第七章 数字信号处理中的有限字长效应的影响

第七章 数字信号处理中的有限字长效应

§7-1 量化与量化误差

有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：

①对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长影响） ②对输入模拟信号的量化误差（受A/D 的精度或位数的影响）

③运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机的精度影响） 一、 二进制数的表示 （1）定点表示

• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制； • 定点制总是把数限制在±1之间；

• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后； • 数的本身只有小数部分，称为“尾数”； • 定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为 “溢出”；

• 乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。

为保证字长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一种定点数的表示是总把数看成整数。 缺点：动态范围小，有溢出。

定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb ，则 ①原码表示为

例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25

②反码表示：（正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反） 例：

正数表示：0.101 其反码为：1.010 ③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求反加1）

例： 正数表示：0.110 取反：1.001 的补码：1.010

∑

=-+

-=b

i i

i x 1

02

ββ75

.0-=x ∑=--=b

i i

i

x 1

2

)

1(0

β

β∑

=--+

--=b

i i

i b

x 1

02

)2

1(ββ

补码加法运算规律：

正负数可直接相加，符号位同样参加运算，如符号位发生进位，进位的 1 丢掉。 （2）浮点表示

尾数 指数 阶数

浮点制运算: 相加 对阶 相加

归一化,并作尾数处理

相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入。 优点: 动态范围大,一般不溢出.

缺点: 相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所以我们讨论误差影响主要针对定点制。 二、定点制的量化误差

定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如原来是b 位字长，运算后增长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位字长降低到b 位。 量化处理方式：

截尾：保留b 位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b 位码。

两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差也不同。 1、截尾处理：

1）正数（三种码形式相同） 一个b1位的正数 为：

用[·]T 表示截尾处理，则

截尾误差 可见，ET ≤0，βi 全为1时，ET 有最大值，

1

2

12<≤⨯±=M M x c ∑

=-=

b

i i

i T x 1

2

][β∑

=-=

1

12

b i i

i x βx ∑+=--=-=11

2

][b

b i i

i

x x E T T

β)

2

2

(2

1

1

1

b b

b b i T i

E --+=--=--

=∑

“量化宽度”或“量化阶” q=2-b ：代表b 位字长可表示的最小数。 一般 2-b1<<2-b , 因此正数的截尾误差为

-q ≤E T ≤0 2）负数

负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。 原码（β0=1）：

0≤E T ≤q 补码（ ）

因

所以 反码（ ）

(

与原码的相同）

图 截尾量化处理的非线性特性

∑=--=1

1

2

b i i

i x β∑=--=b

i i

i

1

2T [x]β[]∑

+=-=

-=1

1

2

b b i i

i T T x x E β∑

=-+

-=1

1

2

1b i i

i x β[]∑

∑

∑

==--=--

=

+

-=b

i b i i

i i

i T b

i i

i T

E x 1

1

11

2

2

2

1βββ10

=β,1b b >0≤<-T E q [][])

2

2

(2

2

212

211

1

1

1

1

1

1

∑

∑∑+=---=--=---+-

=-=++

-=++

-=b b i b b

i

i T T b

i b

i

i

T

b i b i

i

x x E x x ββ

β

q

E T <≤00>T E 10=β