应用光学2018(第二章)2

※ 由近轴细光束成的完善像称为高斯像
※ 光学系统在近轴区成像性质和规律 的光学称为高斯光学或近轴光学。
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在近轴区，我们用弧度代替了正弦，实际上，把正 弦展开成级数，可得：
1 3 1 5 1 7 sin ...... 3! 5! 7!
用θ代替了sinθ，误差是后面各项的和。 θ愈大，误差 愈大，θ很小时才有足够的精度。 误差所允许的范围就是近轴区的范围，它由相对误差
dl' dl
对公式
n' n n' n l' l r
n' dl ' ndl 2 0 2 l' l
微分，有
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整理后
dl' nl' 2 dl n' l
nl ' n' l
2
由于
所以
n' 2 n
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Байду номын сангаас论：
由
n' 2 n
由阿贝不变量公式可得： 可得：
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y' l' r y l r
l' r nl' l r n' l
代入上式
y' nl' y n' l
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可见β只取决于介质折射率和物体位置。
对横向放大率的讨论 根据β的定义和公式，可以确定物体的成像特性： （1）若β>0, 即 y 与 y’ 同号，表示成正立像。 反之成倒立像。
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y n u y' n' u' J
上式称为拉格朗日－赫姆霍兹公式，它表明实 际光学系统在近轴区域成像时，在一对共轭面 内，其n，u，y或n’，u’，y’ 的乘积为一常数 J。
J 称为拉赫不变量或传递不变量，可以利用 这一性质，在物方参数固定后，通过改变u’ 来控制y’ 的大小，也就是可以通过控制像方 孔径角来控制横向放大率。
h( n' n ) n' u' nu r
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将
l u = l’ u’ = h
代入，消去u和u’ , 可得
1 1 1 1 n( ) n'( ) Q r l r l'
也可表示为
n' n n' n l' l r
上式称为单个折射球面物像位置公式
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h i r
小 l 公式也称为近轴光线的光路追迹公式
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例2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163
l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
lr 240 36.48 i u ( 0.017 ) 0.1288 r 36.48
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
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成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
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（二）轴向放大率
轴向放大率表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的 关系。它定义为物点沿光轴作微小移动 dl 时，所引起的像 点移动量 dl’ 与 dl 之比，用α表示。
β<0： 倒立、实像、两侧
|β|<1：缩小
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上例中，若l1= - 100mm， l2= -30mm, 求像的位置大小。
利用公式
n' n n' n l' l r
当 l1= - 100mm 时： l1’=365.113mm β1= - 2.4079 y1’= - 48.1584mm
与大L公式计算的结果比较：L’=150.7065mm.（1°）
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§2-5 近轴光学的基本公式和它的 实际意义（§2-4）
一、物像位置关系式
i' lr 如将 i u 和 l' r( 1 ) u' r n i 中的 i, i’ 代入 i' n'
可得：
nu( l r ) n' u'( l' r )
光路的计算
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※ 这种通过公式来计算光线实际光路 的过程称：光路追迹。
光学计算位数较多，较繁复，为了 避免计算错误，在求出U’ 后，还可 以用下面校对公式进行验算
I ' U ' L sinU cos 2 L' I U sinU ' cos 2 此公式不再推导。
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这时U，U’，I，I’ 都很小，我们用弧 度值来代替它的正弦值，并用小写字母表示。
sin I i sin I' i' sin U u sin U ' u'
同时L，L’也用小写表示。
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则大L公式可写成：
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n'
sin
的大小来确定。
sin
例： sin sin 0.001 θ<5o
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二、物像大小关系式
轴上点成像只需知道位置即可，但
如果是有一定大小物体经球面成像后， 只知道位置就不够了，还需知道成像的
大小、虚实、倒正。
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B y -u A -l
U' U I I'
（2－1）
lr i u r
n i' i n'
（2－2）
u' u i i'
（2－4）
sin I ' L' r( 1 ) sinU '
i' l' r( 1 ) u'
称为小 l 公式
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n
i h O
E φ r
n’ C
当无限远物点发出的平行光入射时，有 继续用其余三个公式。
得到以下结论：
（1）折射球面的轴向放大率恒为正，说明物 点沿轴向移动时，像点沿光轴同方向移动。 （2）轴向与垂直放大率不等，空间物体成像时 要变形，立方体放大后不再是立方体。折射球面 不可能获得与物体相似的立体像。 （3）公式应用条件：dl 很小。
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（三）角放大率
B y -u A -l n h C E
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（2）若β>0, 即 l 与 l’ 同号，表示物象在折射球面 同侧，物像虚实相反。反之l 与 l’ 异号，物像虚 实相同。
l l’
可归结为： β> 0, 成正立像且物像虚实相反。 β< 0, 成倒立像且物像虚实相同。
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（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
放大倒立实像，两侧
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当l2= - 30mm 时： l2’= - 79.0548mm β2= 1.7379 y2’= 34.7578mm
放大正立虚像同侧
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h( n' n ) n' u' nu r
1 1 1 1 n( ) n'( ) Q r l r l'
n' n n' n l' l r
上述三个公式是一个公式的三种不同的表达形式， 中间的公式表示成不变量Q的形式，称为“阿贝不变量”。
※ 它表明：当物点位置一定时，物空间和像空间的Q值相等。
左边是物方参量，右边是像方参量
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对于近轴光而言，AE= - l ，EA’= l ’, tgu = u, tgu’ = u’
n i h -u A -l O E i’ φ r C u’ n’
A’
l’
有： l u = l’ u’ = h
将上式代入 nu( l r ) n' u'( l' r )，消去 l , l’ ,整理后得：
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例2-3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838 mm，现求β, y’ （横向放大率与像的大小）
解：
nl' 1151.838 0.4172 n' l 1.5163 ( 240 ) y' y 0.4172 20 8.3448mm
n’
u’ A’
O
r
l’
-y’
B’
在近轴区内，角放大率定义为一对共轭光线 与光轴夹角u’ 与 u 的比值，用γ表示
u' u
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将式
可得
l u = l ’ u’ = h
代入上式
u' l u l'
n 1 n'
上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得
折射球面对轴上点以宽光束成像是不完善 的，所成的像不是一点，而是个模糊的像斑， 在光学上称其为弥散斑。
一个物体是由无数发光点组成的，如果每个 点的像都是弥散斑，那么物体的像就是模糊的。
将物方倾斜角U限制在一个很小的范围内， 人为选择靠近光轴的光线，只考虑近轴光成 像，这是可以认为可以成完善像
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n h
E
n’ C u’ A’ -y’ B’
O
r
l’
（一）垂轴放大率
垂直于光轴，大小为 y 的物体经折射球面后成的像大小为 y’ ,则
y' y
β 称为垂轴放大率或横向放大率
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B y -u A -l
n h
E
n’ C u’ A’ -y’ B’
O
r
l’
△ABC∽ △A’B’C 有：
上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。
角放大率表明了折射球面将光束变宽或变细的能 力，只与共轭点的位置有关，与光线的孔径角无关
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将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：

上式为三种放大率的关系。
将 代入 可得：
y' n u y n' u'
即：
y n u y' n' u' J
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其中：
h( n' n ) n' u' nu r
给出了u 和 u’ 的关系
n' n n' n l' l r
给出了l 和 l’ 的关系
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由阿贝不变量公式和物像位置关系公式可 知，l’ 与 u 无关。 这说明轴上点发出的靠近光轴的细小同心 光束经球面折射后仍是同心光束，可以会聚到 一点，也就是所成的像是完善的。
n 1 i' i 0.1288 0.085 n' 1.5163
u' u i i' 0.017 0.12886 0.085 0.02686
i' 0.085 l' r( 1 ) 36.48 ( 1 ) 151.923mm u' 0.02686