离散傅里叶变换快速算法的研究与MATLAB算法实现

将 ＤＦＴ 运算也相应分为两组：
我们可以发现，一个 Ｎ 点的离散 傅立叶变换（Ｄ Ｆ Ｔ ）可以分解为两个 Ｎ／２ 点的 ＤＦＴ，这两个 Ｎ／２ 点的 ＤＦＴ 按照（４）式合成为一个 Ｎ／２ 点 ＤＦＴ， 注意到，ｘ１（ｋ），ｘ２（ｋ）有 Ｎ／２ 个点，即
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ｋ ＝ ０ ，１ ，…，Ｎ ／ ２ － １ ，由（４ ） 式得到 ｘ（ｋ）只有 Ｎ／２ 点，而实际上 ｘ （ ｋ ） 有 Ｎ 个点，即 ｋ ＝ ０ ，１ ，…，Ｎ － １，要用 ｘ １（ ｋ ），ｘ ２（ｋ）表示全部 ｘ （ ｋ ） 值，还必须应用系数 Ｗ 的周期性和对 称性。ｘ （ ｋ ）的 ２Ｎ ～Ｎ － １ 点表示为：
图 2 N=8 的时间抽取的 FFT 算法流图
图 3 MATLAB 算法实现
4 ．小结 本论文的创新点在于详细而深入地
研究了 ＦＦＴ 原理与特点，并运用 ｍａｔｌａｂ 实现了快速傅立叶变换，使人们更直观 地了解到了快速傅里叶变换。ＦＦＴ 并不 是与 ＤＦＴ 不同的另外一种变换，而是 为减少 ＤＦＴ 计算次数的一种快速有效
作者简介 徐敏（１ ９ ７ ８ － ），女，江 苏 南 通 人 ， 硕 士，主要研究方向：人工智能，专家系统； 沈晓红（１ ９ ７ ５ ），女，硕士，研究方向：人 工智能，信息安全。
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参考文献 ［１］ Ｃｏｏｌｅｙ Ｊ Ｗ，Ｔｕｋｅｙ Ｊ Ｗ． Ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｃｈｉｎｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ． １９６５； １９（Ａｐｒ）：２９７～３０１ ［２］ Ａｌａｎ Ｖ．Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍ， Ｒｏｎａｌｄ Ｗ．Ｓｃｈａｆｅｒ． 离散时间信号处理（第 ２ 版）． 刘树棠 译， 西安交通大学出版社，２ ０ ０ １ ［３］ Ｒｂｉｎｅｒ Ｌ Ｒ Ｂ．Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－Ｈａｌｌ， １９７５ ［４］Ｔａｌｏｒ Ｆ Ｊ． Ｄｉｇｉｔａｌ Ｆｉｌｔｅｒ Ｄｅｓｉｇｎ Ｈａｎｄ Ｂｏｏｋ． Ｍａｒｃｅｌ Ｄｅｋｋｅｒ Ｉｎｃ，１９８３
基础及前沿研究 中国科技信息2006年第22期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Nov.2006
吉首大学精品课程资助项目。
离散傅里叶变换快速算法的研究 与 ＭＡＴＬＡＢ 算法实现
谭子尤 张雅彬 吉首大学物理科学与信息工程学院 ４１６０００
Research of Fast Fourier Transformation and Realization of MATLAB Tan ZiYou ,Zhang YaBin
通过使用智能技术即用智能的观点 来开发智能系统，我们可以摆脱使用 单独的智能技术的智能系统缺陷。目 前混合智能技术的研究仍在发展之中， 但是该领域的具体问题的解决还需要我 们进一步的开发和研究。
表 2.1 四种智能技术特性对比
参考文献 ［１］Ｊｏｓｅｐｈ Ｇｉａｒｒａｔａｎｏ，专家系统原理与 编程，机械工业出版社 ２ ０ ０ ０ ． ５ ［２］Ｇｅｏｒｇｅ Ｆ．Ｌｕｇｅｒ，人工智能：复杂问 题求解的结构和策略，机械工业出 版社，２ ０ ０ ４ ． １ ［３］ＨＡＮ Ｊｉａｗｅｉ，Ｄａｔａ ｍｉｎｉｎｇ ：ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ［Ｍ］ 北京机械工业出版社， ２００１ ［４］Ｓｉｍｏｎ Ｈａｙｋｉｎ 神经网络原理，机械 工业出版社 ２ ０ ０ ４ ， ［５］Ｌｅｏ Ｃｈａｕ－Ｋｕａｎｇ，Ｌｉａｕ Ｔｈｏｍａｓ， Ｃｈｕｎｇ－ＫｕａｎｇＹａｎｇ．Ｅｘｐｅｒｔ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ａ ｃｒｕｄｅ ｏｉｌ ｄｉｓｔｉｌｌａｔｉｏｎ ｕｎｉｔ ｆｏｒ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］． Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４ （２ ６ ）：２ ４ ７ － ５ ５ ［６］Ｓｈａｎｇ Ｃｈａｏｘｕａｎ，Ｌｉ， Ｈｅｐｉｎｇ，Ｗａｎｇ， Ｘｉａｏｎｉａｎ．Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｆａｕｌｔｓ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｒａｄａｒ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｔｅｓｔ ａ ｎ ｄ Ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ，２ ０ ０ ３ （２）： ９０１－９０４
1 ．引言 频域分析常常比时域分析更优越，
不仅简单，且易于分析复杂信号。但用 较精确的数学方法，即 ＤＦＴ 进行谱分 析，在 ＦＦＴ 出现前是不切实际的。这是 因为 ＤＦＴ 计算量太大。直到发现了 ＦＦＴ 运算的一种快速方法以后，情况才发生 了根本的变换， 运算时间一般可缩短一 二个数量级。因而各个科学领域广泛的 使用了 ＦＦＴ技术，它大大推动了信号处 理技术的进展，现已成为数字信号处理 的强有力的工具。 2．FFT 算法原理
遗传算法，能够以规则的形式构 建推理模型。就像在专家系统中一 样，有可能跟踪到推理链，并提供一 定程度的推理解释过程。
但是，在神经网络中，要提供准确 的解释是很困难的，这是因为神经网络 没明确的详细的知识表示结构，仅是将 知识表示成权重，分布在整个网络中， 很难发现一个能够用于产生解释的推理 链。表 ２．１ 对以上的四种智能技术的性 能对比作了一个总结。 3 混合智能系统
，（ｋ＝０，
１ ， …， Ｎ － １ ） （１ ） 令 ＤＦＴ 的长度 ０＝２Ｍ，Ｍ 为正整
数。 现在将时域序列 ｘ（ｎ），（ｎ＝０，１…，
Ｎ － １ ） 分为两组，ｎ 为偶数是一组，ｎ 为奇数是另一组，也即令：
其中：ｘ１（ｋ）与 ｘ２（ｋ）分别是 ｘ１（ｒ）和 ｘ ２（ ｒ ） 的 Ｎ ／ ２ 点的离散傅立叶变换， 即：
Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｕｎａｎ，Ｊｉｓｈｏｕ， ４１６０００
摘要 快速傅里叶变换（Ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ＦＦＴ）是将一个大点数 Ｎ 的 ＤＦＴ 分解为若干小 点的 Ｄ Ｆ Ｔ 的组合，将用运算工作量明显降 低，从而大大提高了离散傅里叶变换 （Ｄ Ｆ Ｔ ）的计算速度。因各个科学技术领域 广泛的使用了 ＦＦＴ 技术，它大大推动了信号 处理技术的进步，现已成为数字信号处理强 有力的工具。本论文将比较全面地叙述各种 快速傅里叶变换算法原理、特点，并完成了基 于 ＭＡＴＬＡＢ 的实现。 关键词 离散傅立叶变换； 快速傅立叶变换； 蝶形单元； ＭＡＴＬＡＢ Abstract Ｔｈｅ ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｎｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｅｓｏｌｖｅｓ ｂｉｇ ｐｏｉｎｔｓ Ｎ ｉｎｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｏｔ ’ｓ ＤＦＴ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ．Ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｗｏｒｋ ｗａｓ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ， ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ （ＤＦＴ） ｗｉｌｌ ｂｅ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｇｒｅａｔｌｙ． Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｐａｐｅｒ ｗｉｌｌ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｑｕｉｔｅ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｎａｒｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｋｉｎｄ ｏｆ ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｎｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｙ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｆｏｒｅｃａｓｔ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＭＡＴＬＡＢ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｉｔｓ ｆｕｔｕｒｅ． Key words ＤＦＴ， ＦＦＴ， Ｂｕｔｔｅｒｆｌｙ ｓｈａｐｅｄ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｌ ｕｎｉｔ， ＭＡＴＬＡＢ
的算法，因而各个科学领域广泛地使用 了 ＦＦＴ 技术，大大推动了信号处理技术 的进展，它已成为数字信号处理的强有 力的工具。
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地解决了解释问题，主要是通过推理 过程中回溯推理链来提供解释的。在这 方面有很多好的例子如：医疗诊断系统 等。
在模糊逻辑中，最终的结论是通 过综合模糊规则的各中不同的规则来决 定的。推理链的获取比较困难。但是 规则均以比较容易理解的“Ｉ Ｆ … Ｔ Ｈ Ｅ Ｎ ”形式存在，这使得用户可以 检查到推理过程中使用的规则。
已知序列 ，ｎ＝０，１？，…１２，试计算序 列 ｘ（ｎ）在单位圆上的 ＣＺＴ，并与该序 列的 Ｄ Ｆ Ｔ 进行比较。
Ｎ＝１３； ｎ＝０：Ｎ－１； ｘｎ＝（０．５）．＾ｎ； ｙ＝ｃｚｔ（ｘｎ）； ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，１）； ｓｔｅｍ（ｎ，ａｂｓ（ｙ））； ｘｌａｂｅｌ（＇ｎ＇）； ｔｉｔｌｅ（＇ｃｚｔ ｏｆ ｘ＇）； ｄｆｔ＿１３＝ｆｆｔ（ｘｎ）； ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，２）； ｓｔｅｍ（ｎ，ａｂｓ（ｄｆｔ＿１３））； ｘｌａｂｅｌ（＇ｎ＇）； ｔｉｔｌｅ（＇ｄｆｔ ｏｆ ｘ＇）；
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图 1 蝶形运算流图
（５）式表示了 ｘ（ｋ）前半部分 ｋ＝０～ Ｎ／２ 时的组成方式，（６）式则表示了后 半部分 ｋ＝Ｎ／２～Ｎ／１ 时的组成方式。这 两式所表示的运算过程可用一个称作蝶 形的信号流图来表示。图 １ 为蝶形信号 流图。
图 １（ａ）中左边两支为输入，中间以 一个小圆圈表示加 ／ 减运算，右上支 为相加输出，右下支为相减输出，如果 在某一支路上信号需要进行乘法运算， 则在该支路上标以箭头，并将相乘的系 数标在箭头边，这样（５）、（６）所表示 的运算，可用图 １（ｂ）所表示的“蝶形结” 来表示。图 ２ 给出了这种算法的一个 Ｎ＝８ 的按时间抽取运算的流图。 3．FFT 的 MATLAB实现
在过去的十几年中，许多的混合 智能系统已经在不同的领域中开始使 用。基于面向对象的技术是一种一种 典型的开发混合模型的技术。这种技 术在在开发智能系统时一般包括六 步：问题分析，模式匹配，混合分 类选择，执行，评估，维护。当前 大多数的混合智能系统均遵循这些步骤 来开发的。但是根据这种流程开发的 混合智能系统也存在很大的不足。首 先这种方式开发的智能系统的适应性 差，一旦在模式匹配阶段确定了一种 技术，即使在开发中发现了一种更好 的技术，也很难替换它；另一个困难 在分类选择阶段，开发者必须选择一 种典型的混合系统来解决问题，这在 实现时比较困难，因为混合系统内部 的复杂性决定了我们无法事先知道所有 潜在的包含在系统内部的成员之间的连 接关系，这样选择就相对困难了。
通信来共同解决一个特定的问题，模 块之间的通信由一个控制机制来相互协 调。如文献［ ６ ］中神经网络与专家系统 的局部结合。该方式是将神经网络作 为专家系统的功能模块，知识表示可 由神经网络与专家系统结合来实现， 由专家系统控制整个逻辑推理过程并负 责神经网络的输入和输出。
多态结构： 用一种处理结构来实现基本上或完 全不同的处理技术，它的主要目标 是：通过特别的计算结构让系统的达 到多功能的境界。这种系统能够模仿 不同的处理技术。 4.典型的智能系统的发展和最近的应 用
Ｇｏｏｎａｔｉｌａｋｅ’ｓ 和 Ｋｈｅｂｂａｌｌ 指 出：开发混合模型系统的三大主要原因 是：１）、技术加强；２）、不断增长的应 用需要；３）、多功能系统的实现。他将 混合智能系统分为三类：功能替换、相 互转换、多态结构。
功能替换的混合结构： 在这一分类级别中，一种给定的 智能技术被另一种智能处理所代替。 如文献［ ５ ］中，神经网络全面替代专家 系统，即由神经网络全面代替专家系 统，完全由神经网络来构成专家系 统。在这种方式中专家系统的知识表 示和逻辑推理能力完全通过神经网络的 数值计算来实现。 相互转换模型： 各种独立的智能处理技术通过相互 之间交换信息和发挥自己独特的功能来 解决问题。将问题分成不同的处理任 务，让每个智能模块处理最适合自己 解决的问题。这些智能模块之间通过