1.2 二次根式的性质(二)
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学习指要
知识要点
1．二次根式的性质： (1) ab＝ a× b(a≥0，b≥0)． (2) ba＝ ba(a≥0，b＞0)．
2．最简二次根式需满足以下条件： ①根号内不含开得尽方的因数或因式． ②根号内不含分母或小数． ③分母中不含根式．
重要提示
1． a±b≠ a± b(ab≠0)．
2．在应用性质 ab＝ a× b，
B．
23＝
3 2
C． －x3＝x －x
D． x2＝x
【解析】 直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
A． 12＝ 4×3＝ 4× 3＝2 3，故本选项正确； B． 23＝ 23＝（3×2）22＝ 26，故本选项错误； C． －x3＝ x2·（－x）＝ x2× －x＝－x －x，故本
选项错误；
D． x2＝|x|，故本选项错误．
ab＝
a时，注意以下几点： b
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(1)a，b 都是非负数(当 b 为分母时，b 不能等于 0)时式子才
能成立．如果 a，b 均为负数，虽然 ab＞0， ab有意义，
但 a， b在实数范围内无意义． (2)利用这个性质可以化简二次根式．
3．被开方数是带分数时，应先化成假分数；若是开不尽方的
小数，应先化成分数． 4．二次根式化简的最后结果必须是最简二次根式或整式．
解题指导
【例 1】 (1)3 23． (2)25 540． (3) (4) 1196． (5) 132＋262．
0．4－13．
【解析】 (1)不是最简二次根式，将被开方数的分子、分母同时 乘 3，可以化去根号内的分母；(2)中分母可以直接开方得 2，分 子 50＝25×2，含开得尽方的因数 25，应把含开得尽方的因数 25 移到根号外；(3)中的小数 0．4 应化成分数，再通分，最后化去 根号内的分母；(4)被开方数 1196是带分数，先要化成假分数2156， 再化去根号内的分母；(5)根式中有乘方和加法的运算，应先进行 根号里的运算，再化简．
【答案】 A
【例 3】 已知 的值．
9x－－x6＝ x9－－6x，且 x 为偶数，求(1＋x)
【解析】 由题意，得9x－－x6≥＞00，，解得 6＜x≤9． ∵x 为偶数，∴x＝8．
∴原式＝(1＋x)
（（xx－＋41））（（xx－－11））＝(1＋x)
x－4 x＋1
＝(1＋x) xx＋－14＝ x＋1× x－4
(1)3
23＝3
23××33＝3× 362＝3× 36＝ 6．
(2)25
540＝25× 522×2 2＝25×522＝ 2．
(3) 0．4－13＝ 25－13＝ 165－155＝ 115＝ 11552＝115 15． (4) 1196＝ 2156＝ 5422＝54．
(5) 132＋262＝ 132＋（13×2）2＝ 132×（1＋4）＝13 5．
【答案】
(1) 6
(2) 2
1 (3)15
5 15 (4)4 (5)13 5
反思
(1)化简二次根式常常用到分式的基本性质；(2)原来在根式 中是分母的因数或因式，开方后移出根式还是分母；(3) 根号有括号的作用，因此第(5)小题要先进行根号里的运 算．
【例 2】 下列计算正确的是
()
A． 12＝2 3
＝ 8＋1× 8－4＝ 9× 4＝6．
【答案】 6
x2－5x＋4 x2－1
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知识要点
1．二次根式的性质： (1) ab＝ a× b(a≥0，b≥0)． (2) ba＝ ba(a≥0，b＞0)．
2．最简二次根式需满足以下条件： ①根号内不含开得尽方的因数或因式． ②根号内不含分母或小数． ③分母中不含根式．
重要提示
1． a±b≠ a± b(ab≠0)．
2．在应用性质 ab＝ a× b，
B．
23＝
3 2
C． －x3＝x －x
D． x2＝x
【解析】 直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
A． 12＝ 4×3＝ 4× 3＝2 3，故本选项正确； B． 23＝ 23＝（3×2）22＝ 26，故本选项错误； C． －x3＝ x2·（－x）＝ x2× －x＝－x －x，故本
选项错误；
D． x2＝|x|，故本选项错误．
ab＝
a时，注意以下几点： b
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(1)a，b 都是非负数(当 b 为分母时，b 不能等于 0)时式子才
能成立．如果 a，b 均为负数，虽然 ab＞0， ab有意义，
但 a， b在实数范围内无意义． (2)利用这个性质可以化简二次根式．
3．被开方数是带分数时，应先化成假分数；若是开不尽方的
小数，应先化成分数． 4．二次根式化简的最后结果必须是最简二次根式或整式．
解题指导
【例 1】 (1)3 23． (2)25 540． (3) (4) 1196． (5) 132＋262．
0．4－13．
【解析】 (1)不是最简二次根式，将被开方数的分子、分母同时 乘 3，可以化去根号内的分母；(2)中分母可以直接开方得 2，分 子 50＝25×2，含开得尽方的因数 25，应把含开得尽方的因数 25 移到根号外；(3)中的小数 0．4 应化成分数，再通分，最后化去 根号内的分母；(4)被开方数 1196是带分数，先要化成假分数2156， 再化去根号内的分母；(5)根式中有乘方和加法的运算，应先进行 根号里的运算，再化简．
【答案】 A
【例 3】 已知 的值．
9x－－x6＝ x9－－6x，且 x 为偶数，求(1＋x)
【解析】 由题意，得9x－－x6≥＞00，，解得 6＜x≤9． ∵x 为偶数，∴x＝8．
∴原式＝(1＋x)
（（xx－＋41））（（xx－－11））＝(1＋x)
x－4 x＋1
＝(1＋x) xx＋－14＝ x＋1× x－4
(1)3
23＝3
23××33＝3× 362＝3× 36＝ 6．
(2)25
540＝25× 522×2 2＝25×522＝ 2．
(3) 0．4－13＝ 25－13＝ 165－155＝ 115＝ 11552＝115 15． (4) 1196＝ 2156＝ 5422＝54．
(5) 132＋262＝ 132＋（13×2）2＝ 132×（1＋4）＝13 5．
【答案】
(1) 6
(2) 2
1 (3)15
5 15 (4)4 (5)13 5
反思
(1)化简二次根式常常用到分式的基本性质；(2)原来在根式 中是分母的因数或因式，开方后移出根式还是分母；(3) 根号有括号的作用，因此第(5)小题要先进行根号里的运 算．
【例 2】 下列计算正确的是
()
A． 12＝2 3
＝ 8＋1× 8－4＝ 9× 4＝6．
【答案】 6
x2－5x＋4 x2－1
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