第八届华杯赛复赛试题及解答

第八届华杯赛复赛试题及解答
（一）填空
2. 长方形草地ABCD 被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份 （如右图）,
其中图形甲的长和宽的比是 a : b=2： l ，其中图形乙的长和宽的比是
（）：（）。

3. 乘火车从甲城到乙城，1998年孺要19.5小时，1998年火车第一次提
速30%, 1999年第二次提速25%, 2000年第三次提速20%,经过这三 次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（）小时。

4.
埃及著名的胡夫金字为正四棱锥形，诈方形底座边长为 230.4，塔高
146.7米，假定建筑金字塔所用材料全部是石英石，每立方米重 2700
1. 1 1 2 2 3-xl.9 + 19.5-4- 3.S+4- + 2 — 3 2 . 3 15
—-0.16 0一5』1 丄+4 1
I 20 丿=(
).
c
a
B
千克那么胡夫金字塔的总重量是（）千克。

5.甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/
时，中间三分一路程的行走速度是4.5千米/时，最后三分一的路程的行走速度是4千米/时；乙前二分之一路程速度是5千米/时，后二分之—路程的行走速度是4千米/时。

已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（）千米。

6.有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对千每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是（）。

（二）解答（要求写出简要过程）
7.能否找到自然数a和b,使.■/-".-I
8.A，B两邀相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行玻速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。

问：有三人并配
备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？（保留一位小徽）
9.6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。

然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图所示。

问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？
10.2001个球平均分给若干人，恰好分完。

若有一人不参加分球，则每人可以多分2个，而且球还有剩余；若每人多分3个，则球的个数不足。

问：原来每人平均分到多少个球？
三、解答。

（要求写出答案过程）
11.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80 元当超过4吨时，超过部每吨3.00元。

某月甲、乙两户共交水费26.40 元，用水量之比为5 : 3,问：甲、乙两产各应交费多少元？
12.电予跳蚤游戏盘（如下图）ABC AB=8 AC-9, BC=1Q如果电子
跳蚤开始时在
BC地上的二点, -2=4。

第一步跳蚤跳到AC边上、点,且丄：;
第二步跳蚤从跳到AB边上二点，且'i ;
第三步蚤从I跳回到BC边上二点，且二；二;
跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为- J..-,请计算丄」与…之间的
距离。

32 103 T 亠亘 T W3
- -=16 十 4= 4
答：原式值为4
2 .解：因为BC ： EC=2： 1，根据题意：BC( DE+EC =4BC ・ EC ,所以 DE+EC=4ECDE=3EC 又根据题意：4DE- EF=4BC EC 所以
2 2
12EC- EF=8EC EQ EF=& EC,因此 DE ： EF=3EC 3 EC=9： 2.
答: DE ： EF = 9 : 2
D
乙
E
c
1 .解：原式=
少存需4瓷+4牛唏耳+耳碍
62 _ _ 4 1 —f 1 1 + 4 2 I
50 1 103
=x 75 25 2
20 20； =75
2 20
p.
A Pi
3 •解：根据题意，距离一定时，速度和时间成反比例。

100 100 100
19.5 - (1+30%)+ (1+25%)+ (1+20%)=19.5 X U ： X 二 X J 时)
答：从甲城到乙城乘火车只需 10小时。

1
4.解：因为V= Sh
230屮 x 146.7
所以金字塔体积：
二 =2595815.424 ( ;「)
又因为石灰石2700kg/m 3
，所以材料总量：
2595815.424 X 2700=7008701644.8 ( kg)
答：建筑胡夫金字塔所需材料总重是 7008701644. 8千克。

5.解：如左图，只需考察中间三分之一路段。

30秒=1分二匚小时,
丄亠丄 ]
----- = 3, 3+ 匚=9 （千米）
答：A 地到B 地的距离是9千米
1 45
A B
6.解：因为2001=3X 23X 29,
所以当25个自然数之和是2001时，这25个自然数的最大公约数必定
能整除3X 23X 29。

这些最大公约数中的最大值不可能超过3X 29=87,否则这25个之和必
定大于2001。

所以最大值是3X 23=69。

7 .解：因为= -11.- I ：'：,
所以」2002,,即(a+b)( a-b) =2X( 1001).
如果a、b同为奇数或同为偶数，那么(a+b)X( a-b)必定是偶数X
偶数；
如果a、b为一奇一偶，那么(a+b)x( a-b )必定是奇数X奇数。

上述两种情况均与等式右边的偶数X奇数相矛盾。

答：找不到自然数a和b,使/-："：! I ! !.
&解：设甲骑摩托车带乙从A到D行驶x千米，放下乙后骑摩托车折回，而
此时丙已从A地步行至E后与甲在F处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达。

E F D
* i t
120-J ,x/9 >
---- + —=24-
5 5050
小时（1），其中x必须满足:
；
X- —x5
50 , 120-x120-J50
2X 汕=5 （2）其中一
是甲骑车由D到与丙在F处相遇时间。

化简（2）式:
（八
2^— _
llx（120-i）110x（120-x）
I 5/
+
二二二… =_ … 得
11880
117x= 11880,即x= 1 ' (3)
9 11880
将（3）代入（1）:「总=24—W X 〜5.7 （小时）答：从A地到B地最少需要5. 7小时。

9.解：设亮出数11的人原来心中想的数为X。

根据题意，亮9的人想的数为（7X2-X ），亮8的人想的数为（10X2-X ）。

因为亮4的人所亮之数为
亮8和亮9的人所想之数的平均数，
（14_*+（20—对
所以=4,解得x=13o
答：亮11的人原来想的数为13
10 .解：设2001个球平均分给n个人，每人分到x个球，则
nx=200仁3X23X29。

若nA3X23,那么每个人分得的球数不多于29 个，如果
一人不参加分球，则多余的球数不足其余的人每人一个球，不合题意；若
nW23,那么每个人分得的球数不少于3X 29=87个，如果一个人不参加分
球，其他每人至少可以多分3个，也不合题意要求；如果
n=29,那么一人不参加分球，则多余的69个球正好每人多分2个而有
余，每人多分3个而不足，符合题意。

答：原来每人平均分得29个球。

（三）解答（要求写出解答过程）
3 3 11 .解：设甲户用水x吨，则乙户用水:x吨。

若nW4时，则（x+ 1 x）
X 1.80=26.40 ,
解得x~9.16，与x<4矛盾，不合题意；
3 3
若x>4,且：x<4,贝（（x-4 ）X 3.00+4 X 1.80+ ：x X 1.80=26.40, x~7.69,
3
4.61 虽然x~ 7.69>4 ,
3 3但：x~4.61，不小于4,所以也不合题意要求。

若x>4,且：x>4,
3
贝廿(x-4 )X 3.00+4 X 1.80+ ( : x-4 )X 3.00+4 X 1.80=26.40 ,
3
解得x ~7.5，且:x ~4.5，大于4,符合题意要求。

所以，甲户交水费（7.5-4 ） X 3.00+4 X 1.80=17.70 （元），乙户交水 费 26.40-17.70=8.70 （元） 答：甲户交水费17. 70元，乙户交水费 & 70元。

12 .解：因为-.=4，所以—j =10-4=6 ,
：- — ■】，-）=「【=6;所以 丄］=9-6=3 ,
亠=_=6; 因此，'与二点重合，而2001=6X 333+3,故丄_匸点与二点重合。

二与…之间的距离就是二与二之间的距离，即6-5=1 （…一-…「或 5-4=1 C ' 一 「 ■）.
第一步：从
第二步: 一二 1= ：=3;所以 Y : =8-3=5 ,
第三步: ■‘ -1=5;所以匸=10-5=5,
第四步: ：=「=5； 所以 =9-5=4,
第五步:
二：=，—,=4；所以--:=10-4=6 ,
第六步:
答：I与「匚之间的距离是1。