(完整版)交流电机坐标变换
交流电机坐标变换
a n 2 a 2 ( n 2 )
1
1 a a2 a n 1
1 1 1 1
这个变换矩阵将使置换矩阵π变成如下的对角矩阵：
a n 1 0 0 a n 2 D F 1πF 0 0 0 0
0 0 a 0
这时，变换矩阵满足条件
T1 (T* )T
既逆变换矩阵等于变换矩阵的共轭矩 阵的转置。
2-3.2 F、B、0坐标系统
如在变换矩阵的一般化中所述，变换矩阵也可以取为：
e j F a 2e j ae j
e j ae j a 2e j
1 1 1
如果上式中的θ就是转子的位置，则这个变换与120变换的 区别在于：120变换将坐标轴固定在定子轴线上，而FB0变 换则将坐标轴固定在转子上。
因此变换矩阵为：
2 F 2 2 2
3 1 3 1 3 3 1
为保证变换矩阵的可逆，上式中
2 / 3 2 / 3
2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统
1、2、0坐标系统 F、B、0坐标系统
2-3.1: 1、2、0坐标系统
LS 0 L M S 0 M S0
M S0 LS 0 M S0
M S0 M S0 LS 0
它的特征根由一个单重根λ1和一个两重根λ2构成：
1 LS 0 2 M S 0 2 3 LS 0 M S 0
与这三个特征根对应的特征向量
3 1 2 X1 1 , X 2 2 , X 3 3 2 3 1 2 3
这样的矩阵称为循环矩阵。n阶循环矩阵只有n个不同的元素：
dq坐标变换数学原理解析
dq坐标变换数学原理解析
3.2 坐标变换和动态数学模型的简化
上节中虽已推导出异步电机的动态数 学模型，但是，要分析和求解这组非线性 方程显然是十分困难的。在实际应用中必 须设法予以简化，简化的基本方法是坐标 变换。
一、 坐标变换的基本思路
直流电机的数学模型比较简单： • 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电 刷接到端接板上，因此，电枢磁动势的轴线始终被电 刷限定在 q 轴位置上，其效果好象一个在 q 轴上静止 的绕组一样。
由于进行坐标变换的是电流（代表磁动势） 的空间矢量，所以这样通过坐标变换实现的控 制系统就叫作矢量控制系统（Vector Control System）。
3.3.2 异步电动机在按转子磁场定向的 MT同步旋转坐标系中的数学模型
❖ 上述是矢量控制的基本思路，其中的矢 量变换包括三相/两相变换和同步旋转 变换。在进行两相同步旋转坐标变换时，
此方法也同样适用于电压和磁链的变换。
• 变换过程
3/2变换
C2s/2r
ABC坐标系
坐标系
dq坐标系
三、异步电动机在、静止坐标系上的
数学模型
把异步电机在三相
β
静 止 ABC 坐 标 系 上 的
Rs
数学模型变换到两相
Ls
Lm
坐标系上，由于两相
坐标轴互相垂直，两 相绕组之间没有磁的 耦合，仅此一点，就 会使数学模型简单了 许多。
在这里，不同电机模型彼此等效的原则 是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
（2）等效的两相交流电机绕组
两相静止绕组 和 ，它
们在空间互差90°，通以时间 上互差90°的两相平衡交流电 流，也产生旋转磁动势 F 。
永磁同步电动机(PMSM)三相坐标系的数学模型
永磁同步电动机(PMSM)三相坐标系的数学模型2 PMSM 三相坐标系的数学模型为方便分析起见，将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机，也就是说它符合下列假设：(1) 转子上面没有阻尼绕组；定子中各个绕组的电枢电阻、电感值相等，三相定子的绕组按对称的星形分布；(2) 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计，感应电动势也服从正弦分布；(3) 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变；电机中的涡流、趋肤效应、电机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计；温度与频率不影响电机的参数。
坐标系正方向的选取： (1) 转子逆时针方向旋转为正； (2) 正向电流生出正向磁链；(3) 电压，电流的正方向按照电动机的惯例。
则静止三相坐标系里PMSM 的定子侧电压方程3333s s s s u R i p ψ=⋅+ (4-1)静止三相坐标系里PMSM 的定子侧磁链方程3333()s s s f s L i F ψψθ=⋅+⋅ (4-2) 式中，3A s B C i i i i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3000000s R R R R ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，3A s B C ψψψψ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3A s B C u u u u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3sin ()sin(120)sin(120)s F θθθθ⎡⎤⎢⎥=-︒⎢⎥⎢⎥+︒⎣⎦3331cos120cos 240100cos1201cos120010cos 240cos1201001s m l L L L ︒︒⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=︒︒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭⎝⎭电机统一理论和机电能量转换告诉我们，电机的电磁力矩[37]*I m ()s s e p T n i ψ=- (4-3) 式中，*代表取共轭复数，Im 代表取虚部。
3 PMSMdq 坐标系的数学模型三相交流电机是一个耦合强、非线性、阶次高的多变量系统，它在三相静止的坐标系里的数学模型相当复杂，应用传统的控制策略对其实现交流调速有很大的困难，所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法，采用坐标变换，把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两相直流的绕组，等效变换以后其产生的磁动势相等，系统的变量之间得到了部分的解耦，它的数学模型得到了大大简化，使得对于系统的分析和控制也简化了很多，使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似[52]。
(整理)坐标变换的原理和实现方法
由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为：（3-8）如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新电流i′,根据电流变换的定义式(3-2)，式(3-8)具有i′=c-1i的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于isα和isβ的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为：（3-9）式中，k为待定系数。
三相永磁同步电机坐标变换推导
一、概述如今，在工业界中，三相永磁同步电机因其结构简单、运行稳定、效率高等特点成为了一种常见的电机类型。
而电机的控制则是保证电机能够稳定高效运行的关键。
掌握三相永磁同步电机的控制原理对于工程师来说至关重要。
在三相永磁同步电机的控制中，坐标变换技术是一种常用的数学方法，通过坐标变换可以将三相电机的控制问题转换为直流电机控制问题，从而简化了控制器的设计。
二、三相永磁同步电机的数学模型1. 三相永磁同步电机是一种特殊的同步电机，它的定子绕组被连接到一个三相交流电源上。
它的转子上装有永磁体，因此在没有机械负载情况下依然能够产生恒定的磁场，这使得电机具有较高的效率和响应速度。
2. 为了完成对三相永磁同步电机的控制，我们需要建立其数学模型。
假设电机有a、b、c三个定子绕组，每个绕组的电流分别为ia、ib、ic，电机的磁链为Ψ，电机的控制变量为u，那么电机的数学模型可以表示为：其中，Ld和Lq分别表示d轴和q轴上的电感，ψp是永磁体的磁通，M是电机的磁链，J是电机的转动惯量，B是电机的阻尼系数，Te为电机的电磁转矩。
三、坐标变换推导1. 在三相永磁同步电机的控制中，我们通常使用dq坐标系来描述电机的运动状态。
在dq坐标系中，d轴与永磁体的磁通方向一致，q轴与d轴垂直。
通过dq坐标变换可以将三相电机的控制问题转换为直流电机的控制问题。
2. 我们可以通过以下的数学推导来实现坐标变换：在直角坐标系下，电机的三相电流可以表示为：假设θ为电机的旋转角度，那么dq坐标系转换可以表示为：在dq轴上，电机的电流可以表示为：通过以上推导，我们可以得到电机在dq坐标系下的控制方程，从而可以实现对电机的控制。
四、结论通过以上的推导，我们可以看到坐标变换技三相永磁同步电机坐标变换推导是电机控制中的关键步骤。
坐标变换可以让我们更方便地对电机进行控制，简化了控制器的设计流程，并且使得控制更加高效和稳定。
在坐标变换的基础上，我们可以进一步推导出电机的控制方程，从而实现对电机的精确控制。
交流电机数学模型与坐标变换
磁链方程
d1 Ls q1 0 d2 Lm q2 0
Lm
0 Ls 0 Lm
Lm 0 Lr 0
0 id1 i Lm q1 0 id2 Lr iq2
0 1 L 1 Te pn I T I pn I T 2 2 Lr S
LSr I 0
10
2017/9/24
交流电机数学模型与坐标变换
浙江大学电气工程学院 代入 I ,
—交流电机调速理论与方法—
I T ,可得
Te = pnLm1[(iAia+iBib+iCic)sinθ+ (iAib+iBic+iCia)sin(θ+120˚)
d c uc ic R2 dt
U RI p
5 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换
浙江大学电气工程学院
—交流电机调速理论与方法—
(2)磁链方程
A LAA B LBA C LCA a LaA L b bA LcA c
—交流电机调速理论与方法—
折算后的定转子匝数相等，磁阻相等 Laa=Lbb=Lcc=Lm1+Ll2
两相间互感： (a) 定子三相彼此之间，转子三相之间彼此间的位置固定，故为常值
(b) 定子任一相与转子任一相间位置总是变化，为θ的函数
(a)类：LAB=Lm1cos120˚=-Lm1/2 LAC=Lm1cos(-120˚)=-Lm1/2 故: LAB=LBC=LCA=LBA=LCB=LAC=-Lm1/2 Lab=Lbc=Lca=Lba=Lcb=Lac=-Lm1/2 (b)类： LAa=LaA=LBb=LbB=LCc=LcC=Lm1cosθ LAb=LbA=LBc=LcB=LCa=LaC=Lm1cos(θ＋120˚) LAc=LcA=LBa=LaB=LCb=LbC=Lm1cos(θ-120˚)
三相坐标系和二相坐标系转换
交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三）第三讲坐标变换的原理和实现方法收藏此信息打印该信息添加：李华德来源：未知由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。
3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。
这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。
假设电流坐标变换方程为：i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。
电压坐标变换方程为：u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。
根据功率不变原则，可以证明：b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。
以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。
3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。
三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。
假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。
电机坐标变换的应用11
坐标变换的应用摘要：坐标变换理论从提出至今已经过去了将近一个世纪，其在电气工程领域被广泛应用，而且其不但在传统的电机矢量控制、瞬态分析领域被广泛采用，而且随着一些新的算法的产生，其在电机故障诊断、电网电能质量监测与控制领域也被采用。
由于其易于将复杂的、高阶的、非线性的、时变的问题得以简化，随着对其研究的深入，其应用范围与前景还将更加广阔。
关键词：坐标变换、矢量控制、瞬态分析、故障诊断、PQ问题一、坐标变换理论的提出坐标变换实质上是数学上的线性变换，电气工程领域的坐标变换理论的提出是有其背景的。
这种原理的基本出发点是：考虑到异步电机是一个多变量、强耦合、非线性的时变参数系统。
因此在20世纪20年代, Park 利用固定于转子上的参考坐标系上的量(如电压、电流、磁链等) 等效代替定子绕组中的量，从而消除了同步电机数学模型中的时变电感。
Park的这一思想一般被称为电机坐标变换理论，引起了电机分析方法的一场革命。
受此影响,Krause于1965 年将感应电机的定、转子绕组的变量同时变换到以任意速度旋转的参考坐标系中，建立了一般化无时变电感的感应电机数学模型【1】。
其实对电机进行分析时，所进行的坐标变换内容是十分丰富的，不但可将静止的坐标系变换到同一空间中另一个旋转的坐标系，或将实平面的坐标系变换到复平面的坐标系，还可以将坐标系统的空间扩展到N维，这都是对电机这种复杂的机电系统分析时所作的对策。
但这里需指出，既然是分析具体问题时提出的电机坐标变换理论，这里的坐标变换就是有约束的，一般有两种制约1）功率不变；2）气隙合成磁动势不变。
一般以第一种最为常用。
电机分析中常用的坐标变换有【2~3】：1）dq0系统及其派生的MT0系统dq0系统基于双反应理论，d轴与转子直轴重合，q轴超前d轴90度，坐标系与转子同向以同步速旋转；MT0左边系统又称磁场定向系统，M轴与电机合成磁场轴线一致，T轴超前M轴90度坐标系与转子同向以同步速旋转。
交流电机坐标变换
三相静止坐标系中的交流电机性能分析
稳态性能分析
在稳态条件下，交流电机的性能可以通过在三相静止坐标 系中测量和计算得到。这包括电压、电流、功率因数、效 率和转矩等参数。
动态性能分析
在动态条件下，交流电机的性能可以通过在三相静止坐标 系中建立动态模型并进行仿真分析得到。这包括启动、调 速、制动等过程的性能表现。
效率分析
电机的效率分析涉及到电机内部损耗和输出功率的比值。在两相旋转坐标系中，可以通过 测量或计算电机的输入电压和电流来评估电机的效率。
调速控制
通过改变施加在电机上的电压或电流，可以在两相旋转坐标系中对交流电机进行调速控制 。调速控制策略通常涉及对d轴和q轴电压或电流的独立控制，以实现电机的平滑调速和 转矩控制。
性能参数
在两相静止坐标系中，可以通过计算 和分析电机的电压、电流、磁通等电 气量，得到电机的功率、效率、转矩 等性能参数。
性能分析
通过比较不同工作状态下的性能参数 ，可以分析电机的运行特性，如启动 特性、调速特性和制动特性等。同时 ，也可以通过性能分析对电机进行优 化设计。
05
CATALOGUE
交流电机坐标变换的控制策略
参数辨识
在三相静止坐标系中，可以通过测量得到的电压和电流数 据，利用算法进行电机参数的辨识，如电阻、电感等参数 。
03
CATALOGUE
交流电机在两相旋转坐标系中的分析
两相旋转坐标系的定义
两相旋转坐标系
在交流电机分析中，通常采用两相旋转坐标系（也称为dq坐 标系）来描述电机的电压、电流和磁通等物理量。该坐标系 与电机转子同步旋转，其d轴和q轴正交且随转子一起转动。
两相静止坐标系中的交流电机模型
模型建立
在两相静止坐标系中，根据电机的绕 组和磁通分布，可以建立交流电机的 数学模型，包括电压方程、电流方程 和磁链方程等。
dq坐标变换数学原理
α
iβ
2 1
2
0 2
iA iB
按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压 变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
3. 两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐 标系到两相旋转坐 标系 d、q 变换称 作两相—两相旋转 变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示 静止，r 表示旋转。
• 主磁通的方向沿着与之垂直的 d 轴；直流电机
的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定， 这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根 本原因。
• 交流电机的物理模型
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类 似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行的。
众所周知，交流电机三相对称的静止绕组 A 、 B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成 磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同
图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 id、
iq 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势
Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势
中的匝数，直接用电流表示，例如 Fs 可以直接 标成 is 。
d，q轴和矢量 Fs（ is ）都以转速 1 旋转，
分量 id、iq的长短不变，相当于d，q绕组的直流 磁动势。
但 、 轴是静止的， 轴与 M 轴的夹角 随时间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长
短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时 值。由图可见， i、 i 和 id、iq 之间存在下列 关系
id iα cos iβ sin
iq iβ cos iα sin
பைடு நூலகம்
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵
永磁交流伺服电动机的数学模型
Tm pnf iq
(9-29)
Tr pn (Ld Lq )idiq
(9-30)
当交、直轴磁阻不同时，电感Ld和Lq不相等，因此存在 磁阻转矩。实际伺服系统中使用的多为表贴式永磁同步电机，
可以认为其转子结构是对称的，即Ld=Lq=Ls，因此有
T pnf iq
(9-31)
（4）机械运动方程:
d T TL B J dt
式中,Ld、Lq分别为三相定子绕组在d、q轴上的等效电感(单 位为H)；ψf为转子永磁体产生的磁链(单位为Wb)。
（3）电磁转矩计算:
T
pn
[ f
iq
(Ld
Lq )idiq ]
(9-28)
由式（9－28）可以看出，永磁交流伺服电动机的电磁转
矩由两部分组成：一是转子永磁磁场与定子绕组q轴电流作用
产生的永磁转矩Tm；另一是由电感变化引起的磁阻转矩Tr。
转子dq坐标系下的数学模型
1.坐标变换
以功率不变为原则，dq、αβ、ABC坐标系之间的电流变
换关系如下（电压、磁链等的变换与此相同）：
（1）定子静止三相ABC坐标系到静止两相αβ坐标系的
变换——Clarke变换。
ia
i
式中，
TABC-
iA iB iC
1
1 2
1
2
T ABC
2
3
0 1
dd
dt
rd
(9－26)
式中，ud、uq分别为定子电压在d、q轴分量(单位为V)；id、iq 分别为定子电流在d、q轴分量(单位为A)；ψd、ψq分别为定子 磁链在d、q轴分量(单位为Wb)；ωr为转子的电角速度(单位为 rad/s)。
（2）磁链表达式:
(整理)第06章-交流电机的数学模型及参数关系.
电力电子与交流传动系统仿真第6章交流电机的数学模型及参数关系 (1)6.1 三相异步电动机的数学模型 (2)6.2 三相同步电动机的数学模型 (5)6.3 永磁同步电动机的数学模型 (8)6.4 无刷直流电动机的数学模型 (14)6.5 交流电机的参数计算 (17)6.5.1 笼型绕组的多回路模型 (17)6.5.2 电感参数的解析计算 (19)6.5.3 磁路饱和问题的处理 (25)第6章 交流电机的数学模型及参数关系在第5章坐标变换与电机统一理论的基础上，本章针对现代交流传动控制系统中常用的三相异步电动机、三相同步电动机、永磁同步电动机和无刷直流电动机进行数学建模和参数分析，为后续的系统仿真奠定基础。
下面首先阐述电机建模的三个共性问题。
1. 正方向的规定 交流电机的数学模型由电机绕组的电压方程（包括磁链方程）和电机转子的运动方程（包括转矩方程）组成。
由于是对电力传动系统进行分析，考虑的都是电动机，所以采用电动机惯例列写电压方程和运动方程，即在电磁系统方面，以外加电压u 为正，线圈流入正向电流i 时，产生正值磁链ψ；同时，在机械系统方面，电机的电磁转矩em T 为驱动性质，与转子转速Ω同向，而外加负载转矩L T 为制动性质，与转子转速Ω反向，如图6-1所示。
uRL图6-1 正方向的规定2. 基本假设 交流电机的定子一般采用三相对称绕组，为简化问题，同时又不影响数学模型的精度，常作如下假设：1) 定子内壁、转子外表面光滑，不计齿槽效应。
2) 气隙磁密按正弦规律分布，不计空间高次谐波。
3) 铁芯磁路为线性，不计磁饱和效应。
3. 转子运动方程 各类交流电机的转子运动方程都是一样的，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=t p t J R T T d d d d 0ΩL emθΩΩΩ（6-1）式中，Ω为转子机械角速度，θ为转子位置角，0p 为电机极对数，J 为转动部分的转动惯量，ΩR 为机械阻尼系数。
其区别仅在于电磁转矩em T 的不同计算。
双馈风力发电机空间坐标变换
双馈风力发电机空间坐标变换一、概述等效交直流绕组物理模型如图3-6所示。
当三相对称的静止绕组A、B、C通入三相平衡的正弦电流iA 、iB、iC时产生合成磁动势F，它在空间呈正弦分布，并以同步速度ω（电角速度）顺着A、B、C的相序旋转。
如图3-9（a）所示，然而产生旋转磁动势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通入多相平衡电流都能产生旋转磁动势。
图3-9（b）所示即为两相静止绕组α、β，它们在空间上互差90°，当它们流过时间相位上相差90°的两相平衡的交流电流iα、iβ时也可以产生旋转磁动势。
当图3-9（a）和图3-9（b）两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3-9（a）中的两相绕组和图3-9（b）中三相绕组等效。
再看图3-9（c）中的两个匝数相等且相互垂直的绕组d和q，其中分别通以直流电流id 和iq，也能够产生合成磁动势F，但其位置相对于绕组来说是固定的。
如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以ω转速旋转，则磁动势F 自然也随着旋转起来，称为旋转磁动势。
如果这个旋转磁动势的大小和转速与图3-9（a）和图3-9（b）中的磁动势相等，那么这套旋转的直流绕组也可以与前两种固定的交流绕组等效。
图3-9 等效交直流绕组物理模型当观察者站在图3-9（c）中的两相旋转绕组d、q铁芯上与绕组一起旋转时，在观察者看来这是两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组。
这样就将对交流电机的控制转化为类似直流电机的控制了。
在交流励磁电机中，定子三相绕组、转子三相绕组都可以等效成两相旋转绕组。
由于相互垂直，定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有互感，又由于定子两相轴与转子两相.........轴之间没有相对运动（因为定子、转子磁动势没有相对运动），其互感必然是常数，在同步两相轴系电机的微分方程就必然是常系数，这为使用矩阵方程求解创造了条件。
习惯上分别称图3-9（a）、（b）、（c）中三种坐标系统为三相静止坐标系（A-B-C 坐标系）、两相静止坐标系（αβO坐标系）和两相旋转坐标系（dqO坐标系）。
坐标变换与电机统一理论
-5-
第5章 坐标变换与电机统一理论
在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的
方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变换成原变量。为了使新变量和
原来的变量之间有单值的联系，要求由线性变换系数所组成的行列式
不等于零，或者说矩阵C 是非奇异的。
c11, c12 ,, cnn
线性变换实质上是以适应某种需要而创建的 一种十分有效的数学方法，
xn cn1x '1 cn2 x '2
c1n x 'n c2n x 'n
cnn x 'n
（5-1）
-4-
第5章 坐标变换与电机统一理论
矩阵形式 向量形式
x1 c11 c12
x2
c21
c22
xn
cn1
cn 2
c1n x '1
c2
n
x
'2
cnn
x
'n
X CX '
和 i [i1，i2，，in，]T在新的坐标系统中电压和电流向量变为
u' [u'1，u'2 ，，u'和n ]T
i' [i'1，i'2 ，。，新i'向n ]量T 与原向量的坐标变换关
系为
电压变换阵
u
i
Cu u' Cii'
电流变换阵
（5-27）
功率不变
i T u i'T u'
i Tu (Ci i')T (Cu u') i'T CiTCuu'
分析中，所应用的坐标变换可有两种约束： 1) 功率不变约束，即变换前后功率保持不变。 2) 合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。
交流电机坐标变换理论的研究
第 36 卷 第 6 期
Research of the Reference2Frame Transf ormation Theory of AC Machine
Tian M i ngxi ng , L i Qi ngf u , W ang S huhong
( School of Electrical Engineering , Xi′an Jiaotong University , Xi′an 710049 , China)
571
1
-
1 2
-
1 2
L 1s = l1s
-
-
1 2
-
1 2
1
cos2θ
l2s
co s
2θ -
2π 3
co s
2θ
+
2π 3
L 2s =
cos
2θ -
2π 3
cos
2θ
+
2π 3
cos2θ
cos
2θ
+
2π 3
cos2θ
cos
2θ -
2π 3
(15) 以及
L sr =
相电机的变换矩阵.
3 正交相似变换方法
为便于说明问题 ,以同步电机为例. 同步电机定
子磁链方程为
ψabc = L s iabc + L sr i dqf
(12)
dq坐标变换数学原理解析
有意思的是：就图c 的 M、T 两个绕组而 言，当观察者站在地面看上去，它们是与三
相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到
旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个 直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换， 可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模 型。
现在的问题是，如何求出iA、iB 、iC 与
i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是 坐标变换的任务。
id iα cos iβ sin
iq iβ cos iα sin
• 两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵
写成矩阵形式，得
id cos i sin q sin cos
cos sin
iα iα i C2s / 2r i β β
sin cos
（3-40）
式中
C2s / 2 r
是两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换 阵。
对式（3-40）两边都左乘以变换阵的逆矩阵， 即得
iα cos i β sin sin cos id id i C2r / 2s i q q
写成矩阵形式，得
1 i α N 3 1 2 i 3 β N 2 0 2 1 i A 2 i 3 B i C 2
考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证 明，匝数比应为
N3 2 N2 3
(3-41)
则两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的
变换阵是
C2 r / 2s cos sin sin cos
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）
旋转变换阵相同。
4.直角坐标/极坐标变换（K/P变换） 它是指由d、q轴电流求定子电流和与d轴的夹角1。 显然，其变换式应为
同步电机原理及应用技术第8章 交流同步电机的数学模型
8.3.1 静止坐标轴系
轴系放在电机定子上，
轴与Ａ相轴线重合，采用两相等效正交绕组来实 现代替三相绕组，实现定子绕组之间互感的解耦，
简化了数学模型。从矢量合成的角度推导，一个旋
转矢量从一个三相坐标系（ＡＢＣ）变换到两相坐 标系（
）也称为3/2变换，反之为2/3变换。
8.3.2 旋转坐标轴系
轴系放在电机转子上， 为转子纵轴， 为转子横轴，坐标轴同转子一起旋 转， 轴与 轴之间的夹角为 ，如下图所示。
8.5 多相同步电机的数学模型
大型交流同步电机的输出转矩大、输入功率高。由于 电力电子变频器的输出电压受到电力电子器件制造水平的 限制，一般在1.6～3.3kV以下，所以对于5～10MW以上的大 型同步电机驱动，会造成很大的电枢电流。因此，大型同 步电机常常采用多相方案。
8.6 同步电机的矢量图
建立同步电机数学模型的假设条件为：
①定子三相绕组在空间对称分布，气 隙磁势和磁密在空间作正弦分布。 ②忽略磁路饱和及铁芯损耗。
③忽略温度对电机参数的影响。 ④采用电动机惯例设定正方向。
8.1 交流同步电机的空间矢量
任何在空间按正弦形式分布的物理量都 可以用空间矢量表示。一般情况下，同步电 动机的定子绕组均采用时称的三相绕组，当 三相交流电流iA、iB、iC流入三相绕组后，就 形成旋转的绕组磁势。若略去空间谐波磁势， 则各相绕组产生的基波磁势可分别用每相磁 势空间矢量FA、FB、FC表示，其长度代表基波 磁势的大小，分别和各相电流的瞬时值成正 比，其方向代表基波磁势幅值所在的方向， 分别处于各相绕组的轴线上。
8.3.3 磁场旋转坐标ＭＴ轴系
磁场旋转坐标系同属旋转解耦的dq0旋转坐标系，变
换原理和形式与dq0相似，只是坐标轴线不是与转子几何
坐标变换与对称分量法
a cos(120 ) j sin(120 ) e
Electric and Control Technology Research Lab Wuhan University of Technology
j120
不对称三相系统的瞬态表达式：
U A 2U a cos(t ) U B 2U b cos(t ) U C 2U c cos(t )
以A相为参考向量
U0 Ue j 0 U A j120 U B U 120 Ue j 240 U U 240 Ue C
只有一个独立变量U， 用一个U即可表示整个对称三相系统
Electric and Control Technology Research Lab
根据电机学原理，异步电动机三相绕组的作用，完全可以用在空间上互相垂直的两个 静止的、绕组来代替，如图3-6所示。由三相ABC轴系变换到两相轴系以产生同样 的旋转磁势为准则，并需要满足功率不变的约束条件。
三相对称系统的向量表达式1：
零序：A B C 同相 没有相差
三相对称系统的向量表达式2：
U [cos(0 ) j sin(0 )] U A U B U [cos(120 ) j sin(120 )] U U [cos( 240 ) j sin( 240 )] C
Electric and Control Technology Research Lab
，U ，U 构成对称正序系统U U A B C ，U ，U 构成对称负序系统U U
A B C
－
，U ，U 构成对称零序系统U U A0 B0 C0 0
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若记 则
k
ej
2 n
k
,
k
0,1,2,
,n 1
a
ej
2 n
k ak
为求与特征根λk对应的特征向量，将之代入特
征方程，并令 x1 1/ ，n得
Xk
11 n
k
2k
n1 T k
按k=n-1,n-2,…,1,0的顺序，将各特征根代入上式就 得到n个特征向量。
或者 因此
πX X , X x1 x2 xn T
x2 x1 , x3 x2 ,
xn xn1 , x1 xn x1 xn 2 xn1 n1x2 n x1
这样，矩阵π的n个特征n个特征根：
A LA
Φ
B
M BA
N M NA
M AB LB M NB
M AN iA
M BN
iB
L
I
LN iN
假定存在一个非奇异矩阵T，将Φ变换成Φc，将I变换成Ic：
Φ T Φc , Φc 1 2 n I T Ic , Ic i1 i2 in
2-2.1 电感矩阵的特点
#由于互感的对等性，电感矩阵是对 称矩阵：
LA M AB M AC M AN
L
M AB M AC
M AN
LB M BC
M BN
M BC LC M CN
M BN M CN
LN
由于Mij=Mji, n阶对称矩阵中只有n(n+1)/2各不同 的元素。
#n相对称系统的电感矩阵是循环的
n相对称系统中各相自感相等，相同相对位置的两相 间的互感相等。即：
Li Lj , M i, j M i1, j1
这样的矩阵称为循环矩阵。n阶循环矩阵只有n个不同的元素：
LA M AB M AC M AN
L
M AN M AM
新的磁链φ1、 φ2、…、 φn称为实际磁链φA、 φB、…、 φN的分 量；同样i1、i2、…、in称为实际电流的分量。
利用这个变换，磁链方程变成：
TΦc L TI c
所以
Φc T1 L TI c
或者
Φc Lc Ic
其中
Lc T1 L T
如果变换T明显使得新的电感矩阵Lc较变换前的电感矩阵L 简单，这个变换才是有意义的。如果Lc变成一个对角矩阵， 那这个变换是最理想的：
1 L1 0
Φc
2
0
L2
n 0 0
0 i1 0i2 LcIc Ln in
2-2: 循环矩阵的对角化
1. 电感矩阵的特点 2. 循环矩阵的对角化 3. 电感矩阵的对角化 4. 变换矩阵的一般化 5. 三阶循环对称电感矩阵的变换
LA LA
M
a n 1
AB
M
an2
AB
LA M ABa
M
a 2 ( n 1)
AC
M a(n1)(n1) AN
M
a2(n2)
AC
M a(n1)(n2) AN
M ACa2
M
a ( n 1)
AN
LA M AB M AC M AN
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
不难证明，循环电感矩阵可以表示成
L
LA1 M ABπ M ACπ2
M
πn1
AN
根据矩阵理论，任何可以对角化矩阵π的变换T，也可以对 角化循环矩阵L。矩阵π称为置换矩阵。
2-2.2 循环矩阵的对角化
n阶置换矩阵π的n个特征根由下面特征方程给出：
2-2.4 变换矩阵的一般化
若在生成特征向量时，不是令x1=1，而是令其等于 一个模为1的复数，则
Xk e jk 1 k
2k
n1 T k
由此得到更加一般化的变换矩阵
e jn1
e jn2
e j1
Fg
n1 jn1
1 aa ee 2(n1) jn1 n
第二章 交流电机 的坐标变换
2-1: 变换概述 2-2: 循环矩阵的对角化 2-3：1、2、0及F、B、0坐标系统 2-4:α、β、0坐标系统 2-5: d、q、0坐标系统 2-6: dc、qc、0坐标系统 2-7: 任意速坐标系统 2-8: 结论
2-1: 变换概述
一个电机系统的磁链方程可以写成：
0 an2
0 0
0 0 0 0 a 0 0 1
2-2.3 电感矩阵的对角化
D F1πF π FDF 1
由此可以推导得
π2 {FDF 1}{FDF 1} FD 2F1
同样地
π3 FD 3F1 ， ，πn1 FD F n1 1
M AB
LA M AN
M AC
M AB LA M AD
M AM M AL
LA
若n阶循环矩阵又是对称的，则根据n是奇数或偶数，其中只 有(n+1)/2或(n+2)/2个不同的元素。
#最简单的循环矩阵
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 π
这样
L F(LA1 M ABD M ACD2 M AN Dn1)F1
变换后的电感矩阵
LT F1LF LA1 M ABD M ACD2 M ANDn1
由于D，D2，…，Dn-1是对角矩阵，因此LT也是一个对角 矩阵：
LT
diag
n个特征向量构成了如下的变换矩阵：
1
F
1
an1 a2(n1)
n
a ( n 1)( n 1)
1
an2
a2(n2)
a (n1)(n2)
1 1 a 1 a2 1 an1 1
这个变换矩阵将使置换矩阵π变成如下的对角矩阵：
a n 1 0 D F1πF 0 0