向量的加减法运算及其几何意义
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2、向量数乘运算律，设 为实数。
（1） _______； （2） _________； （3） _________；
（4） ________=___________； （5） ______________；
（6）对于任意向量 , ，任意实数 恒有 =_______________。
3、两个向量共线（平行）的充要条件：向量 与非零向量 平行的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得。
ห้องสมุดไป่ตู้练习：
1、 =___________。 =_________。
=； =_________。
2、在 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 等于（）
A. B. C. D.
3、点C在线段AB上，且 ，则 。
4、设 是两个不共线向量，若 ，与 共线，则实数 的值为.
5、设两非零向量 不共线，且 ，则实数k的值为.
例1、计算：
⑴ ；⑵ ；⑶ .
例2：如图，在 中，已知 、 分别是 、 的中点，用向量方法证明：
例3、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： ＝ .
例4、已知两个向量 和 不共线， ， ， ，求证： 、 、 三点共线.
例5、如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，你能用 、 表示 、 、 、 吗？
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
知识点二：向量的加法（“首尾相接，首尾连”）
在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.
2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量 ， （ ）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是 与 的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
如图： ， ，则 = 。
例1、化简： =_______________。
例2、在△ABC中， 是重心， 、 、 分别是 、 、 的中点，化简下列两式：
⑴ ；⑵ .
例3、（09湖南）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）
A． B．
C． D．
变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()
对于零向量与任一向量 ，我们规定 + =___________=_______.
练习：
1、化简
2、若C是线段AB的中点，则 =（）
A、 B、 C、 D、0
3、已知△ABC中，D是BC的中点，则 =（）
A、 B、 C、 D、
4、已知正方形ABCD的边长为1， ，则 为（）
A．0 B．3 C． D．
5、在矩形ABCD， ，则向量 的长度等于（）
A. ＝ B. ＋ ＝ C. － ＝ D. ＋ ＝
练习：
1、化简下列各式：
① ；② .
2、在平行四边形ABCD中， 等于（ ） A． B． C． D．
3、下列各式中结果为 的有（）
① ② ③
④ A．①②B．①③C．①③④D．①②③
4、下列四式中可以化简为 的是（）
① ② ③ ④
A．①④B．①②C．②③D．③④
课题
向量的加减法运算及其几何意义
知识点一：向量的基本概念：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中 则 =（）
A． B． C． D．
知识点三：向量的数乘运算
1、一般地，我们规定___________向量，这种运算称做向量的数乘记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） =___________________________________;
（2）当_____时， 的方向与 的方向相同；当_______时， 的方向与 方向相反，当______时， = 。
A． B． C．12 D．6
知识点三：向量的减法
1、相反向量：与 的向量，叫做 的相反向量，记作 .零向量的相反向量仍是.
2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，如果 、 是互为相反的向量，那么 ， ， .
3、向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+ (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.
③用有向线段的起点与终点字母： ；
④向量 的大小――长度称为向量的模，记作| |.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2、向量数乘运算律，设 为实数。
（1） _______； （2） _________； （3） _________；
（4） ________=___________； （5） ______________；
（6）对于任意向量 , ，任意实数 恒有 =_______________。
3、两个向量共线（平行）的充要条件：向量 与非零向量 平行的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得。
ห้องสมุดไป่ตู้练习：
1、 =___________。 =_________。
=； =_________。
2、在 中， 、 分别是 、 的中点，若 ， ，则 等于（）
A. B. C. D.
3、点C在线段AB上，且 ，则 。
4、设 是两个不共线向量，若 ，与 共线，则实数 的值为.
5、设两非零向量 不共线，且 ，则实数k的值为.
例1、计算：
⑴ ；⑵ ；⑶ .
例2：如图，在 中，已知 、 分别是 、 的中点，用向量方法证明：
例3、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： ＝ .
例4、已知两个向量 和 不共线， ， ， ，求证： 、 、 三点共线.
例5、如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，你能用 、 表示 、 、 、 吗？
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
知识点二：向量的加法（“首尾相接，首尾连”）
在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.
2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量 ， （ ）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是 与 的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
如图： ， ，则 = 。
例1、化简： =_______________。
例2、在△ABC中， 是重心， 、 、 分别是 、 、 的中点，化简下列两式：
⑴ ；⑵ .
例3、（09湖南）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）
A． B．
C． D．
变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()
对于零向量与任一向量 ，我们规定 + =___________=_______.
练习：
1、化简
2、若C是线段AB的中点，则 =（）
A、 B、 C、 D、0
3、已知△ABC中，D是BC的中点，则 =（）
A、 B、 C、 D、
4、已知正方形ABCD的边长为1， ，则 为（）
A．0 B．3 C． D．
5、在矩形ABCD， ，则向量 的长度等于（）
A. ＝ B. ＋ ＝ C. － ＝ D. ＋ ＝
练习：
1、化简下列各式：
① ；② .
2、在平行四边形ABCD中， 等于（ ） A． B． C． D．
3、下列各式中结果为 的有（）
① ② ③
④ A．①②B．①③C．①③④D．①②③
4、下列四式中可以化简为 的是（）
① ② ③ ④
A．①④B．①②C．②③D．③④
课题
向量的加减法运算及其几何意义
知识点一：向量的基本概念：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中 则 =（）
A． B． C． D．
知识点三：向量的数乘运算
1、一般地，我们规定___________向量，这种运算称做向量的数乘记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） =___________________________________;
（2）当_____时， 的方向与 的方向相同；当_______时， 的方向与 方向相反，当______时， = 。
A． B． C．12 D．6
知识点三：向量的减法
1、相反向量：与 的向量，叫做 的相反向量，记作 .零向量的相反向量仍是.
2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，如果 、 是互为相反的向量，那么 ， ， .
3、向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+ (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.
③用有向线段的起点与终点字母： ；
④向量 的大小――长度称为向量的模，记作| |.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.