哈师大附中2020级高一上期中考试数学试题+答案
2020-2021哈尔滨市高中必修一数学上期中试卷(及答案)
2020-2021哈尔滨市高中必修一数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2±C ．4D ．4±7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数2()log 1f x x =-________．14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 16．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.19．已知312ab += ，则933a b a⋅=__________. 20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.23．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围； （2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 24．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）25．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．26．已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)；当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 二、填空题13．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数 解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.16．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．17．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．18．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x年增加到y件，第一年为y＝a（1+b%）第二年为y＝a（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）2，第三年为y＝a（1+b%）（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）3，…∴y＝a（1+b%）x（x∈N*）．故答案为：y＝a（1+b%）x（x∈N*）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】由题意可得：1321223333 3a ba b a a ba+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；解析：【解析】试题分析：当时，，由于()f x定义在R上的奇函数，则；因为0x≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 22．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 23．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4.【解析】 【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=， 解得4x =或12x =-.【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.24．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ， 经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9， 经过2年，ω=500×20.9， ……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ． （Ⅱ）解方程500×0.9t =250．0.9t =0.5，lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.56.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b = 25．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1. 26．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a = （Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案. 【详解】（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x bf x a++=+是奇函数则()100,12bf b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x xf x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+ 所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <- 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题
2019-2020年度高一上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则MN （ ）A. []0,2B. ()0,2C. [)02，D. (]0,2 2.对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ）A.若M N =，则log log a a M N =B. 若22M N=，则M N =C.若22log log a a M N =，则M N = D. 若M N =，则1122M N--=3.下列函数中，在区间()2,∞+上为增函数的是 （ ）A. 3xy =- B. 12log y x = C. ()22y x =-- D. 12y x=-4.若函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠ 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ）A. ()1,0B. ()2,0C. ()1,1D. ()2,15.已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,a b c ,的大小关系为（ ） A. a c b <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<6.函数2()lg(2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ）A. ()1,+∞B.1(,)2-+∞C.1(,)2-∞- D.(),2-∞-7.已知()221()12,(0)x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．3C ．15D ．308.已知函数)(x f 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则（ ） A.()33x xf x -=- B.33()2x xf x --=C.()33x x f x -=-D.33()2x xf x --=9.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且(2)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ）A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-10. 函数1()ln()f x x x=-的图象是（ ）A. B.C. D.11.函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A ．02k <<B ．04k ≤≤C ．04k ≤<D ． 04k <<12.已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若不等式2123x x+<-的解集为,A 则 R A =ð ． 14.若4log 3,a =则22a a -+= ．15.幂函数()2531m y m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为 ．16.已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-，若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈， 使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}{}{}22,1,3,3,21,1,3A a a B a a a A B =+-=--+=-（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求满足()()A B M A B ⊆⊆的集合M 的个数．18. （本题满分12分） 计算：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log e ++ （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭19. （本题满分12分）已知函数11()142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域．20. （本题满分12分）已知1a >，函数131()log (1)log ()222a a f x x x =++-. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若()f x 在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值.21. （本题满分12分）定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+ 成立，且当0x >时，()0f x <．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明()f x R 上为减函数；（Ⅲ）若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.22. （本题满分12分）已知定义在R 上的奇函数13()3x x af x b+-+=+，（Ⅰ） 求,a b 的值；（Ⅱ） 若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）已知函数()g x 满足[]1()()2(33)(0)3x xf xg x x -+=-≠，且规定(0)2g =，若对 任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.2019-2020年度高一上学期期中考试数学答案一.选择题1-12：CBDBAA CDDBCD 二.填空题 13. 5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 0 16. 13- 三.解答题 17. 解：（Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈显然213a +≠-若33,a -=-则0a =，{}3,1A B ∴=-，不符合题意 若213,a -=-则1a =-，{}3AB ∴=-，满足题意所以1a =- ……5分 （Ⅱ）{}3AB =-，{}4,3,0,1,2A B =--，集合M 的个数为42=16个……10分18.解：（Ⅰ）原式33lg1001422=+--=- ……6 （Ⅱ）原式314132234472422184⨯⨯=-⨯-⨯-=- ……12分19.解：（Ⅰ）11()1342x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭1x ∴=- ……6分（Ⅱ）12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21y t t =-+[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y = 所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦……12分20.解：（Ⅰ）由已知1102223313022x x x x x ⎧+>⎪>-⎧⎪∴∴-<<⎨⎨<⎩⎪->⎪⎩ ∴定义域为()2,3- ……4分（Ⅱ）2131113()log (1)()log ()222442a a f x x x x x ⎡⎤=+-=-++⎢⎥⎣⎦……6分 51,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，221131125()4424216t x x x =-++=--+当52x =时min 916t =， ……8分 且1a >，min 9()log 216a f x ∴==-， ……10分2916a -∴=2164,93a a ∴=∴= ……12分 21.解：（Ⅰ）令0x y ==，则(0)(0)(0)(0)0f f f f =+∴=令y x =-，则(0)()()f f x f x =+- 且(0)0f =，()()0f x f x ∴+-=，且定义域为R()f x ∴为奇函数. ……4分（Ⅱ）任取12,,x x R ∈且12x x >，1212()()()f x f x f x x -=-，12120x x x x >∴->，，12()0f x x ∴-< 12()()0f x f x ∴-<12()()f x f x ∴<()f x ∴R 上为减函数. ……8分（Ⅲ）(1)(13)0f a f a -+-<， (1)(13)(31)f a f a f a ∴-<--=-，()f x R 上为减函数, 131a a ∴->-12a ∴<∴实数a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭……12分22.解：（Ⅰ）()f x 是R 上的奇函数，(0)0(1)(1)f f f =⎧∴⎨-=-⎩113319a a a bb =⎧⎪⎪∴⎨--⎪=-⎪++⎩13a b =⎧∴⎨=⎩当13a b ==，时，()13()331x xf x -=+ 此时()()1331()()331313x x x xf x f x -----===-++()f x ∴是奇函数成立. 13a b ∴==， ……4分（Ⅱ）任取12,,x x R ∈且12x x <，()()()2112121112233113131()()03313133131x x x x x x x x f x f x -⎛⎫--∴-=-=⋅> ⎪++++⎝⎭， 12()()0f x f x ∴->12()()f x f x ∴>()f x ∴R 上为减函数. ……6分若存在t R ∈，使不等式22(2)(2)f t t f t k -<-有解，则2222t t t k ->-有解22k t t ∴>+，当1t =-时，()2min21t t+=-，1k ∴>- ……8分（Ⅲ）[]1()()2(33)(0)3x x f x g x x -+=-≠()[]213113()233331x x x xg x --∴+=⋅+ 2(13)()23323x x xxg x -+∴+==++ ()33(0)x x g x x -∴=+≠，且(0)2g =也适合()33,x x g x x R -∴=+∈ ……9分任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x ≥⋅-恒成立()22333311x x x x m --∴+≥⋅+-令3xt ∴=0x R t ∈∴>，令13+3x x u t t-∴==+ 任取12,,t t R ∈且12t t <，()211212121212121212111()()t t t t u t u t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫--∴-=+--=-+=- ⎪⎝⎭， 当()12,1+t t ∈∞，时，12()()u t u t <，()u t ∴上为增函数.当()12,01t t ∈，时，12()()u t u t >，()u t ∴上为减函数. ……10分1t ∴=时min ()2u t =即2u ≥()22333311x x x x m --+≥⋅+- ()22111t t m t t --∴+≥⋅+- ()()211211t t m t t --∴+-≥⋅+-2211u m u ∴-≥⋅-，且2u ≥9u m u∴+≥，同理9y u u ∴=+在()+∞3，上是增函数，在()32，上是减函数. 3u ∴=时min9+6u u ⎛⎫= ⎪⎝⎭6m ∴≤m ∴的最大值为6. ……12分。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市师范大学附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市师范大学附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N ⋂（ ） A.[]0,2 B.()0,2 C.[)02， D.(]0,2 【答案】C【解析】根据题意先求出集合N ，然后根据交集的定义求解即可. 【详解】解：{}{}24|2xN x x x =<=<，又{}0M x x =≥，所以{}|02M N x x ⋂=≤<.故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题. 2．对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） A.若M N =，则log log a a M N =B.若22M N =，则M N =C.若22log log a a M N =，则M N =D.若M N =，则1122M N --=【答案】B【解析】对数函数真数大于0，所以A 不成立；平方相等，M 、N 不一定相等，所以C 不成立；当M N =0≤时，12x -没有意义，所以D 不对；指数函数单调且定义域为R ，则B 成立，从而得出结果. 【详解】解：A ：当0M N =≤时，对数无意义，故A 不正确；B ：因为指数函数单调且定义域为R ，所以若22M N =，则M N =成立，故B 正确；C ：比如当 ()22222=-2M N =，,时，有22log log a a M N =，但M N ¹；故C 不正确；D ：当M N =0≤时，12x -没有意义，故D 不正确.故选：B. 【点睛】本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题.3．下列函数中，在区间()2,+∞上为增函数的是 （ ） A.3x y =- B.12log y x =C.()22y x =--D.12y x=- 【答案】D【解析】根据指对函数的性质可排除A 、B ，根据二次函数的性质可排除C ，从而得出结果. 【详解】解：A ：3x y =-在R 上单调递减，故A 不正确；B ：12log y x =定义域为()0,∞+且单调递减，故B 不正确；C ：()22y x =--对称轴为2x =，且开口向下，在()2,+∞上单调递减，故C 不正确；D ：12y x=-在()2,+∞上单调递增，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的判断，解题的关键是牢记基本初等函数的单调性，属于基础题. 4．若函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠ 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ） A.()1,0 B.()2,0C.()1,1D.()2,1【答案】B【解析】因为对数函数恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，故而得到答案. 【详解】解：因为函数log ay x =的图像恒过定点()1,0，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠可以看成由函数()log a f x x =向右平移一个单位得到，所以函数()log (1)(0,1)a f x x a a =->≠的图像恒过定点()2,0. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质，以及函数图像间的平移变换，属于基础题.5．已知13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b <<B.b a c <<C.c a b <<D.a b c <<【答案】A【解析】容易得出01,a <<12,12b c <<<<，再根据对数函数的性质将b 化为与c 同底的对数，即可比较出大小. 【详解】 解：1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01a ∴<<，244log 3log 9log 71b c ==>=>，所以b c a >>.故选：A. 【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.6．函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞-D ．(1,)+∞【答案】D【解析】首先考虑对数的真数取值大于0；其次将函数22lg xx y +-=拆成外层函数lguy =和内层函数22u x x =+-，根据求复合函数单调性的法则：同増异减，判断出单调增区间；最后即可求得()2lg 2y x x =+-的单调增区间. 【详解】由220x x +->可得2x <-或1x >∵22u x x =+-在(1,)+∞单调递增，而lg y u =是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数()2lg 2y x x =+-的单调递增区间是(1,)+∞， 故选D. 【点睛】复合函数单调性的判断方法：同増异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.7．已知函数g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝221x x - (x≠0)，则f(12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30 【答案】C【解析】令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f(12)＝1116116-＝15，故选C. 8．已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，则（ ）A.()33xxf x -=-B.33()2x xf x --=C.()33x xf x -=-D.33()2x xf x --=【答案】D【解析】函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3x f x g x +=，可得()()3x f x g x --+-=，即()()3xf xg x --+=，与()()3x f x g x +=联立求解即可解出()f x .【详解】解：因为函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，所以()()()()3xf xg x f x g x --+-=-+=，即：()()3()()3xxf xg x f x g x -⎧-+=⎨+=⎩， 解得：()33()2332x xx xf xg x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 9．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且(2)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ）A.()2,2-B.()(),22,-∞-+∞C.()()2,02,-+∞D.()(),20,2-∞-【答案】D【解析】根据题意，由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数可得()f x 在()0,∞+上是增函数，因为(2)0f =，所以(2)0f -=，结合函数的单调性可知()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞，()()0f x f x x +-<等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩，结合分析可得出结果.【详解】解：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，又()f x 在(],0-∞上是减函数，则()f x 在()0,∞+上是增函数，且(2)0f =，所以有(2)0f -=，所以()0f x <的解为()2,2-；()0f x >的解为()(),22,-∞-+∞.()()0f x f x x +-<等价于2()0f x x <，等价于()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩ 所以不等式的解集为：()(),20,2-∞-.故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性分析出函数的符号，属于中档题.10．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x+1x）是增函数．故选：B ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 11．函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A.02k <<B.04k ≤≤C.04k ≤<D.04k <<【答案】D 【解析】函数y =的定义域为R ，等价于210kx kx ++>恒成立.该函数为二次型的函数，考虑0k =和0k ≠两种情况，∆<0，分情况求解即可求出结果. 【详解】 解：因为函数y =的定义域为R ，所以210kx kx ++>恒成立.令()21g x kx kx =++，当0k =时，()10g x =>恒成立，符合题意. 当0k ≠时，0k >⎧⎨∆<⎩，即2040k k k >⎧⎨-<⎩解得：04k <<.故选：D. 【点睛】本题考查函数定义域为R 的问题，考查分类讨论的思想和二次函数的性质，属于基础题.12．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【解析】函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =等价于()213f x +=，()3f x e =或()3f x e -=.再根据21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩分析函数的单调性和值域，分析每一段上的解的个数，进而得出结果. 【详解】解：因为函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩, 当()0f x ≤时，[]()()213f f x f x =+=，即()1f x =不符合()0f x ≤，舍去； 当()0f x >时，方程[]()3f f x =等价于()|ln |3f x =，解得：()3f x e =或()3f x e -=，0x ≤，211x ∴+≤，又()ln f x x =在()0,1上单调递减，且()[)0,f x ∈+∞；在()1,+∞上单调递增，且()[)0,f x ∈+∞.若()3f x e =1>，则321x e +=无解，3ln x e =有两个解；若()3f x e -=，则321x e -+=有一解，3ln x e -=有两解，所以共有5解.故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查学生的分析与计算求解能力，解题的关键是对函数分段讨论求解，属于中档题.二、填空题 13．若不等式2123x x+<-的解集为,A 则 A =R ð ___________． 【答案】5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】对不等式移项、通分、化简、得到4503x x-<-，求解不等式然后对解集求补集即可得到答案. 【详解】解：2123x x +<-等价于2121624520333x x x x x x x++-+--==<---， 即()()4530x x -->，解得：3x >或54x <，则A =R ð5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分式不等式求解集，以及补集的运算，解题的关键是对不等式进行正确的变形，属于基础题.14．若4log 3a =，则22a a -+= ．【解析】【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=∴222a -+==【考点】对数的计算15．幂函数()2531m y m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为_______． 【答案】0【解析】根据幂函数的定义可知211m m -+=，又函数在()0+∞，上为减函数，可知530m -<，对m 求解即可.【详解】解：因为函数()2531m y m m x-=-+为幂函数，所以211m m -+=，解得：0m =或1m =.又53m y x-=在()0+∞，上为减函数，所以530m -<，即35m <，所以0m =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据幂函数的定义和单调性求参数，解题的关键是熟记幂函数的定义和单调性，属于基础题.16．已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____．【答案】13-【解析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()max max f x g x ≤ 当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a ==+ 当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a =-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-，()333f a =+ 当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =- 132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+332a ∴+≤，解得：13a ≤- 13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍） 综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.三、解答题17．已知集合{}{}{}22,1,3,3,21,1,3A a a B a a a A B =+-=--+=-.（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求满足()()AB M A B ⊆⊆的集合M 的个数．【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）16个. 【解析】（Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈，逐个分析集合B 中的元素求解a ，然后代入检验即可. （Ⅱ）因为{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2A B =--，()()A B M A B ⊆⊆，所以集合M 中必有-3，只需考虑剩余4个元素即可得到答案. 【详解】 （Ⅰ）{}3,3A B B =-∴-∈显然213a +≠-,若33,a -=-则0a =，{}3,1A B ∴=-，不符合题意,若213,a -=-则1a =-，{}3A B ∴=-，满足题意,所以1a =- .（Ⅱ）{}3A B =-I ，{}4,3,0,1,2AB =--，因为()()A B M A B ⊆⊆，所以集合M 中必有-3，剩余4个元素：-4,0,1,2都有在与不在两种情况，所以个数为42=16个. 【点睛】本题考查了交集、并集的定义和运算，元素与集合的关系，考查了子集的定义，子集个数的求法，属于基础题.18．计算：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log e ++-； （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.【答案】（Ⅰ）32-；（Ⅱ）8- . 【解析】（Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可. （Ⅱ）根据指数的运算性质和运算律化简即可得出结果. 【详解】 解：（Ⅰ）ln 43lg 4lg 25log 3e ++- =323lg100log 314+--=3252+- =32-. （Ⅱ）)14230.2501648201949-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.=34237414⋅-⨯-=271-=2721--- =8- 【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题.19．已知函数11()142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求满足()3f x =的实数x 的值； （Ⅱ）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域． 【答案】（Ⅰ）1-；（Ⅱ）3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）将12x⎛⎫ ⎪⎝⎭看成一个整体，对()3f x =进行化简得到1121022x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦先求解12x ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再根据对数的运算解x 即可. （Ⅱ）12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，化简()f x 可得21y t t =-+，然后配方即可求出21y t t =-+在1,48t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大最小值，进而求得值域.【详解】（Ⅰ）11()1342x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,112042xx⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121022x x⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-⋅+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,122x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或112x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍）122x⎛⎫∴= ⎪⎝⎭, 1x ∴=- .（Ⅱ）12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[]12,3,,48x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦. 则2213124y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当12t =时，min 34y =；当4t =时，max 13y =, 所以()f x 的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题. 20．已知1a >，函数()131log 1log 222a a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，求a 的值.【答案】（1）()2,3- ； （2）43. 【解析】（1）由题意，函数()f x 的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）由题意，化简得()()21log 64af x x x =-++，设()2164u x x =-++，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数()f x 的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。
高一上学期期中考试数学试题及答案(哈师大附中)
高一上学期数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}220A x x x =->，{B x x =<<，则A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆2.如图所示，曲线1234,,,C C C C 分别为指数函数,,x xy a y b ==,x x y c y d ==的图象， 则d c b a ,,,与1的大小关系为A ．d c b a <<<<1B ．c d a b <<<<1C ．1b a c d <<<<D ．c d b a <<<<13.函数()f x =A.(]3,0-B.(]3,1-C.()(],33,0-∞--D.()(],33,1-∞--4.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 Ａ.1- Ｂ.0 Ｃ.1 Ｄ.25.已知0.80.80.70.7, 1.1, 1.1a b c ===，则c b a ,,的大小关系是Ａ.c b a << Ｂ.c a b << Ｃ.a c b << Ｄ.a c b << 6.已知函数)(x f 、()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()3xf xg x +=，则()f x 的解析式为A.()33xxf x -=- B.33()2x x f x --= C.()33x xf x -=- D.33()2x x f x --=7.已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))f f =4a ，则实数a =A.12 B. 45C. 2D. 9 8.关于x 的方程22230x x a a -+--=的两个实根中有一个大于1，另一个小于1，则实数a 的取值范围为A ．13a -<<B ．31a -<<C ．3a >或1a <-D ．132a -<< 9.函数y =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是A ．02k <<B ．04k ≤≤C ．04k <<D ． 04k ≤<10.函数()f x =A ．(),2-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()2,+∞ 11.若函数()f x 为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，又(3)0f =，则()()0f x f x x+-<的解集为 A ．()3,3- B ．()(),33,-∞-+∞ C ．()()3,03,-+∞D ．()(),30,3-∞-12.已知函数()(1)(0)f x x ax a =-≠，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若33,44A ⎛⎫-⊆ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 A.()1,20,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(]1,20,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.()()2,01,-+∞D.[)[)2,01,-+∞第Ⅱ卷 （非选择题90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：1100.532131(4)(3)(2)(0.01)284--⨯+=_______________．14.函数224x x y x-+=([1,3])x ∈的值域为_______________．15.已知函数()y f x =是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =-，那么当0x >时，()f x =_____________．16.对实数a 和b ，定义新运算,2,, 2.a ab ab b a b -≤⎧=⎨->⎩设函数22()(2)(2)f x x x x =--，x R ∈．若关于x 的方程()f x m =恰有两个实数解，则实数m 的取值范围是______________．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）求值：2lg10lg 5--.18.（本小题满分12分）若集合{}21|21|3,2,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭求（1）A B ；（2）()RA B ð.19．（本小题满分12分）已知函数1010()1010x xx xf x ---=+．（1）判断()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的值域． 20．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足：对任意的实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x >．（1）证明：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若(3)mf f <，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()423xxf x a =+⋅+,a R ∈.（1）当4a =-时，且[]0,2x ∈，求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,+∞上有两个不同实根，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知函数()()2f x x a x =--，()22xg x x =+-，其中a R ∈.（1）写出()f x 的单调区间（不需要证明）；（2）如果对任意实数[]0,1m ∈，总存在实数[]0,2n ∈，使得不等式()()f m g n ≤成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案一、选择题：BBABC DCADB CB二、填空题：13．110；14．[2,3]；15．(1)x x -+；16．{|3,m m <-或2,m =-或10}m -<<． 三、解答题： 17．原式=()211lg 21lg512lg 222⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=()()2211lg 21lg 222+-=1． (10)分18．{|3213}{|12}A x x x x =-<-<=-<<，455{|0}{|,34x B x x x x -=<=<-或3}x >．……4分（1）5{|1}4AB x x =-<<； …………7分（2）5{|3}4R B x x =≤≤ð，∴(){|13}R A B x x =-<≤ð．…………12分19．（1）()f x 的定义域为R ，∵1010()()1010x x xxf xf x ----==-+，∴()f x 是奇函数． …………4分（2）令10x t =，则0t >，∴2221121111t t t y t t t t--===-+++ …………8分 ∵0t >，∴211t +>，∴21011t <<+，即221111t -<-<+．∴函数()f x 的值域为(1,1)-． …………12分 20．（1）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，有21()0f x x ->． ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+>，即12()()f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增． …………6分（2）由（1）知，3m <3233m<，解得32m <． ∴实数m 的取值范围3(,)2-∞． …………12分21．（1）当4a =-时，令2xt =，则[1,4]t ∈，2243(2)1y t t t =-+=--当2t =时，min 1y =-；当4t =时，max 3y =．∴函数()f x 的值域为[1,3]-． …………6分 （2）令2x t =，由0x >知1t >，且函数2x t =在(0,)+∞单调递增． ∴原题转化为方程230t at ++=在(1,)+∞上有两个不等实根．设2()3g t t at =++，则012(1)0a g ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩，即2120240a a a ⎧->⎪<-⎨⎪+>⎩，解得4a -<<-∴实数a的取值范围是(4,--． …………12分 22．（1）()(2),2,()()(2), 2.x a x x f x x a x x --≥⎧=⎨---<⎩①当2a =时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，()f x 无减区间； …………1分②当2a >时，()f x 的递增区间是(,2)-∞,2(,)2a ++∞；()f x 的递减区间是2(2,)2a +；………3分 ③当2a <时，()f x 的递增区间是2(,)2a +-∞,(2,)+∞，()f x 的递减区间是2(,2)2a +．………5分 （2）由题意，()f x 在[0,1]上的最大值小于等于()g x 在[0,2]上的最大值．当[0,2]x ∈时，()g x 单调递增，∴max [()](2)4g x g ==． …………6分 当[0,1]x ∈时，2()()(2)(2)2f x x a x x a x a =---=-++-． ①当202a +≤，即2a ≤-时，max [()](0)2f x f a ==-． 由24a -≤，得2a ≥-．∴2a =-； …………8分②当2012a +<≤，即20a -<≤时，2max 244[()]()24a a a f x f +-+==． 由24444a a -+≤，得26a -≤≤．∴20a -<≤； …10分③当212a+>，即0a>时，max[()](1)1f x f a==-．由14a-≤，得3a≥-．∴0a>．综上，实数a的取值范围是[2,)-+∞．…………12分。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={y|y≥0}，N={y|y=−x2+1}，即M∩N=()A. (0,1)B. [0,1]C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.下列式子正确的是()A. 3a√a=√a(a>0)B. lg6lg2=lg6−lg2C. a−2=√a(a>0) D. lg[(−3)⋅(−5)]=lg(−3)+lg(−5)3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是()A. y=√x+1B. y=(x−1)2C. y=2−xD. y=log0.5(x+1)4.函数的图象恒过的定点是()A. (0,−3)B. (0,−2)C. (1,0)D. (0,0)5.已知a=log32，b=(log32)2，c=log423，则()A. a<c<bB. c<b<aC. a<b<cD. b<a<c6.函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)7.若函数f(x)=1−2x，g[f(x)]=x2−1x2(x≠0)，则g(3)=()A. 1B. 0C. 89D. 24258.若函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)的解析式是f(x)=x(1−x)，则当x>0时，f(x)的解析式是f(x)=()A. −x(1−x)B. x(1−x)C. x(1+x)D. −x(1+x)9.设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上是增函数，则f(−2)与f(a2−2a+3)(a∈R)的大小关系为()A. f(−2)<f(a2−2a+3)B. f(−2)≥f(a2−2a+3)C. f(−2)>f(a2−2a+3)D. f(−2)=f(a2−2a+3)10.函数y=log3|x−1|的图象是()A. B. C. D.11. 已知函数y =√ax 2−ax +1的定义域R ，则实数a 的取值范围为( )A. a ≤0或a ≥4B. 0<a <4C. 0≤a ≤4D. a ≥412. 设函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，若f(−4)=f(0)，则函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有( )A. 6B. 4C. 5D. 7 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式3x−42x+5>0的解集为______ ．14. 若3a =2，b =log 23，则ab =________，2b +2−b =________．15. 若幂函数y =(m 2−2m −2)x −4m−2在x ∈(0,+∞)上为减函数，则实数m 的值是______．16. 已知函数f(x)=ax 2−12x −34(a >0)，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1、x 2，使得|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，则a 的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x 2−3x +2=0}，B ={x|ax +1=0}．(1)若A ∩B ={2}，求实数a 的值；(2)若B ⊆A ，求实数a 的值．18. 求值：(1)(√23×√3)6−4×(1649)−12−(−2008)0(2)2log32−log3329+log38−52log5319.已知函数f(x)=√2−x+lg(3x−13)的定义域为M．(Ⅰ)求M；(Ⅱ)当x∈M时，求g(x)=4x−2x+1+2的值域．20.已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．(1)当a=4时，求f(x)的定义域；(2)若关于x的方程f(x)−log2[(a−3)x+2a−4]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值集合；(3)设a>0，若对任意t∈[1,2]，函数f(x)在区间[t,3t−1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围．21.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对于任意正实数a、b，都有f(a⋅b)=f(a)+f(b)−1，f(2)=0，且当x>1时，f(x)<1．)的值；(1)求f(1)及f(12(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是减函数．22.已知函数f(x)=−2x+b(x∈R)是奇函数．2x+1+a(1)求实数a，b的值;(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求实数k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集运算，考查计算能力，属于基础题．可求出集合N ={y|y ≤1}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：N ={y|y ≤1}，且M ={y|y ≥0}；∴M ∩N =[0,1]．故选B ．2.答案：A解析：解：∵a >0，∴3a √a =(a ⋅a 12)13=(a 32)13=a (32×13)=a 12=√a ，故A 正确；对于B ，lg6lg2≠lg6−lg2，故B 错误；对于C ，a −2=1a 2≠√a ，故C 错误；而D ，lg(−3)与lg(−5)无意义，故D 错误；故选A ．利用指数幂的运算性质与对数的性质即可得到答案．本题考查不等关系与不等式，考查有理数指数幂的化简求值与对数的运算性质，属于基础题． 3.答案：A解析：利用函数的单调性或函数的图像逐项验证.A.函数y =√x +1在[−1,+∞)上为增函数，所以函数在(0,+∞)上为增函数，故正确；B.函数y =(x −1)2在(−∞,1)上为减函数，在[1,+∞)上为增函数，故错误；C.函数y =2−x =(12)x 在R 上为减函数，故错误；D.函数y =log 0.5(x +1)在(−1,+∞)上为减函数，故错误． 4.答案：A解析：【分析】本题主要考查了对数函数及其性质，属于基础题．根据对数函数图象恒过定点(1,0)求出对应x ，y 的值，点(x,y)即为函数所过定点．解析：解：令x+1=1，得x=0，此时，故函数的图象恒过定点(0,−3)，故选A．5.答案：B解析：解：∵0=log31<a=log32<log33=1，∴0<b=(log32)2<a=log32，<log41=0，∵c=log423∴c<b<a．故选：B．本题考查对数函数比较大小，利用对数函数性质求解即可，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题考查复合函数的单调区间以及对数函数的性质，属于基础题．令t=x2−2x−8>0，则y=lnt，在定义域内单调递增，根据复合函数的单调性，就是求t=x2−2x−8>0的单调增区间，由此即可得到答案．【解答】解：由x2−2x−8>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=x2−2x−8，则y=lnt，在定义域内单调递增，而x∈(−∞,−2)时，t=x2−2x−8为减函数；x∈(4,+∞)时，t=x2−2x−8为增函数；故函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D．7.答案：B解析：本题考查函数的表示法，利用函数的解析式求值.要求g(3)，只要令f(x)=1−2x=3，求出x，再代入g[f(x)]的解析式即可．【解答】解：令f(x)=1−2x=3，得：x=−1，∴g(3)=g[f(−1)]=(−1)2−1=0．(−1)2故选B．8.答案：C解析：【分析】本题考查利用奇函数的性质求解析式，属于基础题．利用奇函数的性质即可求出f(x)的解析式是解题的关键．【解答】解：当x>0时，−x<0，则f(−x)=−x[1−(−x)]=−x(1+x)，由函数f(x)为奇函数可得f(x)=−f(−x)=x(1+x)，故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的大小比较，属于基础题．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在(0,+∞)上为减函数，进而分析可得f(2)≥f(a2−2a+3)，可得f(−2)=f(2)≥f(a2−2a+3)，即可得出答案．【解答】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上是增函数，则f(x)在(0,+∞)上为减函数，因为a2−2a+3=(a−1)2+2≥2，所以f(2)≥f(a2−2a+3)，又由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−2)=f(2)≥f(a2−2a+3)，故选：B．10.答案：B解析：解：当x−1≥0时，即x≥1时，函数y=log3(x−1)，此时为增函数，当x−1<0时，即x>1时，函数y=log3(1−x)，此时为减函数，故选：B．根据函数的单调性即可判断．本题考查了复合函数的单调性和函数图象的识别，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】根据根式函数的性质将定义域转化为ax 2−ax +1≥0恒成立即可．本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对a 进行讨论．【解答】解：要使函数y =√ax 2−ax +1的定义域R ，则ax 2−ax +1≥0恒成立，若a =0，则不等式ax 2−ax +1≥0等价为1≥0恒成立，此时满足条件．若a ≠0，要使ax 2−ax +1≥0恒成立，则{a >0△=a 2−4a ≤0, 即{a >00≤a ≤4，解得0<a ≤4， 综上0≤a ≤4．故选C ．12.答案：B解析：【分析】本题考查函数零点的个数判断，函数图象的应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 先求出b ，再画出f(x)与y =ln(x +2)的图象，即可得出结论．【解答】解：∵函数f(x)={x 2+bx +2,x ≤0|2−x|,x >0，f(−4)=f(0)， ∴b =4，∴f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0， f(x)={x 2+4x +2,x ≤0|2−x|,x >0与y =ln(x +2)的图象如图所示，∴函数y =f(x)−ln(x +2)的零点个数有4个，故选：B ．13.答案：{x|x >43或x <−52}解析：解：不等式3x−42x+5>0化为(3x −4)(2x +5)>0，所以不等式的解集为{x|x >43或x <−52}；故答案为：{x|x >43或x <−52}.将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可．本题考查了分式不等式的解法，关键是转为整式不等式，然后解之． 14.答案：1;103解析：【分析】本题考查了对数的运算和指数幂的运算，属于基础题．根据对数的运算和指数幂的运算法则表示出a ，b ，即可求出ab 的值和2b +2−b 的值．【解答】解：3a =2，则a =log 32∵b =log 23，∴ab =log 32·log 23=1，，故答案为1;103． 15.答案：m =3解析：解：因为函数y =(m 2−2m −2)x −4m−2既是幂函数又是(0,+∞)的减函数，所以{m 2−2m −2=1−4m −2<0，⇒{m =3或m =−1m >−12，解得：m =3． 故答案为：m =3．根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m 2−m −1=1，再根据函数在(0,+∞)上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m 值应满足以上两条．本题考查了幂函数的概念及性质，解答此题的关键是掌握幂函数的定义，此题极易把系数理解为不等于0而出错，属基础题．16.答案：14解析：【分析】要使函数f(x)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1，x 2，使|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，只需要|f(14a −1)−f(14a )|≥14恒成立，从而可求实数a 的最小值．本题以新定义为素材，考查对新定义的理解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为恒成立．【解答】解：要使函数f(x)=ax 2−12x −34(a >0)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x 1，x 2，使|f(x 1)−f(x 2)|≥14成立，只需要|f(14a −1)−f(14a )|≥14恒成立，∵f(x)=ax 2−12x −34=a(x −14a )2−116a −34，∴|f(14a −1)−f(14a )|=|a|≥14，∵a >0，∴a ≥14，∴实数a 的最小值为14，故答案为：14． 17.答案：解：(1)因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，则2a +1=0，解得a =−12，(2)由x 2−3x +2=0得，x =1或x =2，则A ={1,2}，因为B ⊆A ，所以B =⌀或{1}或{2}，当B =⌀时，则a =0，当B ={1}时，则a +1=0，得a =−1，当B ={2}时，则2a +1=0，得a =−12，综上得，实数a 的值是0或−1或−12．解析：(1)由A ∩B ={2}得2∈B ，把2代入ax +1=0代入求出a 的值；(2)由x 2−3x +2=0求出集合A ，由子集的定义和B ⊆A 求出B 所有的情况，再依次代入求出a 的值．本题考查交集及其运算，子集的定义，以及一元二次方程的解法，属于基础题．18.答案：解：(1)(213×312)6−4×[(47)2]−12−1=22×33−4×74−1=100 (2)2log 32−log 3329+log 38−52log 53=log 34−log 3329+log 38−5log 59=log 3(4×932×8)−9=log 39−9=−7解析：本题考查了对数与指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用指数的运算性质即可得出；(2)利用对数的运算性质即可得出．19.答案：解：(Ⅰ)要使f(x)有意义，则{2−x ≥03x −13>0，∴−1<x ≤2，∴M =(−1,2]，(Ⅱ)g(x)=4x −2x+1+2=(2x )2−2⋅2x +2=(2x −1)2+1；∵x ∈(−1,2]；∴2x ∈(12,4]； ∴2x =1，即x =0时，g(x)min =1；2x =4，即x =2时，g(x)max =10；∴g(x)的值域为[1,10]．解析：本题考查函数的定义域、值域的概念及求法，指数函数的单调性，是基础题．(Ⅰ)要使得函数f(x)有意义，则需满足{2−x ≥03x −13>0，从而得出定义域M =(−1,2]；(Ⅱ)变形g(x)=(2x −1)2+1，根据x ∈M 即可得出2x ∈(12,4]，从而可求g(x)的最大和最小值，从而得出g(x)的值域．20.答案：解：(1)函数f(x)=log 2(1x +4)，由4+1x >0，即x(1+4x)>0，解得x >0或x <−14，可得f(x)的定义域为{x|x >0或x <−14}；(2)由f(x)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0得log 2(1x +a)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0．即log 2(1x +a)=log 2[(a −3)x +2a −4]，即1x +a =(a −3)x +2a −4>0，①则(a −3)x 2+(a −4)x −1=0，即(x +1)[(a −3)x −1]=0，②，当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立；当a =2时，方程②的解为x =−1，代入①，成立当a ≠3且a ≠2时，方程②的解为x =−1或x =1a−3，若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1，若x =1a−3是方程①的解，则1x +a =2a −3>0，即a >32，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤32．综上，若方程f(x)−log 2[(a −3)x +2a −4]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是(1,32]∪{2，3}；(3)函数f(x)在区间[t,3t −1]上单调递减，由题意得f(t)−f(3t −1)≤1，即log 2(1t +a)−log 2(13t−1+a)≤1，即1t +a ≤2(13t−1+a)，即a ≥1t −23t−1=t−1t(3t−1)，设r =t −1，则0≤r ≤1，可得t−1t(3t−1)=r (r+1)(3r+2)=r 3r 2+5r+2，当r =0时，r 3r 2+5r+2=0；当0<r ≤1时，r 3r +5r+2=13r+2r +5在(0,√63)递增，在(√63,1)递减， 可得r =√63处r3r 2+5r+2取得最大值5−2√6， 可得a 的取值范围是a ≥5−2√6．解析：本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大(1)由对数的真数大于0，结合分式不等式的解法，可得所求定义域；(2)根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；(3)根据f(x)的单调性得到f(t)−f(3t −1)≤1恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．21.答案：解：(1)令a =b =1得f(1)=f(1)+f(1)−1，得f(1)=1，∵f(2)=0，∴f(2×12)=f(2)+f(12)−1=f(1)，则0+f(12)−1=1，得f(12)=2(2)证明：设0<x 1<x 2，可得x 2x 1>1， 可得f(x2x 1)<1， 由f(x 2)=f(x 1⋅x 2x 1)=f(x 1)+f(x 2x 1)−1<f(x 1)，可得函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．解析：(1)令a =b =1，a =2，b =12，即可求得f(1)及f(12)的值；(2)当x >1时，f(x)<1，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义进行转化是解决本题的关键． 22.答案：解：(1)因为函数f(x)=−2x +b 2x+1+a (x ∈R)是奇函数，所以f(0)=0，得b =1，所以f(x)=−2x +12x+1+a ，又函数的定义域为R ，所以f(−1)=−f(1)，可得：−12+11+a =−−2+14+a ，解得a =2，所以a =2，b =1;(2)由(1)可得f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，易得f(x)在(−∞,+∞)是减函数，又f(x)是奇函数，所以f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0可化为f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)=f(k −2t 2)，所以t 2−2t >k −2t 2，即3t 2−2t −k >0恒成立，所以Δ=4+12k <0，解得k <−13．解析：本题考查函数的奇偶性和函数的单调性，属于中档题．(1)根据函数是奇函数，可得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，即可解得；(2)先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，转换为3t 2−2t −k >0恒成立，从而解答即可．。
2020年高一数学上期中试卷(带答案)
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数 恒成立（ 即可）或 恒成立（ 即可）；②数形结合（ 图象在 上方即可）；③讨论最值 或 恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得 的范围.
解析：
【解析】
【分析】
设 ，带入化简得到 得到答案.
【详解】
，设 代入得到
故 的解析式是
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.
18．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7
【解析】
【分析】
【详解】
设 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
,
故答案为7.
由题得 ，令f(x)= ,
所以 ，
Hale Waihona Puke 所以故答案为[-6,-2)
【点睛】
本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
三、解答题
21．(1)1 (2)见解析(3)
【解析】
【分析】
(1)令 ，代入计算得到答案.
(2)任取 ， ，且 ，计算得到 得到证明.
二、填空题
13．已知 ， ，其中 ，若 与 的图象有两个不同的交点，则 的取值范围是______________.
14．若不等式 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则 的取值范围是
15．函数y= 的定义域是.
16．已知函数 ， ，则 ________．
17．若函数 满足 ，则 的解析式是_________.
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(a2−1)+(a−1)i为纯虚数，其中a∈R，则a2+i1+ai等于()A. −iB. iC. 1D. 1或i2.设向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−1)，则(a⃗⋅b⃗ )(a⃗+b⃗ )等于()A. (1,1)B. (−4,−4)C. −4D. (−2,−2)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a16=3，则S20=()A. 10B. 15C. 20D. 304.平面α与平面β平行的条件可以是()A. α内有无数条直线都与β平行B. 直线a//α，a//β，且直线a不在α内，也不在β内C. α内的任何直线都与β平行D. 直线a在α内，直线b在β内，且a//β，b//α5.设曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，则a=()A. 0B. 1C. 2D. 36.函数f(x)=2xsinxx2+cosx在[−2π,2π]上的图象大致为()A. B.C. D.7.将函数，φ∈(0,π)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则φ的值为()A. 2π3B. π3C. π6D.5π68.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，P为A1C的中点，则异面直线BP与AD1所成角的余弦值为()A. 13B. √64C. √23D. √339.已知α，β是两个不同的平面，且直线m，n满足m//α，n⊥β，则以下结论成立的是()A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，则α⊥βC. 若α⊥β，则m//nD. 若m//n，则α⊥β10.设f(x)=lnx,若0<c<b<a<1,则f(a)a ,f(b)b,f(c)c的大小关系为()A. f(a)a >f(b)b>f(c)cB. f(a)a<f(b)b<f(c)cC. f(c)c <f(a)a<f(b)bD. f(b)b<f(c)c<f(a)a11.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2=ac，且sinC=√2sinB，则其最小内角的余弦值为()A. −√24B. √24C. 5√28D. 3412.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)>x−1，则不等式f(x)<12x2−x+1的解集为()A. {x|−2<x<2}B. {x|x<2}C. {x|x>2}D. {x|x<−2或x>2}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cos(π4−α)=35，则sin2α=__________.14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a3=0，则S4S2=______ ．15.已知实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，D1D=λ(λ>0).若棱C1C上存在一点P满足A1P⊥平面PBD，则实数λ的取值范围是____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知f(x)=|x−4|+|x+2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)当a,b,c都大于0，且a+b+c=m时，求1a +4b+9c的最小值．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB(acosB+bcosA)=√3ccosB．(1)求B；(2)若b=2√3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．19.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．(Ⅰ)求证：AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)求证：A1B//平面AC1D．20.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗).}为等比数列；(I)求证：数列{a n+12(Ⅱ)记T n=S1+S2+⋯+S n，求T n的表达式．21.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE和ΔBCF均为正三角形．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值．22.已知函数f(x)=(x2+x−4)e−x−ax．⑴若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；⑴若x0是f(x)的极大值点，求f(x0)的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查复数的运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 利用复数是纯虚数求出a ，然后利用复数的运算法则化简求解即可． 【解答】解：由题意{a 2−1=0a −1≠0，解得a =−1，所以a 2+i1+ai=1+i 1−i=i (1−i )1−i=i ．故选B ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查平面向量的数量积的坐标公式和向量的数乘运算，属于基础题． 运用向量的数量积的坐标公式和数乘运算，即可得到． 【解答】解：向量a ⃗ =(−1,2)， b ⃗ =(2,−1)， 则a ⃗ ⋅b ⃗ =−2−2=−4， 则有(a ⃗ ⋅b ⃗ )(a ⃗ +b ⃗ )=−4(1,1) =(−4,−4)． 故选B ．3.答案：D解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 20=a 5+a 16=3． ∴S 20=20(a 1+a 20)2=10×3=30．故选：D ．由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 20=a 5+a 16=3.再利用等差数列的前n 项和公式S 20=20(a 1+a 20)2即可得出．本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】本题考查两个平面平行的判定，注意平面内直线的位置关系，考虑特殊情况，属于基础题．对四个选项分别分析选择，当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a//α，a//β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选D．【解答】解：对于A，当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故A错误；对于B，当直线a//α，a//β时，a与β可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故C正确；对于D，当直线a⊂α，直线b⊂β，且a//β时，直线a和直线b可能平行，也可能是异面直线，故D 错误．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵y=e ax−ln(x+1)，∴y′=ae ax−1．x+1∴x=0时，切线的斜率y′|x=0=k=a−1.∵曲线y=e ax−ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x−y+1=0，∴a−1=2，即a=3．故选：D．6.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点、变化趋势，属于基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．【解答】解：∵f(x)=2xsinxx2+cosx，，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C；∵f(π2)=ππ24=4π，f(3π2)=−3π9π24=−43π，∴|f(π2)|>|f(3π2)|，故排除B．故选D．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，考查函数的奇偶性，属于基础题．由平移变换求得g(x)，再根据奇偶性求得φ的值．【解答】解：将函数f(x)=3sin(2x+φ)，φ∈(0,π)的图象沿x轴向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=3sin(2x−π3+φ)的图象，又∵g(x)为奇函数，∴φ−π3=kπ，k∈Z，解得，k∈Z，∵φ∈(0,π)，∴φ=π3．故选B．8.答案：D解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BP与AD1所成角的余弦值．解：∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =BB 1=1，P 为A 1C 的中点， ∴如图，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(1,2，0)，A 1(1,0，1)，C(0,2，0)，P(12,1,12)，A(1,0，0)，D 1(0,0，1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,12)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，设异面直线BP 与AD 1所成角为θ， 则cosθ=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12+12√4×√2=√33．∴异面直线BP 与AD 1所成角的余弦值为√33．故选D ．9.答案：D解析： 【分析】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题． 根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可得到答案． 【解答】选项A ，m ，n 可能平行；选项B ，α,β可能平行；选项C ，m ，n 可能相交； 对于D 选项，∵m//n ，n ⊥β，∴m ⊥β，又m//α，∴α⊥β． 故选D ．10.答案：A解析：令ℎ(x)=lnxx ,则ℎ′(x)=1−lnxx2,对于0<x<1,ℎ′(x)>0,ℎ(x)在(0,1)上单调递增，又0<c<b<a<1,那么f(a)a >f(b)b>f(c)c.11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的运用，属于基础题．根据题意由，由正弦定理变形得到c=√2b，再结合b2=ac，得到b=√2a，进而得到a=√22b，c=√2b，得到a<b<c，即A为最小内角，再运用余弦定理计算即可求解．【解答】解：，∴由正弦定理变形得到c=√2b，又b2=ac，∴b=√2a，∴a=√22b，c=√2b，∴a<b<c，∴A为△ABC最小内角，，故选C．12.答案：B解析：令g(x)=f(x)−12x2+x，则g′(x)=f′(x)−x+1，因为f′(x)>x−1，所以g′(x)>0，即g(x)在R上为增函数，不等式f(x)<12x2−x+1可化为f(x)−12x2+x<1，即g(x)<g(2)，又g(x)单调递增得x<2，所以不等式的解集为{x|x<2}．13.答案：−725解析：sin2α=cos(π2−2α)=cos[2(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725.14.答案：65解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵8a2−a3=0，∴a 2(8−q)=0，解得q =8． 则S 4S 2=a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q =1+q 2=65．故答案为：65．利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.答案：18解析：解：根据题意，实数x ，y 满足2x +y =1，则y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，分析可得：当x =14时，xy 取得最大值，其最大值为18；故答案为：18．根据题意，由2x +y =1可得y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，由二次函数的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意x 、y 的范围，要结合二次函数的性质分析． 16.答案： [2,+∞)解析：【分析】本题主要考查面面垂直的问题，根据垂直关系，求解即可．【解答】解：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，B(1,1，0)，A 1(1,0，λ)．设P(0,1，x)，其中x ∈[0,λ]，则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，x −λ)，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，x)． 因为A 1P ⊥平面PBD ，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(−1,1，x −λ)·(−1，0，x)=0，化简得x 2−λx +1=0，x ∈[0,λ]，故判别式Δ=λ2−4≥0，且λ>0，解得λ≥2，所以实数λ的取值范围是[2,+∞)．故答案为 [2,+∞)．17.答案：解：(1)|x −4|+|x +2|≥|(x −4)−(x +2)|=6，所以m=6，(2)由柯西不等式得(a+b+c)(1a +4b+9c)≥(√a·√a +√b·√b+√c√c)2=36，因此1a +4b+9c≥6，当a=1，b=2，c=3时等号成立，所以1a +4b+9c的最小值为6．解析：本题考查绝对值不等式的性质及柯西不等式的应用，属于中档题．(1)根据绝对值不等式的性质得|x−4|+|x+2|≥|(x−4)−(x+2)|=6，即可求得m的值．(2)由柯西不等式得(a+b+c)(1a +4b+9c)≥(√a·√a +√b·√b+√c√c)2=36，即可求得1a+4b+9c的最小值．18.答案：解：(1)根据正弦定理得：sinB(sinAcosB+sinBcosA)=√3sinCcosB，∴sinBsin(A+B)=√3sinCcosB，∴sinBsinC=√3sinCcosB，∵C∈(0,π)，∴sinC>0，∴sinB=√3cosB，即tanB=√3，∵B∈(0,π)，∴B=π3，(2)∵S△ABC=12acsinB=√34ac=2√3，∴ac=8，根据余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，∴12=a2+c2−8，即a2+c2=20，∴a+c=√(a+c)2=√a2+2ac+c2=6，∴△ABC的周长为：6+2√3．解析：(1)根据正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinBsinC=√3sinCcosB，结合sinC>0，可求tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，由特殊角的三角函数值可求B的值．(2)利用已知及三角形面积公式可求ac=8，进而利用余弦定理可求a+c=6，从而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE．因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．因为D为BC中点，所以DE//A1B.因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B//平面AC1D．解析：本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力，属于中档题．(Ⅰ)由CC1⊥平面ABC.可证CC1⊥AD，由AB=AC，D为BC中点，可证AD⊥BC，即可证明AD⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE.可得E为A1C中点，由D为BC中点，可证DE//A1B，即可证明A1B//平面AC1D．20.答案：证明：(I)当n=1时，3a1=2S1+1，所以a1=1．当n ≥2时，由3a n =2S n +n①得3a n−1=2S n−1+n −1②①−②得3a n −3a n−1=2S n +n −2S n−1−n +1=2(S n −S n−1)+1，=2a n +1，所以：a n =3a n−1+1，则：a n +12=3(a n−1+12)， 所以数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)由(I)得a n +12=32⋅3n−1，所以：a n =32⋅3n−1−12将其代入①得，S n =34⋅3n −14(2n +3)T n =S 1+S 2+S 3+⋯+S n ，=34(31+32+33+⋯+3n )−14(5+7+⋯+2n +3)，=34⋅3(3n −1)3−1−n(n+4)4， =98(3n −1)−n(n+4)4．解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用构造新数列法得到数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出数列S n ，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 21.答案：解：(1)取AC 的中点O ，连接OP ，OB ，则有∵PA =PC 且O 为AC 的中点，∴OP ⊥AC ；同理，OB ⊥AC ．∴AC ⊥平面POB ，则有∠POB 为平面P −AC −B 的平面角，又∵在△POB 中，OP =OB =1，BP =√2，则有OP 2+OB 2=BP 2，∴∠POB =90°∴平面PAC ⊥平面ABC ．(2)由(1)可知，OP ⊥平面ABC ，则有OP ⊥OC ，OP ⊥OB ，又∵OB ⊥OC ，所以，建立如右图所示的空间直角坐标系．则有，OA =OB =OC =OP =1，∴A(−1,0，0)，B(0,1，0)，C(1,0，0)，P(0,0，1)，∵M 是PC 的中点，∴M(12,0,12)，又∵PN =2NA ，∴N(−23,0,13)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−76,0,−16)设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则有{PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，∴n ⃗ =(−1,1,1)， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，sinθ=∣∣cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >∣=∣∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗⃗ ∣∣∣∣=√65． 故直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为√65． 解析：此题是一道立体几何中档题，第一小题用几何法，证明面面垂直；第二小题用向量法更为方便． (1)利用线面垂直来证面面垂直；(2)利用向量法来求直线与平面所成的角。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
哈师大附中2020级高一上期中考试数学试卷第Ⅰ卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|0}1x A x x -=≥+，集合{|20}B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{|21}x x -<<-B ．{|21}x x -≤<-C ．{|21}x x -<≤-D ．{|10}x x -≤≤2.函数0()f x =的定义域为（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|3}x x <C ．{|3,1}x x x ≤≠且D ．{|3,1}x x x <≠且 3.若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．22a b >C ．||||a c b c >D ．2211a bc c >++ 4.设a ∈R ，则“38a <”是“11a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知,a b R ∈，且0ab >，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +>C ．2a bb a +≥D ．11a b +>6.函数()f x 的单调增区间为（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[2,3]7.已知函数()||2f x x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数，单调递增区间是[0,)+∞B ．()f x 是偶函数，单调递减区间是(,1]-∞C ．()f x 是奇函数，单调递减区间是[1,1]-D ．()f x 是奇函数，单调递增区间是(,0]-∞8.已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是( )9.如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园，则其边长x (单位：m )的取值范围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10.已知定义域(1,1)-的奇函数()y f x =，当[0,1)x ∈时，函数()f x 为增函数，若(3)f a -+2(9)0f a -<，则实数a 的取值范围为（ ）A.（22,3） B ．（3,10） C ．（22,4） D ．(2,3)-11.已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.2332a << B.213a <≤ C.9a ≥ D.293a <≤12.若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒有11122122()()()()x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数：①2()f x x =；②3()f x x =；③21()21x f x x -=+；④224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置.13.幂函数)(x f y =的图像过点(8,22)，则(9)f =________________．14.函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间,1]-∞（单调递减，则实数a 的取值范围为____________ ． 15. 函数()21f x x x =-+的值域为______________________．16．设函数211()231x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，，,①若()2f x =，则x =____________；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是_____________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知集合2{|}A x a x a =<<，2{|540}B x x x =-+->．（Ⅰ）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+．（Ⅰ）求当0x ≤时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间()0+∞，上单调递增．19.（本小题满分12分）已知函数2()6f x x ax =-+(0)a >.（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为}32|{<<x x ，求()f x y x=在区间[2,4]的最小值； （Ⅱ）关于x 的不等式1()5f x x a<+. 20.（本小题满分12分）若二函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,3]x ∈时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且128a b +=，若存在,a b 使()2bf t a >+成立，求实数t 的取值范围.22．（本小题满分12分）在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量12x x 、，若都有（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （Ⅱ）若对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2021 学年高一上学期期中考试数学一、选择题：共12 题1．全集,集合,那么A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了交、并、补集的混合运算；∵全集 ,集合∴∴.2．以下函数是偶函数并且在区间上是增函数的是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题考查命题真假的判断；在 A 中，是偶函数，在区间上是减函数，故 A 错误；在 B 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 B 错误；在 C 中，是非奇非偶函数，在区间上是增函数，故 C 错误；在 D 中，是偶函数并且在区间上是增函数，故 D 正确 .3．不等式的解集为A. 或B. 或C.或D. 或【答案】 B【解析】此题考查了高次不等式的解法；不等式等价于∴将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图：由图可看出不等式的解集为或.4．函数且恒过定点A. B. C. D.【答案】 D【解析】此题考查指数函数的图象和性质，考查恒过定点问题的求解方法;由得此时∴函数且恒过定点5．以下各组函数中不表示同一函数的是A.B.C.D.【答案】 C【解析】此题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题；A.的定义域是 ,的定义域为定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数B.的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；C.的定义域为的定义域为，定义域不同，∴不是同一函数D. 的定义域都是R ，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数.6．函数,那么函数的解析式为A. B. C. D.【答案】 A【解析】此题考查了函数解析式的求法；令,那么∴∴.7．,那么A. B. C. D.【答案】 B【解析】此题主要是考查对数值、指数值比拟大小；∵，，．.8．函数的定义域为,那么函数的定义域为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查了求函数的定义域问题，考查不等式问题;∵函数的定义域为∴解得 .9．为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数,又,那么不等式的解集是A. B.C. D.【答案】 D【解析】此题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识;∵为定义在实数集R 上的奇函数,且在区间(0,＋∞)上是增函数又∴在内是增函数∵∴或∴10．函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】 C【解析】此题考查的知识点是复合函数的单调性;函数的定义域为令，那么，∵为增函数，在上为减函数，在上为增函数，故函数的单调递增区间为.11．函数的图象是【答案】 B【解析】此题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用;由得或∴函数的定义域为所以选项 A 、 D 不正确 ;当时 ,是增函数∴是增函数，排除 C.12．定义函数,假设存在常数,对于任意的,存在唯一的,使,那么称函数在上的“均值〞为,,那么函数在上的“均值〞为A. B. C. D.【答案】 B【解析】这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型；由题意，令当时，选定∴.二、填空题：共 4 题13．函数,那么= ________.【答案】 10【解析】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、 y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者；令，那么，由，得所以，所以14．函数的值域为________.【答案】【解析】此题主要考查函数值域的求解，根据根式的性质是解决此题的关键;∵∴则,∴∴∴函数的值域是15．关于的方程有两个不相等的实数解,那么实数的取值范围是 ________.【答案】【解析】此题主要考查方程根的存在性以及个数判断;∵关于的方程有两个不相等的实数解，∴的图象和直线有 2 个交点，当时，，在R 上单调递增，不满足条件，故a＞ 0．当趋于时，的值趋于；当趋于时，的值趋于，故有，那么实数的取值范围为.16．函数在区间上的最大值为,最小值为 ,那么________.【答案】 4【解析】此题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题;∵ 是奇函数，∴而在时取最大值，时取最小值，∴，∴三、解答题：共 6 题17．计算：.【答案】===0【解析】此题考查对数的运算性质; 直接利用对数的运算性质化简得答案.18．集合.(Ⅰ )求集合及；(Ⅱ )假设 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ ),(Ⅱ ),且由 .【解析】此题主要考查了不等式的计算能力和集合的根本运算;(Ⅰ )根据题意化简求出集合，集合．根据集合的根本运算即可求，(Ⅱ )先求出，在根据，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 .19．函数是定义在上的奇函数,当时 ,.(Ⅰ )求；(Ⅱ )求在上的解析式；(Ⅲ )求不等式的解集.【答案】 (Ⅰ )(Ⅱ )当时 ,,.(Ⅲ )①当时 ,,且 .②当时 ,且 .综上：解集为 .【解析】此题考查函数的奇偶性的应用，函数的解析式的求法，不等式的解法; (Ⅰ )利用函数的奇偶性即可求；(Ⅱ )利用函数的奇偶性的性质即可求的解析式；(Ⅲ )利用函数的解析式，列出不等式求解即可.20．函数是奇函数.(Ⅰ )求实数的值；(Ⅱ )用定义证明函数在上的单调性；(Ⅲ )假设对任意的 ,不等式恒成立 ,求实数的取值范围.【答案】 (Ⅰ )∵函数的定义域为R,且是奇函数,∴,解得,此时 ,满足 ,即是奇函数 ,∴.(Ⅱ ) 任取 ,且 ,那么 ,于是 =,即,故函数在上是增函数.(Ⅲ )由及是奇函数 ,知又由在上是增函数,得 ,即对任意的恒成立∵当时 ,取最小值 ,∴ .【解析】此题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性; (Ⅰ )函数的定义域为，且是奇函数，故，解得值；(Ⅱ ) 任取，作差判断与的大小，根据函数单调性的定义，可得函数在上的单调性；(Ⅲ )根据函数的单调性和奇偶性得,即对任意的恒成立，求出的最小值即可.21．二次函数,且.(Ⅰ )求函数的解析式；(Ⅱ )假设函数 ,求函数的最值.【答案】 (Ⅰ )∴∴∴ ,∴ .(Ⅱ )①当时 ,即时 ,当时 ,当时；②当时 ,即时 ,当时 ,当时；③当时 ,即时 ,当时 ,当或 2 时；④当时 ,即时 ,当时 ,当时；⑤当时 ,即时 ,当时 ,当时 .【解析】此题考查的知识点是二次函数的图象和性质；(Ⅰ ) 由中，求出的值，可得函数f〔 x〕的解析式 .(Ⅱ )的图象开口朝上，且以直线为对称轴，由，对对称轴的位置进行分类讨论，可得函数的最值 .22．f ( x)当点在的图象上运动时,点在函数的图象上运动 (). log 2 x ,(Ⅰ )求和的表达式；(Ⅱ )关于的方程有实根,求实数的取值范围；(Ⅲ )设 ,函数的值域为 ,求实数的值 .【答案】 (Ⅰ )由得 ,.由得 ,.(Ⅱ )方程有实根 ,,别离得 .设.(Ⅲ )下面证明在上是减函数任取 ,那么即在上递减 ,故在在上递减,即解得 ,故.【解析】此题主要考查了求函数的解析式以及求利用函数的单调性求函数的值域；(Ⅰ )当点在的图象上运动可得，点在函数的图象上运动可得故再用代即可求出的表达式. (Ⅱ )由 (Ⅰ )可得要使关于的方程有实根，，可得：在有实根, 设，求出的取值范围即可. (Ⅲ )在上是减函数，即可求出的值.。
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合2|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}|20B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}|21x x -<<- B ．{}|21x x --<≤ C ．{}|21x x -<≤-D ．{}|10x x -≤≤ 【答案】A【分析】由201x x -≥+求出集合A (注意分母不能为零)，然后根据集合的交运算求交集即可．【详解】由201x x -≥+得：2x ≥或1x <-， 所以{|1A x x =<-或}2x ≥，又{}|20B x x =-<<，所以{}|21A B x x =-<<-．故选：A ．2．函数0()f x = ） A ．{|3}x x B ．{|3}x x < C ．{|3x x ，且1}x ≠ D ．{|3x x <，且1}x ≠【答案】D【分析】可看出，要使得()f x 有意义，需满足1030x x -≠⎧⎨->⎩，然后解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则1030x x -≠⎧⎨->⎩，解得3x <且1x ≠， ()f x ∴的定义域为{|3x x <，且1}x ≠．故选：D ．3．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ．A ．11a b <B ．22a b >C ．a c b c >D ．2211a b c c >++【答案】D【分析】通过反例1a =，1b =-，0c可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b =-，则1111a b =>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误； 211c +≥ 21011c ∴<≤+，又a b > 2211a b c c ∴>++，则D 正确. 故选D 【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.4．设a R ∈，则“38a <”是“|1|1a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简解出不等式，由充分必要条件的定义判断出即可．【详解】解：由“38a <”得2a <，由“|1|1a -<”解得02a <<， 2a <推不出02a <<，02a <<可推出2a <，故“38a <”是“|1|1a -<”的必要不充分条件，故选：B ．5．函数y =的单调增区间是（ ）A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[2，3] 【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性求出增区间即可．【详解】解：由2430x x -+-得2430x x -+，得13x ，设243t x x =-+-，则对称轴为2x =，则y =为增函数，要求函数y =的单调增区间，根据复合函数单调性可知，只需要求243t x x =-+-的递增区间，243t x x =-+-的递增区间为[1，2]，∴函数243y x x =-+-的单调增区间是[1，2]，故选：B ．6．已知函数()||2f x x x x =-，则有（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间为[0，)+∞B ．()f x 是偶函数，递增区间为(-∞，1]C ．()f x 是奇函数，递减区间为[1-，1]D ．()f x 是奇函数，递增区间为(-∞，0]【答案】C【分析】由已知结合函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，作出函数的图象，结合图象可求单调区间．【详解】解：因为()||2f x x x x =-，所以()22()f x x x x x x x f x -=--+=-+=-，故()f x 为奇函数，因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，结合二次函数性质可知，()f x 的单调递减区间为[1-，1]．故选：C ．7．已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再根据基本不等式即可判断．【详解】解：31()()f x xf x x-=--=-，()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， ∴函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD ，当0x >时，333441111111()4?··33333327f x x x x x x x x x x x =+=+++=，当且仅当313x x=，即413x =<时取等号，故排除B ， 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]【答案】C 【详解】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则22404040ADE ABC x S y S ∆∆-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以40y x =-，又300xy ，所以(40)300x x -，即2403000x x -+，解得1030x .【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.9．已知定义域()1,1-的奇函数()y f x =，当[)0,1x ∈时，函数()f x 为增函数，若()()2390f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A．()B．( C．()4 D ．()2,3-【答案】B【分析】推导出函数()f x 是定义在()1,1-上的增函数，且为奇函数，由()()2390f a f a -+-<可得()()233f a f a -<-，根据题中条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，∴由()()2390f a f a -+-<， 得()()()22399f a f a f a -<--=-． 当[)0,1x ∈时，函数()f x 为增函数，所以，函数()f x 在(]1,0-上为增函数，所以，函数()f x 在()1,1-上是增函数，∴2213119139a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得3a <<所以，实数a的取值范围是(．故选：B ．【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2332a <<B ．213a <C ．9aD ．293a < 【答案】B【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围．【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32a x a -=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示， 则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <； 当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅． 综上可得，a 的取值范围是213a <． 故选：B ．【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.11．若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()()11122122x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”．给出下列四个函数：①()2f x x =；②()3f x x =；③()2121x x f x -=+；④()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先确定“理想函数”满足的条件为①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；进一步对①②③④这四个函数进行判断即可．【详解】由（1）知：()f x 为定义域上的奇函数；由（2）知：()()()11120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，可知()f x 单调递增.即“理想函数”满足①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；对于①，()2f x x =是偶函数，在定义域内不单调递增，①不是“理想函数”； 对于②，()3f x x =；满足函数是奇函数，在定义域内单调递增，②为“理想函数”； 对于③，()()21212121x x f x f x x x --+-==≠--+-，函数不是奇函数，③不是“理想函数”； 对于④，()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，当0x <时，0x ->，则()()()2244f x x x x x f x -=--=-=-，又()00f =，可知()f x 为定义域上的奇函数；又当0x ≥时，()f x 单调递增，由奇函数性质知：()f x 在(],0-∞上单调递增，则()f x 在定义域内单调递增，④为“理想函数”.故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够明确新定义函数的具体要求，即函数需为奇函数且在定义域内单调递增，进而利用函数奇偶性和单调性的判断方法依次判断各个选项.二、多选题12．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +≥C ．2b aa b +≥ D ．11a b +> 【答案】BC【分析】AD 可举例排除，BC 利用基本不等式来判断..【详解】解：A.当1a b ==-时，112--≥，不成立；B.由基本不等式得222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，成立；C.由基本不等式得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，成立；D.当1a b ==-时，112-->，不成立；故选：BC.【点睛】本题考查基本不等式的应用，是基础题.三、填空题13．幂函数()y f x =的图象过点(8,，则()9f =______.【答案】3【分析】设()af x x =，由已知得出()88a f ==a 的值，进而可求得()9f 的值.【详解】设幂函数()af x x =（a 为常数），幂函数()y f x =的图象过点(8,，8a ∴=，解得12a =， ()f x ∴=，因此，()93f =.故答案为：3.14．函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间(-∞，1]单调递减，则实数a 的取值范围为__．【答案】(-∞，1]2-． 【分析】由已知结合二次函数的单调性与对称轴的位置关系，求出实数a 的取值范围．【详解】解：因为2()(21)5f x x a x =+-+在区间(-∞，1]单调递减， 所以1212a -，解得，12-a ． 故答案为：(-∞，1]2-．15．函数g(x)＝2x ________．【答案】17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】＝t ，(t≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y＝2t 2－t －2＝2117248t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，t≥0， ∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g(x)的值域为17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故填17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.四、双空题16．设函数21,1()23,1x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩． ①若()2f x =，则x =__；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是__．【答案】1 1(2，)+∞． 【分析】①对x 分情况讨论，分段求出x 的值即可．②对x 分1x 和12x <和2x >三种情况讨论，分别求出()f x 和(1)f x -的解析式，化简整理解出x 的取值范围，最后再求并集即可．【详解】解：①当1x 时，()1f x x =+，12x ∴+=，1x ∴=，当1x >时，2()23=-+f x x x ， 2232x x ∴-+=，解得：1x =（舍去），综上所述，若()2f x =，则1x =．②()i 当1x 时，10x -，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：1(1)12x x ++-+>，即212x +>， 解得：12x >， ∴112x <， ()ii 当12x <时，11x -，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：223(1)12x x x -++-+>，即232x x -+>， △140=-<，12∴<x ，()iii 当2x >时，11x ->，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：2223(1)2(1)32x x x x -++---+>，即22670x x -+>，△36427200=-⨯⨯=-<，2x ∴>，综上所述，x 取值范围是：1(2，)+∞． 故答案为：1，1(2，)+∞． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，主要运用分类讨论的数学思想，考查了解一元二次不等式．五、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2540B x x x =-+->． （1）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞；（2）[]0,2．【分析】（1）由1A ∈可得出实数a 的不等式组，求得对应的实数a 的取值范围，利用补集思想可求得当1A ∉时，实数a 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，建立不等式关系，即可求实数a 的取值范围．【详解】（1）若1A ∈，则211a a <⎧⎨>⎩，解得1a <-. 因此，当1A ∉时，1a ≥-，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞；（2）由2540x x -+->，得2540x x -+<，解得14x <<，即()1,4B =， :p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，A ∴ B ，当A =∅时，即2a a ≤，解得01a ≤≤，满足题意；当A ≠∅时，由A B ，可得2214a a a a ⎧>⎪≥⎨⎪≤⎩，解得12a <≤.当2a =时，()2,4A =，()1,4B =，则A B 成立.综上所述，实数a 的取值范围为[]0,2.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+． （Ⅰ）求当0x 时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．【答案】（Ⅰ）0,0()11,0x f x x x =⎧⎪=⎨-<⎪⎩；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据题意，由奇函数的定义可得(0)0f =，当0x <时，0x ->，求出()f x -的表达式，结合函数的奇偶性分析可得()f x 的表达式，综合可得答案；（Ⅱ）根据题意，利用函数的单调性定义可得结论．【详解】解：（Ⅰ）根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，当0x <时，0x ->，则11()11f x x x-=+=+-， 又由()f x为奇函数，则1()()1f x f x x=--=-，则当0x时，0,0()11,0x f x x x =⎧⎪=⎨-<⎪⎩， （Ⅱ）证明：设120x x <<，则1212121111()()11)()f x f x x x x x -=+-+=--121212121()x x x x x x x x -==-，又由120x x <<，则12()0x x -<0>，1210x x >， 则12())0(f x f x -<，则函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -； 3.定号：确定()()12f x f x -的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 19．已知函数2()6(0)f x x ax a =-+>．（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为{|23}x x <<，求()f x y x=在区间[2，4]的最小值；（Ⅱ）解关于x 的不等式1()5f x x a<+．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）根据不等式和方程的关系求出a 的值，从而求出()f x y x=的解析式，求出函数的最小值即可； （Ⅱ）问题转化为()10a x x a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，通过讨论a 的范围，求出不等式的解集即可．【详解】解：（Ⅰ）不等式()0f x <的解集为{|23}x x <<2∴和3是方程260x ax -+=的根23a +=，解得：5a =故2()56f x x x =-+()665255f x y x x x x x∴==+-⋅-=当且仅当x =“=”成立故()f x y x=在区间[2，4]的最小值是5； （Ⅱ）1()5f x x a <+即2165x ax x a-+<+，(0)a >故22(1)0ax a x a -++<，故1()0a x x a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1()0x x a a ⎛⎫∴--< ⎪⎝⎭①1a a <即1a >时，1x a a << ②1a a =即1a =时，不等式无解 ③1a a >即01a <<时，1a x a<< 综上：1a >时，不等式的解集是1{|}x x a a<< 1a =时，不等式无解01a <<时，不等式的解集是1}|{x a x a<<．20．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1x ∈，3]时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2()1f x x x =-+；（Ⅱ）7(5，)+∞.【分析】（Ⅰ）由(0)1f =，可得c ，再由恒等式的性质可得a ，b 的方程，求得a ，b ，即可得到()f x 的解析式；（Ⅱ）由题意可得2(1)120x m x m -++-<在[1x ∈，3]恒成立，考虑二次函数的图象，可得g （1）0<，且g （3）0<，解不等式可得所求范围． 【详解】解：（Ⅰ）由(0)1f =，可得1c =，由22(1)()(1)(1)()22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=， 即为22a =，0a b +=，解得1a =，1b =-， 则2()1f x x x =-+；（Ⅱ）当[1x ∈，3]时，不等式()(2)f x m x <+恒成立， 即为21(2)x x m x -+<+恒成立，则2(1)120x m x m -++-<在[1x ∈，3]恒成立， 设2()(1)12g x x m x m =-++-，可得g （1）1(1)120m m =-++-<，且g （3）93(1)120m m =-++-<，即为13m >且75m >，则75m >，即m 的取值范围是7(5，)+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解析式的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查待定系数法和转化思想、运算能力和推理能力，一元二次不等式恒成立，可转化为求出对应二次函数的最值．由最值满足的关系求得参数范围． 21．已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求()f x 的解析式； （2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1xf x x=+；（Ⅱ）(2⎤-⎦． 【分析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b+=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mxf x x =+，又由()11f =得，则12m=，可得2m =，则22()1xf x x=+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t -<<[]1,1t ∈-，所以实数t的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =； （2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2ba +的最小值． 22．在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量1x 、2x ，若都有1212()()()22++≤x x f x f x f ，则称()f x 为D 上的凹函数；若都有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为D 上的凸函数．已知函数()()af x x a R x =-∈．（1）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （2）若对任意的(0,1)x ∈，都有()()11f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数．证明见解析；（2）1a ≥或14a -≤． 【分析】（1）函数1()f x x x=-在区间(0,)+∞上为凹函数．由函数的凹凸性的定义，运用作差法和因式分解，可得结论；（2）将原不等式化为222(1)[(1)](1)a a ax x x x x x -+-≥+--，可令(1)t x x =-，运用二次函数求得t 的范围，解关于t 的不等式，结合恒成立思想可得a 的范围． 【详解】解：（1）函数1()f x x x=-在区间(0,)+∞上为凹函数． 理由：设1x 、2(0,)x ∈+∞，121212121212()()2111()()2222x x f x f x x x f x x x x x x +++-=---+-+ 22221212121212121212121212121212124()14()()()1·()()2()22()2()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--++-+=++=++++22121212121212124()()02()2()x x x x x x x x x x x x x x -+-==-++，即有1212()()()22++≤x x f x f x f ，即()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数． （2）()()11f x f x ⋅-≥即为()(1)11a ax x x x--+≥-在(0,1)x ∈上恒成立， 由01x <<，可得011x <-<，上式化为22()[(1)](1)a x a x x x ---≥-， 即为2222[(1))][(1)](1)a a x x x x x x -+-+-≥-， 即有222(1)[(1)](1)a a ax x x x x x -+-≥+--，可令(1)t x x =-，2111(1)0,244t x x x ⎛⎫⎛⎤=-=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则上式化为22(21)()0t a t a a +-+-≥，可得()(1)0t a t a ++-≥，解得1t a ≥-，或t a ≤-在104t <≤上恒成立，故10a -≤或14a -≥， 解得1a ≥或14a -≤．【点睛】本题解题关键是紧扣新定义，利用作差法证明1212()()()22++≤x x f x f x f ，即判断()f x 是凹函数；恒成立问题的常见方法是分离参数法、构造函数法和数形结合法，本题采用分离参数法，巧妙换元(1)t x x =-，再进行因式分解，即转化成1t a ≥-，或t a ≤-在104t <≤上恒成立，即突破难点.。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高一(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
又 f (x) g(x) 3x ， ①
f (x) g(x) 3x ，
f (x) g(x) 3x ， ②
由①②得 f (x) 3x 3x ； 2
故选： D ．
9．若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，在 ( ， 0] 上是减函数，且 f （2） 0 ，则
a ， b ， c 的大小关系为 a c b ．
故选： D ．
) D． a c b
6．函数 f (x) lg(x2 x 2) 的单调递增区间是 ( )
A． (1, )
B． ( 1 , ) 2
C． (, 1) 2
D． (, 2)
【解答】解：函数 f (x) lg(x2 x 2) ， x2 x 2 0 ，求得 x 2 ，或 x 1 ，
故函数的定义域为{x | x 2 ，或 x 1 }．
函数 f (x) 的增区间，即 y 0 时， y x2 x 2 的增区间，
利用二次函数的性质可得， y 0 时， y x2 x 2 的增区间为 (1, ) ，
故选： A ．
7．已知
g(x)
1
2x
，
f
B．若 2M 2N ，则 M N
C．若 loga M 2 loga N 2 ，则 M N
1
1
D．若 M N ，则 M 2 N 2
【解答】解： a 0 ， a 1．
A ．若 M N 0 ，则 loga M loga N 不成立；
B ．若 2M 2N ，则 M N ，正确；
-3-
22．已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
2020-2021学年哈师大附中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年哈师大附中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<log4x<1}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. (0,1)B. (0,3]C. (1,3)D. (1,3]2.当m<0时，复数2+m⋅i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A. log a b·log c b=log c aB. log a b·log c a=log c bC. log a(bc)=log a b·log a cD. log a(b+c)=log a b+log a c4.函数y=x(3−2x)(0<x<32)的最大值是()A. 98B. 94C. 32D. 385.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A. 若α≠，则tanα≠1B. 若α=，则tanα≠1C. 若tanα≠1，则α≠D. 若tanα≠1，则α=6.设a k⃗⃗⃗⃗ =(cos kπ6,sin kπ6+cos kπ6),k∈Z,则a2015⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a2016⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. √3B. √3−12C. 2√3−1D. 27.对于函数f(x)=2sin(2x+π3)给出下列结论：①图象关于原点中心对称；②图象关于直线x=π12轴对称；③图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位得到；④图象向左平移π12个单位，即得到函数y=2cos2x的图象．其中正确结论的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.函数，已知在时取得极值，则=A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，四棱锥S−ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥AD，且SD=1，SB=√3，M为SA的中点，则异面直线DM与SB所成角为()A. 30°B. 60°C. 45°D. 90°10.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的面的面积是()A. 8B. 10C.D.11.设f(x)=√33x+√3，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：f(−12)+f(−11)+ f(−10)+⋯+f(11)+f(12)+f(13)的值()A. 11B. 14C. 12D. 1312.若cosθ=1−log2x，则x的取值范围是()A. [1,4]B. [14,1] C. [2,4] D. [14,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={x 2,x≥0−x,x<0，若关于x的方程f(x)−|kx−2|=0，k∈R恰有3个不同的实数根，则k的取值范围是______．14.某班共有50名学生，已知以下信息：①男生共有33人；②女团员共有7人；③住校的女生共有9人；④不住校的团员共有15人；⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人；⑦女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有______人．15.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为______ cm3，外接球的表面积为______ cm2．16.已知方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是_________________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=2√2，sinC=√2sinA．(Ⅰ)求边c的值；(Ⅱ)若cosC=√2，求△ABC的面积．418.在数列{a n}(n∈N∗)中，a1=1，前n项和S n满足nS n+1−(n+3)S n=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；)2，求数列{(−1)n b n}的前n项和T n．(Ⅱ)若b n=4(a nn19.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且√2a=2csinA．(1)确定角C的大小；(2)若c=3，且△ABC的面积为3√2，求a2+b2的值．220.18.(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为正方形，平面，//，且(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值。
2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．i 是虚数单位,复数12aii+-为纯虚数,则实数a 为( ) A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】A【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后令 【详解】1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+Q2(21)4a a i-++=2(21)42a a i -+=+ 复数12aii+-为纯虚数 20,2210a a a -=⎧∴∴=⎨+≠⎩， 故选：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．若向量()()2,3,1,2a b ==-v v ，则()2a a b ⋅-=vv v （ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】根据向量,a b r r的坐标，求解出2a b -r r的坐标表示，然后根据坐标形式下向量数量积的计算公式求解出()2a a b ⋅-r r r的结果.【详解】因为()()2,3,1,2a b ==-r r，所以()24,1a b -=-r r，所以()()224315a a b ⋅-=⨯+⨯-=r r r，故选：D. 【点睛】本题考查坐标形式下向量的数量积计算，难度较易.3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1357955a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．66 B ．99C ．110D ．198【答案】B【解析】1357955a a a a a ++++=，可得5555a =，解得5a ，利用求和公式及其通项公式的性质即可得出． 【详解】1357955a a a a a ++++=Q ，5555a ∴=，解得511a =，则()199599911992a a S a +===⨯=， 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．α，β平行与同一个平面C ．α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行D ．α，β垂直与同一个平面【答案】C【解析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论解：对于A ，α内有无数条直线与β平行，可得α与β相交或α或β平行； 对于B ，α，β平行于同一条直线，可得α与β相交或α或β平行； 对于C ，α内有两条相交直线与β内两条相交直线平行，可得α∥β； 对于D ，α，β垂直与同一个平面，可得α与β相交或α或β平行． 故选：C ． 【点睛】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题． 5．已知曲线()(21)x f x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( ) A ．3 B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】利用导数求出曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程，把已知点的坐标代入即可求解a 值． 【详解】由f （x ）＝（2a +1）e x ，得f ′（x ）＝（2a +1）e x ， ∴f ′（0）＝2a +1， 又f （0）＝2a +1，∴曲线f （x ）＝（2a +1）e x 在x ＝0处的切线方程为y ﹣2a ﹣1＝（2a +1）（x ﹣0）， 代入（2，1），得﹣2a ＝4a +2，解得a 13=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是简单复合函数的求导，是中档题．6．函数()()23cos 2cos x xf x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[],ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】化简函数的解析式，判断函数的奇偶性，排除选项，通过特殊值判断选项即可． 【详解】函数()()223cos sin 2cos cos x xx x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==-+++，函数是奇函数，排除选项A ， 当2x π=时，()21204f x ππ+=>，排除选项C ：当x π=时，()201f x ππ=>-，排除选项B .所以函数的图象只有D 满足 故选：D . 【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，诱导公式的应用，考查转化思想以及计算能力． 7．在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M ，N 分别是棱AD ，BC 中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值（ ） A ．23B 3C ．23D ．13-【答案】C【解析】取DN 中点，连结MO ，BO ，则//MO AN ，BMO ∠是异面直线BM 与AN 所成角，由此能求出异面直线BM 与AN 所成角的余弦值． 【详解】取DN 中，连结MO ，BO ，∵三棱锥A BCD -的所有棱长都相等，M ，N 别是棱AD ，BC 的中点，//MO AN ∴，BMO ∴∠是异面直线BM 与AN 所成角，设三棱锥A BCD -的所有棱长为2， 则22213AN BM DN ===-=1122MO AN NO DN ===. 2237142BO BN NO =+=+=， 222373244cos 233232BM MO BO BMO BM OM +-+-∴∠===⨯⨯⨯⨯. ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23.故选：C . 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8．若把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin y x =的图象,则()y f x =的一个对称中心为（ ） A ．()0,0 B ．,14π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,04π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心． 【详解】解：将sin y x =的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标保持不变），得到sin 2y x =的图象，再将函数的图象向上平移一个单位得到sin 21y x =+．再将函数的图象向右平移4π个单位，得到()sin(2)11cos22f x x x π=-+=-，令2()2x k k Z ππ=+∈，解得2()4k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，4x π=．所以一个对称中心为(4π，1)故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题； ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥. ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥. ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β.④如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断； 对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断； 对③，运用面面平行的性质定理，即可判断； 对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④． 【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA '为直线m ，CD 为直线n ，ABCD 所在的平面为α，ABC D ''所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但αβ⊥不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n 的某平面与平面α相交于直线l ，则//l n ，由m α⊥知m l ⊥，从而m n ⊥，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题如果//αβ，m α⊂，那么//m β.③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，④正确. 故选：C . 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题．10．在ABC ∆中，2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．无法确定【答案】A【解析】由向量的加法得出CB CA AB =+u u u r u u u r u u u r，结合题设条件得出(2sin 4sin )(3sin 2sin )C A CA B C AB -⋅=-⋅u u u r u u u r ，由于CA u u u r ，AB u u u r不共线，得到2sin 4sin 3sin 2sin 0C A B C -=-=，结合正弦定理的角化边公式得出12,23a cbc ==，由余弦定理得出cos 0C <，得出C 为钝角，即可得出结论.【详解】由2sin 4sin 3sin C CB A CA B AB ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r得()2sin 4sin 3sin C CA AB A CA B AB ⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r所以(2sin 4sin )(3sin 2sin )C A CA B C AB -⋅=-⋅u u u r u u u r由于CA u u u r ，AB u u u r不共线，则有2sin 4sin 3sin 2sin 0C A B C -=-=由正弦定理有24320c a b c -=-= 所以12,23a cbc == 2222222141149cos 022243c c ca b c C ab c +-+-===-<故2C ππ<< 故ABC ∆为钝角三角形 故选：A 【点睛】本题主要考查了判断三角形的形状，涉及正弦定理的角化边公式以及余弦定理，属于中档题.11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a m =，124nn n a S +=+（n *∈N ），若1n n a a +≥，则实数m 的最小值为（ ） A ．2- B ．4-C ．5-D ．4【答案】B【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步解不等式求出结果． 【详解】由题意知1a m =，124nn n a S +=+（n *∈N ），可变形为()11434n n n n S S ++=--，所以数列{}4nn S -是以4m -为首项，3为公比的等比数列，所以()1434n n n S m -=-⋅+，整理得()1124334n n n a m -+=-⋅+⋅，当2n ≥时，()2124334n n n a m --=-⋅+⋅，由于1n n a a +≥， 所以()()1212433424334n nn n m m ----⋅+⋅≥-⋅+⋅，整理得8144163nm ⎛⎫≥-⋅ ⎪⎝⎭，由于2814814445163163n⎛⎫⎛⎫-⋅≤-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5m ≥-，当1n =时，24m m +≥， 解得4m ≥-， 故m 的最小值为4-. 故选：B . 【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查的式学生对关系式的应用和计算能力，属于中档题．12．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A【解析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<，3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，Q()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-，()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．二、填空题13．已知cos 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=____ 【答案】34【解析】由诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】cos 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭Q 223sin 2cos 2cos 212cos 1224444πππαααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：34【点睛】本题主要考查了三角函数的知值求值问题，属于中档题.14．已知函数()442xx f x =+，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2019项和为______.【答案】20192【解析】由函数()f x 的解析式，求出数列{}n a 的通项公式，将2019n =代入即可得到2019a 的值，再利用倒序相加法即可求出此数列前2019项的和．【详解】依题意，函数()442x x f x =+，()114214242x x xf x ---==++，所以()()11f x f x +-=， 数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以2020101122020422020224n n n n n n a f +⎛⎫=== ⎪+⎝⎭，20202020120202020n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 20201n n a a -+=，设此数列前2019项的和2019S ，则有：20191232019S a a a a =++++L L ， 20192019201820171S a a a a =++++L L ，所以2019212019S =⨯，即201920192S =. 故答案为：20192. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，倒序相加法求数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．15．已知0x >，0y >，3380x y xy ++-=，则3x y +的最小值是______. 【答案】4【解析】由0x >，0y >，且3380x y xy ++-=，可知2(3)3380384x y x y xy x y +++-=++-…，进而可得3x y +的最小值．【详解】因为0x >，0y >，且3380x y xy ++-=，所以()233380384x y x y xy x y +++-=≤++-，所以()()38340x y x y +++-≥，所以34x y +≥， 当3x y =时.3x y +取得最小值4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题． 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC=__________．【答案】13【解析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PEEC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以22AF AB ==22AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.三、解答题17．已知关于x 的不等式21x m -≤（m R ∈）的解集为[]0,1. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 均为正数，且a b c m ++=，求111313131a b c +++++的最小值. 【答案】（1）1m =（2）32【解析】（1）题先解出绝对值不等式，然后将两个解集进行比较，可得出m 的值； （2）题在已知1a b c ++=的情况下可构造表达式再运用柯西不等式即可得到最小值． 【详解】（1）解不等式21x m -≤，得1122m m x -+≤≤. 由已知解集为[]0,1，故有102112m m -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1m =.（2）由（1），1a b c ++=.111313131a b c +++++ 111166313131a b c ⎛⎫=⋅⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()11113131316313131a b c a b c ⎛⎫=⋅+++++⋅++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭216≥⋅ ()21311162=⋅++=. 当且仅当13a b c ===时，111313131a b c +++++的最小值32.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，对应思想的应用，柯西不等式的运用能力，不等式的计算能力．本题属中档题．18．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos 6c B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .(1)求角C 的大小；(2)若ABC ∆的周长为12，面积为. 【答案】（1）3π（2）4a b c === 【解析】(1)利用两角差的余弦公式以及正弦定理的边化角公式化简即可求解； (2)由三角形的面积公式得到16ab =，由余弦定理以及三角形的周长列式求解即可. 【详解】(1)sin cos 6c B b C π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q∴由正弦定理得：1sin sin sin cos sin sin 62C B B C B C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得到：sin C C =，即tan C =(0,)C π∈Q 3C π∴=(2)由(1)可知，3C π=122S ab ∴=⨯⨯=16ab =①由余弦定理得22222()3()48c a b ab a b ab a b =+-=+-=+-② 又12a b c ++=③所以联立①②③可得4a b c ===. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、三角形面积公式以及余弦定理，属于中档题. 19．直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，D 为1B B 中点，F 为线段1C D 的中点1122AC AB BC C C ====.（1）若M 为AB 中点，求证：//FM 面11A ACC ； （2）求二面角111F AC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（221【解析】（1）证明取1AA 中点N ，连结1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，说明四边形ANDB 为平行四边形，然后证明四边形MAEF 为平行四边形，推出//MF AE ，即可证明//FM 面11A ACC ；（2）在平面111A B C 上过1A 作垂直于11A B 的直线为x 轴，分别以11A B ，1A A 为y ，z 轴，建系1A xyz -，求出平面11FA C 的法向量，平面111A B C 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角111F AC B --的余弦函数值即可． 【详解】（1）证明：取1AA 中点N ，连接1C N ，ND ，取1C N 中点E ，连结EF ，AE ，//AN BD Q ，AN BD =，∴四边形ANDB 为平行四边形，//AB ND ∴，AB ND =，1NE EC =Q ，1C F FD =，//12EF ND ∴， 又//12AM ND Q ， ∴四边形MAEF 为平行四边形，//MF AE ∴，MF ⊄Q 在面11A ACC ，AE ⊂面11A ACC ，//FM 面11A ACC ；（2）在平面111A B C 上过1A 作垂直于11A B 的直线为x 轴，分别以11A B ，1A A 为y ，z 轴建系1A xyz -，)13,1,0C =，33,122F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0AC =u u u ur ，133,,122A F ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，设平面11FA C 的法向量()11,,30n x y z n AC x y =⋅+=r r u u u u r，133022n A F x y z ⋅=++=r u u u u r ，取3x =3y =-，3z =，)3,3,3n =-r.平面111A B C 的一个法向量()0,0,1m =u r，设二面角111F AC B --的大小为θ，cos 7m n m nθ⋅===⋅u r ru r r .【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20．已知数列{}n a 的前n 项和n S1=（2n ≥，n N ∈），且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2n an b =，()()1314n n n n b c b b -=--设n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明：12n T <-.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】（1）由题意可得为首项为1，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得2n S n =，再由数列的递推式可得所求通项公式；（2）求得212n n b -=，2321232321132111()4(21)(21)42121n n n n n n c -----==-----g ，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 【详解】 （11=（2n ≥，n N ∈），且11a =，可得为首项为1，公差为1的等差数列，()11n n =+-=，即2n S n =，当2n ≥，121n n n a S S n -=-=-（当1n =时也符合）， 所以21n a n =-； （2）证明：212n n b -=，()()23232121231321114421212121n n n n n n c -----⋅⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，1113232111111114212121212121n n n T ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L1211111111421214212n ---⎛⎫=-<⋅=- ⎪---⎝⎭.【点睛】本题考查等差数列的定义、通项公式和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上.（1）求证：面EMF ⊥面PAC ；（2）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值. 【答案】（1）证明见解析（233-【解析】（1）推导出EF AP ⊥，AB AC ⊥，四边形ABEF 为平行四边形，从而//AB EF ，AC EF ⊥，进而EF ⊥面PAC ，由此能证明面EMF ⊥面PAC ．（2）分别以AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建系A xyz -，利用向量法能求出PMPD的值． 【详解】（1）证明：PA ⊥Q 面ABCD ，EF ⊂面ABCD ，EF AP ∴⊥，在ABC ∆中，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC ∴⊥，又//AF BE ，∴四边形ABEF 为平行四边形，//AB EF ∴，AC EF ∴⊥，AP AC C =I ，AP ⊂面PAC ，AC ⊂面PAC ，EF ∴⊥面PAC ，又EF ⊂面EMF ， ∴面EMF ⊥面PAC .（2）分别以AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建系A xyz -；设PM PD λ=u u u u r u u u r，[]0,1λ∈，()2,2,0B-，)2,2,0C，()002P ,,，()0,22,0D ，)2,0,0E ，)2,2,2PC =-u u u r，()0,22,0BC =u u u r，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =r，则2220n PC x y z ⋅==r u u u r ，20n BC ⋅==r u u u r，取1z =，得)2,0,1n =r，平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =u r，()0,22,2PM PD λλ==-u u u u r u u u r ，)2,0,2PE =-u u u r ，)2,22,22ME PE PM λλ=-=--+u u u r u u u r u u u u r ，直线ME 与平面PBC 所成角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，即cos ,cos ,ME m ME n =u u u r u r u u u r r， 即ME n ME m n m⋅⋅=u u u r r u u u r u r r u r ，22231λλ-+=，[]330,12PM PD λ==∈，故PM PD33-【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．已知函数()2xx f x ae x a=--.（1）当1a =时，证明：对任意的0x ≥，都有()212x f x ≥-. （2）若对任意的[)1,x ∈-+∞，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）证明见解析（2）a ≥【解析】（1）当1a =时，设22()()1122xx x g x f x e x =-+=---，只要证明()g x 最小值大于等于0即可．（2）若对任意的[1x ∈-，)+∞，()1f x …恒成立，(0)1f …，(1)1f a -⇒厖础上分析区间[1-，)()f x +∞增减性，进而得出最小值，让其大于等于1，即可求出答案． 【详解】（1）当1a =时，设()()221122xx x g x f x e x =-+=---，()1x g x e x '=--，设()()1xh x g x e x '==--，()10x h x e '=-≥（0x ≥），所以()h x 在[)0,+∞上是增函数，()()()100x h x g x e x h '==--≥=，所以()g x 在[)0,+∞上是增函数，即()()()22110022xx x g x f x e x g =-+=---≥=，对任意的0x ≥，都有()212x f x ≥-.（2）若对任意的[)1,x ∈-+∞，()1f x ≥恒成立，()01f a ≥⇒≥第 21 页 共 21 页 ()()21xx g x f x ae a '==--，()()22221x a a e g x ae g a e a ea -''=-≥-=-=（其中()g x '增函数）①当a ≥()0g x '≥，()()2211110x x a g x ae g a e a =--≥-=+-≥>， 在[)1,-+∞上，()f x 是增函数，()21111a f a e e a-=+-≥⇔≥符合题意， ②a ≤<时，存在唯一()01,x ∈-+∞，()00g x '=，此时022lnx a =， 在[)01,x -上，()0g x '<；在()0,x +∞，()0g x '>，()()0200min 22ln 2211x x a g x f x ae a a a '==--=--， 设()22ln 4ln 1x x h x x x -=--，()222ln 24ln 0x h x x+-'=>，()h x在⎤⎦上是增函数，()110h x h ≥=->->， 所以()()0g x f x '=>，在[)1,-+∞上，()f x 是增函数，()1111a f e a∴-=+-≥解得a ≥ 综合①②，a ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，以及恒成立问题，属于中档题．。