平面向量的加法减法和数乘向量
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则平面向量是在平面上具有大小和方向的量，它在数学和物理中都有广泛的应用。
对于平面向量，有一些基本的运算法则需要掌握。
一、平面向量的表示方法表示一个平面向量可以使用坐标表示法或者矢量表示法。
1. 坐标表示法：假设平面上有一个点P，以原点O为起点，连接OP，并将OP表示为一个有向线段，那么OP就是一个平面向量。
通常用大写字母表示向量，比如向量OP可以表示为向量OQ = (x, y)。
2. 矢量表示法：平面向量还可以使用矢量符号表示，比如向量OP 可以表示为向量→OP。
二、平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 加法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的和表示为→AB+→CD，即将两个向量的起点对齐，连接终点即可得到它们的和向量→AD。
2. 减法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的差表示为→AB-→CD，即将被减向量→CD取反，然后按照加法法则相加，即→AB+(-→CD)。
3. 数乘：设有一个平面向量→AB，它与一个实数k的乘积表示为k→AB，即将向量→AB的长度乘以实数k，方向不变。
4. 数量积：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的数量积表示为→AB·→CD，即将两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。
如果→AB和→CD垂直，它们的数量积为0；如果夹角为锐角，它们的数量积为正；如果夹角为钝角，它们的数量积为负。
三、平面向量基本运算法则的性质平面向量的基本运算法则满足一些重要的性质。
1. 交换律：对于加法和数量积来说，交换向量的顺序不改变运算结果，即→AB+→CD = →CD+→AB，→AB·→CD = →CD·→AB。
2. 结合律：对于加法来说，可以将多个向量的和分成多个组，然后先对每组中的向量进行加法运算，再将每组的运算结果进行加法运算，结果是相同的。
3. 分配律：对于加法和数乘来说，分配律成立，即k(→AB+→CD)= k→AB+k→CD，(k+m)→AB = k→AB+m→AB。
平面向量的运算规则
平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量，常用于解决几何问题和物理问题。
为了对平面向量进行运算，我们需要了解平面向量的运算规则。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则，以及向量的共线性和平行性。
一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的加法规则如下：A + A = A + A即向量的加法满足交换律。
二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的减法规则如下：A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。
减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算：A - A = A + (-A)其中，-A表示向量A的反向向量，即大小相等，方向相反。
三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A，它们的数乘规则如下：AA = AA即数乘满足交换律。
数乘后的向量与原向量大小相等，方向与原向量平行或反向。
四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。
对于平面上的两个向量A和A，它们的数量积规则如下：A·A = AA cosθ其中，A·A表示向量A和A的数量积，AA为A和A的模的乘积，θ为A和A之间的夹角。
根据数量积的定义，我们可以得到以下结论：1. 若A·A = 0，则A与A垂直，即A和A互相垂直。
2. 若A·A > 0，则A与A夹角为锐角。
3. 若A·A < 0，则A与A夹角为钝角。
五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A，它们的共线性和平行性判断规则如下：1. 共线性判断：若存在一个实数A，使得A = AA，则A与A共线，且方向相同或相反。
2. 平行性判断：若A与A共线且方向相同或相反，则A与A平行。
总结：平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。
其中，加法满足交换律，减法不满足交换律，数乘满足交换律。
数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。
同时，共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
Page ▪ 5
5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
Page ▪ 33
33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
7.2-平面向量的加法、减法和数乘向量
a
交换律：
ab
总结： 向量的加法满足交换律与结合律。
ba
结合律：
a b c a b c
典例分析
例2：如图所示，已知 a， b，用向量加法的三角形 法则 作和向量a b。
a b
（1）
解析： 作AB a， BC b；
A B
C
a b AB BC AC
D O A B
C
练习3
如图所示，已知O是正六边形ABCDEF的中心， 则：
A F O E
（ 1 ） OA OC ______ OB ；
（2） BC EF ______ 0 ；
B
0 ； （ 3） OA FE ______
D C （4） AB BC CD DE EF FA ________ 0 。
（1）用向量加法的平行四边形法则作出 箭尾所受两个方向力F1、F2的合力F。 （2）如果力F1、F2的大小为100N，它 们的夹角为90°，则它们的合力F的大小 是多少？
典例分析
例3：如图所示，已知a， b，用向量加法的平行四边 形法则作和向量a b。
b
a
A
C
D
B
在平面内任取一点 A， 作AB b， AC a， 解： 以AC、AB为邻边作平行四边形 ABDC，
(3)b / / a(a 0)是b a成立的什么条件?
成立 充要
41
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量的运算法则是指在平面向量的加法、减法和数乘运算中遵循的规则和原则。
这些法则是基于平面向量的定义和性质而得出的，能够帮助我们简化向量计算和解决与向量相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的加法、减法和数乘运算法则，以及运用这些法则解决实际问题的方法。
一、平面向量的定义平面向量是指在平面上有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用大写字母表示，例如A、B等。
平面向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以表示复杂的数学概念，如几何矢量、向量函数等。
二、平面向量的加法法则1. 三角形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A的末端画出向量B，则以A为起点、B的末端为终点的直线段就表示了平面向量A+B。
2. 平行四边形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A 的末端画出平行于B的直线段，则以A为起点、B的终点为终点的直线段就表示了平面向量A+B。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意平面向量A、B和C，有：A+B=B+A （交换律）(A+B)+C=A+(B+C) （结合律）三、平面向量的减法法则平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有两个平面向量A和B，要计算A-B，可以先求出B的相反向量-B，然后将A与-B相加，即可得到A-B。
四、平面向量的数乘法则设有一个平面向量A和一个实数k，要计算kA，可以将向量A的长度乘以k，并保持与A同向或反向（根据k的正负确定）。
得到的新向量kA的长度是原向量A的长度的k倍，方向与A相同或相反。
数乘运算满足分配律和结合律，即对于任意平面向量A和B，以及任意实数k和m，有：k(A+B)=kA+kB （分配律）(km)A=k(mA) （结合律）五、平面向量运算法则的应用平面向量运算法则在解决与向量相关的问题时具有广泛的应用。
应用这些法则可以帮助我们简化向量运算过程，提高计算的准确性和效率。
1. 合成与分解：利用平面向量的加法法则，可以将一个向量表示为若干个已知向量的和，这称为合成。
平面向量的基本运算总结
平面向量的基本运算总结平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。
在数学和物理学中，平面向量的运算是十分重要的。
本文将对平面向量的基本运算进行总结，包括向量的加法、减法、数乘以及数量积等。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足以下几个性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：对于任意向量 A，有 A + 0 = A2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即 A - B = A + (-B)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
向量的数乘满足以下性质：- 结合律：k(A + B) = kA + kB- 分配律：(k + l)A = kA + lA- 分配律：k(lA) = (kl)A- 数乘零向量：0A = 04. 数量积数量积（也称为点积或内积）是向量的一种运算，结果为一个实数。
数量积可以通过向量的坐标表示为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和向量 B 的模，θ 表示两个向量之间的夹角。
数量积满足以下性质：- 交换律：A·B = B·A- 分配律：A·(B + C) = A·B + A·C- 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)5. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算得到。
向量的模记作 |A|。
单位向量是指模为 1 的向量。
可以通过将向量除以其模来得到单位向量，即 u = A/|A|。
6. 运算实例以下是一些平面向量运算的实例：- 已知向量 A = (3, 4)，B = (-2, 1)，求 A + B。
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。
下面将对这些运算进行详细介绍。
一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。
它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。
设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。
例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。
四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。
向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算在数学中，平面向量是指具有大小和方向的有序对。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
本文将为您详细介绍平面向量的基本运算。
一、加法运算平面向量的加法运算指的是将两个向量相加得到一个新向量。
设有向量A和向量B，其加法运算规则如下：A = (A1, A2)B = (B1, B2)则A + B = (A1 + B1, A2 + B2)在几何上，向量A表示从原点出发的箭头，向量B表示从同一起点出发的箭头，A + B则表示连接两个箭头的箭头，也就是从原点到终点的有向线段。
二、减法运算平面向量的减法运算指的是将一个向量减去另一个向量，得到一个新向量。
设有向量A和向量B，其减法运算规则如下：A = (A1, A2)B = (B1, B2)则A - B = (A1 - B1, A2 - B2)减法运算的结果是从向量A的终点指向向量B的终点所得到的向量，即连接两点的有向线段。
三、数量乘法平面向量的数量乘法指的是将向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新向量。
设有向量A和实数k，数量乘法运算规则如下：A = (A1, A2)k为实数则kA = (kA1, kA2)数量乘法运算的结果是改变向量的大小但不改变其方向。
四、点乘法平面向量的点乘法（也称为内积或数量积）是一种将两个向量相乘得到一个实数的运算。
设有向量A和向量B，其点乘法运算规则如下：A = (A1, A2)B = (B1, B2)则A·B = A1B1 + A2B2点乘法运算的结果是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
五、运算性质1. 加法的交换律：A + B = B + A2. 加法的结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 减法的定义：A - B = A + (-B)4. 数量乘法的分配律：k(A + B) = kA + kB5. 数量乘法的结合律：(kl)A = k(lA)6. 点乘法的交换律：A·B = B·A7. 点乘法的结合律：(kA)·B = k(A·B)8. 点乘法与加法的分配律：A·(B + C) = A·B + A·C这些运算性质在解决平面向量运算的过程中起着重要的作用，可以简化运算过程，并帮助我们更好地理解向量的几何意义。
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算平面向量是描述平面上的有向线段的数学工具，具有大小和方向。
在平面向量的运算中，常见的操作包括向量的加法、减法、数量乘法和除法。
下面将详细介绍平面向量的运算方法。
一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量的对应元素进行相加的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的和为向量C = (x1 + x2, y1 + y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的和。
解：向量A和向量B的和为向量C = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。
二、平面向量的减法平面向量的减法是将两个向量的对应元素进行相减的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的差为向量C = (x1 - x2, y1 - y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的差。
解：向量A和向量B的差为向量C = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘法运算。
设有向量A = (x, y)和实数k，则向量A乘以实数k的结果为向量B = (kx, ky)，即向量A的每个元素分别乘以实数k。
例子：已知向量A = (3, 4)，求向量A乘以实数2的结果。
解：向量A乘以实数2的结果为向量B = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。
四、平面向量的除法平面向量的除法并没有直接定义，因为除法运算在平面向量中没有明确的意义。
平面向量的运算主要是通过加法、减法和数量乘法来实现。
如果需要进行向量的除法运算，一般可以通过乘以倒数的方式来实现。
即将除法转化为乘法运算。
例子：已知向量A = (4, 6)，求向量A除以实数2的结果。
解：向量A除以实数2的结果可以通过将实数2转化为倒数的方式来实现，即向量A除以实数2可以表示为向量A乘以实数1/2。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则
平面向量是代表平面上的位移或者力的理论对象，是数学中的一个基本概念。
而对于平面向量的运算法则，我们通常会涉及到加法、减法、数乘、数量积、向量积等内容。
下面将详细介绍平面向量的运算法则。
1. 向量的加法
两个向量相加的结果是一个新的向量，其方法是将两个向量的起点相同，然后将两个向量的箭头相连，新向量的箭头指向这两个箭头的相连处。
若将两个向量分别表示为a和b，则它们的和向量c=a+b。
2. 向量的减法
两个向量相减的结果是一个新的向量，其方法是将两个向量的起点相同，然后将被减向量的箭头逆向，再将两个向量的箭头相连，新向量的箭头指向这两个箭头的相连处。
若将两个向量分别表示为a和b，则它们的差向量c=a-b。
3. 向量的数乘
数k与向量a的乘积，记作ka，表示将向量a的长度乘以k倍，方向不变。
若k>0，则ka与a同向；若k<0，则ka与a反向。
4. 向量的数量积
向量a与向量b的数量积，记作a·b或者ab，是一个标量，表示a 与b的长度之积再乘以它们夹角的余弦值。
如果a=(x₁, y₁)、b=(x₂, y₂)，则a·b = x₁x₂ + y₁y₂。
5. 向量的向量积
向量a与向量b的向量积，记作a×b，是一个向量，其大小是a与b 围成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b构成的平面，方向满足右手螺旋定则。
以上就是关于平面向量的运算法则的介绍，这些运算法则在解决平面向量相关问题时非常重要，希望可以对你有所帮助。
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则在数学中，平面向量是指一个既有大小（长度）又有方向的量。
平面向量具有独特的运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
下面将详细介绍平面向量的基本运算法则。
一、平面向量的表示平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小（长度），箭头所指的方向表示向量的方向。
常用的表示方法为使用字母加箭头或使用粗体字母表示向量，如向量a可以表示为"a->"或"a"。
二、平面向量的加法1. 平面向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 平面向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 平面向量的加法可以利用三角形法则进行计算。
将两个向量首尾相接，连接起来形成一个三角形，以第一个向量的起点和第二个向量的终点作为相加后向量的起点，以第一个向量的终点和第二个向量的起点作为相加后向量的终点。
相加后向量的大小等于三角形的长，方向与三角形最短边的方向相同。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为加法的逆运算。
用b减去a，即b - a，可以转化为b + (-a)。
其中，-a称为向量a的负向量，它的大小与a相等，方向相反。
四、平面向量的数量乘法1. 数量乘法即将向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。
数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a，其中k和l为实数。
2. 如果k为正数，数量乘法会改变向量的大小，但不改变其方向；如果k为负数，数量乘法会改变向量的大小，并将其方向取反；如果k 为0，则结果向量为零向量。
3. 数量乘法的计算方法是将实数与向量的模长相乘，再将结果的方向与原向量保持一致。
五、平面向量的点乘法1. 平面向量的点乘法又称为数量积或内积，表示为a · b。
2. 点乘法的结果是一个标量（实数），而不是一个向量。
3. 点乘法的结果等于两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即a · b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
平面向量及其运算
平面向量及其运算平面向量是指在平面上用箭头表示的量，具有大小和方向。
在数学中，平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
一、向量的表示平面向量通常用有箭头的字母表示，例如a、b等。
向量的起点为初始点，箭头的指向表示向量的方向。
向量的大小可以用线段的长度来表示。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相接，然后连接起点和终点的线段就是它们的和向量。
加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
三、向量的减法向量的减法是指将被减向量反向后与减向量相加。
减法可以转化为加法的形式，即a - b = a + (-b)。
四、数量乘法向量与一个实数相乘，称为数量乘法。
数量乘法改变向量的大小和方向。
当实数为正数时，向量与实数的乘积与向量的方向相同；当实数为负数时，向量与实数的乘积与向量的方向相反。
五、向量的点积向量的点积是指相互垂直的两个非零向量的数量积。
点积的结果是一个实数。
设a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则a·b = a1 * b1 + a2 * b2。
六、向量的运算性质1. 向量加法满足交换律和结合律。
2. 数量乘法满足结合律和分配律。
3. a·b = b·a，a·(kb) = k(a·b)，(a + b)·c = a·c + b·c。
七、平面向量的应用平面向量在几何、物理等学科中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 平面向量可以用来描述物体在平面上的位移和速度。
2. 平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而研究物体在平面上的受力情况。
3. 平面向量可以用来解决几何问题，如判断线段是否平行、垂直等。
总结：平面向量是具有大小和方向的量，在数学中有着广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和向量点积。
通过理解和掌握向量的运算法则，我们可以更好地应用平面向量解决问题，在几何、物理等领域中有着重要的作用。
2022届高三数学第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a≠0，b≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P 点坐标为.3．已知△ABC 的重心为G ，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则G .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1) D [由题意可知P 1P 2→＝(3，－3)． 若P 1P →＝13P 1P 2→，则P 点坐标为(2,2)；若P 1P →＝23P 1P 2→，则P 点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝________.－12[由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)， 得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.]4．已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y)，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.]考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．是将OB →[典例1] 如图，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b)－23b ＝2a －53b.(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b)－λa＝(2－λ)a－b ，DC →＝2a －53b.所以(2－λ)a－b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b .因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D ，E ，C 三点共线为切入点，借助EC →∥DC →及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设OE →＝xOD →＋(1－x)OC →，利用OA →＝12OB →＋12OC →及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA→＋vOB →成立，且u ＋v ＝1.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v＞0，u ＋v ＞1.∵1＋2＞1，∴点P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]考点二 平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，①求3a ＋b －3c ；②求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标． (1)D [以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.] (2)[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN →＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四边形ABCD 中，A(1,2)，B(－2,0)，AC →＝(2，－3)，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1) B ．(－6，－1) C ．(0，－3)D ．(0,3)A [AB →＝(－3，－2)＝DC →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →－AB →＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]若AC→2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.85[法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC→＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m ＋1，m)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.点评：熟记两向量a ，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) [法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA→＝(－2,6)， 由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二：设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC 与OB 的交点为P”，实际上变相告知“A，P ，C 三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a ＝(1,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，若c 为单位向量，且c ∥(a －2b)，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22B [由题意可知a －2b ＝(－3,4)，又c ∥(a －2b)，∴c ＝λ(－3,4)，即c ＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A(3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．(－3，－6) [设B(x,2x)，则AB →＝(x －3,2x)． ∵AB →∥a ，∴x －3＝2x ，即x ＝－3. ∴B(－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用 平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP →＝λOA →＋μOB →，当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP →＝xOM→＋yON →，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：OM →＝kOA →，ON →＝kOB→⎝ ⎛⎭⎪⎫其中k ＝|OM||OA|， 则OP →＝xOM →＋yON →＝kxOA →＋kyOB →，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k(x ＋y)＝k.把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线． 等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数.[技法展示] (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3ABAB＝3，故选A.][评析] 应用等和线解题的步骤 (1)求k ＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． [技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[3,4] [当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]．]2.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC→＝xOA→＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．[1,3] [OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP →＝mAB→＋nAF →(m ，n 为实数)，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5] C [随着动点圆心Q 在线段CD(含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G(P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H(P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2. 此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5. 此为m ＋n 的最大值．综上可知，m ＋n ∈[2,5]．]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教案序号授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日授课班级授课时间年月日
课时 1 授课形式复习课
授课章节
名称
§7.2平面向量的加法、减法和数乘向量
内容分析
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广的思想、类比的思想、数形结合的思想等，同时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。
学情分析学生已经学过平面向量的知识，为本课内容的学习做了铺垫。
教学目标
进一步巩固向量的加法运算性质，向量的减法运算性质教学重点向量的加法与减法的意义与几何运算
教学难点向量的加法与减法的意义与几何运算
教学资源
分析
多媒体、尺规课外作业
板书设计
平面向量基本定理
一、复习引入
二、讲解范例
例1：
例2：
教学后记
课堂教学安排
教学程序时间分配教学内容与师生互动
教学方法
设计意图
导入2min
新授33min 一、复习：
1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
二、讲解范例
例一、设a表示“向东走3km”，b
表示“向北走3km”，
则a + b表示向东北走2
3km
解：OB= OA+AB；
2
3
3
32
2=
+
=
OB(km)
例二、
例三、试用向量方法证明：对角线互
相平分的四边形是平行四边
形。
证：由向量加法法则：
AB= AO+OB, DC= DO+OC
由已知：AO=OC, DO=OB
∴AB=DC即AB与CD 平行且相等
∴ABCD为平行四边形
B
a+b b
O a A
例四、在正六边形中，若OA = a ,
OE = b ，试用
向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。
解：设正六边形中心为P 则
=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b + a
=+=PC OP OC a + b + a + b
由对称性：OD = b + b + a
三、 “备用题”：
例一、化简FA BC CD DF AB ++++ 解：
FA
BC CD DF AB ++++=
FA DF CD BC AB ++++
=FA DF CD AC +++=FA DF AD ++=
A B
D C
O
A B
O P C
E F
FA AF += 0
例二、在静水中划船的速度是每分钟40，
水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？
解：如图：船航行的方向是
与河岸垂直方向成30︒夹角， 即指向河的上游。
四、 小结
本节课复习了向量的有关概念、向量的加法、向量的减法及其简单的综合应用
五、 作业：上述三课中的练习部分
A B D C 30︒ 上游
下游。