三角函数和解三角形知识点

三角函数和解三角形知识点

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α

为第几象限

角．第一象限角的集合为

{}360

36090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z

第二象限角的集合为

{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z

第三象限角的集合为

{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z

第四象限角的集合为

{}360270

360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z

终边在x 轴上的角的集合为

{}180,k k αα=⋅∈Z

终边在

y 轴上的角的集合为{

}18090,k k αα=⋅+∈Z

终边在坐标轴上的角的集合为

{}90,k k αα=⋅∈Z

3、及角α终边相同的角的集合为

{}360,k k ββα=⋅+∈Z

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是．

6、弧度制及角度制的换算公式：2360

π=，，．

7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，

2C r l =+，

． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是

(),x y (

)

r r =>，则，，．

9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11

、

角

三

角

函

数

的基本关系：()221sin cos 1

αα+=()

2

222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛

⎫== ⎪⎝

⎭．

12、函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限． ，．

()6sin cos 2π

αα⎛⎫

+=

⎪⎝⎭

，．

口诀：正弦及余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

个单位长度，得到函数

()sin y x ϕ=+的图象；再将函数

()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来

的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象．

②数

sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1ω

倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

ω

个单位长度，得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来

的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=A +的图象．

14、函数

()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：； 函数

()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min

y ；当

2x x =时，取得最大值为

max y ，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象及性质：

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

值域

[]1,1- []1,1-

R

最值

当

()k ∈Z 时，max 1y =；当 ()k ∈Z 时，min 1y =-．

当()2x k k π

=∈Z 时，

max 1y =；当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在

()k ∈Z 上是增函数；在

()k ∈Z 上是减函数． 在

[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是

增函数；在[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

在

()k ∈Z 上是增函数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z

对称轴

对称中心 对称轴()x k k π

=∈Z

对称中心 无对称轴

三角恒等变换

24、两角和及差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos

cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin

sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

⑸()tan tan tan

1tan tan αβαβαβ

--=

+⑹()tan tan tan

1tan tan αβαβαβ

++=

-

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．

⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α

αααα=-=-=-

28、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()22sin cos αααϕA +B =A +B +，其中．

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角及角之间的和

差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件及结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

函

数

性 质