自动控制原理-第四章习题集配套答案
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第四章 根轨迹分析法习题
4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1
)(+=
s K s G r
，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。 解：1-s 01s 0r
=⇒=+=时，K
2-s 02s 1r
=⇒=+=时，K
3-s 03s 2r
=⇒=+=时，K
……
-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。
4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。 (2) )4)(1()
5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2
)
1()(+=s s K s G r ， 解：（2）
1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线：
︒
±=±=-+±=
-=----=
902
)12(,
75.12
)5.1(410)2( π
πϕσm n k a
a
夹角交点条渐近线
4）分离点和会合点
6
.05.1141111-=+=
++++d d d d d 试探法求得
（3）
1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=3
2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：
±=-+±=
-=--=
3
)12(,3
2
3110)3( π
πϕσm n k a
a
夹角交点条渐近线
4）分离点和会合点
3
1
01
21-
=⇒=++d d d 5）与虚轴交点：22
3++s s
4-5 系统的开环传递函数为)
1()
2()(++=
s s s K s G r ，
(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；
(2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。 解： （1）
1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点
.3,586.02
11112
1
-=-=⇒+=
++d d d d d
（2）系统特征方程为02)1(r
r
2
=+++K s K s
2j 2322
122
,1r
r
±-==-=+-=-
s K K a b ，，得：由0
1
23
s
s s s r
2K
-r
21
1K r
K
j
,20
2r
r
±==⇒=-s K K
4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)
3)(1()(++=
s s s K s G r
，为使死循环主导极点具
有阻尼比5.0=ξ，试确定r K 的值。 解：
系统的根轨迹如图在根轨迹图上作射线: β=与根轨迹相交点为s 1和s 2
n n j s ωω866.05.01+-=
n
n
j s ω
ω866.05.02
--=
则死循环特征方程式可表示为0)()())()((2
3
3
2
2
3
3
3
2
1
=--+-+=---n
n
n
n
s s s s s s s s s s s s ωωωω
034r
2
3
=+++K s s s 系统特征方程为
比较系数，得： ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=-r
23
3
23
34
K s s s n
n
n
n
ωωωω⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==⇒828.125.375
.0r
3K s n ω
4-7 控制系统的开环传递函数为)
4)(2()(++=
s s s K s G r
(1) 绘出该回馈系统的根轨迹图；
(2) 求系统具有阻尼振荡响应的r K 取值范围； (3) 系统稳定的r K 最大为多少？并求等幅震荡的频率；
(4) 求使主导极点具有阻尼比5.0=ξ时的r K 值，并求对应该值时， 零极点形式的死循环传递函数。 解：（1）
1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-22）实轴上根轨迹段：（0，-2），
3）根轨迹的渐近线：
︒
︒±=±=-+±=
-=--=
180,603
)12(,23
4
20)3( π
πϕσm n k a
a
夹角交点条渐近线
4）分离点和会合点
)
(732.4,845.004
12112
1
舍-=-=⇒=++++d d d d d
分离点对应的08.3155.3155.1845.0r
=⨯⨯=K
5）与虚轴交点：086r
2
3=+++K s s s
（2）系统具有阻尼振荡响应的r K 取值范围是：4808.3r
< （3）系统稳定的48r ，等幅振荡频率为22=ω （4）同上题方法可求得： 阻尼比5.0=ξ 时j1.1567.0,67.4,3.82 ,13 ±-=-==s s K r ) 15.1j 67.0)(15.1j 67.0)(67.4(3 .8)(-++++= Φs s s s 4-8单位负反馈系统的开环传递函数为) 15.0)(1()(++= s s s K s G r ，用根轨迹分析系统 的稳定性。 解：1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1，p 3=-2，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-23）根轨迹的渐近线： 1 2 3 s s s s r 84K -r 68 1K r K 2 j2,480 84r r ±==⇒=-s K K