程也有一定的应用。
例如，在计算成本、收益、利润等经济指标时，常常需要利用二次根式与无理方程进行建模和求解。
结论二次根式与无理方程是数学中重要的概念与工具，具有广泛的应用。
通过对二次根式与无理方程的基本概念、性质以及应用的介绍，我们可以更好地理解和应用这一数学知识。
在实际问题中，我们可以运用二次根式与无理方程来解决各种问题，提高问题求解的能力和思维能力。
初中数学二次根式的性质
初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。
也就是说，二次根式的结果总是非负的。
这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。
2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。
也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。
否则，二次根式就没有意义。
3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。
这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。
4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。
例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。
以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。
22.1.2二次根式第二课时
22.1.2二次根式学习目标：1、经历二次根式的性质{ EMBED Equation.3 |2a=a (a≥0). 的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的性质。
3、会运用二次根式的性质进行有关计算。
学习过程：（一）自主学习，交流发现1.请完成下列括号：（学生完成后同桌交流）因为(±2)2=4，所以（）是4的平方根，其中（）是4的算术平方根。
由此可知当2时4的算术平方根时，他们应该满足22=4的关系，（）是3的算术平方根，根据平方根意义可知，他们应满足的关系是( )2= ，是5的算术平方根，同样有( )2=2．每个小组再举出一个类似的例子，并观察归纳得到什么式子？（1）学生观察归纳：（）（2）提问：这个公式在什么条件下成立呢？为什么≥0？（3）得到公式(≥0)3．巩固新学知识，抢答：例1，计算①②③4.练习1.课本第三页练习1.(独立完成,小组内检查)练习2. ；；；（二）合作探究，再探新知1.请填写下列空格，（独立完成后小组交流展示）……从上面的答案中你发现什么规律？并猜想：小组内交流展示。
对于学生不能回答回思路不明时，则如下点拨：比较和有何关系？当a≥0时，＝_____；和a﹤0，＝_____。
2.归纳二次根式性质：学生理解记忆。
3、看谁的正确率高？（小组间抢答）；；；；(5)数在数轴上的位置如图，则。
4、例1、计算：（三个小组选代表板演）； ；5.跟踪练习：(独立完成,小组长检查)（1）；（2）(三).反馈小结,交流收获这节课我的收获是_____________________________.还有的疑惑是_________________________________.当堂检测(相信你能行)．1．的值是（ ）．A ．0B ．C ．4D ．以上都不对2.当x>2，化简-3.计算：（1）；（2）拓展提高1、动动脑筋你能把一张三边分别为、、的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?2、若-3≤ x ≤ 2时，试化简│x-2│++。
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＝ 8＋1× 8－4＝ 9× 4＝6．
【答案】 6
x2－5x＋4 பைடு நூலகம்2－1
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【答案】 A
【例 3】 已知 的值．
9x－－x6＝ x9－－6x，且 x 为偶数，求(1＋x)
【解析】 由题意，得9x－－x6≥＞00，，解得 6＜x≤9． ∵x 为偶数，∴x＝8．
∴原式＝(1＋x)
（（xx－＋41））（（xx－－11））＝(1＋x)
x－4 x＋1
＝(1＋x) xx＋－14＝ x＋1× x－4
ab＝
a时，注意以下几点： b
(1)a，b 都是非负数(当 b 为分母时，b 不能等于 0)时式子才
能成立．如果 a，b 均为负数，虽然 ab＞0， ab有意义，
但 a， b在实数范围内无意义． (2)利用这个性质可以化简二次根式．
3．被开方数是带分数时，应先化成假分数；若是开不尽方的
小数，应先化成分数． 4．二次根式化简的最后结果必须是最简二次根式或整式．
解题指导
【例 1】 (1)3 23． (2)25 540． (3) (4) 1196． (5) 132＋262．
0．4－13．
【解析】 (1)不是最简二次根式，将被开方数的分子、分母同时 乘 3，可以化去根号内的分母；(2)中分母可以直接开方得 2，分 子 50＝25×2，含开得尽方的因数 25，应把含开得尽方的因数 25 移到根号外；(3)中的小数 0．4 应化成分数，再通分，最后化去 根号内的分母；(4)被开方数 1196是带分数，先要化成假分数2156， 再化去根号内的分母；(5)根式中有乘方和加法的运算，应先进行 根号里的运算，再化简．
【答案】
(1) 6
(2) 2
1 (3)15
5 15 (4)4 (5)13 5
反思
(1)化简二次根式常常用到分式的基本性质；(2)原来在根式 中是分母的因数或因式，开方后移出根式还是分母；(3) 根号有括号的作用，因此第(5)小题要先进行根号里的运 算．
【例 2】 下列计算正确的是
()
A． 12＝2 3
学习指要
知识要点
1．二次根式的性质： (1) ab＝ a× b(a≥0，b≥0)． (2) ba＝ ba(a≥0，b＞0)．
2．最简二次根式需满足以下条件： ①根号内不含开得尽方的因数或因式． ②根号内不含分母或小数． ③分母中不含根式．
重要提示
1． a±b≠ a± b(ab≠0)．
2．在应用性质 ab＝ a× b，
(1)3
23＝3
23××33＝3× 362＝3× 36＝ 6．
(2)25
540＝25× 522×2 2＝25×522＝ 2．
(3) 0．4－13＝ 25－13＝ 165－155＝ 115＝ 11552＝115 15． (4) 1196＝ 2156＝ 5422＝54．
(5) 132＋262＝ 132＋（13×2）2＝ 132×（1＋4）＝13 5．
B．
23＝
3 2
C． －x3＝x －x
D． x2＝x
【解析】 直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
A． 12＝ 4×3＝ 4× 3＝2 3，故本选项正确； B． 23＝ 23＝（3×2）22＝ 26，故本选项错误； C． －x3＝ x2·（－x）＝ x2× －x＝－x －x，故本
选项错误；
D． x2＝|x|，故本选项错误．