初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。

下面以几道题目为例加以说明。

1. 有弦，可作弦心距

在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用

于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, O O的弦AB、CD相交于点P,

且AC=BD。求证：PO平分/ APD。

=> OE=OF ]

/ OEP= / OFP=90 °=> △OPE^A OPF

0OP=OP

=> / OPE= / OPF => PO 平分/ APD

分析2:如图1-1，欲证PO平分/ APD，即证

分析1：由等弦AC=BD可得出等弧AC BD,

进一步得出A B = C D，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦

心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线丄CD,易

证△ OPE^A OPF,得出PO平分/ APD。

证法1 :作OE丄AB于E, OF丄CD于F

(=>(=

AB CD

AC=BD A C B D=> AB=CD

OE丄AB, OF

/ OPA= / OPD，可把/ OPA与/ OPD构造在两个

三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线

即半径OA，OD，因此易证△ ACP^A DBP,得AP=DP，从而易证△ OPAOPD

O

D

P B

图1-1

证法2:连结OA, OD。

/ CAP= / BDP

/ APC= / DPB => △ACP^A DBP

AC=BD

=>AP=DP、

OA=O D => △ OPAOPD => / OPA= / OPD =>PO 平分/ APD OP=OP J

2. 有直径，可作直径上的圆周角

对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。

例2 如图2,在厶ABC中，AB=AC ,

以AB为直径作O O交BC于点D，过D 作O O的切线

DM交AC于M。求证DM丄AC

图2

分析：由AB是直径，很自然想到其所

对的圆周角是直角。于是可连结 AD ，得/ ADB=Rt /,又由等腰三角形性质可得/ 仁 / 2，再由弦切角的性质可得/ ADM= / B ,故易证/ AMD= / ADB=90 °从而DM 丄

AC 。

证明连结AD 。

AB 为O O 的直径 => / ADB=Rt /

AB=AC

DM 切O O 于D => / 1+ / B= / 2+ / ADM => / AMD= / ADB= Rt / => DM 丄 AC

说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。

3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦

例3 如图3,AB 是O O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB , DC 切O O 于

C 点。求/ A 的度数

分析：由过切点的半径垂直于切线， 于是可作辅助线即半径 OC ,得Rt A, 再由解直角三

角形可得/ COB 的度数， 从而可求/ A 的度数。

解：连结OC

DC 切O O 于 C => / OCD=90 °

OC=OB=BD

=> / A=1/2 / COB=30 °

说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径 例4 如图4,已知△ ABC 中，/ 1= /

2,

圆0过A 、D 两点，且与BC 切于D 点

求证 EF//BC 。 => / ADM= / B

=> COS / COD=OC/OD=1/2 => / COB=60° D

C

分析：欲证EF//BC，可找同位角或内错角

是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE，得一对内错角/ BDE与/ DEF, 由圆的性质可知这两个角分别等于/ 1和/2，故易证EF//BC o

证明连结DE o

BC 切O 0 于D => / BDE= / 1 ]

/ 2= Z DEF => / BDE= / DEF =>EF//BC

/ 1= Z2 丿

说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。

4. 当两圆相切，可作公切线或连心线

例5 已知：如图5,0 O i与O 02外切于点P,过P点作两条直线分别交O O i与

O 02于点A、B、C、D o 求证PB?PC=PA?PD o

分析：欲证PB?PC=PA?PD,即证PA : PB=PC : PD,

由此可作辅助线AC、BD,并证AC//DB，要证平行，需证一对内错角相等，如Z C= Z D,然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN , 从而问题迎刃而解。

证明连结AC、BD,过P点作两圆的内公切线MN

/ BPN=Z D

/ / A =>

Z APM= Z BPN

-Z

=> AC//DB => PA : PB=PC : PD => PB 中C=PA中D

说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。

例6已知：如图6，O O i与O 02内切于点「经过

切点T的直线与O O i与O 02分别相交于点A和B

求证TA : TB=0i A : O2B o

分析：欲证TA : TB=0i A : O2B，可考虑证这四条线段

所在的三角形相似，即证△ TO i ATO2B,于是只需连结O2O1，并延长，必过切点，则产生△ TO i A和厶TO2B,由/ 1= Z 2= Z T,贝U O i A〃O 2B,易证线段比相等。

证明连结并延长O2O1

O O i 和O O2内切于点=T °2。1必过切点

O i A=O i T => Z 1= Z T

=> 1= Z 2 => O i A// O2B

O2T= O2B => Z 2= Z T => △ TO i ATO2B => TA : TB=O i A : O2B 说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线

5 .当两圆相交，可作公共弦或连心线。

例7 如图7,0 O i与O 02相交于A、B 两点，过A点作O 02的切线交O O i于点C, 直线CB交O 02于点D, DA延长线交O O i 于点E,连结CE。求证CA=CE。

=>

Z C=Z D