有限元理论与方法

第一章 绪论有限元发展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书内容提供了有限元法的理论基础。

美国的、 、 和等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。

美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。

1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。

有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。

这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。

有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为基本未知数力 法——取节点力作为基本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。

{}[]{}e u N δ= (1)3、分析单元的力学特性（1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元内任一点的应变列阵 (2)非线性有限元线性有限元几何非线性 材料非线性有限元（2）利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式{}[][]{}[]{}eD D δδε=B = (3) {}δ是单元内任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程（平衡方程）[]{}{}e e K R δ=4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。

5、组装总刚度阵，建立结构的平衡方程有两方面内容：①组装总刚 ②组装总的载荷列阵得到：[]{}{}K R δ=6、求解结点的位移和计算单元应力第二章 有限元法的理论基础—加权余量法和变分原理本章要点● 微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。

● 不同形式的加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及伽辽金（Galerkin ）方法的特点。

● 线性自伴随微分方程变分原理的构造方法和泛函数的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。

● 经典里兹（Ritz ）方法的求解步骤、收敛性及其局限性。

● 两种形式的虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。

●从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径和各自的性质，以及场函数事先应满足的条件。

引言在工程和科技领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们可以给出它们的数学模型，即应遵循的基本方程（常微分方程和偏微分方程）和相应的定解条件。

但能用解析的方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，且几何形状相当规则的情况。

对于大多数问题，由于方程的非线性性质，或由于求解域的几何形状比较复杂，则只能采用数值方法求解。

20世纪60年代以来，随着电子计算机的出现，特别是最近20年来软、硬件技术的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题功能强大的有力工具。

已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。

一类是以有限差分法为代表，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。

一个问题的有限差分法的求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。

当采用较密的网格，即较多的节点时，近似解的精度可以得到改进，借助于有限差分法，能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间坐标（欧拉（Euler）坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势。

因此在流体力学领域内，至今仍占支配地位。

但是对于固体力学的问题，由于方程通常建立于固结在物体上的坐标系（拉格朗日（Lagrange）坐标系）和形状复杂，则采用另一种数值分析方法——有限元法则更为适合。

有限元方法的要点和特性已在节中阐明。

从方法的建立途径方面考虑，它区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。

等效积分的一般形式是加权余量法，它适用于普遍的方程形式。

利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，例如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值分析方法。

如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函数的变分。

相应的近似解法实际上是求解泛函的驻值问题。

里兹法就属于这一类求解法。

有限元法区别于传统的加权余量法和求解泛函驻值的变分法，该法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。

这样就克服了在全域上假设近似函数所遇到的困难，是近代工程数值分析方法领域的重大突破。

在章，节分别讨论作为有限元法理论基础的加权余量法和变分原理，以及建立于它们基础上的数值计算方法。

节扼要地引述作为今后主要分析对象的弹性力学问题的基本方程和与其等效的两个变分原理——最小位能原理和最小余量原理。

微分方程的等效积分形式和加权余量法1.2.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示未知函数u 应满足的微分方程组12()(()0A u A u A u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=•=⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎣⎦） （在Ω内） （） 域Ω可以是体积域、面积域等，如图所示。

同时未知函数u 还应满足边界条件12(u u (u 0B B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=•=⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎣⎦）（）） （在Γ内） （） Γ是域Ω的边界。

要求解的未知函数u 可以是标量场（例如温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。

A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。

微分方程数应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个方程，也可以是一组方程。

所以在式（）和式（）中采用了矩阵形式。

下面给出一个典型的微分方程，以后好要寻求它的解答。

图 域Ω和边界Γ例1.1 二维稳态热传导方程 ()()()0A k k Q x x y y φφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω内） q 0(()0B k q nφφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩在上）（在上） （） 这里φ表示温度；k 表示热传导系数；φ和q 分别是边界φΓ和q Γ上温度和热流的给定值；n 是有关边界Γ的外法线方向；Q 是热源密度。

在上述问题中，若k 和Q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。

若k 和Q 亦是φ及其导数的函数时，问题就是非线性的了。

由于微分方程组（）在域Ω中的每一个点都必须为零，因此就有1122(u)(u u )0T v A d v A v A d ΩΩΩ≡+Ω≡⎰⎰（）（）+ （）其中 12v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=•⎢⎥•⎢⎥⎢⎥•⎣⎦是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。

（）式是域微分方程组（）完全等效的积分形式。

可以断言，若积分方程（）对于任意的v 都能成立，则微分方程必然在域内任一点都得到满足。

这个结论的证明是显然的，假如微分方程A(u)在域内某些点或一部分子域中不满足，即出现A(u)≠0，马上可以找到适当的函数v 使积分方程（）亦不等于零。

因此上述结论得到证明。

同理，假如边界条件（）亦同时在边界上每一个点都得到满足，则对于一组任意函数v ，下式应当成立。

1122(u)((u)+(u)+)d 0T v B v B v B ΓΓΓ≡Γ≡⎰⎰d 因此，积分形式 (u)d +(u)0TT v A v B ΩΓΩΓ=⎰⎰d 对于所有的v 和v 都成立是等效于满足微分方程（）和边界条件（）。

我们将（）式称为微分方程的等效积分形式。

在上述讨论中，隐含地假定（）式的积分是能够进行计算的。

这就对函数v 、v 和u 能够选取的函数族提出一定的要求和限制，以避免积分中任何项出现无穷大的情况。

在（）式中，v 和v 只是以函数自身的形式出现在积分中，因此对v 和v 的选择只需是单值的，并分别在Ω内和Γ上可积的函数即可。

这种限制并不影响上述“微分方程的等效积分形式”提法的有效性。

u 在积分中还将以导数或偏导数的形式出现，它的选择将取决于微分算子A 或B 中微分运算最高阶次。

例如有一个连续函数，它在x 方向有一个斜率不连续点如图所示。

图 具有0C 连续性的函数设想在很小的一个区间∆中用一个连续变化来代替这个不连续。

可以很容易看出，在不连续带你附近，函数的一阶导数是不定的，但是一阶导数是可积的，即一阶导数的积分是存在的。

而在不连续的点附近，函数的二阶导数趋于无穷，使积分不能进行。

如果微分算子A 中仅出现函数的一阶导数(边界条件算子B 中导数的最高阶数总是低于微分方程的算子A 中导数的最高阶导数)，上述函数对于u 将是一个合适的选择。

一个函数在域内基本连续，它的一阶导数具有有限个不连续点但在域内可积，这样的函数称之为具有0C 连续性的函数。

可以类推地看到，如果在微分算子A 出现的最高阶导数是n 阶，则要求函数u 必须具有连续的n-1阶导数，即函数应具有1n C -连续性。

一个函数在域内，函数本身（即它的零阶导数）直至它的n-1阶导数连续，它的第n 阶导数具有有限个不连续点，但在域内可积，这样的函数称之为具有1n C -连续性函数。

具有1n C -连续性的函数将使包含函数直至它的n 阶导数的积分成为可积。

1.2.2等效积分的“弱”形式在很多情况下可以对（）式进行分部积分得到另一种形式 T T (u d (u C D E F ΩΓΩ+Γ⎰⎰（v ））（v ））d =0 （） 其中C ，D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（）式的A 低，这样对函数u 只需要求较低的连续就可以了。

在（）式中降低u 的连续性要求是以提高v 及v 的连续性要求为代价的，在式（）式中并无连续性要求。