《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
运筹学：线性规划模型、线性规划的解法习题与答案
1、图解法适用于含有（）个变量的线性规划问题。
正确答案：两或22、线性规划问题的可行解是指满足（）的解。
正确答案：所有约束条件3、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于（）。
正确答案：零或04、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的（）达到。
正确答案：顶点或极点5、线性规划问题有可行解，则必有（）。
正确答案：基可行解6、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其（）的集合中进行搜索即可得到最优解。
正确答案：基可行解7、满足（）条件的基本解称为基本可行解。
正确答案：非负8、求解线性规划问题可能的结果有四种，分别是（）。
正确答案：无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解和退化解9、求一个线性函数在一组（）约束条件下的最大化或最小化问题，称为线性规划问题。
正确答案：线性1、若x、y满足约束条件{x≤2 y≤2x+y≥2则z=x+2y的取值范围是（）。
A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5]正确答案：A2、为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为（）。
A.0B.1C.2D.3正确答案：A3、若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题（）。
A.没有无穷多最优解B.没有最优解C.有无界解D.没有无界解正确答案：B4、在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中（）。
A.不影响解的可行性B.至少有一个基变量的值为负C.找不到出基变量D.找不到进基变量正确答案：B5、用单纯形法求解极大化线性规划问题中，若某非基变量检验数为零，而其他非基变量检验数全部<0，则说明本问题（）。
A.有惟一最优解B.有多重最优解C.无界D.无解正确答案：B6、单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数（）。
A.绝对值最大B.绝对值最小C.正值最大D.负值最小正确答案：C7、在单纯形表的终表中，若非基变量的检验数有0，那么最优解（）。
A.不存在B.唯一C.无穷多D.无穷大正确答案：A8、线性规划模型不包括下列（）要素。
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
《运筹学》试题及答案01
《运筹学》试题及答案(代码：8054)一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分)1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加_人工变量__的方法来产生初始可行基。
2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、_技术系数__和_限定系数__。
3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是_无非负约束(或无约束、或自由__变量。
4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和_破圈法__。
5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为__负指数_分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。
6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为__不确定__型决策。
7．在风险型决策问题中，我们一般采用__效用曲线_来反映每个人对待风险的态度。
8．目标规划总是求目标函数的_最小__信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的_优先因子(或权重)___。
二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
多选无分。
9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【D】A．有唯一的最优解B．有无穷多最优解C．为无界解D．无可行解10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【D】A．b列元素不小于零B．检验数都大于零C．检验数都不小于零D．检验数都不大于零11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【A】A．3B．2C．1D．以上三种情况均有可能12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。
则相应的偏离变量应满足【B】13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【C】A．等于m+n B．等于m+n-1C．小于m+n-1D．大于m+n-114．关于矩阵对策，下列说法错误的是【D】A．矩阵对策的解可以不是唯一的C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值【A】A．28．—l C．—3D．116．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【B】A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解B．若原问题无可行解，其对偶问题具有无界解或无可行解c．若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解D．若原问题存在可行解，其对偶问题无可行解17．下列叙述不属于解决风险决策问题的基本原则的是【C】A．最大可能原则B．渴望水平原则C．最大最小原则D．期望值最大原则18．下列说法正确的是【D】A．线性规划问题的基本解对应可行域的顶点也必是该问题的可行解D．单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基本可行解三、多项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共l0分)在每小题列出的四个备选项中至少有两个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学 第1章 线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？表1—1产品单耗资源甲乙资源限制A B C 12111300kg400kg250kg单位产品利润（元/件）50100解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2%第二段河流（工厂2以下河段）环保要求[0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2%此外有x 1≤2； x 2≤1.4化简得到min z =1000x 1+800x 2x 1 ≥10.8x 1 + x 2 ≥1.6x 1 ≤2x 2≤1.4x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤3002x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1x 2x 1、x 2≥0用图解法求解。
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案《运筹学》期末考试试卷习题库答案第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn k 0，其经济意义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn k的检验数求最小值），其经济意义是什么？n k0（标准形为ji的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将ij将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
a,c,b6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计划中，第i种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计划中，第i种资源一定还有剩余。
ji来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 8．对于ij 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
a,c,b9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 k。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi 0，且xi所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
运筹学线性规划练习题
练习题
1.(人力资源分配的问题)某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2．(人力资源分配的问题)一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
3. (套裁下料问题)现要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m和1.5m的圆钢各一根。
已知原料长7.4m，问应如何下料使所用料最省？
若用套裁，下面有几种套裁方案，都可以考虑采用
4．(配料问题)某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学1至6章习题参考答案
0
2
11/8
0
-3/4
0
9
X4
0
0
0
9/8
1
7/16
-1/4
27/4
6
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0.181818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。
C(j)
3
2
-0.125
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压：公斤／平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量(桶)
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。
10
-5
1
0
0
0
* Big M
5
3
1
0
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
运筹学 线性规划练习题
1
2 3 4
450
480 540 600
0.10
0.20 0.15 0.25
0.08
0.16 0.12 0.20
为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰 炸的方案。要求建立这个问题的线性规划模型。
15.一个大的造纸公司下设10个造纸厂，供应1000个用户。这些 造纸厂内应用三种可以互相替换的机器，四种不同的原材料 生产五种类型的纸张。公司要制定计划，确定每个工厂每台 机器上生产各种类型纸张的数量，并确定每个工厂生产的哪 一种类型纸张，供应哪些用户及供应的数量，使总的运输费 用最少。已知： Djk—j用户每月需要k种类型纸张数量； rklm—在l型设备上生产单位k中类型纸所需m类原材料数量； Rim—第i纸厂每月可用的m类原材料数； ckl—在l型设备上生产单位k型纸占用的设备台时数； cil—第i纸厂第l型设备每月可用的台时数； Pikl—第i纸厂在第l型设备上生产单位k型纸的费用； Tijk—从第i纸厂到第j用户运输单位k型纸的费用。 试建立这个问题的线性规划模型。
9.对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预定数如下 表所示：
产品 I II III 季度 1 1500 1500 1000 2 1000 1500 2000 3 2000 1200 1500 4 1200 1500 2500
该三种产品1季度无库存，要求在4季度末各库存150件。已知 该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每 件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I在1季度 无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每 迟交一个季度赔偿20元，产品III赔偿10元；又生产出的产 品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问 该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用为最小。
物流运筹学习题及答案1题目线性规划基本性质
习题一1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。
判断下述模型是否LP模型并简述理由。
(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。
)(1)max Z=2X∣-X2-3X3X1÷X2+X3=13x i-x2+5X3≤82x1-4X2+3X3≥5x1>O,x2≤O(2)minZ=π⅛*=!EaikXkNbi,i=1,2…,ms∙t∙IA=I[x k≥0Λ=1,2...»w(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l√=ιx i≤c i,i=1,2,...,znS.t.<y j≤d j J≈∖,2,...n%十%≥%∙〃4))maxz=7C.X i JJj=∣EaijXj≤b i+d iΘ,/=1,2,...,∕n5)t.；=1Xj≥OJ=1,2,...«1.2试建立下列问题的数学模型：(1)设备配购问题某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。
可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。
问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？（3）食谱问题某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。
可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。
若病人每周需14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份？（4）下料问题某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？用图解法求解卜.列LP问题：（1）min Z=6XI+4X22x1+X2≥1s.t.3x1+4X2≥1.5x1>O,x2≥O(2)maxz=2.5x1+x23x1+5x2≤155.t.<5x l+2X2≤IOx1≥O,x2≥O(3)maxz=2xι+2x2X∣—X?≥-1-0.5x1+x2≤2x1≥O,x2≥O(4)maxz=Xι+χ2Λ1-x2≥O s.t.∙3x∣—x9≤—3x1≥O,x2≥O(5)minz=2x∣-10x2X1-X2≥O5)t.x1-5X2≥-5x1≥O,x2≥O6))minZ=-IOxi-IIx23x1+4X2≤105x l÷2Λ2≤8s.t.X I-2X2≤2x1≥O,x2≥O1.4把L3题的(3)-(6)化成标准形.1.5把下列LP问题化成标准形。
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案
要求：（ 1）说明上述问题无可行解； （ 2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。若占用本
厂仓库每月每立方米需 1 元，而租用外厂仓库时上述费用增加为 1.5 元，试问在满足市
场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求
解）
7．某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表
2 — 5 所示，该三种产品
第一季度初无库存， 要求在在第四季度末每种产品的库存为 150 件。已知该厂每季度生产工
时为 15000 小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需 3，4，3 小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第 二季度无法生产。 规定当产品不能按期交货时， 产品Ⅰ、 Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿 20 元，
100 克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表 2— 1 所示：
饲料 蛋白质（克） 矿物质（克）
表 2—1 维生素（毫克）
价格（元 /公斤）
1
3
1
0．5
0．2
2
2
3
1
0． 5 0． 2
1．0 0．2
0．7 0．4
4
6
2
2
0．3
5
12
0． 5
0．8
0．8
要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。
3500 人日；春夏季 4000 人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为
25 元
/ 人日，秋冬季收入为 20 元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲
养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资
800 元，每只鸡投资 3
元。养奶牛时每头需拨出 1.5 公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为 100 人日，春夏季
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《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的一般形式有何特征？3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7•试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8•试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11 •什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。
1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2 .线性规划的可行解集是凸集。
3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被选作换入变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。
在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。
问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表2—1所示：要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。
设有某种原料的三个产地为A1,A2,A3，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售地。
假设用4吨原料可制成1吨成品，产地A1年产原料30万吨，同时需要成品7万吨；产地A年产原料26万吨，同时需要成品13万吨；产地A3年产原料24万吨，不需要成品。
又知A1与A2间距离为150公里，A1与A3间距离为100公里，A2与A3间距离为200公里。
原料运费为3千元/万吨公里，成品运费为 2.5千元/万吨公里；在A1开设工厂加工费为 5.5千元/万吨，在A2开设工厂加工费为4千元/万吨，在A3 开设工厂加工费为3千元/万吨；又因条件限制，在A2设厂规模不能超过年产成品5万吨，A1与A3可以不限制（见表2―― 2），问应在何地设厂，生产多少成品，才使生产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？4工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。
5. 某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/人日，秋冬季收入为20元/人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出 1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季 0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养 1500 只鸡，牛栏允许最多养 200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如表 2 — 4所示表2 — 46. 市场对I 、n 两种产品的需求量为：产品I 在1 — 4月份每月需1万件，5—9月份 每月需3万件，10 — 12月份每月需10万0件；产品H 在3 — 9月份每月需1.5万件, 其它每月需5万件。
某厂生产这两种产品的成本为：产品I 在1 — 5月份内生产时每件5元，6 — 12月份内生产时每件 4.50元；产品H 在在1 — 5月份内生产时每件 8元, 6 — 12月份内生产时每件 7元；该厂每月生产两种产品能力总和不超过 12万件。
产品 I 容积每件0.2立方米，产品n 容积每件 0.4立方米。
该厂仓库容积为1万5千立方米， 要求：（1）说明上述问题无可行解； （2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。
若占用本 厂仓库每月每立方米需 1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为 1.5元，试问在满足市 场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求 解） 7. 某工厂I 、n 、川三种产品在下一年个季度的合同预定数如表 2 —5所示，该三种产品 第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为 150件。
已知该厂每季度生产工 时为15000小时，生产产品I 、n 、川每件需 3, 4, 3小时。
因更换工艺装备，产品I 在第 二季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时， 产品I 、n 每件每迟交一个季度赔偿 20元, 产品川赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为 5元。
问 应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。
&某玩具厂生产I 、n 、川三种玩具，这三种玩具需在A 、E 、C 三种机器上加工，每 60 个为一箱。
每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表 2 — 6所示，本月可供使 用的机器的时间为：A为 15天，E 为20天，C 为2 4天。
每箱玩具的价格为I: 1500元； n ： 1700元；川:2400元。
问怎样安排生产，使总的产值最大。
9 •某线带厂生产A 、E 产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用） ，加工工时等由表2 — 7给 出，工厂有供纺纱的总工时 7200h ，织带的总工时 1200h（1） 列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。
（2） 如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为 20万元，线性规划模型有何变化？10. 某制衣厂生产4种规格的出口服装，有三种制衣机可以加工这4种服装，他们的生产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表2—8所示，试确定各种服装的生产数量，使总的加工费用最小。
11. 某制衣厂生产两种服装，现有100名熟练工人。
已知一名熟练工人每小时生产10件服装I或6件服装n。
据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。
见表2 —9，为此，该厂决定到第8周末需培训出100名新工人，两班生产。
已知一名工人一周工作40小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人（培训期间熟练工人和培训人员不参加生产）熟练工人每周工资400元，新工人在培训期间工资每周80元，培训合格后参加生产每周工资260元，生产效率同熟练工人。
在培训期间，为按期交货，工厂安排部分工人加班生产每周工作50小时，工资每周600元。
又若所定的服装不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为：服装I每件10元，服装n每件20元。
工厂应如何安排生产，使各项费用总和最少。
12•某家具制造厂生产五种不同规格的家具。
每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。
每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润由表 2 —10给出。
问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲 85克，乙5克，丙18克。
现有五种饲料都含有这 三种营养成分，每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表 2 — 11所示，求即满足 动物成长需要又使成本最低的饲料配方。
投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资 .求使公司在第五年底收回资金最多的投 资方案.16.某工厂生产I 、n 、川、w 四种产品，产品I 需依次经过 A B 两种机器加工，产品n 需 依次经过 A C 两种机器加工，产品川需依次经过 B 、C 两种机器加工，产品W 需依次经过 A B 机器加工。
有关数据如表2—12所示，请为该厂制定一个最优生产计划。
14.某食品厂在第一车间用 1单位原料N 可加工3单位产品A 及2单位产品B ,产品A 可 以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工， 单位生产费用要增加 6元，加工后单 位售价增加9元。
产品B 可以按单位售价 7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生 6元。
原料N 的单位购入价为2元，上述生产 产费用要增加4元，加工后单位费用可增加 费用不包括工资在内。
需1.5个工时，如 A 继续加工，每单位需3工时，如B 继续加工，每单位需 N 每月最多能得到10万单位。
问如何安排生产，使工厂获利最大。
15.某公司有30万元可用于投资，投资方案有下列几种： 方案I:年初投资 能超过15万元。
方案H:年初投资 方案川：年初投资3个车间每月最多有 20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N 2个工时。
原料 元, 第二年年底可收回 5年内都可以投资，但投资额不 元, 元, 第三年年底可收回第四年年底可收回1. 3 元。
1. 4 元。
方案W:只在第二年年初有一次投资机会，每投资 投资额不能超过10万元。
方案V:只在第四年年初有一次投资机会，每投资 资额不能超过20万元。
方案存入银行，每年年初存入 1元，年底可收回 5年内都可以投资。
5年内都可以投资。
元，四年后可收回1.7元。
但最多 元，年底可收回1.4元。
但最多投1.02 元.1.maxZ x 1 2x 22.maxZ 2x 1 2x 23x1 5x2 15 x1 x2 16x1 2x2 12 0.5x1 x2 2x1,x2 0 x1 ,x2 03．min Z 2x1 3x2 4．min Z 2x1 10x2 x1 3x2 3 x1 x2 2x1 x2 2 3x1 x2 5x1 ,x2 0 x1 ,x2 05．maxZ 3x1 9x2 6．maxZ x1 x2x1 3x2 32x1 x2 4 2x1 x2 20x2 6x1 x2 102x1 5x2 0 x1 5x1 ,x2 0 x1 , x2 0五、用单纯形法解下列线性规划问题。