基于人力资源安排的整数线性规划模型
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
(数学建模)人力资源安排模型
(数学建模)人力资源安排模型文档：人力资源安排模型一、教学内容本节课我们将学习人力资源安排模型，这是数学建模中的一个重要内容。
我们将通过一个具体的例子来引入这个模型，然后讲解其数学原理和应用。
教材的章节为《数学建模》中的第9章，具体内容为“人力资源安排模型”。
二、教学目标1. 理解人力资源安排模型的概念和原理；2. 学会如何应用人力资源安排模型解决实际问题；3. 培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：理解人力资源安排模型的概念和原理，学会如何应用人力资源安排模型解决实际问题。
难点：如何将实际问题转化为数学模型，并求解。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔；学具：纸、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个公司的员工排班为例，讲解人力资源安排模型的实际应用。
2. 讲解人力资源安排模型的概念和原理：介绍人力资源安排模型的定义，讲解其数学原理和应用。
3. 例题讲解：给出一个具体的人力资源安排问题，引导学生如何将其转化为数学模型，并求解。
4. 随堂练习：让学生自己尝试解决一个人力资源安排问题，然后进行讲解和讨论。
5. 板书设计：将人力资源安排模型的数学公式和步骤板书在黑板上，方便学生理解和记忆。
6. 作业设计：给出一个人力资源安排问题，让学生课后解决，并写上下节课的PPT演示稿。
六、作业设计题目：某公司有三个部门，每个部门需要安排一名员工值班。
假设三个部门的员工分别为A、B、C，他们的值班时间分别为2小时、3小时和4小时。
要求每个部门的员工都不能连续值班，问如何安排员工的值班表？答案：可以安排如下：A值班：0002B值班：0205C值班：0509七、课后反思及拓展延伸本节课通过一个具体的例子引入了人力资源安排模型，让学生了解了其概念和原理，并学会了如何应用这个模型解决实际问题。
在教学过程中，我发现有些学生对于如何将实际问题转化为数学模型还有一定的困难，因此在课后我需要加强对这部分学生的辅导，让他们更好地理解和掌握这个模型。
数学建模B题：人员安排问题
数学建模B 题：人员安排问题问题综述：该问题主要是为了求解在客户的要求下公司每天收益的最大化，属于优化问题；我们在对这个问题建模时，主要是基于客户的两个要求来建立的： （1）客户对员工的人数要求； （这个要求是本来题目有的） （2）客户对工期的要求； （这个要求是我们进一步假设的）对于第一个要求我们建立了基本模型，而对于第二个要求，我们在第一个要求的基础上，进一步改进了基本模型，从而建立了某个项目先完工的模型。
具体的解题思路如下图所示：一．模型基本假设：1．假设客户对项目的工期没有限制，项目的工期由公司决定，且四个项目同时开工，同时完工，中间也不停工。
2． 假设所有人员总能在岗位上工作，不考虑由于生病或是其他意外事件而造成人员的缺席。
3．假设四个项目同时需要的最多人数不超过现有公司工作人员的人数，即使超过，也只分配公司现有的工作人员。
4．假设C 、D 两个项目的管理费由公司支付；5．假设所有工作人员都安排完毕，即每个人都有工作。
6．假设同等级别的工作人员的技术水平是相同的，即他们可以接受任意等同的任务。
二．符号说明：i ：用i ＝1,2,3,4分别表示高级工程师，工程师，助理工程师和技术员。
j ：用j ＝1,2,3,4分别表示项目A,B,C 和D 。
ij X ：公司分配第i 级别工作人员到第j 个项目上的人数。
例如23X 表示公司分配工程师到项目C 上的人数。
ij a ：第i 级别工作人员分配到第j 个项目上的收费。
ij b : 第i 级别工作人员分配到第j 个项目上时公司的开支（包括工资和管理费）。
ij A : 表示到项目j 工作的第i 级别工作人员为公司贡献的纯利润收入。
j ： 表示第j 个项目的总工时（即项目j 的总工作量）。
j T ： 表示第j 个项目客户所要求的工期（即项目j 所需要的完工时间）。
j M ： 表示客户要求第j 个项目一天所必须完成的工作量。
j m ： 表示公司分配给第j 个项目的所有工作人员一天能够完成的工作量。
人力资源规划的数学模型
一问题描述公司有以下三种工作人员：不熟练工、半熟练工和熟练工。
公司目前已经拥有一批工作一年以上的职员，通过对未来三年的工作量预测得到了未来几年的各类职员的需求表格（如下表）。
表1为满足这些需求，公司可以考虑以下四种人事变动途径：（1）招聘职员；（2）培训职员；（3）辞退多余职员（4）用临时工。
公司出于对不同公司目标的前提下，提出问题：问题一：如果公司的目标是尽量减少辞退职员。
提出相应的招聘和培训计划。
问题二：如果公司的政策是尽量减少费用，则额外费用和辞退的职员人数将会怎样变化。
二问题分析公司为了满足公司职员的需要，将考虑一下四种途径：招聘职员、培训职员、辞退职员、招临时工。
然而由于人才具有流动性强的特点，每年都会存在员工自然跳槽的事件发生。
公司可与根据职员的发展潜力而对职员进行培训，也可以把一些能力不足的职员进行将等处理，而对于那些能力太差的职员，公司将采取辞退职员的措施。
由于员工跳槽具有随机性，所以公司可以在任意时刻针对员工跳槽后采取额外招聘来填充缺少的职员。
对于问题一，公司的目的是尽量减少辞退公司职员。
而我们先分析三类职员在未来几年的需求情况:不熟练员工逐年减少，半熟练和熟练员工具有逐年增加的趋势。
公司为了减少辞退职员，也就是说三类职员中辞退的职员总数应该取最小值。
而为了达到公司的目的，就应该充分利用公司内部职员，不进行额外招聘、不招临时工，而且要尽量不从公司外招聘职员。
对于某一个岗位来说，原有的职员中会有职员进行跳槽，在招进来的新人中也有一些人会跳槽，同时，公司会对一些比较有发展潜力的职员进行培训，同样，公司也可能对一些职员进行降等处理和辞退处理。
正是有了这些人事变动才构成了这一岗位职员人数的变化。
此时对于每一类职员，都有这样一个数量关系：前一年的所有职员中除去跳槽的人数+招聘的新人中除去跳槽的人数-本级培训到上一级职员的人数+下一级职员培训到本级的人数-辞退职员的人数-本级降等到下一级的职员人数+上一级降等到本级的职员人数=下一年的总工作职员数。
线性规划的数学模型和基本性质
月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
线性规划-整数规划.
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
人力资源安排的最优化模型
人力资源安排的最优化模型【摘要】本文主要探讨了人力资源安排的最优化模型，通过分析其重要性、研究背景和研究意义。
在介绍了人力资源安排最优化模型的基本原理、已有研究成果分析、影响因素分析、建立方法和实例分析。
结论部分分析了人力资源安排最优化模型的实际应用价值和未来研究方向，并进行了总结。
通过本文的内容，读者可以深入了解人力资源安排的最优化模型在实践中的重要性及其未来发展方向，为相关领域的研究和实践提供参考。
【关键词】人力资源安排、最优化模型、引言、研究背景、研究意义、基本原理、已有研究成果分析、影响因素分析、建立方法、实例分析、结论、实际应用价值、未来研究方向、总结。
1. 引言1.1 人力资源安排的最优化模型的重要性人力资源安排的最优化模型在现代企业管理中起着至关重要的作用。
随着经济的全球化和市场竞争的激烈化，企业需要更有效地利用人力资源，提高生产效率和员工满意度。
通过建立合理的人力资源安排模型，可以帮助企业更好地分配人力资源，合理安排员工的工作任务和轮岗计划，提高工作效率，降低成本，增强企业竞争力。
人力资源安排的最优化模型能够充分考虑员工的个体特点和技能水平，通过合理的匹配和调度，实现员工的最佳配置，提高员工的工作积极性和专业技能。
优化模型还可以根据企业的实际情况和需求，灵活调整人力资源的数量和结构，让企业在面对市场变化时能够迅速适应，保持竞争力。
建立健全的人力资源安排模型还可以帮助企业预测未来的人力需求，提前做好人才储备，为企业的发展提供保障。
人力资源安排的最优化模型对于企业的长期发展和持续经营至关重要，只有建立科学合理的模型，才能更好地实现人力资源的最大化利用和价值创造。
1.2 研究背景人力资源安排的最优化模型是一种帮助企业有效管理人力资源并提高生产效率的重要工具。
在当今竞争激烈的市场环境中，企业需要更加科学合理地安排人力资源，以适应市场变化和提高竞争力。
而随着信息技术的不断发展和应用范围的扩大，人力资源安排的最优化模型越来越受到企业的重视和青睐。
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。
它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。
一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。
图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。
而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。
整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划模型及应用场景
线性规划模型及应用场景线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。
线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。
应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。
一、生产调度与物流管理生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。
而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。
线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。
举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。
这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。
二、金融投资与资产配置金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。
而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。
线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。
举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等多个金融工具。
他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。
三、运输与配送运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。
针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。
例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。
利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。
四、人力资源管理人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。
人力资源优化配置模型
人力资源优化配置模型摘要：随着经济的发展和企业的壮大，人力资源管理变得越来越重要。
为了更好地配置和利用企业的人力资源，提高生产效率和企业绩效，人力资源优化配置模型应运而生。
本文将介绍人力资源优化配置模型的概念、目标、方法和应用，并针对公司的实际情况进行案例分析。
一、概念二、目标1.最大化生产效率：根据企业的生产需求和员工的能力，合理安排和分配人力资源，提高生产效率和产出。
2.降低成本：通过合理配置人力资源，减少不必要的人力资源浪费和重复劳动，降低企业的人力资源成本。
3.提高员工满意度：根据员工的需求和能力，合理分配工作任务和资源，提高员工满意度和工作积极性。
4.促进员工和组织发展：通过优化人力资源配置，提供员工培训和发展机会，促进员工和组织的共同发展。
三、方法1.数据采集和分析：收集企业的人力资源数据，包括员工的能力、工作经验、培训记录等，以及企业的生产需求和目标。
2.建立数学模型：根据数据分析结果，建立数学模型描述人力资源配置问题，包括优化目标、约束条件和决策变量等。
3.优化算法求解：利用优化算法（如线性规划、整数规划、遗传算法等）对建立的模型进行求解，得到最优的人力资源配置方案。
4.评估和调整：根据优化结果进行评估，对模型进行调整和优化，以提高配置方案的准确性和可行性。
四、应用案例分析以公司为例，该公司是一家制造业企业，拥有多个工厂和数百名员工。
为了提高生产效率和降低成本，公司决定使用人力资源优化配置模型进行管理。
首先，通过调查和问卷收集了员工的能力、工作经验和培训记录等信息，同时了解了工厂的生产需求和目标。
然后，建立了一个线性规划模型，以最大化生产效率和降低成本为目标，约束条件包括员工能力与工作需求的匹配、员工的工时和工作负荷等。
利用线性规划算法对模型进行求解，得到了最优的人力资源配置方案。
该方案包括分配员工到不同的工厂、分配工作任务和调整工时等。
最后，对优化结果进行评估和调整。
公司与员工进行沟通和反馈，根据员工的实际情况和意见进行调整，以提高方案的可行性和员工满意度。
最优人力资源安排模型
最优人力资源安排模型摘要最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用应用分析、试验、量化的方法对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有根据的最优方案，以实现最有效的管理。
本文就人力资源和翻译效率进行了分析研究，求解最优人力资源安排方案。
问题一中，本文就花费人力最少和花费时间最短两方面进行分析研究，建立了三种模型。
模型一，按花费人力最少∑==51j jj a t ；模型二，按花费时间最少∑==51minj jj a N ；模型三，按花费人力和时间最少。
由模型一可得翻译人A 和B 翻译完五种语言所用的时间最短（39天），因而我们只需从翻译人A 、B 中任选一个进行翻译工作即可；由模型二可知，英语由A 翻译，法语由B/E/F 翻译，日语由F 翻译，德语由A 翻译，俄语由D 翻译时间最短，分别是2天、4天、6天、1天、4天。
然而考虑到人力最优问题，翻译法语由翻译人F 翻译最为合适。
最终可得完成所有翻译工作只需4名翻译人，所用的总时间为17天；由模型三可得为考虑该项目需节约人力资源及尽早完成翻译工作，我们进行了同步（同一时间可以做多种翻译工作）求解处理，计算出当五种翻译工作可同步进行的时候，只需四人六天即可完成。
问题二中，本文运用管理运筹学软件中的整数规划中的指派问题建立⎩⎨⎧=种语言个人去翻译第不指派第种语言个人去翻译第指派第j i j i x ij ,0,1模型进行求解，可得最优安排方案为英语由G 翻译，法语由B 翻译，日语由F 翻译，德语由A 翻译，俄语由E 翻译，总翻译耗时22天。
问题三中，本文在问题一的模型三的基础上运用管理运筹学中的线性规划知识建立模型进行求解，可得翻译共花费A 、B 、D 、F 4人耗时6天，审校共花费B 、C 、D 、E 、G 5人需时11天。
问题四中，本文在问题三的基础上进一步用管理运筹学中的线性规划建立模型进行求解，得出该企业完成五种语种的译文工作共需7人耗时12天。
线性规划整数规划0-1规划
我们可以通过增加虚设产地或销地 （加、减松弛变量）把问题转换成产销 平衡问题，下面分别来讨论。
1.产量大于销量的情况
mn
考虑 i=1ai >j=1bj 的运输问题，得到的数学模 型为
min
mn
f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t. xij ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij =bj j = 1,2,…,n
2a2112211a2a21111?????b????????????mb1系数矩阵????????????mmnnaa????12222111211非负约束自由变量tiaja规范形式标准形式???0
一、引言
二、线性规划模型
三、整数线性规划模型
四、0-1整数规划模型
五、非线性规划模型
回
六、多目标规划模型 停
必须消除其不等式约束和符号无限制变量.
对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
n
aij x j bi
j 1
可引入一个剩余变量 s i ，用
n
aijxj si bi, si 0
j1
代替上述的不等式约束.
对于不等式约束
n
aij x j bi
j 1
可引入一个松弛变量 r i ，用
特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从历年全国大学生数模竞赛 试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道 题涉及到利用规划理论来分析、求解.
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种.
2.1 线性规划模型的标准形式
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养 素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
【精品】线性规划案例
1。
人力资源分配问题例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班,并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员,既能满足工作需要,又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设x i表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件:s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3，x4，x5,x6≥0运用lingo求解：Objectivevalue:150。
0000ariableValueReducedCostX160。
000000。
000000X210.000000.000000X350。
000000。
000000X40.0000000.000000X530.000000.000000X60.0000000.000000例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息,既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少?解：设x i(i=1,2，…,7)表示星期一至日开始休息的人数，这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2，x3，x4,x5,x6，x7≥0lingo求解Objectivevalue:36。
00000VariableValueReducedCostX112.000000。
线性规划探索线性规划的基本原理解决线性规划的相关问题
线性规划探索线性规划的基本原理解决线性规划的相关问题线性规划（Linear Programming）是一种常见的最优化方法，旨在找到一组变量的最佳取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件的前提下取得最大或最小值。
它被广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，用于解决各类实际问题。
一、线性规划的基本模型及定义在介绍线性规划的原理之前，首先需要了解线性规划的基本模型和一些相关定义。
1. 目标函数（Objective Function）：线性规划的目标函数是需要进行最大化或最小化的变量，通常用线性函数表示。
以最大化为例，目标函数常用如下形式表示：```max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ```其中，c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件（Constraint）：线性规划的约束条件反映了问题的限制条件，通常为一组线性不等式或等式。
通常表示为：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ```其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，b₁、b₂、...、bₙ为常数。
3. 决策变量（Decision Variable）：决策变量是需要确定取值的变量，它们的取值将会影响到目标函数和约束条件。
常用 x₁、x₂、 (x)表示。
基于以上定义，线性规划的一般形式可以表示为：```max Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ```二、线性规划的解法线性规划问题的解法主要分为图形法、单纯形法和内点法等。
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
人力资源问题的数学模型
⼈⼒资源问题的数学模型⼈⼒资源问题的数学模型【摘要】本篇论⽂解决的是⼀家⼤型软件公司关于⼈⼒资源分配问题以及最佳经济效益问题。
在不同的⽬标任务下，解决软件公司特殊的⼈⼒资源配置问题，并对此做出了具体的分析，并得出了不同优化⽅案。
本论⽂通过对问题进⾏了合理的假设，通过题⽬中的已知限定条件和内在限定条件，对函数进⾏限定及约束，建⽴函数模型；根据运筹学的整数线性规划知识，采⽤优化思想和⽅法对公司⼈⼒资源建⽴数学模型并创造更好的规划⽅案。
考虑到公司各岗位职⼯的变动有⼀定限制，培训有潜⼒员⼯使其升级；降等使⽤低潜⼒员⼯，增加⾃然离去概率；辞退多余劳动⼒，减⼩公司开⽀。
对于问题 1：公司的⽬标是尽量减少辞退职员，因此要充分合理利⽤公司的内部职员，⽐如对员⼯进⾏培训、降职措施。
但当出现伤病意外等特殊事件，必要时可以额外招聘或是找临时⼯。
对于问题 2：公司的政策是尽量减少⽀出，设置奖⾦福利等激励措施来提⾼员⼯⼯作积极性，进⽽创造更多利润，利⽤培训低级员⼯成为⾼级员⼯以及对能⼒⽋佳的⾼级员⼯进⾏降等处理，从⽽达到公司利润最⼤化。
⽽我队对于上述问题将采⽤单纯形法以及MATLAB软件对其求解。
【关键字】整数线性规划优化思想和⽅法⼈⼒资源规划单纯形法⼀、问题的提出⼈⼒资源管理在我国还刚刚起步，为此，我们要进⼀步转变观念，坚持以⼈为本，重视⼈⼒资源开发，完善激励机制，坚强企业⽂化建设和⼈⼒资源管理队伍建设，以实现从传统⼈事管理到现代⼈⼒资源管理的转变，适应社会和经济发展的要求。
搞好⼈⼒资源开发管理⼯作已成为我国企业提⾼核⼼竞争⼒的⼀个重要⽅⾯。
本软件公司拥有以下三类职员：系统分析员，⾼级程序员，程序员。
在当前构成的各类员⼯前提下，并考虑为满⾜今后三年公司对各类职员的需求，见表格：公司会出现跳槽特殊事件等变动，会通过辞退，降等，定期招聘，雇佣临时⼯，额外招聘，培训的⽅式进⾏调整公司出于对企业不同⽬标的追求，提出如下问题：问题⼀：如果公司的⽬标是尽量减少辞退职员。
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基于人力资源安排的整数线性规划模型摘要本文研究的是葡萄酒与酿酒葡萄等级划分、相互关系以及葡萄酒质量评价的问题。
关键词：背景1 问题重述1.1 问题背景人力资源安排对于公司统筹规划，工程项目规划等方面都具有很重要的研究价值。
合理有效的资源安排可以使资源得到最充分的利用，从而使所得利益最大化。
1.2数据集表1 数学系的职称结构及工资情况表2 不同项目和各种人员的报酬标准表3 各项目对专业技术人员结构的要求1.3 提出问题根据上述问题背景即数据，题目要求我们建立数学模型讨论下列问题。
(1)如何合理的分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大？(2) 所有人在一周工作时间有限制的情况下，如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大？2 模型假设1.假设无论技术人员在哪个项目工作，是否工作，当日都可以得到数学系结算的工资。
2.假设四个项目均存在停工情况。
3.假设在C，D两个项目工作的技术人员所开支的管理费由该数学系承担。
3 符号说明4 问题分析4.1 问题一由于人力资源的合理分配往往决定着工程项目的质量和工作者的最大收益。
所以问题一要求我们利用题目中已给的对数学系教师的各项要求来确定一个分配方案，使得工程既能完成，又可以使教师收益最大。
首先，对分配方案进行预估。
主要包括对出动人数，调派方案，数学系每日收益的预估。
这样可以将利用计算机进行运算的结果与预估结果进行对比，从而判断结果是否最优。
然后，建立整数线性规划模型。
我们将求该系每天直接收益最大值的关系式设定为目标函数，并将各项对教师的条件转化为不等式作为约束条件，使得该分配问题成为了一个优化问题。
最后，利用Lingo软件求解模型，得到最优解，得到合理分配方案以及数学系每天获得的最大收益值，将方案与预估方案进行对比观察是否合理。
图1 问题一思路流程图4.2 问题二在问题一的基础上，问题二增加了对不同职称教师工作时间的限制。
所以，我们在问题一建立的整数线性规划模型的基础上，增加了时间变量和对于时间，人员的约束条件。
首先，我们计算得出了所有职称教师的最大工作时间。
将这四种职称教师所能工作的最大工作时间建立向量。
然后，在原有模型的基础上修改目标函数和约束条件。
将时间变量对最大收益与人员和时间的影响体现在各表达式中。
建立新的模型，我们称之为工时限制模型。
最后，通过Lingo软件求解，得到最优解，即符合各项条件的最大收益方案。
5 模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解5.1.1 分配方案预估(1)对出动人数的估计从表1（数学系的职称结构及工资情况），表2（不同项目和各种人员的报酬标准）可以看出，无论教师被调往哪个项目，数学系所得报酬均大于其每日应付工资。
而且，4个项目总共同时最多需要的人数是50人，多于数学系现有人数44人。
所以为实现数学系利益最大化，必须将数学系所有教师派往各个项目。
(2)对调配方案的估计由于四个项目对教师职称有要求，所以我们可以通过观察各职称教师在不同项目的日收益来确定怎样调派教师，从而使数学系获得最大收益。
求各职称教师在不同项目工作时为该系带来的日收益表达式如下：(j 1,2)50(j 3,4)ij ij iijij i p c k p c k =-=⎧⎨=--=⎩ （1）其中，ij p ：表示第i 类技术人员在第j 个项目工作时为该系带来的净收入ij c ：表示i 类型的人被派往j 项目所得费用i k ：表示该系给第i 类技术人员每日所发工资由此我们可以得出ij p 的值如下表所示：表1 各职称教师在不同项目工作时日利润由上表可知，教授，讲师和助教都应尽量调派到B 项目，副教授应尽量调派到C 项目。
所以最后调配后的方案如下所示：表2 预估方案的分配结果W= 25250（元）5.1.2 整数线性规划模型的建立问题一要求我们得到一种方案，使得在满足工程项目的各项要求的基础上，使数学系日收益最大。
所以，我们将数学系每天的直接收益用数学关系式表达如下：W R L Q =--（2）其中，W ：表示该系每日的纯收益 R ：表示该系每日的总收入L ：C ，D 两个项目的专业技术人员每天的开支管理费Q ：表示该公司每天所发给41个专业技术人员的工资总额由题意可知Q 为定量，Q=6*250+8*200+25*170+5*110=7900（元）所以，要使该系每日的纯收益最大，则可写为：44441113507900ij ij ij i j i j c x x MaxW ====--=∑∑∑∑（3）但是还要满足各项工程项目对人员的要求条件，我们将这些条件以数学表达式的形式写出如下：（1）数学系可提供的教师数量条件如下：4116j j x =≤∑ （数学系可提供分配的教授不超过6人） 4218j j x =≤∑ （数学系可提供分配的副教授不超过8人）43 125 jjx=≤∑（数学系可提供分配的讲师不超过25人）44 15 jjx=≤∑（数学系可提供分配的助教不超过5人）（2）项目A对专业技术人员结构的要求。
1121x≤≤（项目A对教授人数的要求）211x≥（项目A对副教授人数的要求）312x≥（项目A对讲师人数的要求）411x≥（项目A对助教人数的要求）4i1 i=18x≤∑（项目A对各类职称教师人数的要求）（3）项目B对专业技术人员结构的要求。
1221x≤≤（项目B对教授人数的要求）221x≥（项目B对副教授人数的要求）322x≥（项目B对讲师人数的要求）422x≥（项目B对助教人数的要求）4i2 i=112x≤∑（项目B对各类职称教师人数的要求）（4）项目C对专业技术人员结构的要求。
122x=（项目C对教授人数的要求）231x≥（项目C对副教授人数的要求）332x ≥ （项目C 对讲师人数的要求） 431x ≥ （项目C 对助教人数的要求）4i3i=114x≤∑ （项目C 对各类职称教师人数的要求）（5）项目D 对专业技术人员结构的要求。
1421x ≤≤ （项目D 对教授人数的要求） 2421x ≤≤ （项目D 对副教授人数的要求） 343x ≥ （项目D 对讲师人数的要求） 440x = （项目D 对助教人数的要求）4i4i=116x≤∑ （项目D 对各类职称教师人数的要求）（6）整数约束ij x z ∈0ij x >最后，我们可以得到最终的整数线性规划模型如下：44441113507900ij ij ij i j i j c x x MaxW ====--=∑∑∑∑（4）4114i1i=1421431441112131416802825s.11512t.j j ij ij j j j j j j x x x z x x x x x x x x ====⎧⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪⎩∈>≤≤≤≤≥≥≥≤∑∑∑∑∑（i=1,2,3,4,j=1,2,3,4） （5）5.1.3 模型求解我们使用lingo 软件，将模型代入求得结果（见附录），整理如下：表3 软件求解后的分配方案A B C D 教授 1 2 2 1 副教授 1 1 5 1 讲师 2 6 6 11 助教 1 3 1 0 总计 5121413下面我们采用灵敏度分析对模型进行检验，参考Lindo 运行的结果得出下表：表4 灵敏度结果表变量11x 12x 13x 14x 21x 22x 23x 24x调派人数 1 2 2 1 1 1 5 1灵敏度 -750 -1250 -1000 -700 -600 -600 -650 -550变量 31x32x33x34x41x42x43x44x调派人数 26611131灵敏度-430 -530 -480 -480 -390 -490 -240 -340W= 25250（元）将灵敏度按由大到小的顺序进行排列：12131114232221243242333431414443x x x x x x x x x x x x x x x x ≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥=≥≥≥=（6）通过将表2与表3，题目中表3进行对比，发现调派人数完全符合各个项目对专业技术人员的要求，软件运算结果也和预估结果相同。
并且，调配方案完全符合灵敏度由大到小的排列顺序。
由此说明，我们建立的模型是合理的，符合实际的。
5.2 问题二的模型建立与求解 5.2.1 工时限制模型的建立 （1）最大工时向量的建立通过计算，我们可以得到：教授的最大工时为24天，副教授最大工时为40天，讲师和助教每天都可以工作，我们将一星期累计工作天数的上限记为Inf 。
将各职称的最大工时放到一星期累计工作天数的上限向量中，得到：[48,125,Inf,Inf]i T =（7）（2）目标函数的修改我们将时间对各项目每天的人数影响因素添加到目标函数中，得到结果如下：7444411113((k)50(k)7900)ij ij ij k i j i j c x x MaxW =====--=∑∑∑∑∑（8）（3）约束条件的的修改我们将时间约束添加在内，在第一问所有约束条件的基础上，添加如下约束条件：①一星期中每天不同项目对教师职称的约束41(k)ij j i x d =≤∑ （第k 天在j 项目的第i 类人不得超过该项目所需总人数） ②各职称教师总数的约束41(k)iij i x b =≤∑ （第k 天在j 项目的第i 类人不得超过第i 类人的总人数） ③一星期中累计工作时间的约束4171(k)j ij i k x T ==≤∑∑ （第i 类人一星期累计工作时间不超过其最大工作时间）综上所述，我们得到最终的工时限制模型为：7444411113((k)50(k)7900)ij ij ij k i j i j c x x MaxW =====--=∑∑∑∑∑411414171421431441112160(k)(k)(k)2s.t.825511j j ij ij ijj i ij i i ij i i k j j j j j j x x z x x d x b x t T x x x x x =======⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩∈>≤≤≤≤≤≤≤≥≤∑∑∑∑∑∑∑（i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,k=1,2,3,4,5,6,7） 5.2.1 模型求解使用lingo 软件求解的结果如下：6 模型的评价与推广6.1 模型的优点（1）高效简便。
采用lingo11专业软件对模型进行求解，使运算更为简便快捷，效率更高；（2）结果可靠。
本文建立的整数线性规划模型和工时限制模型，通过对比预估结果和灵敏度可知，模型可靠实际，结果准确。
(3）模型简单易懂，方法灵活，具有较强的推广性。