二元关系的性质
4.3关系的性质(现在)
例:实数集上的≤关系具有传递性
因若x≤y,y≤z必有x≤z。
其它如全域关系EA,空关系,恒关系A均具有传递性。
传递关系的关系图的特点
如R是传递关系,如果边e1(<x,y>)和e2 (<y,z>)是首尾相连，则必须有有向弧从e1 的起始点到e2的终点(<x,z>),否则R就不是 传递的。
R={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<a,c>}
反对称举例2：整除
R是N上的整除关系,即 R＝{<x,y>|x,y∈N,y/x∈N}, 显然,如果x能整除y,且x≠y, 则y不能整除x。所以R是反对称的。
注意:存在两数a、b∈N, a不能整除b,b也不能整
除a, 即<a,b>R,<b,a>R。
反对称举例3：包含
A是某集合,R是P(A)上的包含关系。 因u、v∈P(A),如u≠v,且uv,则必有v u, 所以,包含关系R是反对称关系。
<y,x>∈R
R1＝{<1,1>,<2，3>,<3,2>},R1是对称的， R2＝{<1,1>,<3,3>},R2是对称的， R3＝{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,1>}, R3不是对称的,因<3,1>∈R,而<1,3>R。
复合关系
关系是一个非常普遍的概念，如数值的 大于关系、整除关系，人类的父子关系、师 生关系、同学关系等。
二元关系的定义： 设A、Ｂ是集合，如果ＲA×B，则称R是一个从A到B 的二元关系。如果 RA×A，则称R是A上的二元关系。 简单的说：二元关系就是序偶的集合。 如:R={<1,a>,<书,车>,<人, 树>} 二元关系的性质： 自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性
3×5
前提: A=MR; B= MS; C= MRS
for(i=1;i<=m;i++) for(j=1;j<=t;j++) {C[i,j]=0; for(k=1;k<=n;k++) ∨ ∧ C[i,j]=C[i,j]||(A[i,k]&&B[k,j]); + * 矩阵相乘: }
例题3：R={<1,2>,<1,3>,<3,2>} S={<2,3>,<1,4>}
S={<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,2>,<4,5>}
则
RS={<1,1>,<1,3>,<2,4>,<2,2>,<2,5>}
枚举法的优点:直观 枚举法的缺点:若关系包含序偶太多时,容易出错 (2)关系矩阵法 令 A={a1, a2,…, am} B={b1, b2,…, bn} C={c1, c2,…, ct} RA×B SB×C c11=(a11∧b11)∨(a12∧b21)∨...∨(a1n∧bn1) =(a1k∧bk1) (其中∧是逻辑乘,∨是逻辑加) cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨...∨(ain∧bnj) n = ∨ (aik∧bkj) (1≤i≤m, 1≤j≤t)
第3篇二元关系ch8二元关系ch9特殊关系
1 rij =
当< xi, yj >∈R ∈
0 当< xi, yj >∉R ∉ (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) (i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)
有限集合上的二元关系的图形表示： 有限集合上的二元关系的图形表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。分别用 个 为从X到 的一个二元关系。分别用m个 的一个二元关系 为从 结点表示x 个结点表示y 结点表示 1, x2 ，… , xm ，用n个结点表示 1, y2 ，… , yn 。 个结点表示 做一有向弧， ∈ 如果< xi, yj >∈R，则自结点xi向结点yj做一有向弧， 箭头指向yj ；如果 之间不做有向弧。 之间不做有向弧。 x1 ● x2 ● x3 ● x4 ● x5 ●
定理8-2.1 定理
两个关 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关
系，则Z、S的并、交、补、差仍是从集合X到集合Y 的关系。
证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。 证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。
有限集合上的二元关系的矩阵表示： 有限集合上的二元关系的矩阵表示：
设给定两个有限集合X=｛ 设给定两个有限集合 ｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, ｛ y2 ，… , yn｝ 。R为从 到Y的一个二元关系。则对应于关 为从X到 的一个二元关系。 的一个二元关系 为从 系R有一个矩阵MR=[rij]m×n,其中 有一个矩阵
｛z1 ,…, zp｝,R⊆X×Y，S⊆Y×Z，MR=[uij]m×n ⊆ × ， ⊆ × ， × 的关系矩阵， 的关系矩阵。 为R的关系矩阵，MS＝[vij]n×p 为S的关系矩阵。那么， 的关系矩阵 那么， × 合成关系R ° S的关系矩阵MR°S＝[wij]为一m×p矩阵， × 矩阵 ° 其各分量wij可如下求取
二元关系
当（xi, yj）∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质： 设R是集合A上的二元关系，则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1：集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R，则可表达为： R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2：男队A={ a, b, c, d }，女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系：a和g，d和e。可表达为： R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合： A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质： 设R是A上的二元关系，R-1与R有相同的性质。 （自反，反自反，对称，反对称，传递）
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足：
二元关系逆关系
二元关系逆关系二元关系是指两个集合之间的关系，逆关系则是二元关系的反向关系。
具体来说，如果二元关系R包含了集合A和B的所有有序对(x,y)，那么其逆关系R^-1包含了集合B和A的所有有序对(y,x)。
二元关系逆关系在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
比如说，在关系数据模型中，我们往往需要对关系进行转置，这时逆关系就非常有用。
此外，在图论中，研究节点与节点之间的连接结构时，我们也可以利用逆关系来帮助研究。
下面，我们来分步骤阐述二元关系逆关系的定义和简单示例。
一、二元关系的定义二元关系是指两个集合之间的一个关系，这个关系可以由一个或多个有序对来表示。
比如说，如果我们定义了一个有序对集合{(1,2),(2,3),(3,1)}，那么这个集合就代表了关系R={(1,2),(2,3),(3,1)}。
这个关系R可以表示如下图所示的三个元素之间的关系。
二、逆关系的定义逆关系是指二元关系的反向关系。
如果有一个二元关系R={(a,b),(b,c),(c,d)}，那么对应的逆关系R^-1={(b,a),(c,b),(d,c)}。
逆关系是由原来的二元关系中所有有序对的元素颠倒位置而得到的，因此它的定义也很简单。
三、逆关系的示例我们可以举一个具体的例子来说明逆关系的应用。
假设我们有一个员工表，里面记录了每位员工的姓名和所在部门。
如果我们需要查找所有在销售部门工作的员工，我们可以定义一个二元关系R={(a,b)|a是员工姓名，b是部门名称}，然后用选择操作来筛选出部门为销售的所有员工。
这段SQL代码可能长这样：SELECT 员工姓名 FROM 员工表 WHERE 部门名称='销售'但是如果我们需要查找所有在某个员工所在的部门工作的所有员工呢？此时就需要用到逆关系了。
我们可以定义一个逆关系R^-1={(b,a)|a是员工姓名，b是部门名称}，然后用选择操作来筛选出与指定员工在同一部门工作的所有员工。
代码可能长这样：SELECT 员工姓名 FROM 员工表 WHERE 部门名称=(SELECT 部门名称 FROM 员工表 WHERE 员工姓名='某个员工的姓名')通过定义逆关系，我们可以用一条SQL语句来完成原本需要使用子查询才能完成的任务。
二元关系的性质及二元关系的应用（可编辑）
二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。
第4章 二元关系_性质
15
传递性
定义 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称R是A上的传递关系.
实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系
幂集上的真包含关系
2
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
3
（1）R在A上是自反的
(x)(x∈A→<x,x>∈R)=1，
12
1
31
31
2
42
42
(a)
(b)
31
3
42
4
(c)
(d)
13
（1）存在既不是对称也不是反对称的关系， 也存在既是对称也是反对称的关系；
（2）关系R是对称的关系图中任何一对结 点之间，要么有方向相反的两条边，要么无 任何边；
关系R是反对称的关系图中任何一对结点之 间，至多有一条边；
（3）关系R是对称的R的关系矩阵为对称 矩阵，关系R是反对称的R的关系系矩阵为 反对称矩阵。
36
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
二元函数的线性相关性
二元函数的线性相关性线性相关性是描述两个二元函数之间的关系的一个重要指标。
当两个二元函数存在线性相关性时，它们的图像可以通过一个线性方程描述。
具体来说，对于两个二元函数f(x)和g(x)，如果存在不全为零的常数a和b，使得对于所有的x，有af(x)+bg(x)=0，我们称f(x)和g(x)是线性相关的。
线性相关性对于多个二元函数也同样适用。
对于n个二元函数f1(x)，f2(x)，...，fn(x)，如果存在不全为零的常数a1，a2，...，an，使得对于所有的x，有a1f1(x)+a2f2(x)+...+anfn(x)=0，我们称f1(x)，f2(x)，...，fn(x)是线性相关的。
线性相关性的研究在数学、物理学、工程学等许多学科中具有重要的意义。
下面我们将从不同的角度探讨二元函数的线性相关性。
1.线性相关性的定义和性质：线性相关性的定义在前文已经给出。
除了这个定义外，线性相关性还有以下性质：1.1 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的线性组合也是线性相关的。
即对于任意的常数a和b，有af(x)+bg(x)=0，则对于任意的常数c和d，有caf(x)+dbg(x)=0。
1.2 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的导数也是线性相关的。
即若有af(x)+bg(x)=0，则有a'f'(x)+b'g'(x)=0。
1.3 若f(x)和g(x)线性相关，则它们的积分也是线性相关的。
即若有af(x)+bg(x)=0，则有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=0。
2. 线性相关性的判断：对于给定的二元函数f(x)和g(x)，我们如何判断它们是否线性相关呢？最常用的方法是求解它们的Wronskian行列式。
具体步骤如下：2.1计算f(x)和g(x)的导数f'(x)和g'(x)。
2.2 构造Wronskian行列式W(f,g)(x)=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)。
第二章 二元关系(集合论讲义)
例 1.1 例 1.2
例 1.3 设 A 是非空集合， ρ ( A) 上的包含关系 ⊆ A 定义如下： ( B, C ) ∈⊆ A 当且仅当 B ⊆ C 。 例 1.4 设 A 是任意集合， A 上的恒等关系 I A 定义如下： I A = {( a, a ) : a ∈ A} 。 例 1.5 上的模 2 同余关系 M 2 定义如下： aM 2b 当且仅当 2 | (a − b) 。
（2） ( R1 ∪ R2 ) （3） ( R1 ∩ R2 ) （4） ( A × B ) （5） ∅
−1
−1
−1
= B× A
=∅
= R −1
−1 −1 = R1−1 − R2 −1 −1
（6） ( R )
−1
（7） ( R1 − R2 )
（8）若 R1 ⊆ R2 ，则 R1 ⊆ R2 复合运算
先看一个例子。兄妹关系为 R1 ，母子关系为 R2 ， a 与 b 有兄妹关系， b 与 c 有母子关系， 即 aR1b ， bR2 c ，则 a 与 c 有舅甥关系 R3 ， R3 称为 R1 与 R2 的复合关系，记为 R3 = R1 R2 。
结点 ai 。如果 ai Ra j ，则画一条从结点 ai 到结点 a j 的带箭头的线段，称该线段为弧（有向 边） ；如果 ai Ra j ，则对应的弧称为自环。如此得到的图形称为 R 的关系图，记为 G ( R) 。 例 2.2 设 A = {1, 2,3, 4,5} ， A 上的模 2 同余关系的关系图如图 2.1 所示。
第二章 二元关系
关系一词是大家所熟知的，它是指多个事物之间的一种特定意义的联系。在诸多的关系中， 最基本的是涉及两个对象的关系， 比方说父子关系， 师生关系， 同学关系等， 称为二元关系。 本章的目的是给出二元关系的性质和运算并重点介绍一些特殊类型的二元关系。
离散数学第七章二元关系
19
证明
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(FG)1 <y,x>∈FG t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1) <x,y>∈G1 F1 所以 (F G)1 = G1 F1
20
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R <x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
10
关系的表示
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
二元关系
集合A上的恒等关系是反对称的，但全域关系一般不是反对称 的，除非A为单元集或空集。
给定集合族上的集合之间的相等关系、包含关系和真包含 关系都是反对称的。
R-1={<x,y>|<y,x>∈R} 6、设F,G为二元关系, G对F的右复合记作F G, 其中
F G={<x,y>| t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)}
例 设F={<3,3>,<6,2>},G={<2,3>}, 则 F-1={<3,3>,<2,6>} F G={<6,3>} G F={<2,3>}
矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。与普通矩阵乘法不同的是，
1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0 (3)关系图法：如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G
得到Rn的关系图G’。G’的顶点集与G相同，考察G的每个 顶则以点在后，xGi，’中就如加得果一到在条图G从G中’x。从i到xxi出j的发边经，过当n把步所长有的这路样径的到边达都顶找点到xj，
整数集合中，数之间的=关系、<关系和≤关系都是反对称 的。
关系的性质—对称与反对称
说明 有些关系既是对称的又是反对称的；有些关系是
对称的但不是反对称的；有些关系是反对称的，但不 是对称的；还有的关系既不是对称的又不是反对称的。
例如：设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。
在离散数学的研究中，我们常常需要研究元素之间的各种关系，而二元关系就是其中一种最基本的形式。
简而言之，二元关系就是一个元素对的集合，其中每个对代表了两个元素之间的关系。
举个简单的例子来说明二元关系。
假设我们有一个集合A={1,2,3,4}，我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。
在这个关系中，元素1和2之间存在关系，元素2和3之间也存在关系，但是元素1和3之间并没有直接的关系。
二元关系可以通过图形的形式来表示，通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。
有向图中，每个节点代表集合中的一个元素，而每条边代表元素之间的关系。
无向图则更多地表示元素之间的对称关系。
通过研究二元关系，我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质，为解决各种离散数学中的问题奠定基础。
在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。
1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质，它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系，那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来，使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系，那么它们之间也存在这种关系。
传递性是二元关系中的一个基本概念，它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系，从而推断出更多的信息。
在离散数学中，传递性的概念是非常重要的。
通过传递性，我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式，从而更好地理解集合中元素之间的联系。
传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法，例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中，传递性都扮演着重要的角色。
了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。
在接下来的正文中，我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念，以及如何判定二元关系是否具有传递性，希望能够带给读者更多的启发和认识。
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定【摘要】《离散数学》中二元关系的传递性是重要的概念之一，本文将讨论传递性的定义、判定方法以及在离散数学中的具体应用。
文章首先介绍了传递性的概念，即对于集合A上的关系R，若aRb且bRc成立，则必有aRc成立。
然后详细讲解了传递性的判定方法，包括直接证明和间接证明两种方法。
文章探讨了离散数学中二元关系的传递性，通过实际例子解释了传递性在离散数学中的应用。
传递性在离散数学中具有重要意义，能够帮助我们理解和分析各种关系的性质。
通过深入学习传递性的概念和方法，我们能够更好地解决离散数学中的问题，提高数学建模和推理的能力。
【关键词】离散数学、二元关系、传递性、判定、定义、方法、结论1. 引言1.1 引言离散数学中的二元关系传递性是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用和意义。
在《离散数学》中，我们需要通过一定的方法来判定一个二元关系是否满足传递性。
传递性是二元关系的三个基本性质之一，它是指如果关系中的两对元素(a,b)和(b,c)都属于这个关系，那么元素(a,c)也必须属于这个关系。
换句话说，如果关系中存在一条从a到b的路径，且存在一条从b 到c的路径，那么一定存在一条从a到c的路径。
这个性质在描述事物之间的联系和转移关系时非常有用。
在离散数学中，我们可以通过一些方法来判定一个二元关系是否具有传递性。
这些方法包括使用定义，构造反例，或者通过数学推导等方式。
在实际问题中，我们可以通过观察和分析关系中的元素，找出其中的规律和特点，来判断这个关系是否满足传递性。
通过对离散数学中二元关系传递性的研究和探讨，我们可以更深入地理解关系和映射在数学中的重要性和应用。
在学习和应用中，我们需要灵活运用这些知识，解决实际问题，提高数学思维和分析能力。
部分就到这里，下面将介绍。
2. 正文2.1 传递性定义传递性是离散数学中一个非常重要的概念，在研究二元关系时经常会用到。
传递性的定义是指对于一个关系R，如果对于集合A中的任意元素a、b、c，如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)也属于R。
第7章二元关系
迪卡尔积
定义7.2 集合A和B的笛卡尔积是一个二元有序对集合， 记为A×B: A×B={<a,b>aA∧bB} 理解：第一元素取自A，第二元素取自B
4
迪卡尔积的运算性质
对任意的集合A,有 A×=, ×A= 笛卡尔积不符合结合律和交换律 A×B≠B×A (当A≠∧B≠∧A≠B时) (A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠∧B≠∧C≠时) 笛卡尔积对并和交运算满足分配律（ 注意分配顺序 ） AC∧B D A×B C×D
7
例题
例7.3 设A,B,C,D为任意集合，判断以下命题是否为真 (1) A×B =A×C B=C (2) A-(B×C)=(A-B)×(A-C) (3) A=B∧C=D A×C =B×D (4) 存在集合A, 使得A A×A 解: (1) 不一定为真，当A=,B={1},C={2}时， 有A×B = =A×C, 但 B≠ C (2)不一定为真，当A=B={1}, C={2}时，有 A-(B×C) ={1}-{<1,2>}={1} (A-B)×(A-C)= ×{1}= (3)为真 (4)为真, 当A=时，成立
第七章 二元关系
1
内容提要
• • • • • • • 有序对与迪卡尔积 二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
2
7.1 有序对与迪卡尔积
• 定义7.1 两个元素x,y组成的序列记作<x,y>,称 为二元有序对或序偶; x、y分别称为第一、第 二元素 • 有序对的性质： 二个序偶<a,b>和<c,d>相等，当且仅当 a=c且b=d,即 <a,b>=<c,d> a=c∧b=d 有序对的元素次序是重要的。 例：<2,3> <3,2>, 而集合{2，3}={3，2}。
关系的运算及性质
第二节 关系的运算及性质二元关系是特殊类型的集合，因而集合的各种运算都适合于关系，下面给出一些关系的特有的运算。
定义2.1 设R ＝{,}x y xRy <>为一个二元关系，A 为一个集合。
（1） 称{,}y x xRy <>为R 的逆，记作1R −。
（2） 称{,}x y xRy x A <>∧∈为R 在集合A 上的限制，记作R A ↑。
（3） 称()ran R A ↑为A 在R 下的象，记作R[]A 。
例如，设{,,,,,,,,,}R a b c d e f g h a h =<><><><><>，1A =Φ，2{,}A a g =， 3{,,}A a b c =，则（1） 1{,,,,,,,,,}R b a d c f e h g h a −=<><><><><>；（2） 1R A ↑=Φ，2{,,,,,}R A a b a h g h ↑=<><><>，3{,,,,,}R A a b a h c d ↑=<><><>，11R A −↑=Φ，12R A −↑=Φ13{,}R A a b −↑=<>；（3） 1[}R A =Φ，2[]{,}R A b h =，3[]{,,}R A b d h =，11[]R A −=Φ，12[]R A −=Φ，13[]{}R A a −=。
定义2.2 设R A A ⊆×，（1） 若A I R ⊂，则称R 是A 上的自反关系(reflexive)。
（2） 若A I R ∩=Φ，则称R 是A 上的反自反关系(irreflexive)。
（3） 若(,)x y x y A xRy yRx ∀∀∈∧→为真，则称R 是A 上的对称关系(symmetric)。
离散数学之3—二元关系
R10={(1,1)}
既对称, 也反对称。 R9={(1,2), (2,1), (1,4)} 既不是对称, 也不是反对称。
5。如果(x, y) R (y, z) R (x, z) R, 就说 R是A上的一个传递关系。 例：设A={a, b, c}， S1 ={ (a, c), (a, b), (b, b), (c, b), (c, c) }, S2 ={ (a, a), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, S3 ={ (a, c), (a, b) }, 则 S1, S3 都是传递的, 而 S2 不是传递的。
(a, c) (R T) (S T)。
⑵ (a, c) (R S) T
( b)[ bA (a, b) R S (b, c) T ] ( b)[ bA ( (a, b) R (a, b)S ) (b, c)T ] ( b)[ bA (a, b) R ( b, c)T ) ] ( b)[ bA
R = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b), (c, c) }, S = { (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (c, b), (c, c) }, 则 R S ={ (a, a), (a, c), (b, a), (b, c), (b, b), (c, b), (c, c) },
那么，详细写出即是 R={(2, 4), (5, 25), (2, 1), (5, 4)}。
例 2：设A={2，3，4，5，6，8}，定义A到自身的一 个
二元关系为 MOD3={(a, b)a, bA (a b(mod 3))}，
那么，MOD3={(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (8, 8),
二元关系的性质-南京大学
d为除数，a为被除数，q为商，r为余数。 记作 q = a div d，r = a mod d. 举例：-11 mod 3 =? S={rN | qZ. r = a-dq}是N的非空子集 N是良序的，S有最小元素，记为r0，即r0 = a-dq0 用反证法易证r0d, 否则r0-d是S中比r0更小的元素, 矛盾
同余算术 (高斯, Gauss)
素数
大于1的正整数p称为素数，如果p仅有的正因子是1 和p。大于1又不是素数的正整数称为合数。
正整数n是合数 iff aN. 1 a n, 且 a | n . 算术基本定理：每个大于 1 的正整数都可以唯一地 写为一个素数或者若干个素数的乘积，其中素数因 子以非递减序出现。
function gcd(a, b) // 不全为0的自然数 while b ≠ 0 t := b b := a mod b a := t return a
function gcd(a, b) // ab0, a>0 if b=0 return a else return gcd(b, a mod b)
设a为集合, 称a{a}为a的后继, 记为s(a)，或a+。 设A是集合，若A满足下列条件，称A为归纳集：
Ø A a(aAs(a)A} 因此：N = { Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}, … } N的每一个元素称为一个自然数。 Ø记为0，s(0)记为1，s(1)记为2， s(2)记为3，以此类推
证明：
唯一性证明， 0 r1 - r0 = d (q0-q1) d，因此，q1=q0
带余除法（续）
令a和b为整数，d为正整数，则
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有限集合上的传递闭包
假如| A | n, 则A上的关系R 的传递闭包是： t(R) R R R R
i 2 i 1
* i 1
n
n
上述公式和 : t ( R) R Ri有何差别？
A 中只有 n 个不同的元素，如果在R中存在一条从a到b 的长度至少为1的通路，那么存在一条长度不超过n的 从a到b的通路。 若 xR*y, 则存在某个自然数 k, 1kn, 满足 xRky.
nn矩阵相乘，结果中每1项，要做(2n-1 次)布尔运算(积与和)，总共需要计算n2项。 nn矩阵相加,要做n2次布尔运算(和)
本算法共进行n-1次矩阵乘和加。
总运算量(n2(2n-1)+n2) (n-1)=2n3(n-1含R且满足自反性，则r(R)R’
例子
令A={1,2,3}, R={(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}。则r(R)={(1,1), (1,3), (2,3), (3,2), (2,2), (3,3)}。
自反闭包的计算公式
r(R) = RIA, IA是集合A上的恒等关系
关系的闭包、等价关系
离散数学－关系
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
闭包的定义 闭包的计算公式
传递闭包的Warshall算法
等价关系
等价类
划分
关系的闭包：一般概念
设R是集合A上的关系，P是给定的某种性质（如： 自反、对称、传递），满足下列所有条件的关系R1 称为R的关于P的闭包:
3. 设 R ' 是集合 A上的传递关系 , 且包含 R。若( x, y ) R ,
*
则有 t1 , t2 ,..., tk , 满足： ( x, t1 ),, (tk , y ) R, 于是 ( x, t1 ), (t1 , t2 ),, (tk , y ) R ' 根据 R' 的传递性，( x, y ) R '.
连通关系
定义集合A上的“连通”关系R*如下：
对任意a,bA, a R*b 当且仅当：存在t0, t1…tk A(k是正 整数)，满足t0=a, tk=b, (ti-1, ti)R, i=1…k。(可以表述为： 从a到b之间存在长度至少为1的通路) 显然：对任意a,bA, a R* b 当且仅当存在某个正整数k, 使得aRkb。
RR1 R1 满足性质P
对于A上的任意一个关系R’，如果R’包含R且满足性质P， 则R1R ’
自反闭包r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包t(R)
自反闭包（ reflexive closure）
设 R的是集合A上的关系，其自反闭包r(R)也是A 上的关系，且满足：
r(R)满足自反性； R r(R);
(证明所给表达式满足自反闭包定义中的三条性质)
1. 对任意 xA, (x,x)IA, 因此, (x,x)RIA 2. RRIA 3. 设 R’ 集合A 上的自反关系，且RR’. 因为自反性，所以 IAR’ , 从而 RIAR’ .
对称闭包（symmetric closure）
注意：r(s(R))一般省略为rs(R)
对称关系的传递闭包是对称的
证明：st ( R) ts( R)
注意： 左边是t ( R)的对称闭包， 根据定义，我们只需证 明： （ 1 ）ts( R)满足对称性; (2)t ( R) ts( R)
证明 (1) : 对任意 (x,y ) ts(R ), t1 ,t 2 ,...,tk , 满足 (x ,t1 ) s(R ),(t1 ,t 2 ) s(R ),...,(t k ,y ) s(R ), 而s(R )满足 对称性， (y ,t k ) s(R ),...,(t 2 ,t1 ) s(R ),(t1 ,x ) s(R ), 于是： (y ,x ) ts(R ), ts(R )满足对称性。 证明 (2), 考虑到左边是R的传递闭包， 我们只需要证明： (i) R ts(R ) (显然) ， (ii) ts(R )满足传递性 (显然) 。
用矩阵乘法计算传递闭包
有限集合上关系的传递 闭包： t ( R) R i R R 2 R n
i 1 2 3 n M t (R) M R M R MR ... M R n
算法概要:
1. 输入MR;
2. 计数器 k 置初值n-1; 3. MTRMR; M’MR; 4. M’ M’MR; 5. MTRMTRM’; 6. kk-1; 若k>0则转4; 7. 输出MTR;
s(R) = RR-1, 这里R-1是R的逆关系
s(R)是对称的
s(R)-1 = (RR-1)-1 = R-1(R-1)-1= R-1R = s(R)
R s(R)
设R’是集合A上的对称关系, 并且RR’
R-1 (R’)-1 =R’ RR-1 R’
因此, s(R) R’
= R1R2R3…Ri…
k R = k 1
于是：R*
传递闭包（transitive closure）
t ( R) R *
1. 若 ( x, y ) R*, ( y, z ) R*, 则有s1 , s2 ,..., s j 以及 t1 , t2 ,..., tk , 满足： ( x, s1 ),, ( s j , y ), ( y, t1 ),, (tk , z ) R, 因此, ( x, z ) R * . 2. R R*
对称闭包的自反闭包vs自反闭包的对称闭包
证明：r(s(R)) = s(r(R))
r(s(R)) = r(RR-1) = (RR-1)IA = (RIA)(R-1IA-1) = (RIA)(RIA)-1 = s(RIA) = s(r(R))
(注意：IA=IA-1, 并用等幂率)