5-3 向量范数和矩阵范数的相容

矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 五 章
向量与矩阵的重要数字特征
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§5.3 矩阵范数与向量范数的相容性 在矩阵范数中,相容性 尤为重要， 在矩阵范数中 相容性 AB ≤ A B 尤为重要，那么 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？
x=
设 ξ1 ξ2
⋮ ξn
∈Cn
A = (aij ) ∈C
n i
n×n
n
Ax ∞ = max ∑k=1 aikξk ≤ max ∑k=1 aik ξk
i
≤ max aik max ∑k=1 ξk
n i,k k
≤ max aik ⋅ n⋅ max ξk
i,k k
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⋅ 三角不等式 ∀A, B∈Cn×n v的齐次性和满足三角形不等式
A+ B = max
x≠0
( A+ B)x v xv
≤ max(
x≠0
Ax v xv Ax v xv
+
Bx v xv
x≠0
)
≤ max
x≠0
+ max
Bx v xv
相容性
A = max(
1.
m
三角不等式 ∀x, y ∈Cn
m
x + y v = ( x + y)α H
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≤ xα H
m
+ yα H
m
= xv+ yv
2, 绝对齐性 ∀λ ∈C
λx v = (λx)αH
3, 正定性
m
= λ xαH
m
=λ xv
x≠0
x =0
xα ≠ 0
H
x v = xα
x≠0
Ax 2 x2
A ∞ = max
x≠0
Ax ∞ x∞
A = max
x≠0
A = max{ Ax v : x v =1 }
取 x 1 =1，得 A 1 = max ∑i=1 aij j
n
Ax 1 x1
≤ A1
Ax 2 x2
Ax ∞ x∞
≤ A 2 取 x 2 =1 ， 得
A 2 = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
定理4: 定理 (1) 设A = (aij )∈Cn×n ，则:
A 1 = max ∑i=1 aij
n j
列模和之最大者： 列模和之最大者：列和范数
从属于向量 范数的矩阵范数 向量1 为从属于向量 – 范数的矩阵范数 (2)
A ∞ = max ∑j=1 aij
n i
行模和之最大者： 行模和之最大者：行和范数
n n n
= Am x
1
1
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再证矩阵的F 范数与向量的2 再证矩阵的 – 范数与向量的 – 范数相容
Ax 2 =
n
Ax, Ax =
n 2
∑ ∑
n i=1
n 2
n
k =1 ik k
aξ
2
Cauchy-Schwarz不等式 不等式 n n 2 ≤ ∑i=1(∑k=1 aikξk ) = ∑i=1(∑k=1 aik ξk )
AH A 与AAH的非零特征值相同
AH
2
= A2
2. UA = max{λ :det(λI − (UA)HUA) = 0} 2
= max{λ :det(λI − AHU HUA) = 0} = max{λ :det(λI − AH A) = 0} = A2
A 2 = λM
λM = max{λ :det(λHale Waihona Puke Baidu − AH A) = 0}
2 2
AV 2 = V H AH = AH = A 2
UAV 2 = AV 2 = A 2
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3. 当A是正规矩阵时，存在 阶酉矩阵 ，使得 是正规矩阵时， 阶酉矩阵U， 是正规矩阵时 存在n阶酉矩阵
U H AU = diag(λ1 λ2 ⋯ λn )
H m
>0
xα = 0
H
x v = xαH
m
=0
再证 ⋅ v 与 ⋅ m的相容性 n×n 由矩阵范数定义中的第4条 ∀x ∈Cn 由矩阵范数定义中的第 条 ∀A∈C
Ax v = ( Ax)αH
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m
≤ A m xαH
m
= Am x v
从属于向量范数的矩阵范数 给定Cn 上的向量范数 ⋅ v， A∈Cn×n 定义 ∀
AH
2
的 个特征 λ2 ⋯ λn 是A的n个特征 1 值，则 A 2 = max λk k
λM = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
′ λM = max{λ :det(λI − AAH ) = 0}
′ = λM
( AH A)H = AH A
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A = (aij ) ∈Cn×n x = (ξ 1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n )T ∈ C n 证明： 证明：设 ，
Ax 1 = ∑i=1 ∑k=1 aikξk ≤ ∑i=1(∑k=1 aik ξk )
n n n n
≤ ∑i=1[(∑k=1 aik )(∑k=1 ξk )]
n n n
= (∑i=1 ∑k=1 aik )(∑k=1 ξk )
(U H AU)H = U H AHU = diag(λ1 λ2 ⋯ λn )
(U H AU)H (U H AU) =U H AHUU H AU =U H AH AU
= diag(λλ1 λ2λ2 ⋯ λnλn ) = diag( λ1 1
A 2 = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
(1), (2),
A = max Ax
x γ =1
γ γ
y = x ⇔ x v =1 令 yv
A = max Ax
x γ ≤1
都是由 • γ 诱导出的算子范数
y = max A y≠0 yv
证(1) A = max
y≠0
Ay v yv
Ay = max y≠0 yv : x v = 1}
v
v
= max{ Department of MathematicsAx v
A 是 C n×n ( R n×n ) 上的矩阵范数， x 是C n ( R n ) 上的矩阵范数， 若
(R 上的向量， Ax 仍是C n ( R n )上的向量， 上的向量范数， 上的向量范数，由于
所以： 所以： Ax ≤ A x
n× n n× n n n x 定义1:设 上的矩阵范数， 定义 设 A β 是C ( R ) 上的矩阵范数， α 是 C ( R )上
为从属于向量2 为从属于向量 – 范数的矩阵范数 (3) A = λM 2
λM = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
谱范数
为从属于向量 ∞−范数的矩阵范数
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证明: 证明 令
A 1 = max
x≠0
Ax 1 x1
Ax v xv
A 2 = max
≤ =
∑ [(∑
n i=1 n
n
k =1
aik )(∑k=1 ξk )]
2 2
∑ ∑
i=1
n k =1
aik
∑
n k =1
ξk
2
= AF⋅ x 2
所以,矩阵的 范数与向量的2 所以 矩阵的F – 范数与向量的 – 范数相容 矩阵的
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定理2： 上的矩阵 m∞ − 上的向量1定理 ： n×n 范数与Cn上的向量 、2 -、 、 C 范数均相容 ∞− 证明： 证明：矩阵 m∞ − 范数与向量∞−范数的相容性
= max{λ1 = max λk
k 2
2
λ2
2
⋯ λn )
2
λ2
2
⋯ λn }
2
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A = max
x≠0
Ax v xv
相容的矩阵范数， 则 ⋅ 是Cn×n上与向量范数 ⋅ v相容的矩阵范数， 导出的算子范数 从属于向 算子范数或 称 ⋅ 为由向量范数 ⋅ v 导出的算子范数或从属于向 量范数 ⋅ v的矩阵范数 证明：在证 ⋅ 是矩阵范数的过程中，很容易证得 证明： 是矩阵范数的过程中， 其绝对齐性和正定性， 其绝对齐性和正定性，下面只证 ⋅ 满足三角不等 式和相容性。 式和相容性。
的向量范数。 的向量范数。如果对任意的 A ∈ C n×n ( R n×n ), x ∈ C n ( R n ) 都有： 都有： Ax α ≤ A β x α
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则称矩阵范数 A β 与向量范数 x α 是相容的
定理1： 范数和F- 范数分别与 定理 ：在Cn×n上的矩阵 m − 1 范数和 上的向量1–范数和 范数和2–范数相容 定义 在 Cn 上的向量 范数和 范数相容
= n⋅ max aik ⋅ max ξk
i ,k
∞
k
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= Am ⋅ x ∞
与矩阵范数相容的向量范数的存在性 上的一种矩阵范数， 设 ⋅m 是定义在 Cn×n 上的一种矩阵范数，则在 Cn 上必存在与它相容的向量范数 证明：用构造法证明。 证明：用构造法证明。取定 0 ≠ α ∈Cn ,则 x v = xαH 则 就是 Cn 上与 ⋅ m相容的向量范数。 相容的向量范数。 首先, 上的范数： 首先 证明 ⋅ v 是 Cn 上的范数：
≤ A ∞ 取 x =1，得 ∞
A ∞ = max ∑j=1 aij
n i
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A 2 范数的性质
设 1.
A∈C ， 和 是 阶酉矩阵，则
AH
2
n×n，U和V是n阶酉矩阵，则 和 是 阶酉矩阵，
= A2
A 2范数的酉不变性
2. UA 2 = AV 2 = UAV 2 = A 2 3. 若A是正规矩阵， 是正规矩阵， 是正规矩阵 λ 证明： 证明：1. A = λM 2
x≠0
= A+B
Ax v xv
)≥
Ax v xv
Ax v ≤ A x v
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即矩阵范数
⋅
相容， 与向量范数 ⋅ v相容，由于此条件
是矩阵范数定义第4条 相容性） 是矩阵范数定义第 条（相容性）的必要条件
AB ≤ A ⋅ B
• γ 是 C n ( R n ) 上的向量范数 则 定理3: 上的向量范数,则 定理 设