(整理)多元函数的极值及其求法

第六节 多元函数的极值及其求法

在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.

内容分布图示

★ 引例 ★ 二元函数极值的概念 例1-3

★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件

★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5

★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7

★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11

★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12

★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16

*数学建模举例

★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6-6 ★ 返回

内容提要：

一、二元函数极值的概念

定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果

),,(),(00y x f y x f <

则称函数在),(00y x 有极大值；如果

),,(),(00y x f y x f >

则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.

定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即

.0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1)

与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.

定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导

数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y 令

.),(,),(,

),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx === (1) 当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，

且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0

(2) 当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;

(3) 当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值.

根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：

第一步 解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；

第二步 求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.

二、二元函数的最大值与最小值

求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为:

（1）求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值;

（2）求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值;

（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数),(y x f 在D 内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在D 上的最大值（最小值）.

三、条件极值 拉格朗日乘数法

前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

拉格朗日乘数法

设二元函数),(y x f 和),(y x ϕ在区域D 内有一阶连续偏导数，则求),(y x f z =在D 内满足条件0),(=y x ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数

),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=

（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.

于是，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：

(1) 构造拉格朗日函数

),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=

其中λ为某一常数;

(2) 由方程组

⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0

),(,0),(),(,0),(),(y x L y x y x f L y x y x f L y y y x x x ϕλϕλϕλ

解出λ,,y x , 其中x , y 就是所求条件极值的可能的极值点.

注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.

拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形:

四、数学建模举例

例题选讲：

二元函数极值的概念

例1（讲义例1） 函数2232y x z +=在点(0, 0)处有极小值. 从几何上看，

2232y x z +=表示一开口向上的椭圆抛物面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-1）.

例2（讲义例2）函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值. 从几何上看，2

2y x z +-=表示一开口向下的半圆锥面，点)0,0,0(是它的顶点.（图7-6-2）. 例3（讲义例3）函数2

2x y z -= 在点(0,0)处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）

例4（讲义例4）求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.

例5 证明函数y y ye x e z -+=cos )1(有无穷多个极大值而无一极小值.

二元函数的最大值与最小值

例6（讲义例5）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x

上的最大值和最小值.