因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(人教版)(含答案)
因式分解综合应用(添项拆项) (人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1:因式分解的四种基本方法有哪些?问题2:添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的问题3:换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为因式分解综合应用(添项拆项)(人教版)一、单选题(共10道，每道10分)1.把4x4+1因式分解，正确结果是()A.4(x+1)*8.(2x²+2x+1X2x²-2x+1)c.(x²+2x+2)(x²-2x+2)p.(2x²+1)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法2.把x⁴+2°因式分解，正确结果是()A.(x²+8)²8.(x²-4x+8)(x²+4x+8)c.(x-2)²(x+2)²D,(x²-8)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法3.把x³-1因式分解，正确结果是()A.(X+1Xx-1)8.(x-1)<2-x+1)c.(x-1(2+x+1。
.(x+1)<²-x+1)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法4.把4x⁴+y⁴+3x²y²因式分解，正确结果是()A.(2x²+y³)²8.(2x²-xy+y²)(2x²+xy+y³)c.(2x+y)²(2x-y)²D.(2x+y+xy)(2x+y-xy)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法5.把α³+11a+12因式分解，正确结果是()A.(a+1)(a-1)(a-12)g.(α+1)(a+3)(a-4)c.(a- 1)a²+a- 12)D.(a+1)(a²-α+12)答案：D解题思路：法( 一):原式=a³-a+12a+12=a(a+1)(a-1)+12(a+1)=(a+1)(a²-a+12)法(二):原式=a+a²-a²+11a+12=a²(a+1)- (a²-1la-12)=a²(a+1)- (a-12)(a+1)=(a+1)(a²-a+12)故选D .试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法6.把m³-2m-1因式分解，正确结果是()A.m(m-1)²8(m+1)(m²-p2-1)c.(m+1)(m-1)²D.(m-1)(m²+m-1)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法Z .把x²-y²+2x-4y-3因式分解，正确结果是() A.(x-y- 1)²B.(x+y+1(x-y- 1)c.(x+y- 1)(x-y+3)o.(x+y+3)(x-y- 1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧--添项拆项法8.把2x³+4x²-x-3因式分解，正确结果是()A.(X- 1)(x- 1)2x+3)8.(x+1)2(2x-3)c.(x+1)(2x²+2x-3)。
因式分解—配方法和拆添项法参考答案
第 1 页 共6 页 因式分解的配方法和拆添项法参考答案知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。
配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________893=+-x x .（拆项法） 答案：()()812-+-x x x解析：原式()()()()()=---+=---=+--=18111818823x x x x x x x x x x ()()812-+-x x x提示：本题的关键是将x 9-拆为x -和x 8-.2、分解因式：_______________12224=-+++a ax x x .（添项法） 答案：()()1122++--++a x x a x x解析：原式()()=--+=-+-++=22222241212a x x a ax x x x ()()1122++--++a x x a x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
3、分解因式：____________________15=++x x .（添项法） 答案：()()11232+-++x x x x解析：原式()()()()()111111222232225+++++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x x x x x x ()()11232+-++=x x x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
4、（第15届“希望杯”初二试题）分解因式：_____________232432234=++++b ab b a b a a . 答案：()222ab b a ++解析：原式()()=+++++=22334224222b a ab b a b b a a ()()()=++++22222ab b a ab ba()222ab b a++提示：本题的关键是将通过拆项223b a ，构造完全平方公式。
因式分解添项拆项规律
因式分解添项拆项规律
当我们需要对一个多项式进行因式分解时，可以利用添项拆项规律来简化计算。
添项拆项规律指的是在多项式中添加或移除一些数学运算符号，以便将多个单项式合并或拆分成更简单的形式。
下面是一些常见的添项和拆项规律：
1. 合并同类项：对于一个多项式，合并所有具有相同指数的变量的项。
例如：3x + 4x = 7x。
2. 提取公因式：如果一个多项式中的每一项都可以被一个公共因子整除，可以将这个公因子提取出来。
例如：2x + 4y = 2(x + 2y)。
3. 分解差平方：对于一个差的平方形式，可以分解成两个因子的乘积。
例如：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
4. 分解完全平方差：对于一个完全平方差形式，可以分解成两个因子的乘积。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
5. 分解立方差：对于一个立方差形式，可以分解成两个因子的乘积。
例如：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
6. 分解和的平方：对于一个和的平方形式，可以分解成两个因子的乘积。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
7. 分解差的立方：对于一个差的立方形式，可以分解成两个因子的乘积。
例如：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
通过灵活运用这些添项拆项规律，我们可以将复杂的多项式简化为更简单的形式，并且更容易进行进一步的计算或分析。
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
添项拆项法因式分解
添项拆项法因式分解添项拆项法是一种将多项式进行因式分解的方法。
它基于多项式的加法和减法性质，通过拆分多项式的项来找到可以因式分解的因子。
多项式是由一系列的项组成的，每一项包含了常数和某个变量的幂次。
要进行添项拆项法因式分解，我们首先需要了解多项式的结构和每一项的性质。
一个多项式的基本结构如下：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中an, an-1, ..., a2, a1, a0是多项式的系数，x是变量，n是多项式的次数。
接下来，我们将介绍如何使用添项拆项法对多项式进行因式分解。
我们要观察多项式中每一项的系数和次数，然后尝试将多项式拆分为更小的部分。
比如，我们有一个多项式f(x) = 3x2 + 9x + 6。
我们可以观察到每一项的系数3、9、6都可以被3整除，因此我们可以使用3来拆分每一项。
这样我们就可以将多项式写成如下形式：f(x) = 3(x2 + 3x + 2)现在，我们可以继续观察括号内的多项式，并尝试进行进一步的拆分。
在这个例子中，我们可以发现x2 + 3x + 2不能再进一步拆分为更小的部分。
因此，我们可以得出以下因式分解：f(x) = 3(x + 2)(x + 1)通过添项拆项法，我们成功地将多项式f(x)分解为了两个一次多项式的乘积。
让我们再看一个稍微复杂一些的例子。
考虑多项式g(x) = 2x3 + 10x2 + 12x + 6。
观察每一项的系数，我们发现它们都可以被2整除。
因此，我们可以使用2来拆分多项式，得到如下形式：g(x) = 2(x3 + 5x2 + 6x + 3)现在，我们要继续观察括号内的多项式，尝试进行进一步的拆分。
在这个例子中，我们可以将x3 + 5x2 + 6x + 3重写为x2(x + 5) +3(x + 1)。
这样，我们可以得到以下因式分解：g(x) = 2(x + 1)(x + 3)(x + 1)通过添项拆项法，我们将多项式g(x)成功地分解为了两个一次因式与一个二次因式的乘积。
因式分解综合应用(复杂方程的处理与待定系数法)(人教版)(含答案)(1).docx
学生做题前请先回答以下问题问题1:目前我们学习的因式分解的方法有哪些？问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为______________ .问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分__________ 吋，我们会________ 将其替换，从而简化式子的形式.问题4：添项拆项的目的是使多项式能够用______________ 进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________ .因式分解综合应用（复杂方程的处理与待定系数法）（人教版）一、单选题（共9道，每道11分）1.基本事实：若ab=O,则a=0或b=0.对于方程”-兀-2=0,可通过因式分解，化为（x—2）O + l） = 0,由基本事实可得，x-2=0或x+UO,即方程的解为*2或x“.利用上述基本事实，可求得方程”+2x-8 = °的解为（）A.x=-2 或x=4B.x=2 或x=-4C.x=-2 或x=-4D.x=2 或x=4答案：B解题思路：•・• X2+2X-8=0・•・(x-2)(x+4) = 0x-2=0 或x+4=0,•■-原方程的解为x=2或x=-4. 故选B・难度：三颗星知识点：因式分解的应用2.若(/ + 沪 + 2)3 +胪 _ 4) - 7 = 0 ,则 / + 沪=(A.5B.5 或答案：A解题思路：设/ + /* 贝iJ（r+2）（r—4）— 7 = 0 /. （r+2）（『一4）一7 = 0・•・尸一2—15 = 0・•・（/ +3）（—5） = 0■ ■ =5 t=~3,即/ +亍=5或/ +方亠=—3（舍）・故选A.试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用3. 若血' + “2+2血_6总 + 10 = 0,则m+n=（）A.4B.-4C.2D.-2答案：C解题思路：T 初‘ + 旳‘+2用一6川 + 10 = 0,•I w2 +2加 + 1 + 旳'一6刃+ 9 =0 ,即（刃+ 1）2+（比一3尸=0,/. W=-l, 77=3,椀+w=2.故选C.试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用4. 若/ +莎+ 2疋+ 2处- 2氐=0,则a+b的值为（A.OB.1C.-lD.不能确定答案：A解题思路：T / +沪+2疋+2心一2比=0,/ +2ac + / +b‘ -2比+/ =0, 即(d+C )2+@—C )2=0, .「Q + C =0 "\b-c=0a=~c, b=c 、 /. a J rb=-c^rc=0 -故选A.试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用5.己知x, y 满足力+ “+兀夕+2=2型，那么x+y 的值为（A.-lB.-2C.2D.1答案：B 解题思路:T 2x+x 2 +x 2y 2 + 2 = 2XV 1,x 2y 2 -2xy +1 + x 2 +2x+l =0, 即(w-l)2+(x+l)2=0, 列—1=ox+l = 06 若a? + 2^2 -f-5c 2 =4bc-2ab-^-2c-1,贝^a-b-\-c 的值是( A.-3 B.OC.lD.2答案：A 解题思路:•・• a 2 + lb 1 + 5c 2= 4bc -labile-! ・•・ a? + 2d 方 + 方2 + 万2 一4方c + 4^2 + ©2 一2c +1 = o 即(a + b)2 + @ — 2c)2 + (c 一 I)? = 0：.<b-2c = 0,解得, fx = —1・・旳=-2・ 故选B.难度：三颗星知识点：因式分解的应用c-l=Oa = -2解得，W ,c=la —方 + c= —3 故选A.试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用7. 若a, b, c是AABC的三边长，且盼+氐一处一沪=°,贝|J A ABC-定是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形答案：A解题思路：J a2^bc-ac-b2 =0・•・(/—/)+(%-0 = 0(d + bXa —b)+c(b —a) = 0(a-b)(a + b —c) = 0•I a~b=0或a^b-c=0,•I a=b或a^-b=c,又T G儿c是△的C的三边长,•I a~^b>c,综上，a=b,A ABC—定是等腫三角形.故选A・试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用8. 阅读下面的学习材料：已知多项式3八+加/+4兀+ 1有一个因式是3x4-1,求加的值，并将其分解因式.解法•设 3, + 加 “ +4x + l = (3x + l)(/ +劭+&) 则 3x 3 +?nx 2 +4x +1 = 3严 + (3a +1)/ + (a + 3b)x + b3a +1 =加< a + 3b = 4A 一 1比较系数得，日一丄解得,•加=4 H 3x 3 +4x 2 + 4x +1 = (3x + l)(x 2 + x +1) • • 9 巳 根据以上学习材料，解答下面的问题.（1）己知多项式卡+ 2/+楓一4有因式x —l,则刑的值为（ 果为（）A1；(兀-1)(兀 + 1)(兀 + 3也(T("+4X + 3)C.I ；(X T )(/+3X + 4)DI (x-l)0 + l)(x + 4) 答案：C解题思路：设 + 2x ，+ mx —4 = (x —l)(x 2 +ax+方), 贝lj x 3 + 2x 2 + mx —4 = x 3 +(a — l)x 2 +@ — a)x-b,1 — 1 = 2比较系数得，＜ b-a = m,-b = -4a = 3解得，＜ b = 4 fm = l・°・ m=l f 且 x 3 + 2x? +x —4 = (x —l)(x 2 +3x4-4)・ 故选C ・试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用9.（上接试题8） （2）已知多项式有因式2x —l,则朋的值为（）,并 将其分解因式的结果为()A 】. (2X -1)(? + 2X + 3)B5. (2x —l)(/+3x + 2)C.i ; (2X — 1)(X + 1)(X + 2)D 5； (2x —l)(x + l)(x + 2) ）,并将其分解因式的结 (2=1答案：D解题思路：设2X3+x-2 = (2x-lXx2 4-ar+i),贝I」2X3 +wx2 +x-2 = 2A3+(2Q-1)工+(2b-a)x-b ,2^-1 = w比较系数得，＜2方-d = l ,—b = —2a = 3解得，》2,m = 5w=5,且2/ +d +x- 2 = (2X-1)(A? + 3x+ 2) = (2x-lXx+lX%+ 2). 故选D・试题难度：三颗星知识点：因式分解的应用。
因式分解中的拆项、添项法
因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。
分解因式(提公因式法、公式法)(人教版)(含答案)
分解因式（提公因式法、公式法）（人教版）一、单选题(共16道，每道6分)1.下列选项中，从左到右的变形是分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：选项A等式左边不是多项式，选项B等式右边不是积的形式，选项D等式右边不是整式的积的形式，只有选项C正确，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式的定义2.把多项式分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法3.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选C.注意：提公因式要彻底.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法4.将分解因式时，应提取的公因式是( )A.a2B.aC.axD.ay答案：B解题思路：此多项式中各项的公因式为a，∴，故选B.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法5.把分解因式，结果正确的是( )A. B.(x-y)(x-y-1)C.(x-y)(x-y+1)D.(x-y)(y-x-1)答案：C解题思路：，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法6.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：，故选A.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法7.下列选项中，能用完全平方公式分解因式的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：完全平方公式的特征是“首平方、尾平方，二倍乘积放中央”，只有选项D符合题意，.故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法8.下列选项中，能用公式法分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：只有选项C能用公式法分解因式，，其他选项均不符合完全平方公式和平方差公式的特征. 故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法10.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：，故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法11.把分解因式，结果正确的是( )A.(2x+4y)(2x-4y)B.2(x+2y)(x-2y)C.4(x+2y)(x-2y)D.答案：C解题思路：，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法12.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法13.把分解因式，结果正确的是( )A.(x+8)(x+1)B.(x+2)(x-4)C.(x-2)(x+4)D.(x-10)(x+8)答案：B解题思路：，故选B.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法14.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：，故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法15.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选C．试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法16.把因式分解，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：，故选D．试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法。
因式分解中的拆项、添项法讲解学习
因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚 239000
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例：
例分解因式：x3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
因式分解—待定系数法、换元法、添项拆项法引言因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是解决代数式化简、解方程等问题的基础方法。
在因式分解中，待定系数法、换元法和添项拆项法是常用的三种方法。
本文将分别介绍这三种方法的基本思想、操作步骤和应用场景。
一、待定系数法1. 基本思想待定系数法是一种通过猜测待定系数的方法来进行因式分解的技巧。
在待定系数法中，我们假设因式分解的结果中存在未知系数，并通过代数运算和方程求解的方法确定这些未知系数的值，从而完成因式分解过程。
2. 操作步骤待定系数法的操作步骤如下：1.根据给定的代数式，猜测待定系数的形式，通常选择简单的常数作为待定系数；2.将猜测出的待定系数带入原代数式中，得到待定系数的方程组；3.解方程组，确定待定系数的值；4.将确定的待定系数带入原代数式中进行验证；5.若验证正确，将原代数式分解为因式的乘积，其中包含待定系数。
3. 应用场景待定系数法常用于分解小数项的平方差式、三项立方差式等情况。
通过猜测待定系数的形式，可以简化复杂的因式分解过程，并在解题过程中培养学生的逻辑思维和方程求解能力。
二、换元法1. 基本思想换元法是一种通过引入新的变量来进行因式分解的方法。
通过适当选择新的变量，可以将原代数式转化为较简单的形式，从而便于因式分解。
2. 操作步骤换元法的操作步骤如下：1.分析原代数式的结构和特点，选取适当的新变量；2.对原代数式进行变量替换，将原代数式转化为新变量的代数式；3.对新的代数式进行因式分解；4.将因式分解的结果转化回原变量，得到最终的因式分解形式。
3. 应用场景换元法常用于分解含有平方根、分数等特殊形式的代数式。
通过适当的变量替换，可以将原代数式转化为一次方程、二次方程等常见形式，从而简化因式分解的过程。
三、添项拆项法1. 基本思想添项拆项法是一种通过添加、拆分代数式中的项来进行因式分解的方法。
通过适当添加一些项，并进行合并和拆分，可以将原代数式转化为更简单的形式，从而便于因式分解。
部编数学八年级上册专题07因式分解的六种方法大全(解析版)(人教版)含答案
专题07 因式分解的六种方法大全题型一、提取公因式法与公式法综合例．分解因式：32214a ab ab -+＝______．【答案】21()2a ab -【详解】解：32214a a b ab -+＝221()4a a ab b -+＝21()2a ab -．故答案是：21()2a ab -．【变式训练1】因式分解：322882x x y xy -+=________________．【答案】22(2)x x y -【详解】解：原式=2x (4x 2−4xy +y 2)=2x (2x −y )2故答案为：2x (2x −y )2．【变式训练2】因式分解：21222a b ab b -+=_________．【答案】21(2)2b a -【详解】22211122(44)(2)222a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：21(2)2b a -．【变式训练3】分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将()()2222ac x y bc x y ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）A ．抗疫胜利B ．抗疫必胜C ．我必胜利D ．我必抗疫【答案】B【详解】解：原式＝()()22x y ac bc --()()()c a b x y x y =-+-Q x y -，-a b ，c ，22x y -，a ，x y +，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．x y \-对应抗，x y +对应疫，c 对应必，-a b 对应胜故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜故选：B题型二、十字相乘法例．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【答案】B【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【变式训练1】多项式239514x x +-可因式分解成(3)()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +之值为何？（ ）A ．12-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +-多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +-=+-∵多项式239514x x +-可因式分解成（3x +a ）（bx +c ）∴ 2a =，13b =，7c =-∴222(7)12a c +=+´-=-故选：A ．【变式训练2】分解因式：321024a a a +-=____．【答案】()()122a a a +-【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +-=+-=+-．故答案为：()()122a a a +-【变式训练3】因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =；(2)7m =-，0n =；(3)(3)(4)x x x --【解析】(1)解：Q 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，\当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；(2)Q (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，\3232331230441240m n m n ì+´+´+=í+´+´+=î，解得70m n =-ìí=î．\7m =-，0n =．(3)解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，\32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．题型四、分组法例．分解因式：4322221x x x x ++++【答案】22(1)(1)x x ++【详解】解：4322221x x x x ++++423(21)(22)x x x x =++++，222(1)2(1)x x x ++=+，22(1)(1)2x x x +=++22(1)(1)x x =++【变式训练1】已知221m a b =+-，4614n a b =--，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n ³B ．m >nC ．m n £D ．m <n【答案】A【详解】解：∵221m a b =+-，4614n a b =--，∴()()2214614b a m b n a -=---+-2246114b b a a =+--++()()224469a a b b =-++++()()2223a b =-++0³m n \³，故选A【变式训练2】分解因式：224b 12c 9c -++．【答案】()()23c b 23c b +++-【详解】解：224b 12c 9c -++=()22412c 9c b ++-=()2223c b +-=()()23c b 23c b +++-【变式训练3】分解因式：2244x y y -+-=__________．【答案】(2)(2)x y x y +--+【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【变式训练4】阅读理解：把多项式am an bm bn +++分解因式．解法：()()am an bm bn am an bm bn +++=+++()()a m nb m n =+++()()m n a b =++观察上述因式分解的过程，回答下列问题：(1)分解因式：222mb mc b bc -+-．(2)ABC V 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断ABC V 的形状．【答案】(1)(2)()b c m b -+；(2)等腰三角形【解析】(1)解：222mb mc b bc-+-()2(2)2mb mc b bc =-+-(2)(2)m b c b b c =-+- (2)()b c m b =-+(2)解：∵2440a bc ac ab -+-=，∴2440a ab ac bc -+-=，∴()()40a a b c a b -+-=，∴()()40a b a c -+=，∵40a c +>，∴0a b -=，∴a b =，∴ABC V C 的形状是等腰三角形．题型四、添项、拆项法例．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=_______．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【详解】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---éùëû=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【变式训练1】把多项式分解因式：x 3﹣2x 2+1＝_________________．【答案】(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【详解】解：原式＝x 3﹣x 2﹣x 2+1＝x 2(x ﹣1)﹣(x +1)(x ﹣1)＝(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)故答案为：(x ﹣1)(x 2﹣x ﹣1)【变式训练2】因式分解：a a a 32+3+3+2【答案】()()a a a 2=+2++1【详解】原式()a a a 32=+3+3+1+1()a 33=+1+1()()()a a a 2éù=+1+1+1-+1+1ëû()()a a a 2=+2++1．故答案为：()()a a a 2=+2++1【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式21a -可以用如下方法分解因式：①()()()()22111111a a a a a a a a a -=-+-=-+-=-+；又比如多项式31a -可以这样分解：②()()()()()3322221111111a a a a a a a a a a a a a a -=-+-+-=-+-+-=-++；仿照以上方法，分解多项式51a -的结果是______．【答案】()()43211a a a a a -++++【详解】解：51a -54433221a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()()()43211111a a a a a a a a a =-+-+-+-+-()()43211a a a a a =-++++，故答案为：()()43211a a a a a -++++题型五、换元法（整体思想）例．因式分解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++【答案】()()229411x x x +++【解析】解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++【变式训练1】分解因式：()()()222241211y x y x y +--+-【答案】()2221x y x y -++【详解】()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y éù+--ëû=()2221x y x y -++【变式训练2】因式分解：（x 2+4x ）2﹣（x 2+4x ）﹣20．【答案】2(5)(1)(2)x x x +-+【详解】解：原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +4）＝（x +5）（x ﹣1）（x +2）2．【变式训练3】因式分解：（1）2223238x x x x +-+-()() （2）421x x x --+【答案】（1）()()()()1241x x x x +++-；（2）()()3211x x x -+-.【详解】解：（1）原式=()()223234x x x x +++-=()()()()1241x x x x +++-；（2）原式=()()2211xx x ---=()()()2111x x x x +---=()()2111x x x éù-+-ëû=()()3211x x x -+-.题型六、主元法例．分解因式：2222372x y z xy yz xz --+++.【答案】(2)(3)x y z x y z =+--+【详解】解：2222372x y z xy yz xz--+++222(2)(273)x y z x y yz z =++--+=2(2)(2)(3)x y z x y z y z ++---∴原式(2)(3)x y z x y z =+--+．【变式训练1】因式分解：（1）a b c ab ac bc abc1+++++++（2）()()a a b b b 6+11+4+3-1-2（3）()()()y y x x y y 22+1+1+2+2+1【答案】（1）()()()a b c =+1+1+1；（2）()()b b 3+2-1；（3）()()yx y yx x y =++1++【详解】（1）把a 视为未知数，其它视为参数．原式a ab ac abc b c bc =++++1+++()()a b c bc b c bc =1++++1+++()()a b c bc =+11+++()()()a b c =+1+1+1；（2）原式=()a b a b b 226+11+4+3--2，b b 23--2=()()b b 3+2-1，再次运用十字相乘法可知原式()()a b a b =2+3+23+-1；（3）选x 为主元，原式()()yx y yx x y =++1++．【变式训练2】因式分解：（1）a b ab bc ac222--++2（2）()x a b x a ab b 222+2+-3+10-3【答案】（1）()()a b b c 2+-+；（2）()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3【详解】（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()a c b a bc b 222+2-+-，此时的“常数bc b 2-”提取公因式b 即可分解成()b c b -，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成()()a b a b c 2+-+；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()a ab b a b a b 22-3+10-3=-3--3再对整个式子运用十字相乘()()()x a b x a ab b x a b x a b 222+2+-3+10-3=+3--+3．【变式训练3】因式分解：a b ab a c ac abc b c bc 222222-+--3++【答案】()()a b c ab ac bc =--+-【详解】原式()()()b c a b c bc a b c bc 22222=+-++3++()()()b c a b c bc a bc b c 222=+-++3++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-．课后作业1．如果2240m m +-=，那么20182019202032m m m --的值为（ ）A ．2018m B ．2018m -C ．1D ．－1【答案】B【详解】解：∵2m 2+m -4=0，∴-2m 2-m =-4，∴3m 2018-m 2019-2m 2020=m 2018×（3-m -2m 2）=m 2018×（3-4）=m 2018×（-1）=-m 2018，故选：B ．2．如图，有一张边长为b 的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a 的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M 表示其底面积与侧面积的差，则M 可因式分解为（ ）A ．()()62b a b a --B ．()()32b a b a --C ．()()5b a b a --D ．()22b a -【详解】解：底面积为（b ﹣2a ）2，侧面积为a •（b ﹣2a ）•4＝4a •（b ﹣2a ），∴M ＝（b ﹣2a ）2﹣4a •（b ﹣2a ），提取公式（b ﹣2a ），M ＝（b ﹣2a ）•（b ﹣2a ﹣4a ），＝（b ﹣6a ）（b ﹣2a ）故选：A ．3．已知250x y -+=，则224201x y y -+-=______．【答案】24【详解】解：250x y -+=Q ，25x y \-=-，224201x y y \-+-()()22201x y x y y =+-+-()52201x y y =-++-5101x y =-+-()521x y =--- 251=-24=，故答案为：24．4．分解因式：2232x y xy y -+=____________．【答案】2()y x y -【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -5．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．22216x xy y -+-()216x y =--()()44x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+；(3)△ABC 三边a 、b 、c 满足2222220a c b ab bc ++--=，判断△ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()3535a b a b ---+；(2)()()222x y x y -+-；(3)△ABC 是等边三角形，理由见解析【解析】(1)解：226925a ab b -+-()2325a b =--()()3535a b a b =---+；(2)解：22424x y x y--+()()()2222x y x y x y =-+--()()222x y x y =-+-；(3)解：△ABC 是等边三角形，理由如下：∵2222220a c b ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b c bc b -+-++=，∴()()220a b b c -+-=，∵()20a b -³，()20b c -³，∴a －b ＝0，且b －c ＝0，∴a ＝b ，且b ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 是等边三角形．6．把下列各式因式分解：(1)2416x -；(2)23216164a b a ab --．【答案】(1)4(2)(2)x x +-(2)24(2)a a b --【解析】(1)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．(2)23216164a b a ab --224(44)a ab a b =--224(2)4a a ab b éù=--+ëû24(2)a a b =--．7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．（2）已知ABC V 的三边长为a ，b ，c ，且满足220a b ac bc --+=，请判断ABC V 的形状．【答案】（1）答案见解析（2）ABC V 是等腰三角形【详解】（1）拼接如图：拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：22212132x x x x x +++´=++g g ；拼接成的长方形的面积：长´宽()()21x x =++；∴据此可得到因式分解的式子为：()()23221++=++x x x x ．故答案为：()()23221++=++x x x x ．（2）∵220a b ac bc --+=，∴()()()0a b a b c a b +---=，∴()()0a b a b c -+-=．∵ABC V 的三边长为a ，b ，c ，∴a b c +>，∴0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，V是等腰三角形．∴ABCV是等腰三角形．故答案为：ABC。
因式分解拓展
因式分解拓展（待定系数法，换元法，拆项与添项法，实数范围内分解因式） 一、在实数范围内分解因式例1、在实数范围内分解因式：1、222+-+x x2、254-a3、x 3－4x练习：在实数范围内分解因式（1）422--x x （2）3322++x x（3）7442-+a a （4）)3(3)3(2---x x x二．换元法引辅助未知元来代替重复出现的数或式子的解题方法称为换元法。
换元的实质是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。
换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。
换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，把未知问题转化为已知问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
换元法的一般步骤：−−−→−−−−→−−−−→转化等量代换等价原则设元求解回代检验例1、分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++例2、22(52)(53)12x x x x ++++-巩固练习1：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++巩固练习2:22(1)(2)12x x x x ++++-例3、计算： 200020012001200120002000⨯-⨯练习：（1）分解因式：2(25)(9)(27)91a a a +---（2）证明：四个连续正整数的乘积加1是整数的平方。
（3）2002200300120040022001⨯-⨯（4）若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.三、待定系数法待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
人教版八年级上册数学14.3因式分解拓展课：因式分解中的拆项、添项法(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示如何将一个多项式拆项和添项，进而进行因式分解。
-灵活选择适当的拆项、添项策略，进行有效的因式分解。
-解决实际问题中，如何将问题转化为因式分解的形式，并应用所学方法。
举例解释：
-难点在于多项式$x^2+5x+6$的因式分解，学生需要找到合适的拆项方式，这里可以拆成$(x+2)(x+3)$。
-当遇到多项式$x^2-4x+4$，学生可能会误用平方差公式，而实际上它可以被拆分为完全平方$(x-2)^2$。
2.通过拆项、添项法的运用，发展逻辑思维和推理能力，提升数学抽象素养。
3.引导学生探索因式分解中的拆项、添项规律，激发创新意识，培养数学建模素养。
4.在合作交流中，增强学生表达与沟通能力，提高数学解释素养。
5.培养学生面对数学问题时的自信心和毅力，形成正确的数学价值观，提升数学素养。
三、教学难点与重点
实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，但我观察到有些小组在讨论时可能偏离了主题。在未来的活动中，我计划提供更明确的讨论指南，同时加强对每个小组的个别指导，确保讨论的方向和深度。
学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，让学生自主探索和解决问题。我发现这种方法很有效，学生们的思维活跃，能够提出不少有创意的想法。但我也意识到，对于一些内向或基础较弱的学生，我需要提供更多的支持和鼓励，让他们也能在讨论中发光发热。
人教版初中数学因式分解知识点训练附答案
人教版初中数学因式分解知识点训练附答案一、选择题1．将3a b ab -进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；2．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )A ．22m n --B ．2216x y -+C ．22b a -D ．22449a n -【答案】A【解析】【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．【详解】下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --．故选A ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2x （x +3）＝2x 2+6xB ．24xy 2＝3x •8y 2C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】【分析】首先将原式变形为()()()0b c a b a b --+=，可以得到0b c -=或0a b -=或0a b +=，进而得到b c =或a b =．从而得出△ABC 的形状．【详解】∵22230a b a c b c b -+-=，∴()()220a b c b c b -+-=，∴()()220b c a b --=，即()()()0b c a b a b --+=，∴0b c -=或0a b -=或0a b +=(舍去)，∴b c =或a b =，∴△ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．5．如图，矩形的长、宽分别为a 、b ，周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为( )A ．60B ．30C ．15D ．16【答案】B【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出a+b ，ab ，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．【详解】∵边长分别为a 、b 的长方形的周长为10，面积6，∴2（a+b ）=10，ab=6，则a+b=5，故ab 2+a 2b=ab （b+a ）=6×5=30．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．6．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．A ．()x a b ax bx -=-B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【详解】解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误；B 、右边不是积的形式，故选项错误；C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确；D 、等式不成立，故选项错误．故选：C ．【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．7．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.8．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．多项式22ab bc a c -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a c a b c -++B ．()()a c a b c -+-C ．()()a c a b c ++-D ．()()a c a b c +-+【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：22))))))=((((((+)+(ab bc a c b a c a c a c a c b a c a c a b c -+--++-=-+=-+； 故选：A.【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.10．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．11．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(1)(1)1x x x +-=-B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．224(4)(4)x y x y x y -=+-D ．26(2)(3)x x x x --=+-【答案】D【解析】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. 22x 4y -=(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳知识体系梳理◆添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。
通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。
（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。
（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★典型例题、方法导航◆方法一：添项拆项法【例1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。
下面请看：其结果是我们猜想中的第一种。
此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。
方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成）方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法。
例1】将$x^2+4x+8$看作一个整体，设为$y$，则原式变为$y^2+3xy+2x^2$。
将$y$代入可得$(x^2+4x+8)^2+3x(x^2+4x+8)+2x^2$。
最终结果为$(x^2+3x+4)^2-x+16$。
例2】设$x^2+5x+2=a$，$x^2+5x+3=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+5x+2)+(x^2+5x+3)=2x^2+10x+5$，最终结果为$(2x^2+10x+5)^2-169$。
例3】将$x+1$看作一个整体，设为$a$，则原式变为$(a+2)(a+4)(a+6)(a+8)+15$。
将$a+5$代入可得$(x+6)(x+4)(x+2)(x+10)+15$。
例4】将$a-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$。
将$x+2$代入可得$(a-2+2)(a-2+3)(a-2+4)(a-2+5)-24$，最终结果为$(a^2-5a+10)^2-24$。
例5】设$x^2+x+1=a$，$x^2+x+2=b$，则原式变为$ab-12$。
将$a+b$代入可得$(x^2+x+1)+(x^2+x+2)=2x^2+2x+3$，最终结果为$(2x^2+2x+3)^2-49$。
板块二：选主元例1】将$1+a+b+c$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$(x-1)^2+(a+1)(b+1)(c+1)$。
展开可得$x^2-2x+1+ab+ac+bc+2a+2b+2c+1$，最终结果为$(a+b+c+1)^2$。
例2】将$a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x-2$。
展开可得$6a^2+11ab+4a+3b^2-b-2$，最终结果为$(3a+b+1)^2$。
例3】将$2a^2-b^2-ab+bc+2ac$看作一个整体，设为$x$，则原式变为$x$。
因式分解特殊方法
因式分解的特殊技巧方法【考点聚焦】分解因式特殊技巧：技巧一：换元法技巧二：主元法技巧三：添项拆项技巧四：待定系数法（赋值法）技巧五：试根法【典例剖析】考点1：因式分解的特殊技巧方法一：换元法【例1】把22222)84(384x x x x x x ++++++）（分解因式【例2】分解因式：1)4)(3)(2)(1(+++++x x x x【变式1】分解因式：9)5)(3)(1(2-++-y y y【变式2】分解因式：2)6)(3)(2)(1(m m m m m +++++【例3】分解因式：))((4)(2d c b a d c b a +++--+【变式】分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++考点2：因式分解的特殊技巧方法2--主元法（双十字乘法）【例4】分解因式：（1）121553222-+---y x y xy x（2）45322-+--y x y x【变式】分解因式：（1）22227376z yz xz y xy x -+--- （2）22--++y x y xy考点3：因式分解的特殊技巧方法3--待定系数法【例5】已知m x x +-232有因式12+x ，求m 的值；【变式】若432+-kx x 被13-x 除余3，则k = .【例6】已知多项式556234++++x x x x 能被12++x x 整除，请分解前者的因式.【变式】已知154723--+x bx ax 能被13+x 和32-x 整除，求b a 、的值，并将该多项式因式分解.考点4：因式分解的特殊技巧方法4--试根法【例7】分解因式：（1）65223--+x x x （2）462234+--x x x【变式1】（1）8292234+--+x x x x （2）231968234++-+x x x x【变式2】（1）2426923+++x x x （2）abc c b a 3333-++考点5：因式分解的特殊技巧方法5--添项、拆项法【例8】（1）233+-x x （2）4464b a +9 （3）611623+++x x x。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？
问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________．
问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式．
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？
答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法．
问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化
为．
答：四种基本方法．
问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分时，我们会将其替换，从而简化式子的形式．
答：重复出现；设元．
因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（人教
版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
2.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
3.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
4.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
5.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
6.把因式分解，正确结果为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
7.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
8.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法
9.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法
10.把因式分解，正确结果是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。