第七章 数字信号处理中的有限字长效应的影响
《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 (1)翻褶( -m ),(2)移位( n ),(3)相乘,
(4)相加,求得一个 n 的 y(n) 值 ,如此可求得所有 n 值的 y(n) ;
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解:(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知: y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ,
精品课件-数字信号处理(第三版) 刘顺兰-第7章
第7章数字信号处理中的有限字长效应
7.1.2 定点制误差分析 1. 数的定点表示 定点制下,一旦确定了小数点在整个数码中的位置,在整个
运算过程中即保持不变。因此,根据系统设计要求、 数值范围来 确定小数点处于什么位置很重要,这就是数的定标。 数的定标有Q表示法和S表示法两种。Q表示法形如Qn,字母Q后的 数值n表示包含n位小数。如Q0表示小数点在第0位的后面,数为整 数;Q15 表示小数点在第15位的后面,0~14位都是小数位。S表 示法则形如Sm.n,m表示整数位,n表示小数位。以16位DSP为例, 通过设定小数点在16位数中的不同位置,可以表示不同大小和不 同精度的小数。表7.1列出了一个16位数的16种Q表示、 S表示及 它们所能表示的十进制数值范围。
小的正数: (01.000..0)2×2-127=1×2-127≈5.9×10-39
(4) 当S=1,E=-127,F的23位均为1时,表示的浮点数为绝 对值最小的负数:
(10.111..1)2×2-127=(-1-2-23)×2-127≈-5.9×10-39 双精度浮点数占用8个字节(64位)存储空间,包括1位符号位、 11位阶码、 52位尾数,数值范围为1.7E-308~1.7E+308。
第7章数字信号处理中的有限字长效应
乘除运算时,假设进行运算的两个数分别为x和y,它们的Q 值分别为Qx和Qy,则两者进行乘法运算的结果为xy,Q值为Qx+Qy, 除法运算的结果为x/y,Q值为Qx-Qy。
在程序或硬件实现中,上述定标值的调整可以直接通过寄存 器的左移或右移完成。若b>0,实现x×2b需将存储x的寄存器左 移b位;若b<0,实现x×2b则需将存储x的寄存器右移|b|位即可。
称为小数点位置。
有限字长效应.
概述 定点制表示及量化误差 滤波器系数量化误差
数字滤波器的定点运算误差
§7.1 概述:问题的提出
数字系统,存储单元的容量有限。
有限字长的影响,主要表现在以下三方面
(1) 输入信号经A/D变换而产生的量化误差 (2) 滤波器的系数量化误差。
即A/D变换器将模拟 (3) 运算误差。 即把系统系数用有限 数字运算运程中,为限制 输入信号变为一组离 二进制数表示时产生 位数而进行尾数处理,以 散电平时产生的量化 的量化误差。及为防止溢出而压缩信号 误差。 电平的有效字长效应
§7.2 定点制表示及量化误差
二进制数的表示
量化及量化误差
§7.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示
1、定点制:小数点在数码中的位置固定不变 如:0.375 (0.011)2 1个符号位;b位尾数位 b+1位寄存器 -1~+1之间 绝对值小于1
§7.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示 1、定点制:小数点在数码中的位置固定不变 2、浮点制:将一个数表示成尾数和指数两部分
§7.2 定点制表示及量化误差
截尾量化
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q x 3q 2q q x
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] 0 n 2 n
§7.1概述—研究目的
1.若字长(通用计算机)固定,进行误差分析,可知结果的 可信度,若置信度差,要采取改进措施。 2.用专用DSP芯片实现数字信号处理时,定点与硬件采用字 长有关: (1)一般采用定点实现,涉及硬件采用的字长。 (2)精度确定字长。因此,必须知道为达到设计要求所需精度 下必须选用的最小字长。 (3)由最小字长选用专用DSP芯片类型 由于选用不同DSP芯片,价格差很大。目前 TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等价格差异很大
有限字长效应对信号处理的影响分析
前言有限字长效应对信号处理的影响分析华东理工大学东方贱人退款是几个意思1 前言1.1 有限字长效应和它产生的原因数字信号处理中,信号的数值、系统的参数、运算中的变量以及运算结果都需要用二进制编码来表示。
但由于受到 A/D 转换器位数、寄存器位数和运算字长等的限制,所以二进制码是有限字长的。
必须用有限长的二进制数来表示无限精度的十进制数,有限字长效应所带来的误差现象,我们把这种误差现象称为有限字长效应。
在数字系统中有限字长效应产生的原因:(1)A/D 变换器中的有限字长效应,即把模拟输入信号变为一组离散电平信号时所产生的有限字长效应。
A/D 变换包括抽样和量化两个过程,抽样是指使用“抽样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值,把这种信号称之为“抽样”信号,抽样信号在时间上具有离散化特性,但由于它还并不是真正的数字信号,还必须经过量化编码的过程才能真正地转变为数字信号。
简单来讲就是要将模拟信号抽样和量化,让它转变成为具有一定字长的数字序列值的信号。
(2)滤波器系数的有限字长效应,在数字系统滤波器系数的量化处理过程中,用有限位二进制数来表示,就必定会带来有限字长效应。
对于不同结构类型的数字滤波器来说,它的极点和零点位置在数字滤波器中的系数变化将不一样。
因有限字长效应在数字滤波器系数中带来的任何微小变化,都极有可能对数字滤波器的频率响应特性造成巨大的影响,对于在单位圆内并且非常靠近单位圆的极点来说,有限字长效应在数字滤波器中系数的误差影响,就会让这些极点移动到单位圆上或者单位圆外,因而数字滤波器的原有稳定性就失去了。
(3)运算过程中的有限字长效应所带来的误差。
在数字运算过程中,为了限制位数有限字长效应对信号处理的影响分析而进行尾数处理和为了防止溢出进而压缩信号电平的有限字长效应,这其中就有低电平的极限环振荡效应和溢出振荡效应。
以上三种误差都与系统结构形式、数的表达方法、和所采用的运算方式、字的长短和尾数的处理有关。
8-数字信号处理中的有限字长效应
2015-7-19
3、量化误差 当数x被量化时,就引入了误差e,有 e=Q[x] – x Q[x]表示对数x进行量化处理
e的范围取决于数的表示形式以及量化方式(例原码)
1、截尾量化,假设寄存器长度为L+1=8 (q=2-7 ) ①原码正数 Q[x]=0.1011000 x=0.101100011111 et= Q[x] – x = – 0.000000011111
二、量化噪声通过线性系统 现在来考虑量化序列 xq(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)通过一个线 性时不变系统时的响应。假设系统的冲激响应是h(n),则 系统的输出响应为: yq(n)= xq(n)*h(n)=y(n)+f(n)
x(n)
f(n)为输出噪声
yq(n)= y(n)+f(n)
经分析可知对于补码截尾量化 -q<et≤0
q -q x
对于反码截尾量化 (情况与原码相同) 当x>0时, -q<et≤0
q
Q[x]
当<0时, 0≤et<q
-q
x
◄ Up
► Down
◙
Main
Return
2015-7-19
⑵舍入量化(类似于十进制的四舍五入) 例如:寄存器长度为L+1=4位 (q=2-3 ) 原码 x=0.10001 量化为Q[x]=0.100,er= -0.00001
i a 2 i b
当被截掉的位数均为0时,误差为0
接近量化间距q,所以误差范围为
◄ Up ► Down ◙ Main
et
i L1
当被截掉的位数均为1时,误差最大(如上例) -q<et≤0
第七章 数字信号处理中的有限字长效应
设系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化,系数量化误
差为e(n),其变化范围 ( / 2, / 2) ,均值为0,方差为 2 /12
则实际系数为:
ˆ h(n) h(n) e(n)
0 n ( N 1) / 2
ˆ 且量化后 h(n) 也一定满足偶对称,即
ˆ ˆ h(n) h( N 1 n)
2.有限字长效应对信号量化的影响;
3.有限字长效应对系统参数表示的影响
4.有限字长效应在运算过程中的影响
7.1
数字信号处理中的有限长效应
有限字长效应:
在实际的处理过程中,数字信号和系统都不是无限精度的,而是有 限精度,精度的大小则有字长的大小决定,正是由于有限精度,从而给 原有的数字信号处理系统带来了影响,这种影响称为数字信号处理中的 有限字长效应。
z1 0.85 j 0.15
求得a2对z1和z2的影响
z2 0.85 j 0.15
z1 1 j 900 3.3333e a2 z1 z2
z2 1 j 900 3.3333e a2 z2 z1
可见, a2对z1和z2的影响是相同的。因而
z2 z2 a2 a2
i 1 i 1
b
b1
i b 1
b1
ai 2 i
故截尾误差满足:
0 ET (2b 2b1 ), x 0
即
0 ET , x 0
②对于反码负数
b
x 1 2 b1 ai 2 i
i 1
b1
ET QT [ x] x 1 2 ai 2 (1 2
若采用截尾处理,试分别求出原码负数1.1001、反码负数1.1100
程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析:
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m ( n 看作参量),
y (n ) ={1,2,3,3,2,1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时, n 的分段处理。
6
解:(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示,因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
医学数字信号处理7章有限字长效应
第七章数字信号处理中的有限字长效应无论是专用硬件,还是在计算机上用软件来实现数字信号处理,输入信号的每个取样值、算法中要用到的参数,以及任何中间计算结果和最终计算结果,都是用有限位的二进制数来表示的。
因此,在实际工程中所得到的数字信号处理结果,相对于理论计算所得到的结果必然存在着误差。
在某些情况下,这种误差严重到使信号处理系统的性能变坏,以致达到令人不能容忍的程度。
通常把这种由于二进制数的位数有限而造成的计算结果的误差或处理性能的变坏,称为有限字长效应。
显然,有限字长效应,在数字信号处理软件实现或硬件实现中,在进行设计和对处理结果进行误差分析时,是必须进行考虑的重要问题。
本章内容安排如下:内容提要1.举例说明在数字信号处理中,有限字长效应引起的误差的几种来源,以及这些误差的表现形式。
2.复习二进制数的表示方法和它们的算术运算方法,以及在运算中考虑字长的限制而对运算结果采取的处理方法。
3.对数字滤波器的系数的量化误差及其对滤波器的稳定性、零点和极点的位臵的影响进行分析,并对滤波器的频率特性的误差进行讨论。
4.有限字长定点运算IIR 数字滤波器的极限环振荡现象和死带效应。
5.浮点运算有限字长效应。
7.1 有限字长效应及量化误差现在用一个浅显的例子来分析有限字长效应产生误差的原因。
设有一个一阶低通滤波器,其差分方程为0.150.15()(1)2(1)()y n e y n e x n --=-+-该滤波器输入端作用有一个离散时间信号x(n),它的前18个取样值列于表7-1中的第2列,其中用省略号表示这些取样值是无限精确的。
理论上,为求出滤波器的输出信号y(n),只要将输入序列x(n)的值代入0.150.15()(1)2(1)()y n e y n e x n --=-+-中进行运算(首先要假设初始值y(0),例如取y(0)=0),即可得到y(n)的精确值,表7-1中的第3列是计算结果。
应注意,y(n)的精确程度取决于x(n)和常数0.15e -的精确程度,也取决于中间计算结果0.15(1)e y n --和0.152(1)()e x n --的精确程度。
数字信号处理经典习题(北理工826必备)(附答案)
数字信号处理经典习题(北理工826必备)(附答案)第一章数字信号处理概述简答题:1.在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器,它们分别起什么作用?答:在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器,是为了限制信号的最高频率,使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器,是为了滤除高频延拓谱,以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题:2.模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理,自己要增加一道采样的工序就可以了。
()答:错。
需要增加采样和量化两道工序。
3.一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统,然后基于数字信号处理理论,对信号进行等效的数字处理。
()答:受采样频率、有限字长效应的约束,与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理 计算题:18c 因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ,因此对T 8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj eH 决定,是625Hz 。
(b )采用同样的方法求得kHz T 201=,整个系统的截止频率为Hz Tf c 1250161==二、离散时间信号与系统频域分析 计算题:1( 2(2))(*n x (共轭) 解:DTFT )(**])([)(*)(*ωωωj n n jn jn e X e n x en x n x -∞-∞=∞-∞=-===∑∑2.计算下列各信号的傅里叶变换。
(a )][2n u n- (b )]2[)41(+n u n(c )]24[n -δ (d )nn )21(解:(a )∑∑-∞=--∞-∞==-=2][2)(n nj n nj n ne en u X ωωωωnj e 11)1(==∞( ((X =3 (1))(*n x - (2))](Re[n x (3) )(n nx解: (1))(*])([)(*)(*jw n n jw n jwne X en x en x=-=-∑∑∞-∞=--∞-∞=-(2)∑∑∞-∞=-*-*∞-∞=-+=+=n jw jw jwn n jwne X e X e n xn x en x )]()([21)]()([21)](Re[(3)dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j en nx jw n jwnn jwn n jwn)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=- 4.序列)(n x 的傅里叶变换为)(jwe X ,求下列各序列的傅里叶变换。
有限字长效应数字信号处理课件
详细描述
在数字信号处理中,许多算法涉及到大量的 数值计算和数据运算,这些运算的精度和稳 定性对算法的结果产生重要影响。有限字长 效应可能会影响算法的稳定性,导致算法性 能下降或结果不准确。因此,在数字信号处 理中需要充分考虑有限字长效应对算法稳定 性的影响。
04
有限字长效应的优化方法
动态范围压缩技术
有限字长效应数字信号处理 课件
目录
• 有限字长效应概述 • 有限字长效应在数字信号处理中的应用 • 有限字长效应对数字信号处理的影响 • 有限字长效应的优化方法 • 有限字长效应的未来研究方向
01
有限字长效应概述
定义与特性
定义
有限字长效应是指由于数字信号处理 过程中量化误差、截断误差等导致的 信号失真现象。
更精确的量化技术
总结词
量化是数字信号处理中的重要环节,精确的量化能够更 好地保留信号信息,提高处理效果。未来需要研究更精 确的量化技术。
详细描述
通过改进量化方法和优化量化参数,可以减小量化误差 ,提高数字信号处理的精度和效果。此外,还可以结合 机器学习和人工智能等技术,实现自适应量化,进一步 提高处理效果。
05
有限字长效应的未来研究方向
更高效的算法设计
要点一
总结词
随着数字信号处理技术的发展,对算法效率的要求越来越 高。为了提高算法的执行效率,需要研究更高效的算法设 计方法。
要点二
详细描述
通过优化算法结构、减少冗余计算和采用并行处理等技术 ,可以显著提高数字信号处理算法的执行效率,从而缩短 处理时间,提高实时性能。
更深入的理论研究
总结词
数字信号处理是一门理论和实践并重的学科,理论研 究是推动学科发展的重要驱动力。未来需要更深入地 研究有限字长效应的理论基础。
数字滤波器的有限字长效应
二、数的量化误差范围
❖ 量化对尾数处理产生的误差,其量化方式 可分为:
❖ 1.截尾量化:即把尾数全部截断不要。 ❖ 2.舍入量化:即把小于q/2的尾数舍去,把
大于尾数“入”上来。 ❖ 其中q=2-b,称为量化步阶,b为字长的位数。
1.截尾量化
❖ 截尾量化可分为: ❖ (1)对于正数的截尾量化误差 ❖ (2)对于负数的截尾量化误差
❖ 从x10=0.75和x10=-0.75看看原码、补码、反 码的表示方法。
❖ 解:(1)原码为
❖ x10=0.75=>(x2)原=0.110原码 0. 1 1 0 0
❖ x10=-0.75=>(x2)原=1.110原码 1. 1 1 0 0
❖ 通用公式:
正数: 0. 2-1……...2-b
负数: 1. 2-1……...2-b
(4)e(n)在误差范围内均匀分布(等概率分布的随机变量)即 P(e)(概率密度)下的面积=1
b1-b 最小误差 最大误差
(2)对于负数的截尾量化误差
截尾量化误差与负数表示方式有关。
负数原码表示,其截尾量化误差:
负数补码表示,其截尾量化误差:
发生在被截去的位 数上的数都为0情况。
同样,负数截尾量化误差,最大误差=±q,最小误差=0.
b
b1-b
0. 2-1 ……………..2-b 0 0 …………...0
上面我们分析了量化误差的范围,但 要精确地知道误差究竟是多大,几乎是 不可能的。视信号具体情况而定。
所以我们只要知道量化误差的平均效 应即可。它可以作为设计的依据。例如: A/D变换器量化误差--决定A/D所需字长。
1、量化误差信号e(n)四个假设
为了进行统计分析,对e(n)的统计特性作以下假设:
七、量化误差
k 0 m0
假定 e(n) 为白噪声序列,则有
2 v
q2 12
n 0
h( n)
2
结论:信号的量化误差通过LSI系统后,输出的 方差依然和字长有关,同时,也和系统的能量有关。 对给定的字长, q2 12 始终为一常数,由此可定 义归一化的输出量化噪声的方差
v2,n
v2 2 2 h( n) e n 0
令:
H1 ( z ) 0.4 /(1 0.9 z 1) H 2 ( z ) 1/(1 0.8 z 1)
H1 ( z ) 的输入是x(n),输出是w(n) H 2 ( z ) 的输入是w(n),输出是y(n)
两个一阶系统对应的差分方程分别是: w(n)=0.9w(n-1)+0.4x(n) y(n)=0.8y(n-1)+w(n) ……………………a ……………………b
e x (n) x(n)
R R
( b 1) 2 b 1
i b 2Fra bibliotek i 2 i ,
i 0,1
若舍入误差 eR 也是均匀分布的随机变量,与信号不相关 若 b 1 1, b 2 ... 0
则 eR q / 2 是舍入误差的正的最大值 若 b 1 0, b 2 ... 1 则 eR 接近舍入误差的最小值 q / 2 若 b 1, b 2, ..., 有0有1
数字信号处理中的有限字长效应
本章主要讨论数字信号处理中的有限字 长效应。它主要反映在下列问题中: ■ 输入信号量化误差 ■ 系数量化误差 ■ 乘积量化误差 ■ 避免加法器溢出对动态范围的要求 ■ 精度的限制和加法器溢出引起的振荡
7.1 数的表示
7.2 A/D变换的字长效应
7.3 乘积的舍入误差 7.4 系数量化的影响
7.5 极限环振荡
1.零输入极限环振荡
这种振荡发生在IIR数字滤波器 系统中。现设有一个稳定的IIR数字 滤波器,其算术运算精度无限,若当 n>n0 时输入停止,则滤波器的输出 当n>n0时,将逐渐衰减趋向于零。
进一步分析极限环的振荡幅度与字长 的关系,根据舍入的定义
2.溢出振荡
另一种极限环振荡是由于滤波器中加 法器的溢出引起的,当采用定点制补码形 式时,加法器的传输特性可如图7-21所示, 其中x表示加法器的输入,f(x)表示输出。 若x1 和x2 作补码加法,它的输出将是f[x1 +x2],这一结论留给读者自己证明。
由上述e(n)的第4条假定,舍入时 误差的概率分布如图7-6(a)所示。补码 截尾时误差的概率分布如图7-6(b)所示。 用这些概率密度函数易于计算误 差信号的均值和方差。 舍入时
图7-6 误差的概率分布图
2.量化噪声通过线性系统
当一个量化的信号通过一个线性系统
时,输入的误差(或噪声)也会在最后的输
① 原码表示法
原码也称“符号-幅度码”,它的尾 数部分代表数的绝对值(即幅度大小),符 号位代表数的正负号,用0代表正数,用1 代表负数。
② 反码和补码表示法
给定一个十进制的小数(x)10,若是正
数,反码和补码的表示和原码一样;若是 负数,原码、反码和补码表示都不同。
7数字信号处理中的有效字长效应
b
b 1
b 1
E T Q Tx x a i2 ia i2 i a i2 i
i 1
i 1
i b 1
b
b 1
b 1
E T Q Tx x a i2 ia i2 i a i2 i
i 1
i 1
i b 1
正小数截尾后数值变小,故截尾误差总是负的。当被截位ai (i= b+1到i=b1)均为l时,为最大截尾误差
M
:尾数的绝对值部分,尾码。
r
7.1.2 量化误差
一、定点运算中的截尾误差和舍入误差
1、截尾误差
①对于正小数x≥0:原码、反码、补码的表示法相同,因
而量化影响也相同。 截尾前x有b1位,有
b1
x ai 2i
i1
b
截尾后x有b位,记做 QTx,有 QTx ai 2i
i1
以ET表示截尾误差,则有
所以 E TQ Txx a i2 i i b 1
有 q E T 0x 0
iii)对于反码:
b 1
b 1
x a 01 2 ba i2 i 1 2 b 1a i2 i
i 1
i 1
b
Q Tx12b ai2i
i1
b 1
所以 E T Q Tx x 2 b 2 b 1a i2 i
当x0时2, c /2x2c,舍入相对误差为
q R q x 0
当x0时, 2c x2c/2,舍入相对误差
q R q x 0
2、浮点截尾
①当x>0时,a0=0,三种码制的截尾误差均为-q<ET≤0
2 c q R x 0 x 0
由 2 c /2 于 x 2 c , x m 取 i 2 n c 1 ,得
有限字长效应
分析:
y[k] y[k 1] x[k]
乘法运算采用舍入量化处理,相应的差分方程为
y[k] x[k] Q{ y[k 1]}
设: y[1]=0
b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
一阶IIR DF输出
y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111
k 1
r 1
因字长有限,滤波器系数ak、bk量化后将产生误差
1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时,使系统失去稳定。
二、IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 aˆk ak ak , k 1, N
量化后极点位置
N
1 ak z k ak z k 0
4q
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差
截尾误差
ET Q[x] x
正数和补码负数截尾误差范围为
q ET 0
q 2b
原码负数和反码负数截尾误差范围为
舍入误差范围
0 ET q q 2 ER q 2
滤波器输入信号量化效应
▪ 问题的提出 ▪ 量化误差统计假设 ▪ 信噪比和字长的关系
1q
e[k ]
q 2 0
q2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
信号x[k]的平均功率为
2 x
量化误差方差
σe2
E
e2[k]
q2 12
输入信号的信噪比S/N为
S N
10
log
10
2 x 2 e
6.02b
10.79
10
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第七章 数字信号处理中的有限字长效应§7-1 量化与量化误差有限字长的二进制数表示数字系统的误差源:①对系统中各系数的量化误差(受计算机中存贮器的字长影响) ②对输入模拟信号的量化误差(受A/D 的精度或位数的影响)③运算过程误差,如溢出,舍入及误差累积等(受计算机的精度影响) 一、 二进制数的表示 (1)定点表示• 整个运算中,小数点在数码中的位置固定不变,称为定点制; • 定点制总是把数限制在±1之间;• 最高位为符号位,0为正,1为负,小数点紧跟在符号位后; • 数的本身只有小数部分,称为“尾数”; • 定点数作加减法时结果可能会超出±1,称为 “溢出”;• 乘法运算不溢出,但字长要增加一倍。
为保证字长不变,乘法后,一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理,带来误差。
另外一种定点数的表示是总把数看成整数。
缺点:动态范围小,有溢出。
定点数的表示分为三种(原码、反码、补码): 设有一个(b+1)位码定点数: β0β1β2┄βb ,则 ①原码表示为例:1.111→-0.875 , 0.010→0.25②反码表示:(正数同原码,负数则将原码中的尾数按位求反) 例:正数表示:0.101 其反码为:1.010 ③补码表示(正数同原码,负数则将原码中的尾数求反加1)例: 正数表示:0.110 取反:1.001 的补码:1.010∑=-+-=bi ii x 102ββ75.0-=x ∑=--=bi iix 12)1(0ββ∑=--+--=bi ii bx 102)21(ββ补码加法运算规律:正负数可直接相加,符号位同样参加运算,如符号位发生进位,进位的 1 丢掉。
(2)浮点表示尾数 指数 阶数浮点制运算: 相加 对阶 相加归一化,并作尾数处理相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入。
优点: 动态范围大,一般不溢出.缺点: 相乘、相加,都要对尾数处理作量化处理。
一般,浮点数都用较长的字长,精度较高,所以我们讨论误差影响主要针对定点制。
二、定点制的量化误差定点制中的乘法,运算完毕后会使字长增加,例如原来是b 位字长,运算后增长到b1位,需对尾数作量化处理使b1位字长降低到b 位。
量化处理方式:截尾:保留b 位,抛弃余下的尾数; 舍入:按最接近的值取b 位码。
两种处理方式产生的误差不同,另外,码制不同,误差也不同。
1、截尾处理:1)正数(三种码形式相同) 一个b1位的正数 为:用[·]T 表示截尾处理,则截尾误差 可见,ET ≤0,βi 全为1时,ET 有最大值,1212<≤⨯±=M M x c ∑=-=bi ii T x 12][β∑=-=112b i ii x βx ∑+=--=-=112][bb i iix x E T Tβ)22(2111b bb b i T iE --+=--=--=∑“量化宽度”或“量化阶” q=2-b :代表b 位字长可表示的最小数。
一般 2-b1<<2-b , 因此正数的截尾误差为-q ≤E T ≤0 2)负数负数的三种码表示方式不同,所以误差也不同。
原码(β0=1):0≤E T ≤q 补码( )因所以 反码( )(与原码的相同)图 截尾量化处理的非线性特性∑=--=112b i ii x β∑=--=bi ii12T [x]β[]∑+=-=-=112b b i ii T T x x E β∑=-+-=1121b i ii x β[]∑∑∑==--=--=+-=bi b i ii ii T bi ii TE x 11112221βββ10=β,1b b >0≤<-T E q [][])22(22212211111111∑∑∑+=---=--=---+-=-=++-=++-=b b i b bii T T bi biiTb i b iix x E x x βββqE T <≤00>T E 10=β补码的截尾误差均是负值,原码、反码的截尾误差取决于数的正负,正数时为负,负数时为正。
2.舍入处理通过b+1位上加1后作截尾处理实现。
就是通常的四舍五入法,按最接近的数取量化,所以不论正数、负数,还是原码、补码、反码,误差总是在 之间,以 表示对x 作舍入处理。
舍入处理的误差比截尾处理的误差小,所以对信号进行量化时多用舍入处理。
三、 A/D 变换的量化效应 A/D 变换器分为两部分: 采样:时间离散,幅度连续;A/D :数字编码,对采样序列作舍入或截尾处理,得有限字长数字信号 。
本节讨论这一过程中的量化效应。
对一个采样数据作截尾和舍入处理,则截尾量化误差:舍入量化误差: 上两式给出了量化误差的范围,要精确知道误差的大小很困难。
一般,我们总是通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差。
可以用一统计模型来表示A/D 的量化过程。
)(ˆn x)(n x bT b i ii T q n e q n e -∞+=-=≤<--=∑2,0)(2)(1β2)(2qn e qR ≤<-2q ±[]Rx图 A/D 变换器模型其中e(n)就是量化误差,对其统计特性作如下假定:: ① e(n)是平稳随机序列; ② e(n)与信号x(n)不相关;③ e(n)任意两个值之间不相关,即为白噪声; ④ e(n)具有均匀等概率分布。
由上述假定知,量化误差是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列,称为量化噪声(是一个加性白噪声)。
图 e(n)的均匀等概率分布误差的均值和方差: 截尾量化噪声:有直流分量,会影响信号的频谱结构。
舍入量化噪声:可见,量化噪声的方差与A/D 变换的字长直接有关,字长越长,量化噪声越小。
定义量化信噪比:用对数表示:字长每增加 1 位,量化信噪比增加6个分贝; 信号能量越大,量化信噪比越高。
注:因信号本身有一定的信噪比,单纯提高量化信噪比无意义。
)(n e 12)()(21)(2220qde e p m e q ede qde e ep m e eqe =-=-===⎰⎰⎰∞∞--∞∞-σ1222q m e e ==σ2212222)212(2xb qxex σσσσ⨯==[])3lg(10)1(02.6)212(lg 10)lg(1022222x xbex b SNR σσσσ++=⨯==例:已知在-1至1之间均匀分布,求8、12位时A/D 的SNR 。
因均匀分布,所以有: 均值:方差:当 b=8 位,则SNR=54dB ,当 b=12 位,则SNR=78dB. 四、 量化噪声通过线性系统为了单独分析量化噪声通过系统后的影响,将系统近似看作是完全理想的(即具有无限精度的线性系统)。
在输入端线性相加的噪声,在系统的输出端也是线性相加的。
系统的输出输出噪声为 如为舍入噪声,则输出噪声的方差为:由于 是白色的,各变量之间互不相关,即代入上式,得 由Parseval 定理,[]0)(=n x E 3111221==⎰-dx x z xσ)()()()()())()(()()(ˆ)(ˆn h n e n h n x n h n e n x n h n x n y*+*=*+=*=)()()(n h n e n e f *=)(n e [][]∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==0022)()()()()()()()()(m l m l ffl n e m n e E l h m h l n e l h m n e m h E n eE σ)(n e []2)()()(el m l n e m n e E σδ-=--∑∑∑∞=∞=∞==-=0002222)()()()(l m m eefm h l m l h m h σσδσzdz zH z H jm h m cee)()(2)(1222-∞=∑⎰=πσσH(z)全部极点在单位圆内,表示沿单位圆逆时针方向的圆周积分。
由留数定理: 如 为截尾噪声,则输出噪声中还有一直流分量例3:一个8位A/D 变换器( ),其输出作为IIR 滤波器的输入,求滤波器输出端的量化噪声功率,已知IIR 滤波器的系统函数为: 解:由于A/D 的量化效应,滤波器输入端的噪声功率为:滤波器的输出噪声功率为:其积分值等于单位圆内所有极点留数的和。
单位圆内有一个极点 z=0.999,所以§7-2 有限字长运算对数字滤波器的影响DF 的实现,涉及到两种运算:相乘、求和。
定点制运算中,每一次乘法运算之后都要作一次舍入(截尾)处理,因此引入了非线性,采用统计分析的方法,将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上,因而仍可用线性流图表示定点相乘。
定点相乘运算统计分析的流图表示对舍入噪声e(n)作如下的假设:⎰c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-∑k kefz z z H z H s ,)()(Re 122σσ)()()()(000j e m e m feH m m h m m n e m h E m ⋅=⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑∑∞=∞=)(n e 999.0)(-=z z z H 3212212161422--===qeσ7=b )(ˆn x 3216999.0122105444.2999.01132999.01999.01--⨯=-=⋅-=efσσ⎰--=-cefzdzzz j)999.0)(999.0(12122πσσ1. e(n) 为平稳随机噪声序列;2. e(n) 与输入序列 x(n) 不相关,各噪声之间也互不相关。
3. e(n) 为白色噪声;4. 在量化间隔上均匀分布(即每个噪声都是均匀等概率分布)。
有了这些条件,整个系统就可作为线性系统处理。
每一个噪声可用第一章所讲的线性离散系统的理论求出其输出噪声,所有输出噪声经线性迭加得到总的噪声输出。
1、IIR 的有限字长效应以一阶IIR 滤波器为例,其输入与输出关系可用差分方程表示为: 乘积项将引入一个舍入噪声,如图,上述一阶系统的单位脉冲响应为系统函数为 由于 是迭加在输入端的,故由 造成的输出误差为:图 一阶IIR 滤波器的舍入噪声输出噪声方差或由上两式均可求得可见字长 越大,输出噪声越小,同样的方法可分析其它高阶DF 的输出噪声。
例:一个二阶IIR 低通数字滤波器,系统函数为∑∑∞=∞===022222)(m m meefam h σσσ⎰-=cefzdz zH z H j)()(2122πσσ)1(122)1(1212222222a a qabef-=-=-=-σσ)8.01)(9.01(04.0)(11----=z z z H )()1()(n x n ay n y +-=1,0<≥a n )()(n u a n h n=az z z H -=)()(*)()(*)(n u a n e n h n e e nf ==)(n e )(n e采用定点制算法,尾数作舍入处理,分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差。