平面三角形单元

第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用

第一节 概述

分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。各单元在结点处为铰结。图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体

以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。

谈形体所受体力分量可表示为

[

]

T

y

x

y x p p p p p =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡= (8-1)

所受面力分量可表示为

[

]

T

y

x

y x p p p p p =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡= （8-2）

体内任一点应力分量可表示为

[]T xy y x τδδδ= （8-3）

任一点的应变分量可表示为

[]T xy y x γεεε= （8-4）

任一点的位移分量可表示为

[]T

v u =δ （8-5）

弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡--=

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡xy

y x xy y x E γεεμμμ

μτσσ210

0010112 （8-7）

或简写成为

εσD = （8-8）

式中

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡--=210

0010112μμμ

μ

E D （8-9） 称为弹性矩阵。

平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成

2

1μ

-E

，μ换成

2

1μμ

-，因此得出

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡-----+-=

)1(2210

00110

11)21)(1()1(2

2

μμμμμμ

μμμE D （8-10）

平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功

方程代替平衡微分方程和应力边界条件。虚功方程的矩阵表达式为

⎰⎰⎰⎰⎰***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）

式中：[

]

T

v u f

**

*

=，表示虚位移；

[]T

xy

x x *

***=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。 为了便于计算，作用于弹性体上的体力和面力替换为作用在结点上的集中力，即等效结

点荷载。设作用于各个结点上的外力分量用如下列阵来表示

[]T

n n V U V U V U F ⋯=2211

与这些结点外力分量相对应得结点虚位移分量列阵为

[]T

n

n v u v u v u *

******⋯=2211δ 则外力在虚位移上做的虚功为

F v V u U v V u U v V u U T n n n n **

*****=++⋯++++δ22221111

如平面弹性体的厚度为t ，该虚功除以t ，即可得出单位厚度薄板上的外力虚功。于是，式（8-11）所示虚功方程可写成

⎰⎰**=tdxdy F T T σεδ （8-11）

虚功方程不仅仅应用于弹性力学，也可用于塑性力学。其应用条件是：只要变形体的全部外力和应力满足平衡方程；位移是微小的，并满足边界条件，位移与应变满足几何方程。

所以，通常称为变形体虚功方程。

第二节 单元分析

图8-2所示为一个三角形单元。三个结点按逆时针顺序编号分别为i 、j 、m ，结点坐标分别为),(),(),(m m j j i i y x m y x j y x i 、、。

图8-2

由于每个结点有两个位移分量，单元共有六个结点位移分量：

m m j j i i v u v u v u 、、、、、，如图8-2a ）所示，因此三角形单元的结点位移分量δe 可表示为

[]

T

m m j j i i

e v u v u v u =δ （8-13）

与这六个结点位移分量相对应得结点力也有六个分量，如图8-2b)所示

[]

T

m m j j i i e V U V U V U F = （8-14）

在每个单元上，都可以把结点力用结点位移来表示，即建立如下关系式

e e e k F δ= （8-15）

式中k e

称为单元刚度矩阵。寻求k e

的过程称为单元分析。单元分析按如下步骤

一、位移函数

为了求单元内任一点（x ，y ）的位移，设该点的位移u 、v 为其坐标x 、y 的某种函数，单元有六个结点位移分量，在位移函数中取六个任意参数αi （i=1，2，…，6），并将位移函数取为线性函数，即

⎭

⎬⎫

++=++=y x y x v y x y x u 654321),(),(αααααα （8-16）

一般情况下，一个弹性变形体在外界作用下，内部点的位移变化比较复杂，不能用简单

结点 位移 内部各 点位移 应变 应力 结点力 k e