2018届福建省厦门一中高三上学期期中理科数学试题及答案

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2018届福建省厦门一中高三上学期总复习限时训练理科数

厦门一中2018届高三理科数学总复习----限时训练2018.10.23班号姓名一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知全集为R ，集合{}{}221,320x A x B x x x =≥=-+≤，则R A C B = ( )A. {}0x x ≤B. {}1x x ≤≤2C. {}012x x x ≤<>或D. {}012x x x ≤<≥或2.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 ( )A.2B.C.1D.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是 ( )A ．5B ．3C ．－1 D.724.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB ( )A.AD C.D. BC5.要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在岸边选择分别位于电视塔南偏东75°和北偏东75°的甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是 ( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m6．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则要得到()y f x =的图像，只需要把cos y A x ω=的图像 ( )A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移13个单位D ．向右平移13个单位7.设向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<，若22a b a b +=-，则βα-等于( )A ．2π B. 4π C. 2π-D.4π-8.函数f (x )＝2e －x2－x的图象大致是( )9.已知()(),29cos 2,61cos 2,74cos ,16cos 0000==则ABC ∆面积为 ( )A ．42 B. 2 C ．23 D ．2210．称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的“距离”.若向量,a b 满足：①||1b =； ②a b ≠ ； ③对任意的t R ∈，恒有(,)(,)d a tb d a b ≥．则以下结论一定成立的是( ) A ．a b ⊥ B ．()b a b ⊥- C ．()a a b ⊥-D ．()()a b a b +⊥-11．已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A 、B 和C 分别在函数y ＝3log a x 、y ＝2log a x 和y ＝log a x (其中a >1)的图象上，则实数a 的值为( )A. 3B.6C.63D.36 12．已知△ABC 的面积为,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PB PC BC + 的最小值是 ( )A ．2B ．3C ．154D ．4二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.14.已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ， 0)2()8(<+-x f mx f 恒成立，则正实数．．．x 的取值范围为____________.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若Cc Bb Aa cos 3cos 2cos ==则A ∠的大小为16.已知关于x 的方程log x a a x =无实根，则实数a 的取值范围为_________________________．三、解答题(本题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分) 17.设()21()11x f x x x +=>-，（I ）求函数()y f x =的最小值；（II ）设正数x ,y 满足33x y x y +=-，求使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.18.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列，已知,11=a 12432432=++S S S . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）当2≥n 时，λλ≥++nn a a 1恒成立，求λ的取值范围.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.（I ）求证：FC ∥∥平面EAD ；（II ）求二面角A FC B --的余弦值.ECF20.设ABC∆的三边cb a ,,上的高分别为cb a h h h ,,，满足663=+-cb a h ch b h a 。

福建省厦门第一中学2018届高三上学期期中考试数学理试

参考答案
一、选择题
BDABC BADCA CD
二、填空题
13. 14． 15． 16．
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理，得：
，
即，．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为，所以．．．．．．．．．．．．6分
又，所以，
所以．．．．．．．．10分
18．解：（1）设等比数列的公比为，
则由得，，解得或，．．．．．．．．．．2分
所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．．．．．．．．．．．．5分
（2）
由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则，
∴ ，
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，．．．．．．．．．．．7分
3.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（）
A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.若，则（）
A． B． C． D．
5.若函数，则的最大值为（）
A．1 B．2 C． D．
6.将函数的图像向左平移个单位，若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（）
A．4 B．6 C．8 D．12
7.设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12
15.1
12.1
9.1
11．9
14.9

福建省厦门一中高三数学上学期期中试卷理(含解析)

2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( ) A．B．C．D．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．211．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=__________．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为__________．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为__________．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由已知中全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出C U A再根据交集的运算方法，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴C U A={﹣1，0，3，4}又∵B={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}∴B∩C U A={0，3}故选A．【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键．2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型．【分析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】解：A、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题正确；B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜﹣1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．故选：C．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题．4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得 a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的观察思考能力．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( )A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．即A＜B．排除A、B选项．若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x ﹣1||的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=﹣2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．【解答】解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．【解答】解：∵AB=2，AC=4，•=4，∴cos∠BAC=，∠BAC=60°，∴BC=，设A到BC的距离为h，则由等面积可得=，∴h=2，∴△DBC面积的最大值为•（2+6）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．【解答】解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin （2x+）+m+1，再由当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，∴f（x）====2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴，∴时，f（x）min=2×+m+1=2，解得m=2，∴．令2kπ﹣，得f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴，∵g（x）=4，∴，解得4x﹣=2k或4x﹣=2k，k∈Z，∴或x=，k∈Z．∵，∴x=或x=，故所有根之和为：=．【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．（II）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．【解答】解：（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE∴平面DBE⊥平面ABE．（II）解：取AC中点M，连接BM、DM，∵△ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC．又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE∴平面ACDE⊥平面ABC，∴BM⊥平面ACDE．∴∠BDM为所求的线面角．又因为△ABC为正三角形且AB=2，所以BM=，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，所以BD=，所以cos∠BDM=故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T n．（Ⅱ）由b n各项大于0，可得T n的最小值为T1=b1=，由题意可得t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得即可得到充要条件．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=2n．又数列{b n}满足a n b n=log2a n，∴b n==．∴T n=+++…++，∴T n=++…++，∴T n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣；（Ⅱ）由于b n==＞0，即有T n的最小值为T1=b1=，∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，即有t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得λ＞或λ＜﹣．则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞或λ＜﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，K1+K2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线直线l与椭圆C交于A、B两点，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，∴K1+K2=0，∵==故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=b=﹣3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a 的关系，从而证明不等式成立．【解答】（1）解：当x＞6时，，则，即f（x）在（6，+∞）单调递减；当x≤6时，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f'（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上单调递增，在（﹣3，0），（3，6）上单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，3）．（2）解：当x≤6时，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h'（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]，令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，设其零点分别为x1，x2．由解得．（3）证明：当x≥﹣6时，g'（x）=e x[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g'（2）=0，得b=3a﹣4，从而g'（x）=﹣e x[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因为n＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，从而．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21。

福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题(理)(答案+解析)

福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，故答案为C.2. 已知命题：“，都有成立”，则命题为（）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为．3. 已知直线，，且，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】当时，直线，直线，两直线不平行；当时，等价于，解得，故选B.4. 设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，，，显然，因此有．故选A．5. 已知，若的必要条件是，则之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，即，按题意，因此．故选B．6. 已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（）A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，，，∵，∴，，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A.7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则弦长（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示∵分别为圆的切线，∴∵，，∴，又∵，在中，，故选．8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，B函数均为单调增函数，故不符合；对于C：，令，得到，与，则其图象没有交点，即没有零点，故C不符合；对于D：，令，得到与，则其图象有两个交点，故D符合，故选D.9. 已知函数，，若，下列说法错．误．的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 关于直线对称C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】C【解析】∵，，当即，解得；当，即，解得，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，故选C.10. 已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】设，则函数在定义域上为偶函数，若关于的方程有唯一实数解，则等价为，即，则，得或，当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件．当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件，综上，故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．11. 若函数，则与轴围成封闭图形的面积为____________.【答案】【解析】试题分析：．12. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】∵在定义域内为减函数，也为减函数，故要使在区间上是减函数，只需满足在内恒成立即可，即，可得，故答案为.13. 函数的图象在上至少有三个最大值点，则的最小值为______. 【答案】【解析】∵，∴，要使函数的图象在上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得，解得，即的最小值为，故答案为.14. 椭圆与抛物线有一个公共焦点，椭圆的另一个焦点为，且椭圆与抛物线交于两点，若三角形是直角三角形，则椭圆的离心率为______. 【答案】三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．解：(1)由得，根据正弦定理得，所以，整理得，所以，又因为，所以.(1)由正弦定理得，所以，因为，所以，所以角为锐角，所以，，所以..16. 已知函数（）.(1)若，求函数的极大值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．解：(1)时，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，当时，取得极大值，.(2)当，即时，，所以单调递增，所以；当时，，所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时，，单调递减，且，即不恒成立；综上所述，的取值范围是.17. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点. （1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．解：（1）依题意，，另一焦点坐标为，，所以，，所以，所以椭圆的方程为．（2）当垂直于坐标轴时，，，，当不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，，由，得，，，，，，同理，，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以.18. 已知函数，其中是实数。

福建省厦门市2018届高三年级上学期期末质检数学(理)试题(有答案)

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{(1)0}A x x x =+>，{B x y ==，则A B =（）A. {0}x x >B. {}1x x ≥C. {01}x x <≤D. ∅【答案】B 【解析】∵集合(){10}A x x x =+> ∴集合{1A x x =<-或}0x >∵集合{B x y ==∴集合{}1B x x =≥ ∴{}1A B x x ⋂=≥ 故选B.2. 命题“32000R,10x x x ∃∈-+≤”的否定是（） A. 32000R,10x x x ∃∈-+<B. 32000R,10x x x ∃∈-+≥C. 32R,10x x x ∀∈-+> D. 32R,10x x x ∀∈-+≤【答案】C 【解析】由特称命题的否定可得，所给命题的否定为“32R,10x x x ∀∈-+>”．选C ．3. 实数,x y 满足0x y >>，则（）A. 11x y>B.C. 1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 2x xy <【答案】B 【解析】选项A 中，由0x y >>得，110y x x y xy --=<，所以11x y<，故A 不正确．选项B 中，将不等式两边平方得x y x y +-<-，整理得y ，<由于0x y >>，所以上式成立．故B 正确．选项C 中，由0x y >>得，11()()22x y<，故C 不正确．选项D 中，由0x y >>得，2()0x xy x x y -=->，所以2x xy >，故D 不正确．综上选B ．4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5. 已知实数,x y 满足1,20,21,x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值等于（）A. -7B. 52-C. 2D. 3【答案】C 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由2z x y =+可得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图形得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．由题意得点A 的坐标为（1,0）， ∴max 2102z =⨯+=．选C ． 6. 如图所示，函数3tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DEF ∆的面积等于（）A.4π B.2π C. πD. 2π【答案】A 【解析】在3tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，令0x =，得3tan 16y π==，故1OD =；又函数3tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2T π=，所以2EF π=．∴1112224DEF S EF OD ππ∆=⋅⋅=⨯⨯=．选A ． 7. 已知正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，P 是线段BC 上一点，则OP CP ⋅的最小值为（） A. -2 B. 12-C. 14-D. 2【答案】C 【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,1),(2,2)O C ，设(2,)(02)P t t ≤≤，则(1,1),(0,2)OP t CP t =-=-，∴2231(1)(2)32()24OP CP t t t t t ⋅=--=-+=--， ∴当32t =时，OP CP ⋅有最小值14-．选C ． 8. 函数()2xcosxf x x 1=+ []()x 2,2∈-的大致图象是（） A.B.C. D.【答案】C 【解析】由于()()f x f x -=-，故函数为奇函数，排除D选项，06f π⎛⎫>⎪⎝⎭，故排除B 选项，()22cos 205f =<排除A 选项，故选C . 9. ABC ∆中，2π3B ∠=，,A B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若()0BA BC AC +⋅=，则E 的离心率为（）A.51-B.31+C.312- D.312+ 【答案】D 【解析】由题意得，点C 在双曲线的右支上．设AC 的中点为D ，由()0BA BC AC +⋅=得BD AC ⊥，所以2BA BC c ==，由双曲线的定义得222CA CB a c a =+=+．在ABD ∆中，,3BD AD ABD π⊥∠=，∴sin32AD a c ABc π+==，即32a cc+=，整理得31c e a +==．选D ． 10. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（）A. 100B. 140C. 190D. 250【答案】C 【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出2222221123149110222222S ---=++++++．计算可得11(8244880)(4163664100)19022S =++++++++=．选C ．11. 若锐角ϕ满足sin cos 2ϕϕ-=，则函数()()2sin f x x ϕ=+的单调增区间为（） A .()52,2Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()72,2Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. ()7,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】∵sin cos )4πϕϕϕ-=-=， ∴1sin()42πϕ-=．又444πππϕ-<-<，∴46ππϕ-=，512πϕ=． ∴2515151()sin ()[1cos(2)]cos(2)1226262f x x x x πππ=+=-+=-++，由5222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈．选B ．点睛：求正（余）弦型函数单调区间的注意点（1）将所给的函数化为形如()sin()f x A x ωϕ=+或()cos()f x A x ωϕ=+的形式，然后把x ωϕ+看作一个整体，并结合正（余）弦函数的单调区间求解．（2）解题时注意,A ω的符号对所求的单调区间的影响，特别是当A 或ω为负数时，要把x ωϕ+代入正（余）弦函数相对的单调区间内求解．12. 已知函数()()22log ,02,log 4,24,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()12f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A. 170,2,22⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B. 1770,,242⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.1717 0,2,42⎛⎤-⎡⎫⋃⎥⎪⎢⎣⎭⎝⎦D.171770,,442⎛⎤-⎡⎫⋃⎥⎪⎢⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】画出函数()y f x=的图象（图中黑色部分），则函数()y f x=的图象向左平移12个长度单位，得到函数1()2y f x=+的图象（图中红色部分），设两图象交于点,A B，且横坐标分别为12,a a．由图象可得满足()12f a f a⎛⎫≥+⎪⎝⎭的实数a的取值范围为127(0,][,)2a a⋃．对于1a，由21211log log()2a a-=+，解得11112aa=+，所以211220a a--=，解得1117a-+=或11174a--=（舍去）．对于2a，由22221log log[4()]2a a=-+，解得274a=．综上可得实数a的取值范围为11777(0,][,)442-+⋃．选D．点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用图象的平移，将解不等式的问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过解方程的方法求得所求范围的端点值，最后根据图象写出不等式成立时参数的范围．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数z满足()1i2iz-=，则z=__________．2【解析】由题意得2i 2i(1i)i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴|1i|z =-+=14. 设等比数列{}n a 满足11a =，356a a +=，则579a a a ++=__________．【答案】28 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得1243511()6a a a a q q =⎧⎨+=+=⎩， ∴4260q q --=，解得23q =或22q =-（舍去）．∴4682345791()22228a a a a q q q ++=++=++=．答案：2815. 直线()1y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,若163AB =,则k =__________．【答案】【解析】由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(24)0k x k x k -++=，∵直线与抛物线交于,A B 两点，∴()22402440k k k ≠⎧⎪⎨=+->⎪⎩，解得0k ≠．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212224k x x k++=． ∵121623AB x x =++=， ∴212224103k x x k ++==，∴23k =，k =．检验知3k =±满足条件．答案：3±16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．【答案】1003π【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥P ABC -，其中底面ABC ∆为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为4,3,23则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线12O O 上，设球半径为R ，球心为O ，且球心到上底面的距离为d ，则球心到下底面的距离为23d ．在如图所示的2Rt OO P ∆和1Rt OO C ∆中，由勾股定理可得2223)R d =+及222(23)(7)R d =+，解得2253R =．所以三棱锥的外接球的表面积为210043S R ππ==．答案：1003π点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长；（2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.【答案】(1) 7OB =(2)3【解析】【分析】试题分析：⑴由点312C ⎫⎪⎪⎝⎭，可得30AOC ∠=︒，故60COD ∠=︒，所以120CDB ∠=︒，由余弦定理求出OB 的长； ⑵设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23DOE πθ∠=-，从而可得四边形OCDE 的面积()S θ，由θ的取值范围得当3πθ=时，四边形OCDE 3解析：（1）由点3122C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ︒∠=，由图像可得60COD ︒∠=；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ︒∠=，2DB =；由余弦定理得222OB OD DB =+ 2cos120OD OB ︒-⋅⋅；解得7OB =；（2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=- 1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=-⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()EOD COD S S S θ∆∆=+ 112sin sin 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 62ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭131sin sin 22θθθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦33sin 44θθ=+36πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 62ππθ<<，2363πππθ∴<+<当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 3. 【详解】18. 如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）23【解析】【详解】试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设ACBD O =，计算后可证OF//BE ，从而由已知可证OF ⊥平面ABCD ，因此可以OA ，OB ，OF为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角．试题解析：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，C A BD ⊥，平面BDFE 平面ABCD BD =，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDFE ；（2）设ACBD O =，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴2,22OD OC OB OA ====，∵//FE OB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴22OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D F C A --，()()0,2,22,2,2,0DF CD ==-，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC的一个法向量为(),,n x y z =，由·0·0DF n CD n ⎧=⎨=⎩得2220220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-，2222cos ,31?221n AC ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过程，只要计算过关，一般都能求得正确结论．19. 数列{}n a 满足122311111n n na a a a a a n ++++=+(1)若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式；(2)若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】(1)n a n =；(2)()221n S n n =+. 【解析】试题分析：（1）由题意得12112a a =，12231123a a a a +=，从而得到122326a a a a ，==，设出等差数列{}n a 的公差d ，解方程组可得111a d ==，，从而得到n a n =．（2）由条件122311111n n na a a a a a n ++++=+，可得()1223111112n nn n a a a a a a n--+++=≥，，两式相减得()11(2n n a a n n n +=⋅+≥)，又122a a =，故()()*11N n n a a n n n +=⋅+∈，所以()()11nn b n n =-+，然后根据2124n n b b n -+=可求得2n S ．试题解析：（1）由已知得122311111n n na a a a a a n ++++=+ 当1n =时，12112a a =①，即122a a = 当2n =时，12231123a a a a +=② ②-①，得23116a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()12112311226a a a a d a a a d a d ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩解得111a d =⎧⎨=⎩或111a d =-⎧⎨=-⎩．∵0d >， ∴111a d ==，． ∴()11n a n n =+-=．（2）∵122311111n n na a a a a a n ++++=+③∴122311111(2n nn n a a a a a a n--+++=≥，)④③-④得11(21n n nn a a n +=≥+)，即()11(2n n a a n n n +=⋅+≥)，又122a a =，∴()()*11N n n a a n n n +=⋅+∈，∴ ()()()1111n nn n n b a a n n +=-⋅=-+，∴()()212212221n n b b n n n n -+=--⋅+⋅+ 4n =． ∴()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++484n =+++()442n n +=()21n n =+．点睛：解答本题时注意以下几点（1）由递推关系解决数列的有关问题时，要注意数列中项的下标的限制．（2）求数列的前n 项和时，要根据数列通项的特点选择合适的方法．常用的求和方法有列项相消法、错位相减法、公式法、分组求和法等，对于通项中含有()1n-或()11n --等形式的数列的求和问题常选择分组求和法求解．20.已知点()1F，圆(222:16F x y -+=，点M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .（1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.【答案】(1) 22142x y +=.(2)2. 【解析】【试题分析】（1）由于24MN NF +=，所以N 的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线l 的斜率存在时，设出直线方程和点,,A B B '的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线'AB 的方程，求得其纵截距为2，即过()0,2.验证当斜率不存在是也过()0,2.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值. 【试题解析】解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =所以点N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 轨迹方程是22142x y +=.（2）当k 存在时，设直线():10AB y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得()2212420kxkx ++-=，∴()21221228140412212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x --=-+'，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ，（当k 不存在时仍适合）所以PAB ∆'的面积12221212PQB PQA k S S S x x k∆∆'=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立.所以PAB ∆'面积的最大值是2.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点()12,0F -，而圆心恰好是()2,0，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆. 21. 已知函数2()()x f x ax x a e -=++()a R ∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为5e，求实数a 的值；（2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+，在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）1b ≥ 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数a 的值；（2）先求0a ≤，()f x 最大值，再变量分离得ln(1)xxe b x -≥+ ，最后根据导数研究函数ln(1)xxe y x -=+最大值，即得实数b 的取值范围.试题解析：（1）由题意，.①当时，，令，得；，得，所以()f x 在(),1-∞单调递增()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()151f e e=≠，不合题意. ②当时，，令，得；，得或，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2151a f e e+==，得2a =. 综上所述2a =.（2）令，当时，，故()(]-0g a ∞于，上递增， ()()()0,0xg a g xe x -∴≤=≥ ∴原问题()[)ln 10,x xe b x x -⇔≤+∈+∞于上恒成立①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增（ⅰ）时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立. （ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意.综上所述，. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求OA OB ⋅的最小值. 【答案】(1)2221sin ρθ=+；(2)43.【解析】试题分析：（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果．试题解析：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23. 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥；（2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)2a =或6a =-.【解析】试题分析：（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证：()13f x x +-≥；（2）分①当12a >-，②当12a <-，③当12a=-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号，即可得到实数a 的值.试题解析：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++ 12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a<-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-.③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.21。

福建省厦门市高三上学期期中数学试卷(理科)

福建省厦门市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·台州模拟) “ ”是“函数在区间上为增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）方程ax2+2x+1=0恰有一个负实根，则a的取值范围为（）A . a＜0B . a≤0C . a＞0D . a=04. （2分）若||=1，||=1，且(-)，则向量,的夹角为（）A . 45°B . 60°C . 120°D . 135°5. （2分）(2020·安徽模拟) 已知（其中，且），且，，成等差数列，则（）A . 8B . 7C . 6D . 56. （2分） (2018高三上·大连期末) 给出以下命题：⑴“ ”是“曲线表示椭圆”的充要条件⑵命题“若，则”的否命题为：“若，则”⑶ 中， . 是斜边上的点， .以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是⑷设随机变量服从正态分布，若，则则正确命题有（）个A .B .C .D .7. （2分）在区间和内分别取一个数，记为a和b，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·连城期中) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱DD1和BC中点G为棱A1B1上任意一点，则直线AE与直线FG所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分） (2016高三上·连城期中) 抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列{an}定义：，若，则事件S4＞0的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·连城期中) 抛物线x2=ay（a＞0）的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2016高三上·连城期中) 函数f（x）=x3+bx2+cx+d图象如图，则函数的单调递减区间为（）A . （﹣∞，﹣2）B . [3，+∞）C . [﹣2，3]D . [ ）12. （2分） (2016高三上·连城期中) 若关于x的方程x2﹣（a2+b2﹣6b）x+a2+b2+2a﹣4b+1=0的两个实数根x1 ， x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2+b2+4a的最小值和最大值分别为（）A . 和5+4B . ﹣和5+4C . ﹣和12D . ﹣和15﹣4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=xlnx﹣x，则曲线y=f（x）在点（﹣e，f（﹣e））处的切线方程为________．14. （1分） (2018高一下·葫芦岛期末) 已知，则的最小值为________．15. （1分）(2017·宜宾模拟) 在△ABC中，，其面积为，则tan2A•sin2B的最大值是________．16. （1分） (2019高一下·牡丹江期中) 在中，点在线段上，且，，则面积的最大值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分） (2016高一下·汉台期中) 某校有教职工500人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：高中专科本科研究生合计35岁以下10150503524535﹣5020100201315350岁以上3060102102随机的抽取一人，求下列事件的概率：（1） 50岁以上具有专科或专科以上学历；（2）具有本科学历；（3）不具有研究生学历．18. （10分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．19. （10分） (2016高三上·连城期中) 如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=a （a＞0），AB=2AD，．（1）求多面体ABCDS的体积；（2）求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．20. （10分） (2016高三上·连城期中) 已知函数，其中a为实数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥ 时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的取值范围．21. （5分） (2016高三上·连城期中) 已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当时，试证明；（Ⅲ）设函数．f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），使对n∈N*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22. （15分） (2016高三上·连城期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2 ．（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC 与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及VP﹣BMN的范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。

福建省厦门市2018届高三上学期期末质检理科数学试题及答案解析

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}10A x x x =+>，{B x y ==，则A B =I （）A ．{}0x x > B ．{}1x x ≥ C ．{}01x x <≤ D ．R2．命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是（）A ．32000,10x x x ∃∈-+<RB ．32000,10x x x ∃∈-+≥RC ．32,10x x x ∀∈-+>RD ．32,10x x x ∀∈-+≤R 3．实数,x y 满足0x y >>，则（）A ．11x y > BC ．1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2x xy <4．若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若,m αββ⊥⊥，则m α∥ B ．若,m n m α⊥∥，则n α⊥C ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥D ．若,,m m n βααβ⊂=∥I ，则m n ∥5．已知实数,x y 满足1,20,21,x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值等于（）A ．-7B ．52-C ．2D ．3 6．如图所示，函数26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DEF ∆的面积等于（）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 7．已知正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，P 是线段BC 上一点，则OP CP ⋅uu u r uu r 的最小值为（）A ．-2B ．12-C ．14- D ．2 8．函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．ABC ∆中，23B π∠=，,A B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若()0BA BC AC +⋅=uu r uu u r uuu r，则E 的离心率为（）A 1B 1CD 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（） A ．100 B ．140 C ．190 D ．25011．若锐角ϕ满足sin cos ϕϕ-=，则函数()()2sin f x x ϕ=+的单调增区间为（） A ．()52,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()72,21212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．已知函数()()22log ,02,log 4,24,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()12f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．170,2,22⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U B ．1770,,242⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UC．72,2⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U D．77,42⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦U 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z 满足()1i 2i z -=，则z = ．14．设等比数列{}n a 满足11a =，356a a +=，则579a a a ++= ． 15．直线()1y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若163AB =，则k = ． 16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长；（2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.18．如图，直角梯形BDFE 中，EF BD ∥，BE BD ⊥，EF =ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，24AB CD ==，且平面BDFE ⊥平面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值.19．数列{}n a 满足122311111n n na a a a a a n ++++=+L . （1）若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）若()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 20．已知点()1F，圆(222:16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N . （1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.21．已知函数()()()2xf x ax x a e a -=++∈R .（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值；（2）若对任意的0a ≤，()()ln 1f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥；（2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD二、填空题13．28 15．．1003π三、解答题17．解：（1）由点1,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ∠=︒，由图象可得60COD ∠=︒；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ∠=︒，2DB =；由余弦定理得2222cos120OB OD DB OD DB =+-⋅⋅︒；解得OB ；（2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=-1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()112sin sin 22362EOD COD S S S πππθθθθ∆∆⎛⎫⎛⎫=+=+-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭113sin sin sin 22244θθθθθ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵62ππθ<<，∴2363πππθ<+<；当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 18．证明：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD = ∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥，又∵AC BD ⊥，且BE BD B =I ， ∴AC ⊥平面BDFE .解：（2）设AC BD O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，2DOC π∠=，24AB CD ==，∴OD OC ==OB OA ==∵FE OB ∥，∴四边形BOFE 为平行四边形， ∴OF BE ∥，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角， ∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()B，()0,D，(0,0,F，()C，()A(DF =uuu r，)CD =uu u r ，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由0,0,DF n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uu u r r得0,0,+== 令2x =得，()2,2,1n =-r，2cos ,3n AC ==r uuu r . ∴二面角B DF C --的余弦值为23. 19．解：（1）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L 当1n =时，12112a a =①，即122a a = 当2n =时，12231123a a a a +=② ②-①，得23116a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 公差为d ，由122326a a a a =⎧⎨=⎩，有()()222226a d a a d a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩因为0d >，解得221a d =⎧⎨=⎩，则()22n a a n d n =+-= （2）由已知：122311111n n na a a a a a n ++++=+L ③ 当2n ≥时，122311111n n n a a a a a a n--+++=L ④ ③-④得：当2n ≥时，111n n na a n +=+，即()11n n a a n n +=⋅+，结合122a a =，得：()()11n n a a n n n +=⋅+∈*N()()()1111n nn n n b a a n n +=-⋅=-+()()()2121212221n n b b n n n n -+=-⋅-⋅+⋅+()221214n n n n =+-+= ()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++L 484n =+++L()()44212n n n n +==+20．解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点N 的轨迹方程是22142x y +=. （2）设直线():10AB y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得()2212420k x kx ++-=，∴()21221228140,4,12212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x -'-=-+，所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ，所以PAB '∆的面积12221212PQB PQA k S S S x x k'∆∆=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立.所以PAB '∆面积的最大值是2. 21．解：（1）由题意，()()()221x xf x ax e ax x a e --'=+-++ ()2121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()11xe x ax a -=--+-. （ⅰ）当0a =时，()()1xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()131f e e=≠，不合题意. （ⅱ）当0a >时，111a-<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2131a f e e+==，得1a =. 综上所述1a =. （2）令()()2xx g a exx a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()20xex x -+≥，则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()0ln 1g a g b x ≤≤+，即()ln 1xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（ⅰ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0xxe ->，此时()ln 1xxeb x ->+，不合题意.（ⅱ）当0b >时，令()()ln 1xh x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞，令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()h x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()ln 1xb x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。

2018届福建省师大附中高三上学期期中考试理科数学试卷及答案

福建师大附中2018-2018学年第一学期高三半期考试卷高三数学(理科)（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答模卷.一、选择题：（每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求）1．已知会合A{xx3n2,n N},B{6,8,10,12,14}，则会合A B中的元素个数为()A．C．4 D.52．已知12i1i（i为虚数单位），则复数z=（）zA.1iB.1iC.1iD.1i3.已知命题p:x R,2x3x；命题q:xR,x31x2,则以下命题中为真命题的是：（）A．pq B.pq C．p q D.p q4．已知点的坐标为43,1，将绕坐标原点逆时针旋转3至，则点的纵坐标为（）A．33B．53C．13D．11 22222＋2115．若f(x)＝x f(x)d，则f(x)d x＝()x0011A．－1B．－3 C.3D．16.已知a n为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10（）A．7 B.5C． D.7.若cos41tan() ,是第三象限的角,则251tan2A．D.-21 B.122．28.若cos22,则cossin的值为（）π2sin4Ａ．7Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．72222 9．存在函数f(x)知足：对随意xR都有（）A.f(sin2x)sinxC.f(x21)x1B.D.f(sin2x) x2xf(x22x) x110．设函数f(x)ln(1 |x|)121 x值范围是（）,则使得f(x)f(2x 1)建立的x的取A．1,1B．,11,C．1,1D．,11,333333设为两个非零向量a、b的夹角，已知对随意实数t，|ba t|的最小值为1,（）A.若确立，则|a|独一确立B.若确立，则|b|独一确立C.若|a|确立，则独一确立D.若|b|确立，则独一确立12．设函数f(x)=e x(2x1)axa,此中a1，若存在独一的整数x0，使得A．[-f(x0)0，则3，1）a的取值范围是（）B.[-错误！未找到引用源。

福建省厦门市高三上学期期末质检数学(理)试题Word版含答案

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）A2）AC3）A4）ABCD5）A．-7 B．2 D．36）A7．2，的最小值为（）A．-2 B．28）A． B． C． D．9）A10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前.）A．100 B．140 C．190 D．25011．（）AC12（）AC第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）131415．16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1（2.18（1（2.19（10（220（1（2.21（1（2围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程.以坐标原点为（1（2.23．选修4-5：不等式选讲（1（22.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD二、填空题13．28 15三、解答题17．解：（1（218．证明：（1）解：（2）19．解：（1②-（2③-20．解：（14的椭圆，（2.21．解：（1...（2....22．解：（1（223．解：（1.（20，不符合题意，舍去.。

福建省厦门第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

福建省厦门第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．3．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A ．1B ．2C ．4D ．6 4．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 5．以下四个命题中，真命题的是（） A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．6．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 8．已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（） A． B． C． D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．9．二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．10．记集合{}22(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x y =+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（） A ．12p B ．1p C ．2pD ．13p【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．11．已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（）A ．9[,6]5B ．9(,][6,)5-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6] 12．设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95SS =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数22tan ()1tan x f x x =-，则()3f π的值是_______，()f x 的最小正周期是______. 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 14．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．设全集______.16．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018届高三第一次(3月)质量检查数学理试题(小题解析) 含解析

厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题 2018.03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则AB 等于A. [16]-，B. (16]，C. [1+)-∞，D. [23]，答案：B解析：集合{}16A x x =-≤≤，{}1B x x =>，所以，A B ＝(16]，2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D. 答案：C 解析：i i a z -+=1＝1(1)2a a i-++为纯虚数，所以，a ＝1 3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若45A a b =︒==，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒ 答案：D解析：由正弦定理，=，解得：sin B =，因为b ＞a ，故B ＝60︒或120︒4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34D. 1答案：B解析：不等式所表示的平面区域如下图所示，1yz x =+0(1)y x -=--，表示平面区域内一点P （x ，y ）与点Q （－1,0）之间连线的斜率，显然直线BQ 的斜率最小，B （1,1），此时min 101112BQ z k -===+ 5.已知平面α⊥平面β，=l αβ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 答案：B解析：如下图（1），m n ⊥，//n l ，则有m l ⊥，由面面垂直的性质，知m β⊥，故①正确；如图（2），可知②③不正确；由图（1）（2）（3）知④正确，故选B 。

福建省厦门一中2017-2018学年高三上学期开学数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年福建省厦门一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|2x＞x2}，B={y|y=2x，x∈A}，则集合A∩B等于（）A．（0，2）B．（0，4）C．（1，2）D．（0，+∞）2．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．23．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点为b，极小值为c，则ad=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣24．下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b35．已知D为△ABC的边AB上的一点，且=+λ•，则实数λ的值为（）A．B． C．D．6．已知A，B为中心在原点，焦点在x上的双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．C．x±y=0 D．7．若log2（a+4b）=log2a+log2b，则a•b的最小值是（）A．16 B．8 C．4 D．28．已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．6 B．8 C．10 D．129．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+x•f'（x）＞0（f'（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，2）11．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1412．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．14．在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有S n=a n﹣，若﹣1＜S k＜2，则正整数k的值为．16．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜，用a n（n∈N*）表示第n个星期一选A菜的人数，如果a1=428，则a8的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若点M为BC的中点，且求AM=AC，求的值．18．已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，数列{b n}的前n项和T n，求满足不等式≥的最大n值．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．21．已知点M（0，2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆E上一点G与椭圆长轴上的两个顶点A，B连线的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点M的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的直线方程．22．已知函数f（x）=e x+ae﹣x﹣2x是奇函数．（Ⅰ）求实数a的值，并判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围．2016-2017学年福建省厦门一中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合A={x|2x＞x2}，B={y|y=2x，x∈A}，则集合A∩B等于（）A．（0，2）B．（0，4）C．（1，2）D．（0，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x＞x2}={x|0＜x＜2}，B={y|y=2x，x∈A}={y|1＜y＜4}，∴集合A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．2．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，如图示：，z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距的最大值，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故选：B．3．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点为b，极小值为c，则ad=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的极值，利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：曲线y=3x﹣x3，可得y′=3﹣3x2．令3﹣3x2=0，可得函数的极值点为：﹣1，1．x=﹣1时，函数取得极小值c=﹣2，x=1时，函数取得极大值b=2．实数a，b，c，d成等比数列，可得ad=bc=﹣2．故选：D．4．下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【解答】解：“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项A不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，故满足题意；“a＞b”不能推出“a2＞b2”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选B．5．已知D为△ABC的边AB上的一点，且=+λ•，则实数λ的值为（）A．B． C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用三点A，D，B共线，可得=m+（1﹣m）=﹣m+（m﹣1），经过比较即可得出．【解答】解：∵三点A，D，B共线，∴=m+（1﹣m）=﹣m+（m﹣1），∴，解得λ=．故选：D．6．已知A，B为中心在原点，焦点在x上的双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E的渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．C．x±y=0 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合a，b，c的关系，求出a=b．即可得到渐近线方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得﹣=1，即为a2=b2，E的渐近线方程为：：x±y=0．故选：C．7．若log2（a+4b）=log2a+log2b，则a•b的最小值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据对数的运算法则化简a，b关系，利用基本不等式解出ab的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，log2（a+4b）=log2a+log2b，∴a+4b=ab，∴ab≥2，∴ab≥16，当且仅当a=4b=4=8时“=”成立，故选：A．8．已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】抛物线的简单性质．【分析】运用抛物线的定义，设Q 到l 的距离为d ，求出斜率，求得直线PF 的方程，与y 2=16x 联立可得x=6，利用|QF |=d 可求．【解答】解：设Q 到l 的距离为d ，则由抛物线的定义可得，|QF |=d ，∵=4，∴Q 在PF 的延长线上， ∴|PQ |=5d ，∴直线PF 的斜率为﹣=﹣2，∵F （4，0），∴直线PF 的方程为y=﹣2（x ﹣4），与y 2=16x 联立可得x=6，（由于Q 的横坐标大于2） ∴|QF |=d=6+4=10，故选：C ．9．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b=a ∨b=若正数a 、b 、c 、d 满足ab ≥4，c +d ≤4，则（）A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【考点】函数的值．【分析】依题意，对a ，b 赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a ∧b=，a ∨b=，正数a 、b 、c 、d 满足ab ≥4，c +d ≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a ∧b ≥2错误，故可排除A ，B ；再令c=1，d=1，满足条件c +d ≤4，但不满足c ∨d ≥2，故可排除D ；故选C ．10．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f （x ）+x •f'（x ）＞0（f'（x ）是f （x ）的导函数），则不等式（x ﹣1）f （x 2﹣1）＜f （x +1）的解集为（） A ．（﹣1，2） B ．（1，2） C ．（1，+∞） D ．（﹣∞，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【分析】根据条件构造函数g （x ）=xf （x ），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：设g （x ）=xf （x ），则g ′（x ）=f （x ）+x •f'（x ）， ∵f （x ）+x •f'（x ）＞0，∴g ′（x ）＞0，即g （x ）在（0，+∞）为增函数，则不等式（x ﹣1）f （x 2﹣1）＜f （x +1）等价为（x ﹣1）（x +1）f （x 2﹣1）＜（x +1）f （x +1），即（x 2﹣1）f （x 2﹣1）＜（x +1）f （x +1），即g （x 2﹣1）＜g （x +1），∵g （x ）在（0，+∞）为增函数，∴，即，即1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2），故选：B．11．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，∴2x+=10即2x2﹣10x+z=0，由判别式△=100﹣8z=0，得x==，即xy的最大值为，故选：A12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．已知函数f （x ）=，则不等式f （x ）≥x 2的解集为 [﹣2，2] ．【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用．【分析】分别将f （x ）换成两段上的解析式，解不等式即可．【解答】解：不等式f （x ）≥x 2，即为﹣x +2≥x 2，即x 2+x ﹣2≤0，解得﹣2≤x ≤1，又x ≤0，所以﹣2≤x ≤0；或者x +2≥x 2，即x 2﹣x ﹣2≤0，解得﹣1≤x ≤2，又x ＞0，所以0≤x ≤2；所以不等式f （x ）≥x 2的解集为[﹣2，2]；14．在极坐标系中，圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=（ρ∈R ）距离的最大值是 6 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】圆ρ=8sin θ化为ρ2=8ρsin θ，把代入可得直角坐标方程，直线θ=（ρ∈R ）化为y=x ．利用点到直线的距离公式可得圆心C （0，4）到直线的距离d ，可得圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=（ρ∈R ）距离的最大值=d +r ．【解答】解：圆ρ=8sin θ化为ρ2=8ρsin θ，∴x 2+y 2=8y ，化为x 2+（y ﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R ）化为y=x ．∴圆心C （0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=（ρ∈R ）距离的最大值=d +r=2+4=6．故答案为：6．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n =a n ﹣，若﹣1＜S k ＜2，则正整数k 的值为 2 ．【考点】数列的求和．【分析】由当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣a n ﹣1，=﹣2，可知{a n }是1为首项，﹣2为公比的等比数列，根据等比数列的前n 项和公式，列不等式，即可求得正整数k 的值．【解答】解：当n=1时，a 1=a 1﹣，a 1=﹣1，当n ≥2时，S n ﹣1=a n ﹣1﹣，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣a n ﹣1，∴=﹣2，∴{a n}是1为首项，﹣2为公比的等比数列，a n=﹣1（﹣2）n﹣1，∴S n=，由﹣1＜S k＜2，即﹣1＜﹣ [1﹣（﹣2）k]＜2，﹣2＜（﹣2）k＜7解得：k=2，故答案为：2．16．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改选A菜，用a n（n∈N*）表示第n个星期一选A菜的人数，如果a1=428，则a8的值为301．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题意可得：设{a n}为第n个星期一选A的人数，{b n}为第n个星期一选B的=a n×+×，变人数，根据这星期一选B菜的，下星期一会有改选A菜，可得：a n+1﹣300=（a n﹣300），利用等比数列的通项公式即可得出．形为：a n+1【解答】解：根据题意可得：设{a n}为第n个星期一选A的人数，{b n}为第n个星期一选B 的人数，根据这星期一选B菜的，下星期一会有改选A菜，=a n×+×，a n+1=a n+150，∴a n+1﹣300=（a n﹣300），变形为：a n+1∵a1=428，∴a1﹣300=128，∴数列{a n﹣300}是一个等比数列，首项为128，公比为，可得a8﹣300=128×=1．∴a8=301．故答案为：301．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若点M为BC的中点，且求AM=AC，求的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知化简，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：2sinAcosB=sinA，由于sinA≠0，可求cosB，结合B的范围即可得解B的值．（Ⅱ）由AM=AC，利用余弦定理得，结合正弦定理即可得解的值．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴2acosB=ccosB+bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴．…∵0＜B＜π，∴．…．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，在△ABM中，由余弦定理得．…∵AM=AC，∴．∴由正弦定理得．…18．已知首项为的等比数列{a n}是递减数列，其前n项和为S n，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n•log2a n，数列{b n}的前n项和T n，求满足不等式≥的最大n值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，由S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，结合a1=且数列{a n}是递减数列求出公比，则等比数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入b n=a n•log2a n，利用错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n，代入≥求得n的最大值．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由题知a1=，又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+a1+S3+a3，变形得S2﹣S1+2a2=a1+S3﹣S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴q=+q2，解得q=1或q=，又由{a n}为递减数列，∴q=，∴a n=a1q n﹣1=（）n；（Ⅱ）由于b n=a n log2a n=﹣n•（）n，∴，则，两式相减得：=，∴．∴．由≥，解得n≤4．∴n的最大值为4．19．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥BD于E，由此能证明AE⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法能求出二面角的余弦值．（Ⅲ）根据线面平行的判定定理，利用向量法建立共线共线，设，解方程即可．【解答】（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，∴AD=BD=DC，又∠BAC=60°，∴△ABD为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，由（Ⅰ）知AB=BD=DC=AD=2，BE=ED=1．由图1条件计算得则AE=，BC=2，EF=，则E（0，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），F（，0，0），C（，2，0）．则，，易知，平面AEF的一个法向量为=（0，1，0）．设平面ADC的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得y=，x=﹣1，即=（﹣1，，1），∴cos＜，＞==，即平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值为．（Ⅲ）解：设，其中λ∈[0，1]．∵=（，0，﹣），∴=λ（，0，﹣），∴==（），由，得，解得∈[0，1]．∴在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC且AM：AF=3：4．20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（Ⅰ）由题意先分段写出，当x∈[100，130）时，当x∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（Ⅱ）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．再由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．（Ⅲ）利用利润T的数学期望=各组的区间中点值×该区间的频率之和即得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x﹣300=800x﹣39000，当x∈[130，150）时，T=500×130=65000，∴T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150．由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．T0.3+65000×0.4=59400．21．已知点M（0，2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆E上一点G与椭圆长轴上的两个顶点A，B连线的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点M的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的直线方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设G点坐标，根据斜率公式求得G与椭圆长轴上的两个顶点A，B连线的斜率之积等于﹣，求得a和b的关系，由2c=2．求得c=，利用椭圆的关系即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨PQ丨，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式求得△OPQ的面积，根据基本不等式的关系，求得△OPQ的面积最大值时的k的取值，即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设G（x0，y0），则，由条件知，，即得．…又，∴a=2，b=1，故椭圆E的方程为．…（Ⅱ）当l⊥x轴时不合题意，故设直线l：y=kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．将l：y=kx+2代入得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△=16（4k2﹣3）＞0．x1+x2=﹣，x1+x2=，从而．又点O到直线PQ的距离，∴△OPQ的面积．…设，则t＞0，．当且仅当t=2即时取等号，且满足△＞0．…∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为．…22．已知函数f（x）=e x+ae﹣x﹣2x是奇函数．（Ⅰ）求实数a的值，并判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，求出a的值，求出函数的导数，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）求出g（x）的表达式，通过讨论b的范围，结合函数的单调性从而确定b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=e x+ae﹣x﹣2x是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即e﹣x+ae x+2x=﹣（e x+ae﹣x﹣2x），解得a=﹣1，因为f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，所以，当且仅当x=0时，等号成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．…（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4x﹣4b（e x﹣e﹣x﹣2x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）xg'（x）=2e2x+2e﹣2x﹣4b（e x+e﹣x）+（8b﹣4）=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+4（b﹣1）]=2[e x+e﹣x﹣2][e x+e﹣x﹣2（b﹣1）]．…①当2（b﹣1）≤2即b≤2时，g'（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．而g（0）=0，所以对任意x＞0，g（x）＞0，②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2，即时，g'（x）＜0，而g（0）=0，因此当时，g（x）＜0，不符合题意，综上知，b的取值范围是（﹣∞，2]．…2016年12月25日。

厦门名校(一双外)高三上数学期中试卷(含答案)

厦门第一中学2017-2018学年（上）高三期中考试数学（理）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（） A ．2i - B ．12i +C ．2i +D ．12i -2．设集合{}{}2,21x A x x B y y =<==-，则=AB （）A ．()3-∞，B ．[)2,3C ．()2-∞，D ．()1,2-3．在ABC ∆中，=3BD DC ，若12=AD AB AC λλ+，则125λλ+的值为（） A ．3 B ．316C ．109D ．24．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．15．若函数()y f x =的图象如图所示，则函数(1)y f x =-+的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“1q <”是“对任意的正整数n ，1n n a a +<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有邹亮，下广三丈，茅四仗，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3仗，长4仗；上棱长2仗，高一丈，问它的体积是多少？”，现将该锲体的三视图给出右图所示，其中网格纸小正方形的边长为1丈，则该锲体的体积为（） A ．6.5立方仗B ．5立方仗C ．6立方仗D ．5.5立方仗8．已知双曲线22221x y a b-=与直线2y x =没有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．(C．)+∞D．)+∞9．已知9人站成两排队列，前排4人，后排5人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（） A ．210 B ．420C ．630D ．84010．已知集合30(,)230x y Q x y x y x a ⎧⎫+-≥⎧⎪⎪⎪=-+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭，其中()}0sin cos a x x dx π=-⎰，集合{}222(,)0R x y x y r r =+=>，，若Q R 是非空集合，则实数r 的取值范围为（）A ．94124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B． C ．415,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22⎡⎢⎣⎦，11．已知正数,,x y z 满足(0,1)x ∈且2352log 3log 5log x y z ==，则实数,,x y z 的大小顺序为（） A ．x y z << B ．x z y <<C ．z x y <<D ．y x z <<12．已知实数,m n 满足2220m n m +-=，若存在满足条件的实数,m n 及实数t ，使得22222()t t m n mt ne t e K +-+++≤成立，则K 的最小值为（）A1 B．3-C．2 D ．1二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．若直线1y x =-与抛物线24y x =相交于,P Q 两点，则以PQ 为直径的圆方程为．14．在直角坐标平面上，从区域221x y +≤内等可能的任取一点(,)P x y ，则点(,)P x y 满足()21y x ≥-的概率为．15．如图，一正方形的纸片的中心为O，边长为，在此正方形（称为大正方形）内有一个同中心O 的小正方形，且小正方形的两组对边分别平行于大正方形的两条对角线，现沿着图中虚线剪去以大正方形的四条边为底边的四个全等的等腰三角形，将余下部分以小正方形的四条边为折痕折起，使得大正方形的四个顶点重合为一个顶点，构成一个正四棱锥，当小正方形边长变化时，这个正四棱锥体积的最大值为．16．已知()201221nn n x a a x a x a x +=++++中令0x =就可以求出常数项，即01a =．类比其中蕴含的解题方xk+∞∑234x n321012nn a a a a m a a a -++++<恒成立，则实数m 的取值范围为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=，cos AMC ∠=．（1）求角B 的大小；（2）若角=6BAC π∠，BC 边上的中线AM 的长为ABC ∆外接圆的半径．18．（本小题满分12分）某商场计划销售某种产品．现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利35元，且每卖出一件产品厂家再返利1元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利2元，超出40件的部分每件返利3元．分别记录其10天内的销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表：甲厂家销售件数频数表：（1）现从甲厂家试销的10天中任意抽取两天，求至少有一天销售量大于40的概率；（2）若将频率视作概率．回答以下问题：①记乙厂家的日返利额为X （单位：元）．求X 的分布列和数学期望；②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，E MF 、、分别是线段BC PD PC 、、的中点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）①作出平面AEF 与线段PD 的交点N ．并写出作法与理由；②若直线EM 与平面PAD ，求异面直线AN 与EM 所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为2(2,0)F ，点H 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 右半弧上的一个动点（即P 在曲线22221(0)x y x a b+=>上）．过P 作圆222x y b +=的两条切线，分别与椭圆C 相交于,M N 两点，试求22PM PN F M F N +++的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数21()1(x x f x m x m e+=⋅+-为常数，)m R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当116m =时，若函数()f x 在20,k e ⎛⎤ ⎥⎝⎦(,k Z e ∈是自然对数的底数)上有零点，求k 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．【选修44-：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换1'2'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线'C 的极坐标方程；（2）若过点3(,)2A π（极坐标）且倾斜角为6π的直线l 与曲线'C 交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求MN AP 的值．23．【选修45-：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()2f x x a x =--，()2g x x ．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）当[]2,4x ∈-时，总有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．福建省厦门双十中学2017－2018学年（上）期中考试高三数学（理科）试卷四、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．24．设集合{}14A x x =<<，{}2230B x x x =--≤，则()R A C B =（）A ．()1,2B ．()1,3C ．()1,4D ．()3,425．在ABC ∆中，已知45A ︒∠=，AB =2BC =，则C ∠等于（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．30︒或150︒26．设0.43a =，3log 18b =，5log 50c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>27．在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ的值为（）A ．2B ．3C ．2-D ．3-28．已知命题p ：“对任意a R ∈，总有()222sin cos a x x dx π+≥+⎰”；命题q ：“1x >是2x >的充分不必要条件”，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∨ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝29．设20183a=，20186b=，201812c=，则数列a ，b ，c （） A ．是等差数列，但不是等比数列 B ．是等比数列，但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列30．如右图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（） A ．16 B ．83C ．163D ．32331．函数()sin 21xf x x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．32．已知直线3x π=是函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的一条对称轴，则（） A ．6πϕ=B ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．由()f x 的图像向左平移12π个单位可得到2sin 2y x =的图像D ．由()f x 的图像向左平移6π个单位可得到2sin 2y x =的图像33．如右图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是底面1111A B C D 内的一动点，Q 是底面ABCD 内一动点，线段1A C 与线段PQ 相交且互相平分，则使得四边形1A QCP 面积取得最大值的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个34．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在直线l ：1y kx =-上，则实数k 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛221，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛131，35．如右图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面与侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（） A ．15B ．14CD五、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．36．右下图是两个腰长均为2cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为 3cm ．37．定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()20f -=，若()()10x f x ->，则实数x 的取值范围是．38．已知O 是ABC ∆的外心，3AB =，4AC =，则AO BC ⋅= ．39．数列{}n a 满足12sin12n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和100S= ．六、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 40．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin b C a B =，4tan 3B =．（1）求11tan tan A C+的值；（2）设65BA BC ⋅=，求a c +的值．41．（本小题满分12分）设数列{}n a 是一个公差0d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，不等式()log 1n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．42．（本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，矩形BFED 所在的平面与平面ABCD 垂直，且122AD DC CB BF AB =====．（1）求证：平面ADE ⊥平面BFED ；（2）若P 为线段EF （含端点）上一点，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ，求θ的最大值．A43．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>经过点)，椭圆C 的四个顶点构成的四边形面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+（其中k ≤）与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若顶点P 在椭圆C 上，求OP 的取值范围．44．（本小题满分12分）设函数()21ln 2f x x ax bx =-+．（1）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1x n n ∈+，N n ∈，求n ；（2）若0b =，关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．45．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：3x =，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2cos ρθ=，3C ：ρθ=（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若P 是曲线2C 上一动点，过P 作线段OP 的垂线交曲线1C 于点Q ，求PQ 的最小值．参考答案厦门市外国语2017-2018学年（上）高三期中考试数学（理）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）七、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．46．已知集合{}{}1,0,1,124xA B x =-=≤<，则AB 等于（）A ．{}1B ．{}1,1-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-47．若函数()ln f x t x =与函数()21g x x =-在点()1,0处有共同的切线l ，则t 的值是（）A ．12t = B ．1t = C ．2t = D ．3t =48．已知全集U R =，集合{}{}2320,log 1A x x x B x x =--≥=<，则()U A B ð=（）A ．[2,3)B ．[1,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)49．下列命题中正确的是（）A ．命题p ：0x R ∃∈,200210x x -+< ，则命题p ⌝：x R ∀∈,2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22a b>”的充要条件C ．命题“若22x =，则x =x =x ≠x ≠，则22x ≠”D ．命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈,总有20x>；则p q ∧是真命题50．已知23,(1)()23,(1)x x f x x x x +≤⎧=⎨-++>⎩，则函数()()xg x f x e =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．451．已知集合1122,ln()022x A xB x x ⎧⎫⎧⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则()R AB ð=（）A ．∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-52．已知函数(),()ln(2)4x aa x f x x eg x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为（）A ．ln 2B ．ln21-C ．ln 2-D ．ln 21--53．一物体在力()5,0234,2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩，（单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x =（单位：m ）处，则力()F x 做的功为（） A ．10焦 B ．26焦C ．36焦D ．42焦54．函数331x x y =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．55．已知函数()f x 是定义城为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()()()0.50.52log 2,log 4,2a f b f c f ===，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>56．设函数()f x 在R 上存在导数()'f x ，x R ∀∈，有()()2f x f x x -+=，在()0,+∞上()'f x x <，若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为（）A ．[]2,2-B ．[)2,+∞C ．[)0,+∞D ．(][),22,-∞-+∞57．已知函数()()3210x f x x x =+-<与()()32log 1g x x x a =-++的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（） A ．(),2-∞ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,2八、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．58．若函数()3235f x x x m =-+-最多有两个零点，则实数m 的取值范围是．59．若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()31f a f a ->-的实数a 的取值范围是．60．设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是．61．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴；③函数()y f x =在[]9,6--上为增函数；④函数()y f x =在[]9,9-上有4个零点．其中正确的命题为．（将所有正确命题的编号都填上）九、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．62．（本小题满分10分）设p ：关于x 的不等式1xa >的解集是{}|0x x <；q ：函数y =域为R ．若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求实数a 的取值范围．63．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈．（1）求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足AZ B =(其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．64．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（1）求a ，b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．65．（本小题满分12分）设函数2()3xf x e x ax =---．（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()2f x ≥-，求实数a 的取值范围．66．（本小题满分12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米，假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V 表示成r 的函数()V r ，并求该函数的定义域；（2）讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．67．（本小题满分12分）已知函数211()ln()22f x ax x ax =++-（a 为常数，0a >）（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意．．的(1,2)a ∈，总存在．．01[,1]2x ∈，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求m 的取值范围．参考答案：17.18.19.21.22.。

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福建省厦门第一中学2018学年度第一学期期中考试高三年数学试卷（理科）11第Ⅰ卷（共50分）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

1.已知集合22{|320,},{|50,}A x x x x R B x x x x N *=-+=∈=-<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 A ．1 B ．2 C ． 3 D ．42. 由曲线()x f x e =与直线1,1y x ==所围成的图形面积是A ．eB ．1e -C ．2e -D ．1e +3.已知命题:p x R ∀∈,22x x ≥;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∨⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则“0x >”是“a 与b夹角为锐角”的A ．必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则cos sin A A -=A. 3B. 3-C. 3D.-6. 函数()2sin f x x x =-的图象大致是7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S = A. 44 B.54 C.61(41)3⋅-D.51(41)3⋅-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF =A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+ a b9．若函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(6)()0f a f a -+>,则实数a 的取值范围是A.(,2)(3,)-∞-+∞B.(2,3)-C. (,3)(2,)-∞-+∞D.(3,2)-10.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x 都有(2)()f x f x +=且()()f x f x -=，当[0,1]x ∈时，2()f x x =。

若在区间[1,3]-内，()()g x f x mx m =++有且只有4个零点，则实数m 的取值范围是A ．1[,0)4- B ．1(,0)4- C ．1(0,]4D ． 1(0,)4第1页（共4页）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11.若ΔABC 的面积为，2BC =，60C =︒，则角A 为。

12．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =+= ；则b =。

13.在极坐标系中，点5(2,)6π到直线sin()13πρθ-=的距离是。

14.已知函数()lg(|2|)f x x x a =-+-的定义域为R ,则实数a 的取值范围是。

15.已知函数()sin 2f x x x -的图象为C ，则如下结论中正确的序号是。

①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π(0)3，对称； ③函数()f x 在区间π5π[]1212-，上是增函数；④将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ．16.某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式a = 。

过程或演算步骤。

17．（本题12分）等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =；等比数列{}nb 中，11b =．若3314a S +=，2212b S =（I ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设2()n n n c a b n N *=+∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对一切n N *∈不等式n T λ≥恒成立，求λ的最大值．18.（本题12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，记MNP θ∠=，求cos第2页（共4页）19．（本题12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）．游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过n （12n ≤且n N *∈）关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？20．（本题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠= ．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，在线段AC 上是否存在一点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30 ？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由。

（参考公式：棱锥的体积公式13V Sh=,其中S 表示底面积，h 表示棱锥的高）P AB第3页（共4页）21.（本题14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，2(,)3M m 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =。

（Ⅰ）求1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设(0,)(0)A t t >为y 轴上的动点，过点A 作直线l 与直线AF 垂直，试探究直线l 与椭圆1C 的位置关系。

Ks5u 22．（本题满分14分）已知函数(),x f x e R x =∈的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称。

(Ⅰ) 若直线1y kx =+与()g x 的图像相切, 求实数k 的值；(Ⅱ) 判断曲线()y f x =与曲线2112y x x =++公共点的个数. (Ⅲ) 设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.Ks5uKs5u第4页（共4页）2018—2018学年度第一学期期中考理科数学试题答题卷 11. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16. 。

三.解答题：17.(本题满分12分)解：18.(本题满分12分)班级座姓名准考证号解：第1页（共4页）第2页（共4页）21.（本题满分14分）解：20.(本题满分12分) 解： 1PAB C第3页（共4页）22．（本题满分14分）解：第4页（共4页）厦门一中2018—2018学年度第一学期期中考高三年理科数学试题参考解答一、选择题：每小题5分，满分50分．1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10．A二、填空题：每小题4分，满分24分．11．30 12．1 14．2a < 15. ①② 16.222n n -+三、解答题（本大题共六小题，满分76分）17.解: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由题意得：(12)(33)14(2)12d d q d +++=⎧⎨+=⎩，……………2分解得23d q =⎧⎨=⎩ ，……………4分 ∴121,3n n n a n b -=-=……………6分（Ⅱ） ∵123123123212()2()(13521)2(1333)31n n n n n n T c c c c a a a a b b b b n n -=++++=+++++++++=++++-+++++=+- ……………10分∵{}n T 是递增数列，∴n T 的最小值为13T =， ……………11分 Ks5u又∵n T λ≥恒成立，∴3λ≤，故所求的λ的最大值为3 ……………12分18.解: （Ⅰ）由图可知，1A = ，∵()f x 的最小正周期428,T =⨯=∴2ππ8,.4T ωω===………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== ∴π()sin (1)4f x x =+ 。

……………………6分（Ⅱ）解法一:∵ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， (9)分∴MN MP PN ===3cos 5MNP ∠==-，即3cos 5θ=- ………（11分），于是27cos 22cos 125θθ=-=-. …………（12分）解法二: ∵ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，……………9分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=- ,NM NP === 则3cos 5NM NP MNP NM NP⋅∠===-⋅，即3cos 5θ=- ……………11分于是27cos 22cos 125θθ=-=-. ……………12分Ks5u19.解：（Ⅰ）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴40n A n =，-------2分第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，∴2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+，------------------------4分第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，∴1(12)12(21)122n n n C -==--． -------------------------6分（Ⅱ）令n n A B >，即24022n n n >+，解得 19n <，∵,n N ∈且12n ≤ ，∴n nA B >恒成立． -----------------------------------8分令n nA C >，即140(21)2n n >-，可得 10n <，-------------------------------10分∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n n C A >，-----------------------------11分综上，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案． -------------------12分 20.解：（Ⅰ）∵90PAB PAC ∠=∠= ，∴PA AB ⊥，PA AC ⊥．∵AB AC A = ，∴PA ⊥平面ABC ------------------------1分∵BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥．------------------------2分 ∵90ACB ∠= ，∴BC CA ⊥．∵PA CA A = ，∴BC ⊥平面PAC ．------------3分∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．------------4分（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，∴PA 是三棱锥P ABC -的高．∵1PA =，=2AB ，90ACB ∠= ，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．Ks5u12cos 2sin sin 22ABC S θθθ=⨯⨯=△，∴13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=------6分 ∴当4πθ=，P ABC V -有最大值13，此时2cos 4BC π==------------7分以C 为原点，建立如图的空间直角坐标系C xyz -，则CB CP ==，设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0000CB n y CP n z ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,0,n =，------------9分设线段AC 上的点D 的坐标为(,0,0)D t，则(,BD t t =≤≤，∵||sin30||||n BD n BD ⋅==⋅ ，解得t =， ------------11分∴在线段AC 上不存在点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30 。