等差数列常考题型归纳总结很全面
等差数列及其前n项和复习(全面知识点+精选例题)精编材料word版
二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．递推式表示为1n n a a d +-=或1(2)n n a a d n --=≥．例如：数列{}n a 满足12n n a a +=+，则数列{}n a 是公差为2的等差数列． 注：0d >时，为递增数列；0d <时，为递减数列；0d =时，为常数列． 2．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项． 此时2a b A +=3．等差数列的通项公式等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．4．等差数列的性质（1）等差数列{}n a 的第m 项为m a ，则()n m a a n m d =+-．★ 例如：8123107652a a d a d a d a d =+=+=+=-=L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=．★ 例如：1928374652a a a a a a a a a +=+=+=+=，12132n n n a a a a a a --+=+=+=L ． （3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公差为md 的等差数列． 例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公差为2d 的等差数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公差为5d 的等差数列．（4）{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n ka b +也是等差数列，公差为kd ． （5）{}n a ,{}n b 都是等差数列，则{}n n a b ±,{}n n pa qb ±也是等差数列．5．判断一个数列是等差数列的方法 （1）定义法：1n n a a d +-=（常数）．（2）等差中项法：122++=+n n n a a a 或112-+=+n n n a a a ．★ （3）通项公式法：=n a kn b +（公差为k ）．（4）前n 项和公式法：2n S An Bn =+（不含常数项的二次函数）．★三、等差数列的前n 项和1．等差数列前n 项和公式n a 通项公式得到）★ 21()22n d dS n a n =+-（以n 为变量，体现二次函数） 2n S An Bn =+（简化写法，不含常数项的二次函数）2．和的有关性质等差数列{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，那么： （1）{}n S n也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的12．（2）等差数列{}n b ，前n 项和为n T （21(21)n n S n a -=-）．★ （3）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等差数列，公差为2k d ．★ （4）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶； ②当项数为奇数21n -时，n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶．3．和与函数的关系及和的最值 21()22n d dS n a n =+-简写为2()n S An Bn n =+∈*N ，可以把(,)n n S 看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如对称和求最值．例15等差数列{}na中，120S=，且1015S S=，求当n取何值时，nS有最大值，并求出这个最大值．解析：由二次函数对称性，及1015S S=，可知对称轴为101512.52+=距离12.5最近的整数为12和13，即当12n=或13时，nS有最大值即1213S S=，所以13a=，1131313()1302a aS+==．答案：1213130S S==例16等差数列{}na中，17a=，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n=时，nS取得最大值，则d的取值范围为______．解析：由题意可知89770780a da d=+>⎧⎨=+<⎩，解得718d-<<-．答案：7(1,)8--数学浪子整理制作，侵权必究。
(完整版)等差数列知识点及类型题
等差数列知识点及类型题一、数列由n a 与n S 的关系求n a由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。
〖例1〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。
nn n S a a 222,0=+>分析：将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。
二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=g （1）求证：{1nS }是等差数列； （2）求n a 的表达式。
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n－p (p ∈R)， 则{a n }的通项公式为________．（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
根据等差数列知识点总结及题型归纳
根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。
以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。
等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。
等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。
2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。
3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。
4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。
等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。
2. 求等差数列的前 n 项和。
3. 求等差数列中缺失的项或差值。
4. 求等差数列中满足一定条件的项数。
5. 求等差数列中满足一定条件的和。
示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。
2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。
3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。
以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。
如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。
等差数列的19种经典题型
等差数列的19种经典题型
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
以下是一些常见的等差数列题型：
1. 求等差数列的通项公式；
2. 已知等差数列的首项和公差，求第n项的值；
3. 求等差数列前n项的和；
4. 求等差数列中有多少项满足某个条件；
5. 求等差数列的前n项和与后n项和的关系；
6. 求等差数列的和等于某个数的情况下，确定首项和项数；
7. 求等差数列的和等于另一个等差数列的情况下，确定首项、项数及公差；
8. 求等差数列中的两个数之和等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
9. 求等差数列中的两个数之积等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
10. 求等差数列中的两个数之差等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
11. 求等差数列中的两个数之商等于某个数的情况下，确定这两个数的位置；
12. 求等差数列中的两个项之和等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
13. 求等差数列中的两个项的积等于某个数的情况下，确定
这两个项的位置；
14. 求等差数列中的两个项的差等于某个数的情况下，确定这两个项的位置；
15. 求等差数列中的一个项与它前面的项和后面的项的和的比值；
16. 求等差数列中任意两项之间的差的绝对值；
17. 求等差数列的平均值；
18. 已知等差数列的前n项和及项数，求公差；
19. 已知等差数列的前n项和及公差，求项数。
以上是一些经典的等差数列题型，通过掌握这些题型的解题方法和技巧，可以更好地解决与等差数列相关的问题。
等差数列知识点总结与基本题型
等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念 1、等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
（2）对于公差d ，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。
（3）0d>⇔等差数列为递增数列0d =⇔等差数列为常数列 0d <⇔等差数列为递减数列（4）一个等差数列至少由三项构成。
2、等差数列的通项公式 （1）通项公式：1(1)na a n d =+-，（当1n =时，等式也成立）；（2）推导方法：①不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由1234,,,,a a a a 归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全归纳法。
②迭加法：也称之为逐差求和的方法：2132,,a a d a a d -=-=431,,n n a a d a a d --=-=，上述式子相加，1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-。
③迭代法：1223()2()2n n n n n a a d a d d a d a d d ----=+=++=+=++313(1)n a d a n d-=+==+-。
（3）通项公式的应用与理解①可根据d 的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。
②用于研究数列的图象。
11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，∴（Ⅰ）0d ≠时，na 是n的一次函数，由于n N *∈，因此，数列{}n a 的图象是直线1()n a dn a d =+-上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。
（Ⅱ）0d=时，1n a a =，表示平行于x 轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。
不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。
③从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：11(1)n a a n d d n a d =+-=+-，n a 是关于n的一次式()n N*∈，所以等差数列的通项公式也可以表示为n a pn q =+（设1,p d q a d==-）。
等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（A ）2- （B ） 3- （C ） 2 （D ）32. 已知数列的等差数列，若，则数列的公差等于A ．1B ．3C ．5D ．63. 在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于A ．23B ．24C ．25D ．264. {a n }是首项a 1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n =2008，则序号n 等于（ ）A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中，若等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、 性质：1）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+2）若m+n=2p ，p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列，且，则．7. 在等差数列{}中，已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中，，则________。
9. （2008•海南）已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=_______________11.已知等差数列中，和是方程的两根，则——————————————12.在等差数列中，若，则等于 A．30 B．40 C．60 D．80 13. 已知数列{a n}是等差数列，且a4+a7+a10=17，a8+a9+a10=21，若a k=13，则k=14.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1=1，求其项数和中间项．18.（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A、a1+a8＞a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8＜a4+a5D、a1a8=a4a519.（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A、a1a8＞a4a5B、a1a8＜a4a5C、a1+a8＞a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（）A 、5≤d ＜6B 、d ＜6C 、5＜d ≤6D 、d ＞522. 已知动点P(x,y)，若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是什么？23. 已知数列{}n a 的首项135a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，求{}n a 的通项公式。
等差数列知识点总结和题型总结
等差数列知识点总结与题型归纳
一．等差数列知识点：
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法：对于数列an ，若 an1 an d (常数)，则数列an 是等差数列
n
项和，求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
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五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x ， 2x 1 ， 4x 2 ，则它的第 5 项为（ ）
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中， a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于（ ）
1
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也就是： a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和， k N * ，那么 Sk ， S2k Sk ，
S3k S2k 成等差数列 如下图所示：
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中， a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 （ ）
A．18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 （ ）
A．63
B．45
C．36
D．27
13、在等差数列 an 中， a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 ， Sn 155 ，
(完整版)等差数列知识点总结及练习(精华版)
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：（d 为常数）（）；d a a n n =--12≥n 2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d ，末项:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1a n a 推广： ． 从而；d m n a a m n )(-+=mn a a d mn --=3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2（2）等差中项：数列是等差数列{}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n +1n a +5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列． d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a （2） 等差中项：数列是等差数列． {}n a )2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a （3） 数列是等差数列（其中是常数）。
{}n a ⇔b kn a n +=b k ,（4） 数列是等差数列,（其中A 、B 是常数）。
{}n a ⇔2n S An Bn =+6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．d a a n n =--1d a a n n =-+1*∈N n ⇔{}n a 7.提醒：等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：，其中n a n S n n S a n d a 及、、、1称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.d a 、18. 等差数列的性质：（1）当公差时，0d ≠等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；11(1)n a a n d dn a d =+-=+-n d 前和是关于的二次函数且常数项为0.n 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-n （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
等差数列的通项及性质7大题型 (解析版)
等差数列的通项及性质7大题型【考点预测】一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为d （常数）．1－-=n n a a d *()2，∈≥n N n （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有a A b A a b =2+a bA ．（3）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．{}n a 1a d 1(1)=+-n a a n d 二．等差数列通项的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．{}n a d n S n （1）通项公式的推广：．*())(，=+-∈n m a a n m d n m N （2）在等差数列中，当时，．{}n a +=+m n p q *()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N 特别地，若，则．2+=m n t *()2，，+=∈m n t a a a m n t N （3），…仍是等差数列，公差为．2＋＋，，k k mk ma a a *()，∈md k m N （4）若，是等差数列，则也是等差数列．{}n a {}nb {}+n n pa qb 【题型目录】题型一：等差数列通项公式运用题型二：等差中项问题题型三：等差数列通项的性质题型四：整体看成等差数列问题题型五：等差数列通项公共项问题题型六：几个连续实数成等差数列问题题型七：等差数列通项新文化试题【典型例题】题型一：等差数列通项公式运用【例1】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）{}n a823a =1132a =66a =A ．195B ．196C ．197D ．198【例2】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若n 11a =13n n a a +-=2020n a =，则（ ）n =A ．671B ．672C ．673D ．674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.{}n a【详解】∵，，11a =13n n a a +-=∴13n n a a +-=∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，{}n a∴，解得.()()111312020n a a n d n =+-=+-=674n =故选：D.【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，若，，则（ ）{}n a2911a a +=41014a a +=n a =A ．B ．C ．D ．2n 21n +n 21n -【答案】C【分析】设公差为d ，利用基本量代换列方程组解出首项和公差，即可写出通项公式.【详解】在等差数列中，设公差为d ，依题意，即{}n a 294101114a a a a +=⎧⎨+=⎩11291121214a d a d +=⎧⎨+=⎩解得公差，，所以.1d =11a =n a n =故选：.C 【例4】（2022·全国·高二课时练习）数列的首项为，为等差数列，且{}n a 3{}nb ()1n n n b a a n N *+=-∈，若，，，则等于（ ）32b =-1012b =8a A ．B ．C ．D ．03811【例5】（2022全国高二课时练习）在等差数列中，若a 1＝84，a 2＝80，则使an 0，且an ＋1n ≥<0的n 为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】B【分析】用基本量表示，列出不等式组，求解即可1,a d 1,n n a a +8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩【详解】公差d ＝a 2－a 1＝－4，∴an ＝a 1＋(n －1)d ＝84＋(n －1)(－4)＝88－4n ，令10,0,n n a a +≥⎧⎨<⎩即8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩⇒，又∵n ∈N *，2122n <≤∴n ＝22.故选：B【例6】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA ．已知成公差为0.1的等差数列，且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k OA的斜率为0.725，则（ ）3k =A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】设，则，11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，30.530.30.7254k +-=30.9k =故选：D【例7】（2022·全国·高二课时练习）若数列为等差数列，，，则（ ）{}n ap a q=()q a p p q =≠p q a +=A ．B ．0C ．D ．p q +()p q -+2p q+【答案】B【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解：．()n m a a n m d =+-【详解】设数列的公差为．∵，∴，即．∵，∴{}n ad ()p q a a p q d=+-()q p p q d=+-()q p p q d-=-p q ≠，∴．1d =-()0p q p a a p q p d q p +=++-=-=⎡⎤⎣⎦故选：B ．【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例9】（2022全国高二课时练习）（1）在等差数列{an }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.（2）已知等差数列{an }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________.【答案】 20 27【分析】（1）利用等差数列的性质求解即可，（2）利用等差数列的性质求解，或设等差数列{an }的公差为d ，利用已知条件求出公差，再利用等差数的性质求解【详解】（1）3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.（2）法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{an }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27.故答案为：（1）20 （2）27【例10】（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且{}n a 138a a +=2429a a a =⋅（1）求数列的首项､公差；{}n a（2）设，若，求正整数m 的值.()()1218n n n a a b -+=13m m m b b b +++=【题型专练】1．（2021·全国·高二单元测试）已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）{}n a3243a =a {}n aA ．B ．C ．D ．6a 7a 8a 9a 【答案】A【分析】先设等差数列的公差，根据题中条件，得出首项与公差之间关系，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，由得，∴，{}n ad 3243a =a 15a d =-6150a a d =+=故选：A ．2．（2021·全国·高二专题练习）已知等差数列中，，，则等于（ ）{}n a3822a a +=67a =4a A ．B ．1523C ．D ．729【答案】B【分析】求出等差数列的公差的值，由此可求得的值.{}n ad 4a【详解】设等差数列的公差为，则，解得，{}n ad ()()3866632222a a a d a d a d +=-++=-=8d =-因此，.()46272823a a d =-=-⨯-=故选：B.3．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列中，已知，，，则（ ）{}n a113a =45163a a +=33k a =k =A ．B ．5049C ．D ．48474．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）在数列中，，n 12a =1221n n a a +-=，则的值为（ ）101a A ．52B ．51C ．50D ．495．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是首项为3，公差为n a d d ∈N 的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d 可能是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6P 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n的取值可能是（ ）A ．B ．C ．D ．56781123A ．公差d ＝－4B ．a 2＝7C ．数列{an }为递增数列D ．a 3＋a 4＋a 5＝84【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．【详解】解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴3a 2＝21，∴a 2＝7．∵a 1＝3，∴d ＝4．∴数列{an }为递增数列，a 4＝a 2＋2d ＝15．∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝45．故选：BC8．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等差数列，，，则公差d 为______．{}n a36a =918a =【答案】2【分析】由等差数列性质得，即可求得公差d936a a d =+【详解】数列为等差数列，则，可解得.{}n a9361866d a a d =+⇒=+2d =故答案为：29．（2022·全国·高二课时练习）等差数列2，4，6，…的第18项为______．【答案】36【分析】由条件确定数列的公差，再确定其通项公式，由此求其第18项.【详解】设数列的第项为，n n a 由已知数列为等差数列，且，，{}n a12a =24a =所以数列的公差，{}n a2d =所以，2(1)22n a n n =+-⨯=所以，1836a =故答案为：36.10．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果{}n a1479750a a a a ++++= ，那么______．36999a a a a ++++= 【答案】－82【分析】根据等差数列通项公式化简求解.【详解】∵是公差为－2的等差数列，{}n a ∴()()()()36999147972222a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++ ．147973325013282a a a a d =+++++⨯=-=- 故答案为：-8211．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，{}n a 22110101a a +=5611a a +=，则数列的公差d 的值为______．{}n a【答案】112．（2022·全国·高二课时练习）若，且两数列a ， ， ，b 和a ，，，a b ¹12123，b 都是等差数列，则________．3121y y x x -=-【答案】##32 1.513．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前三项分别为，，n 1a -21a +7a +，则此数列的通项公式为______．n a =【答案】43n -【分析】根据等差数列前三项可求出，即可得出首项和公差，求出通项公式.a 【详解】由题意，得，所以，()17221a a a -++=+2a =所以的前三项分别为1，5，9，公差为4，故.{}n a()11443n a n n =+-⨯=-故答案为：.43n -14．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则____________．{}n a2438a a =-5a =【答案】4【分析】利用表示，整理可得.1,a d 2438a a =-5a 【详解】设等差数列的公差为，则由得：，{}n ad 2438a a =-()11338a d a d +=+-整理可得：，即.()1128248a d a d +=+=5144a a d =+=故答案为：.415．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }，且a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，则an ＝____________．【答案】或．1n a n =+9n a n =-+【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d d 【详解】设等差数列的公差为，{}n ad 因为，可得，354210a a a +==45a =又由，2644(2)(2)(52)(52)21a a a d a d d d =-+=-+=解得，所以或，21d =1d =1d =-所以数列的通项公式为或．{}n a1n a n =+9n a n =-+故答案为：或．1n a n =+9n a n =-+16．（2021·全国·高二专题练习）若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则3131x x y y --＝________．17．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：①，；②，；③，23d =-37a =713．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列2414a a +={}n a 的通项公式．{}n a【答案】163n a n=-【分析】不管选择哪个条件，都是求首项和公差，再求通项公式.【详解】若选择①，，1213a a d =-=数列的通项公式，{}n a()()()111313163n a a n d n n=+-=+-⨯-=-即；163n a n =-若选择②，，解得：，，112765ad a d +=⎧⎨+=-⎩113a =3d =-数列的通项公式；{}n a163n a n =-若选择条件③，解得：，，1122202414a d a d +=⎧⎨+=⎩113a =3d =-数列 的通项公式.{}n a 163n a n=-题型二：等差中项问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知则a ，b 的等差中项为（）a =b =A B C D 间的角是多少度（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【分析】设三内角由小到大依次为,,A B C，利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答.【详解】设三角形三内角由小到大依次为，依题意，，而，,,A B C 2A+C =B 180A B C ++=则有，解得，3180B =60B =所以中间的角是.60故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和m 2n 2m n m n 的等差中项是（ ）A ．8B ．6C ．D ．34.5【例4】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an }满足，且，是函数122n n n a a a ++=+4a 4040a 的两个零点，则的值为（ ）2()83f x x x =-+2022a A ．4B ．－4C ．4040D ．－4040【答案】A【分析】由题设可得+＝8，根据已知条件易知{an }是等差数列，应用等差中项的性质求4a 4040a .2022a 【详解】由，是的两个零点，即，是x 2－8x ＋3＝0的两个根，4a 4040a 2()83f x x x =-+4a 4040a ∴+＝8，又，即数列{an }是等差数列，4a 4040a 122n n n a a a ++=+∴+＝8，故＝4.4a 4040a 20222a =2022a 故选：A.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列{}n a是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）A ．B ．()1122n n n a a a n +-=+≥()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列的通项公式为D ．{}n a23n a n =-()2112n n n n a a a a n ++--=-≥A ．2BCD ．13．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若b 是2，8的等差中项，则______；b =【答案】0【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】解：因为8，a ，2，b ，c 是等差数列，所以8222222a a b c b +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩解得514a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以.0a b c ++=故答案为：.0题型三：等差数列通项的性质【例1】（2022·广东肇庆·高二阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则{}n a2104a a +=26log a =（ ）A ．B ．C ．D ．0123【答案】B【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果.6a 【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，.621024a a a =+=62a =26log 1a =故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则（ ）{}n a5796a a a ++=7a =A ．B ．C D ．322-【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，故.579736a a a a ++==72a =故选：B.【例3】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且{}n a ()*122n n n a a a n ++=+∈N ，则（ ）38132πa a a ++=()79cos a a +=A ．B ．C ．D 12-12【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则n a1234a a a ++=131415等于（ ）789a a a ++A ．6B ．7C ．8D ．9(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意，都有.{}n a*N n ∈122n n n a a a ++=+(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.{}n a(4)已知数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则数列一定是等差数列.{}n a n a pn q =+{}n aA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用等差数列定义判断（1）；利用等差中项的定义结合充要条件的意义判断（2）；利用等差数列定义结合充要条件的意义判断（3）；利用等差数列定义判断（4）作答.【详解】对于（1），若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，（1）不正确；对于（2），因对任意，都有数列*N n ∈121212n n n n n n n a a a a a a a +++++⇔=+-=-⇔{}n a为等差数列，（2）正确；对于（3），因常数列是等差数列，而常数列的通项不是n 的一次函数，则通项公式为n 的一次函数是数列为等差数列的充分不必要条件，（3）不正确；{}n a对于（4），数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则，，即数列{}n an a pn q =+N n *∀∈1n n a a p +-=一定是等差数列，（4）正确，{}n a 所以所给4个命题正确的个数为2.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高三阶段练习（文））设是等差数列，且，，则（ ）{}n a122a a +=344a a +=56a a +=A ．B ．C ．D ．12-0624【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.12a a +34a a +56a a +【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，{}n a12a a ∴+34a a +56a a +，.()()()3412562a a a a a a ∴+=+++56826a a ∴+=-=故选：C.2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（ ）{}n a286a a +=357a a a ++=A ．9B ．12C ．15D ．16【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】解：在等差数列中，所以，{}n a28526a a a +==53a =所以；357539a a a a ++==故选：A3．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则{}n a891075a a a ++=（ ）612a a +=A ．B ．C ．D ．42485058【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.89109375a a a a ++==925a =6129250a a a +==故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）{}n a15915a a a ++=28a a +A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：，所以，1595315a a a a ++==55a =故285210a a a +==故选：D5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是{}n a2a 8a 的两根，则（ ）221610x x --=()2375a a a +-=A ．B ．C ．D ．248601246．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．{}n a34567450a a a a a ++++=19a a +=【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由，故，37169452a a a a a a a =+=+=+3456755450a a a a a a ++++==所以，则.590a =19a a +=180故答案为：1807．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若{}n a357911100a a a a a ++++=，则________．212a a +=8．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程n 12021,a a 2410x x --=的两个根，则__________．1011a =1项，则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得和，进而求得公差.3a 29a10．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }中，a 1＋a 3＋a 8＝54π，那么cos(a 3＋a 5)＝________.11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，满足，，求数列n 23418a a a ++=23466=a a a n 的通项公式．【答案】或521=-+n a n 59=--n a n 【分析】根据是等差数列且满足求出，代入，中得到{}n a23418a a a ++=3a 23418a a a ++=23466=a a a 的方程组，并解出，从而解出，结合通项公式解出.24，a a 24，a a 1a d ，n a 【详解】是等差数列，且， ，{}n a23418a a a ++=33=18∴a 3=6a ∴解得或2342341866a a a a a a ++=⎧⎨=⎩ 242412,.11,a a a a +=⎧⎨=⎩2411,1a a =⎧⎨=⎩241,11.a a =⎧⎨=⎩当时，，.2411,1a a =⎧⎨=⎩1=16a =5-d ()()()111615521∴=+-=+--=-+n a a n d n n当时，，.241,11a a =⎧⎨=⎩1=4-a =5d ()()1141559∴=+-=-+-=-n a a n d n n 综上：或521=-+n a n 59=--n a n 题型四：整体看成等差数列问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，且公差分别为，{}n a{}n b12d =21d =，则数列的公差为（ ）{}23n n a b -A ．B ．C ．D ．7531【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.112323n n n n a b a b ++--+【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为，{}n a {}n b {}23n n a b ∴-d 则.()()111112232323231n n n n n n n n d a b a b a a b b d d ++++=--+=---=-=故选：D.【例2】（2022·全国·高二课时练习）定义：在数列中，若对任意的都满足{}n a n +∈N 211n n n n a a da a +++-=（d 为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则{}n a {}n a 121a a ==33a =20222020a a =（ ）A ．B ．C ．D ．2420221⨯-2420211⨯-2420201⨯-242020⨯【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列，均为等差数列，若，，则{}n a{}n b110a b +=221a b +=（ ）n n a b +=A ．B ．C ．D ．2n -1n +n1n -【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设等差数列，的公差分别为，{}n a{}n b12,d d 则，1221212211()()101d d a a b b a b a b +=-+-=+-+=-=所以1112(1)(1)n n a b a n d b n d +=+-++-.1112(1)()1a b n d d n =++-+=-故选：D【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例5】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等差数列，若，，则（ ）11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭114a =41a =A ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =B ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =-C ．1011a =-D ．1011a =1．（2021·江苏·高二单元测试多选题）在数列中，若（，，{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p 为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（ ）{}n aA ．若是等差数列，则是等方差数列{}n a {}2n a B ．数列是等方差数列(){}1n-C ．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列{}n a{}n aD ．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列{}n a{}kn a*k N ∈k 【答案】BCD【分析】利用等方差数列的定义判断.【详解】A.设等差数列的通项公式，则{}n an a kn b =+，不一定是常数，()()()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a d kn k b d-----=+-=+=-+所以不是等方差数列，故错误；{}2naB. 因为，所以数列是等方差数列，故正确；()()()112222110n nn n a a---=---=(){}1n-C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则{}n a 221n n a a p --={}n a ，()()()221111n n n n n n n n a a a a a d a a pa -----=+-=+=2．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21a =41a =10a =为等差数列，则______．13a =4．（2022·全国·高二课时练习）数列中，，，若数列是等差数列，则{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭8a =__________．【例1】（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（ ）{}n a50a A ．289B ．295C ．301D ．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足，被3除余1的数满足，进而求得数列21n -32n -{}n a的通项公式，即可求解.65n a n =-【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足，21n -被3除余1的数满足，32n -所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列是首项为，公差为的等差数列，{}n a16则数列的通项公式，{}n a65n a n =-所以.506505295a =⨯-=故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）A ．23B ．24C ．25D ．261．（2022·全国·高二课时练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为（ ）A ．134B ．135C ．136D ．137【答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.{}n a【详解】由题意知，被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数，故．1514,n a n n N *=-∈由，得，15142019n a n =-≤135.5n ≤又因为，所以此数列的项数为135．n *∈N 故选：B2．（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被(]1,2021415除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（ ）1{}n a{}n aA ．B ．C ．D ．1011009998【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来，可知数列{}n a{}n a为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，然后解不等式，即可得解.n a 12021n a <≤【详解】由题意可知，数列中的项由小到大排列依次为、、、、，{}n a21416181L 可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，{}n a2120()21201201n a n n =+-=+由可得，解得，12021n a <≤12012021n <+≤0101n <≤，则，n N *∈ {}1,2,3,,101n ∈ 因此，数列的项数为.{}n a101故选：A.题型六：几个连续实数成等差数列问题【例1】（2022·江苏·高二课时练习）若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（ ）A ．5，8，11B ．9，12，15C ．10，13，16D ．15，18，21【答案】B【分析】设出三边长，根据直角三角形的勾股定理，解得答案.【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，设可三边长为 ，则，,3,6x x x ++222(3)(6)x x x ++=+解得 ，（舍去），9x =3x =-故三边长为9，12，15 ,故选：B.【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）A ．-2，4，10，16B ．16，10，4，-2C ．2，5，8，11D ．11，8，5，2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为，，，，3a d -a d -a d +3a d +则解得或()()3328,40,a d a d a d a d a d a d -+-++++=⎧⎨-+=⎩7,3a d =⎧⎨=⎩7,3,a d =⎧⎨=-⎩所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知5个数组成一个单调递减的等差数列，且它们的和为5，平方和为165，则这个等差数列的第1项为___________.【答案】9【分析】根据等差数列的性质，直接求解即可【详解】设这个等差数列中的五个数分别为，，x ，2x d -x d -，.由题意，得x d +2x d +()()()()22222225,22165,x d x d x x d x d x d x d x x d x d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-+++++=⎪⎩解得或因为这个数列单调递减，所以，1,4x d =⎧⎨=⎩1,4.x d =⎧⎨=-⎩0d <即所以第1项为.1,4.x d =⎧⎨=-⎩()21249x d -=-⨯-=故答案为：9【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列的通项公式．{}n a【答案】或35n a n =-+37n a n =-【分析】结合等差数列的通项公式得到，求出首项与公差即可求出结果.()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩【详解】设等差数列的公差为d ，则，．{}n a21a a d =+312a a d =+由题意得，解得或()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩123a d =⎧⎨=-⎩143a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得或．()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故或．35n a n =-+37n a n =-2．（2022·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的96倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.28-【答案】（1），，；（2），，，.4322-024【分析】（1）设这三个数依次为，，，根据已知条件列方程组，求得和a d -a a d +a d 的值即可得这三个数；（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，根据已知条件列方程组，求得3a d -a d -a d +3a d +20d >和的值即可得这四个数.a d 【详解】（1）设这三个数依次为，，，a d -a a d +由题意可得：，解得：，()()96a d a a d a a d a d -+++=⎧⎨-=+⎩31a d =⎧⎨=-⎩所以这三个数依次为，，.432（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，3a d -a d -a d +3a d +20d >由题意可得，解得或(舍)，()()2338a d a d a d a d -++=⎧⎨-+=-⎩11a d =⎧⎨=⎩11a d =⎧⎨=-⎩故所求的四个数依次为，，，.2-024题型七：等差数列通项新文化试题【例1】（2022·全国·高二课时练习）中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）A ．戊分得34文，己分得31文B ．戊分得31文，己分得34文C ．戊分得28文，己分得25文D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +2a d +，再根据题意列方程组可解得结果.3a d +【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +，，2a d +3a d +则，解得，32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩313a d =⎧⎨=-⎩所以戊分得（文），己分得（文），28a d +=225a d +=故选：C.【例2】（2022全国高二课时练习）中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).4646节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.56115.146105.23695.32685.41675.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.55655.64645.73635.82625.91616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（ ）A ．105.6寸B ．48寸C ．57.6寸D ．67.2寸【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算，直接求解即可.全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（ ）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱1613-2313，就是相邻两衡间距离（半径差）为1198333里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（ ）A．396666里200步B．357000里000步C．317333里100步D．277666里200步【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（）A．冬至的日影子长最长，为15.5尺B．立夏比谷雨的日影子长多1尺C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D．清明的日影子长为8.5尺【答案】ACD【分析】根据给定条件结合等差数列知识，求出首项、公差，再逐一分析计算作答.【详解】依题意，从冬至起，日影长依次记为，则数列是等差数列，1212,,,a a a {}(N ,12)n a n n *∈≤因此，，而，解得，又，14737.5a a a ++=1742a a a +=412.5a =12 4.5a =设数列的公差为，于是得：，解得，A 正确；{}n a d 11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5,1a d ==-，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B 不正确；1091a a -=-而成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C 正确；357,,a a a ，即清明的日影子长为8.5尺.81(81)8.5a a d =+-=故选：ACD2．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺.【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项.【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为{}n ad ，解得14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-=101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺.6.5故答案为：6.53．（2021·全国·高二课时练习）现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.。
等差数列知识点总结与题型归纳讲义
10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。
高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳
等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N，则()2121n n Sn a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ） A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中常见的一种数列形式，具有重要的应用价值。
本文将针对等差数列的定义、通项公式、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中后一项与前一项之差始终相等的一种特殊数列。
用常数d表示公差，那么等差数列可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d,a₁+3d, ...二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指通过已知的首项和公差，计算数列中第n项的公式。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an =a₁ + (n-1)d三、等差数列的求和公式等差数列求和公式是指通过已知的首项、末项和项数，计算数列所有项之和的公式。
假设首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a₁+an)四、等差数列的性质1. 等差数列的任意三项成一等差数列。
2. 等差数列的任意两项之和与中间项的和相等。
3. 等差数列的任意相邻两项之和相等。
4. 等差数列的对称性：数列中的相等距离的项之和相等。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域，以下是一些常见的应用场景：1. 金融贷款：假设每月还款金额等差递增，可利用等差数列求得贷款总额和还款期限。
2. 平均速度问题：假设行程中速度等差减小，可利用等差数列求得平均速度。
3. 等差数列的和与平均数关系：等差数列的和即为等差数列所有项的平均数乘以项数。
4. 数列排序问题：对于给定的一组数据，若满足等差关系，可通过等差数列的求和公式快速求得该数列的和。
六、等差数列的扩展1. 差数列：每一项与其后一项之差构成的数列。
2. 等差中项：等差数列中，若某项的前后两项之和为定值，该项称为等差数列的中项。
总结：本文对等差数列的定义、通项公式、求和公式进行了详细介绍，并归纳了其性质和应用场景。
了解等差数列的相关知识，对于解决实际问题及培养数学思维能力都具有重要的帮助。
希望读者通过本文的阅读，对等差数列有更深入的理解。
高中数学等差数列题型总结
一、等差数列1、数列的概念例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。
解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a =(1)(1)nn n -+。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列答案：B ；解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ，∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a nn ≠常数，∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
练一练：设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
3、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
与等差数列有关的常见题型及其解法
等差数列是一种常见的数列，也是一种重要的数列，是指从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列.与等差数列有关的题目一般主要考查等差数列的通项公式、性质、前n 项的和公式.本文主要谈一谈与等差数列有关的常见题型及其解法.一、求等差数列的通项公式求等差数列的通项公式问题主要考查等差数列的通项公式和性质.这类题目一般较为简单，只要结合题意，灵活运用等差数列的通项公式和性质便能顺利解题.例1.已知等差数列{a n }为递增数列，前3项的和为-3，前3项的积为8.求数列{a n }的通项公式.解：设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为-3，前3项的积为8，∴ìíî3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴ìíîa 1=2,d =-3,或ìíîa 1=-4,d =3,∵d >0，∴a 1=-4，d =3，∴a n =3n -7.要想顺利解答本题，需要结合题意，根据等差数列的通项公式列出方程组，通过解方程组求得数列的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解.例2.各项均不为0的数列{a n }满足a n +1(a n +a n +2)2=a n +2⋅a n ，且a 3=2a 8=18.求数列{a n }的通项公式.解：依题意得，a n ＋1a n +a n +2a n ＋1=2a n +2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2+1a n =2a n ＋1，故数列{}1a n 是等差数列，设数列{}1a n的公差为d .因为a 3=2a 8=15，所以1a 3=5，1a 8=10，所以1a 8-1a 3=5=5d ，即d =1，所以1a n =1a 3＋(n -3)d =n ＋2，故a n =1n +2.题目只告知数列各项之间的关系式，需要将已知关系式化简、转化，才能解题.首先将a n +1(a n +a n +2)2=a n +2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，构造出等差数列，然后求出数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式求得原数列的通项公式.二、求等差数列的前n 项和或最值求等差数列的前n 项和问题是一类常见的问题，主要考查等差数列的前n 项和公式以及求最值的方法.例3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =-2n ＋1，则数列{}S nn的前11项和为______.解：∵a n =-2n ＋1，∴数列{a n }是以-1为首项，-2为公差的等差数列，∴S n =n [-1+(-2n +1)]2=-n 2，∴S n n =-n 2n =-n ，∴数列{}S nn 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴数列{}S nn 的前11项和为11×(-1)＋11×102×(-1)=-66.解答等差数列的前n 项和问题的关键是，首先判定数列是等差数列，求出数列的首项、公差，然后利用等差数列的前n 项和公式求得结果.例4.等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1=25，S 17=S 9，请问：数列前多少项的和最大？解法一：∵a 1=25，S 17=S 9，∴17a 1＋17×162d =9a 1＋9×82d ，解得d =-2.∵a 1=25>0，由ìíîa n =25-2(n -1)≥0,a n +1=25-2n ≤0,得ìíîïïn ≤1312,n ≥1212.∴当n =13时，S n 有最大值．解法二：∵a 1=25，S 17=S 9，∴17a 1＋17×162d =9a 1＋9×82d ，解得d =-2.从而S n =25n ＋n (n -1)2(-2)=-(n -13)2＋169.故前13项之和最大．求等差数列的前n 项和的最值问题较为复杂，求解此类问题一般有两种方法.①通项变号法：当a 1>0，d <0时，若ìíîa m ≥0,a m +1≤0,则S n 的最大值为S m ；当a 1<0，d >0时，若ìíîa m ≤0,a m +1≥0,则S n 的最小值为S m .②二次函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2＋bn ，通过配方或借助图象求得二次函数最值的方法来求解．当然，与等差数列有关的问题还有很多.但无论遇到哪种问题，同学们都要仔细分析题意，灵活运用等差数列的通项公式、性质、前n 项的和公式，以及函数思想和转化思想来解题.（作者单位：江苏省南通市海安实验中学）解题宝典46。
等差数列经典题型
等差数列经典题型1、在等差数列{an}中，已知d=2，an=11，Sn=35，求a1和n。
根据等差数列求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入已知条件可得：35 = n * (a1 + 11) / 22 * a1 + 20 = n * (a1 + 11)2 * a1 = n * (11 - 2) - 20a1 = (9n - 20) / 2又因为an = a1 + (n - 1) * d，代入已知条件可得：11 = a1 + (n - 1) * 211 = (9n - 20) / 2 + 2n - 2n = 7将n代入a1的公式可得：a1 = 3因此，a1 = 3，n = 7.2、设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{an}的前n项和，求Tn。
由等差数列求和公式可得：S7 = 7 * (a1 + a7) / 2S15 = 15 * (a1 + a15) / 2Tn = n * (a1 + an) / 2将S7和S15带入可得：a1 + a7 = 2a1 + a15 = 10将a1 + a7 = 2代入Tn的公式可得：T7 = 7 * (2a1 + 6d) / 2 = 7a1 + 21d将a1 + a15 = 10代入Tn的公式可得：T15 = 15 * (2a1 + 14d) / 2 = 15a1 + 105d将T7和T15带入可得：T7 = 7a1 + 21d = S7 = 7T15 = 15a1 + 105d = S15 = 75解得：a1 = -1，d = 2将a1和d代入Tn的公式可得：Tn = n * (-1 + (n - 1) * 2) / 2 = n^2 - n因此，Tn = n^2 - n。
3、已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m。
设数列{an}的公差为d，代入已知条件可得：m * (2a1 + (m - 1) * d) / 2 = 302m * (2a1 + (2m - 1) * d) / 2 = 100解得：a1 = 3 - m * dd = 20 / (3m^2 - 2m)将a1和d代入S3m的公式可得：S3m = 3m * (6 - 3m * d + 3m * (3m - 1) * d / 2) / 29m^2 - 3m因此，S3m = 9m^2 - 3m。
等差数列知识点总结和题型总结
S15
75 ， Tn
为数列
Sn n
的前
n
项和，求 Tn
7、设
Sn
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若
a5 a3
5 ,则 S9 9 S5
（
）
A．1 B．－1 C．2
D． 1 2
8、已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0 则有( )
A．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51
9、如果 a1 ， a2 ，…， a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则( )
a 2d , a d , a, a d , a 2d … （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 … ， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（公差为 2 d ）
3、当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的 一次函数，且斜率为公差 d ；若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则 为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。
③等差中项：对于数列 an ，若 2an1 an an2 ，则数列 an 是等差数列
知识点 3、 等差数列的通项公式:
④如果等差数列an 的首项是 a1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为
an a1 (n 1)d
该公式整理后是关于 n 的一次函数
知识点 4、等差数列的前 n 项和:
等差数列题型总结
等差数列题型总结是数学中的一种基本数列形式，它在学习数学的过程中经常出现。
掌握的基本概念和解题方法，对于提高数学水平是非常重要的。
本文将对常见的题型进行总结，以帮助读者理解和应用。
一、的基本概念是指一个数列中后一项与前一项之差恒等于一个常数，这个常数称为公差。
例如，数列1，3，5，7，9就是一个，公差为2。
在中，首项通常用a表示，公差用d表示，第n项用an表示。
因此，可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...二、的求和公式对于来说，求和是一个常见问题。
如果我们知道了的首项、公差和项数，可以通过求和公式来计算的和。
的求和公式为：Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2其中，Sn表示的和，a表示首项，d表示公差，n表示项数。
三、常见的题型1. 求的第n项要求的第n项，可以利用的通项公式：an = a + (n-1)d。
通过给定的首项、公差和项数，可以轻松求得的第n项。
例如，已知的首项为2，公差为3，求该数列的第6项。
根据通项公式可知，a6 = 2 + (6-1) * 3 = 2 + 15 = 17。
2. 求的前n项和要求的前n项和，可以利用求和公式Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。
通过给定的首项、公差和项数，可以计算的前n项和。
例如，已知的首项为1，公差为2，求该数列的前10项和。
根据求和公式可知，S10 = (2 * 1 + (10-1) * 2) * 10 / 2= (2 + 18) * 10 / 2= 20 * 10 / 2= 100因此，的前10项和为100。
3. 求中满足某个条件的项数有时候，我们需要求解中满足某个条件的项数。
在这种情况下，我们可以利用的通项公式，设定一个方程，然后解方程来找到满足条件的项数。
例如，已知的首项为3，公差为5，项数大于等于7且小于等于100的项数中，满足an = 40的项数有多少个？根据通项公式可知，an = 3 + (n-1) * 5 = 3n + 2。
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等差数列及其前n项和教学目标：1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾：1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等丁同一个常数，那么这个数列就叫等差数歹0,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为a n a n1 d(n 2)或a n1 a n d (n 1)。
(证明数歹0是等差数歹0的关键)2. 通项公式：等差数列的通项为：a n a i (n i)d，当d 0时，a n是关丁n的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。
推广：a n a m (n m)d3. 中项：如果a , A , b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；其中A J。
24. 等差数列的前n项和公式S n座U na i虹皂d可以整理成&= Sn2+(a i d)n。
当d』时是n的一个常数 2 2 2 2项为0的二次函数。
5. 等差数列项的性质(1) 在等差数歹0 a n中，若m , n , p , q N且m n p q ,则a m a n a p a q ；特别的，若m , p , q N 且2m p q ,则2a m a p a q。
(2) 已知数列a n , b n为等差数列，S n,T n为其前n项和，则冬b n T2n 1(3) 若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n Sn,S3n S2n,也成等差数列，公差d' n2d ；S,(n 1) a n(4) S n & 1 , (n 2).(5)若数列｛%｝是公差为d的等差数列，则数列斜也是等差数列，且公差为考点分析考点一：等差数列基本量计算例1、等差数列｛a n｝中，a i 3a8血120，贝U 3a’ a,的值为练习（1）设S n是等差数列a n的前n项和.已知a2 = 3, a6 = 11,则S7等丁A . 13B . 35 C. 49 D . 63（2）数歹U a n为等差数歹0,且a7 2a4 1 , a3 0 ,则公差d =1 - 1A. -2B. —2C. 2D. 2（3）在等差数列a n中，已知a3 2,贝U该数列的前5项之和为A. 10B. 16C. 20D. 32（4）若等差数列｛a n｝的前5项和& = 25,且a2= 3,则a7等丁（）A . 12B . 13 C. 14 D. 151（5）记等差数列｛a n｝的前n项和为&,若a1 = 2, S4= 20,则S等丁（）A. 16B. 24C. 36D. 48(6) a n的前n项和为S n,若a〔2 ,S3 12，则a6 等丁（A. 8B. 10C. 12D. 14知点一：等差数列性质应用例1、等差数列a n中，3（a3 a5）20 a〔。
褊）24 ,贝U该数列前13项的和是（）A. 13B. 26C. 52D. 156练习1、在等差数列a n中，a1 a9 10 ,则a5的值为A. 5B. 6C. 8D. 642、在等差数列｛a n｝中,a〔2,a3 a5 10 ,则a’（）A . 5 B. 8 C. 10 D . 143、设数歹0 ｛an｝是等差数歹0,若aa+ a4 + & = 12,则a〔+ &+•…+ a’等丁（）A . 14B . 21 C. 28 D . 35例2、设等差数歹0 ｛a n｝的前n项和为若&= 9, &= 36,则a7 + 38 + a g等丁()A . 63 B. 45 C. 36 D. 27练习、已知等差数歹0 ｛an｝的前n项和为S,且So= 10, &= 30,则 &=.S2 014 S2 008例3、已知S n是等差数歹0 ｛a n｝的前n项和，右a = — 2 014 , 2014一2 008 = 6’则&。
16 = .一... ............. ..... .. 一…S3 S2 ...................................... .........练习、(1)已知等差数列｛a n｝的前n项和为&且满足--S= 1,则数列｛务｝的公差是( )3 21 -A. 2B. 1C. 2D. 3例4、设S n,T n分别是等差数列a n、b n的前n项和，岛也圣，则冬。
T n n 3 b5例5、已知等差数列a n的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为o练习1、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390, 则这个数列有( )A . 13 项B . 12 项C. 11 项D. 10 项2、等差数歹U a n的公差d 2, a〔a4 a?川a97 50,那么a3 a& a g川a99 =A. —78B. —82C. —148D. —182考点三：等差数列的证明例1 :在数歹U (a n)中，a〔1, a n1 1 , b n—2—，其中n N*.4a n 2a n 1(1) 求证：数列(b n)是等差数列；(2) 求证：在数列(a n)中对丁任意的n N*，都有a”为1练习1、数歹U a n满足a〔1, a2 2, a n 2 2a” 1 a” 2(1) 设b n a n 1 a n ，证明b n 是等差数歹U ； (2) 求数列a n 的通项公式。
3 1 一* 1 "2、已知数歹 0 ｛a n ｝中，a 1 = -, a n = 2 (n> 2, n€ N),数歹 0｛欢｝¥两足 b n = ---------------------------- ; (n € N).5 a n 1 a n — 1' ' 求证：数列｛b n ｝是等差数列；小结与拓展：(1)定义法：a n 1a n d ( n N , d 是”) a n 是等差数列;3、数歹0 a n 《两足：a 〔 2 , a n 1 a 〔求证:-是等差数列;a n（2） S n 最值的求法：①若已知S n ,可用二次函数最值的求法（nN ）;②找到正负项 分界的是第几项。
例1、数列a n 中，a n2n 49 ,当数列a n 的前n 项和S n 取得最大值时,n练习1、设等差数列a n 的前n 项和为$ ,若a i 11 , a 4 a &6,则当&取最小值时n 等丁（）A . 6B . 7 C. 8 D . 9 2、若等差数列a n 满足a ? a 8a ’0 , a 8 a ’0 ,则当n __________ 时a n 的前n 项和最大。
例2、在等差数列 &中，a 1 7,公差为d,前n 项和为& ,当且仅当n= 8时，&取得 最大值，则d 的取值范围为。
例3、等差数列a n 中，a 1 0,前n 项和为& ,且仅当S 5 嶷,则当n —时，&取最大练习1、设数列a n 是等差数列，且a 28 , a 15 5 , S n 是数列a ”的前n 项和，WJ （）误的是（）C. S 9 S 5 D . S 6与序均为S n 的最大值S11S11C. S 9 S 102.设 a n (n N ）是等差数歹U, S n 是其前n 项的和，且S 5S 6,S 6 S 7 S 8则下列结论机考点五：等差数列和项转换a n a 〔 S n(n 1)S n 1 (n 2) 例1、已知数列a n 的前n 项和为S nn 2 〔n ,求 a n 。
2练习1、已知数列a n 的前n 项和为S n n 2 2 ,求 a nA. d 0B.. a 7 02、设数列（a n｝的前n项和S n n2,则a8的值为（A . 15 B. 16 C. 49习题15.21、在等差数列a n中，(1) 已知a1 2,d 3,n 10,求a n;(2) 已知a1 3,a n 21,d 2,求n ；(3) 已知a1 12, a6 27,求d ；1 .(4) 已知d 一,a7 8,求a1。
32、在等差数列(a n｝中，(1) 已知 & 48, & 168，求a1,和d(2) 已知a6 10, S5 5 ,求a8和 &(3) a1 20,a n 54,S n 599,求d 及n；，.、 1 - .、一(4) d -,n 37,S n 629,求a〔及a” ；3一、 5 . 1 一(5) a〔-,d —,S n 5,求n及a” ；6 6(6) d 2,n 15, a n 10,求a^S n。
3、等差数列(a n｝的前n项和记为S n，已知a10 30, a2050。
(1) 求通项公式(an｝;(2) 若S n 242，求n。
4、设S n为等差数列(a n)的前n项和，若& 3, S6 24 ,则a95、等差数列(a n)的前n项和S n ,若a i 2, S3 12 ,则a6 ( )A. 8B. 10C. 12D. 146、已知道单调递增的等差数列a n的前三项和为21,前三项积为231，则a n7、在等差数歹0 a n中，a5 120，则a2 a4 a6 a88、数列a n中，a n 2n 49,当数列a”的前n项和&取得最大值时,n9、数列a n是首项为23,公差为整数的等差数歹0,且第六项为正，第七项为负(1) 求数歹U的公差；(2) 求前n项和&的最大值；(3) 当S n 。
时，求n的最大值。
(2) 中项法：2a n1 a n a n 2(n N ) a n是等差数歹U;(3) 通项公式法：a n kn b (k,b是常数) a”是等差数列；(4) 前n项和法：S n= kn2 3 4 + bn ( k,b是常数) a”是等差数列考点四：等差数列前n项和的最值(1) a1 0 , d 0时，S n有最大值；a1 0 , d 0时，S n有最小值;。