平面三角形单元
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第八章 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用
第一节 概述
分析弹性力学平面问题时，最简单的单元式由三个结点组成的三角形单元。当用以分析平面应力问题时，可将其视为三角板；当用以分析平面应变问题时，则可式为三棱柱。各单元在结点处为铰结。图8-1所示位移悬臂梁离散为三角形单元的组合体
以矩阵形式列出弹性力学平面问题的基本量和基本方程。
谈形体所受体力分量可表示为
[
]
T
y
x
y x p p p p p =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡= (8-1)
所受面力分量可表示为
[
]
T
y
x
y x p p p p p =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡= （8-2）
体内任一点应力分量可表示为
[]T xy y x τδδδ= （8-3）
任一点的应变分量可表示为
[]T xy y x γεεε= （8-4）
任一点的位移分量可表示为
[]T
v u =δ （8-5）
弹性力学平面问题的几何方程的矩阵表达式为
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x u y v y v x u xy y x εεεε （8-6） 平面应力问题的物理方程的矩阵表达式为
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡xy
y x xy y x E γεεμμμ
μτσσ210
0010112 （8-7）
或简写成为
εσD = （8-8）
式中
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--=210
0010112μμμ
μ
E D （8-9） 称为弹性矩阵。
平面应变问题的物理方程也可写成式（8-8），但须将式（8-9）中的E 换成
2
1μ
-E
，μ换成
2
1μμ
-，因此得出
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡-----+-=
)1(2210
00110
11)21)(1()1(2
2
μμμμμμ
μμμE D （8-10）
平衡微分方程及边界条件也可以用矩阵表示，但弹性力学有限元位移法中，通常用虚功
方程代替平衡微分方程和应力边界条件。虚功方程的矩阵表达式为
⎰⎰⎰⎰⎰***=+tdxdy tds p f ptdxdy f T T σε （8-11）
式中：[
]
T
v u f
**
*
=，表示虚位移；
[]T
xy
x x *
***=γεεε，表示与虚位移相对应的虚应变。 为了便于计算，作用于弹性体上的体力和面力替换为作用在结点上的集中力，即等效结
点荷载。设作用于各个结点上的外力分量用如下列阵来表示
[]T
n n V U V U V U F ⋯=2211
与这些结点外力分量相对应得结点虚位移分量列阵为
[]T
n
n v u v u v u *
******⋯=2211δ 则外力在虚位移上做的虚功为
F v V u U v V u U v V u U T n n n n **
*****=++⋯++++δ22221111
如平面弹性体的厚度为t ，该虚功除以t ，即可得出单位厚度薄板上的外力虚功。于是，式（8-11）所示虚功方程可写成
⎰⎰**=tdxdy F T T σεδ （8-11）
虚功方程不仅仅应用于弹性力学，也可用于塑性力学。其应用条件是：只要变形体的全部外力和应力满足平衡方程；位移是微小的，并满足边界条件，位移与应变满足几何方程。
所以，通常称为变形体虚功方程。
第二节 单元分析
图8-2所示为一个三角形单元。三个结点按逆时针顺序编号分别为i 、j 、m ，结点坐标分别为),(),(),(m m j j i i y x m y x j y x i 、、。
图8-2
由于每个结点有两个位移分量，单元共有六个结点位移分量：
m m j j i i v u v u v u 、、、、、，如图8-2a ）所示，因此三角形单元的结点位移分量δe 可表示为
[]
T
m m j j i i
e v u v u v u =δ （8-13）
与这六个结点位移分量相对应得结点力也有六个分量，如图8-2b)所示
[]
T
m m j j i i e V U V U V U F = （8-14）
在每个单元上，都可以把结点力用结点位移来表示，即建立如下关系式
e e e k F δ= （8-15）
式中k e
称为单元刚度矩阵。寻求k e
的过程称为单元分析。单元分析按如下步骤
一、位移函数
为了求单元内任一点（x ，y ）的位移，设该点的位移u 、v 为其坐标x 、y 的某种函数，单元有六个结点位移分量，在位移函数中取六个任意参数αi （i=1，2，…，6），并将位移函数取为线性函数，即
⎭
⎬⎫
++=++=y x y x v y x y x u 654321),(),(αααααα （8-16）
一般情况下，一个弹性变形体在外界作用下，内部点的位移变化比较复杂，不能用简单
结点 位移 内部各 点位移 应变 应力 结点力 k e