第一讲 测度
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实变函数课件
第一讲 测度
An Bn Bn n1 n1 n1
( A1 ) An An1
n2
( A1 ) An An 1 lim ( An ).
1 P {2} P {5} ， 6
一旦上述集合的概率值确定，则 F 中其他集合的概率值 也随之确定。例如由完全可加性可得
5 P {1,5, 6} P {1} P {5} P {6} 6
不难发现按这种方式定义的概率测度与古典型概率 不同。
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第一讲 测度
第一讲 测度
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实变函数课件
第一讲 测度
目录
1.1 勒贝格积分的基本思想 1.2 测度的概念 1.3 外测度 1.4 勒贝格测度 1.5 波雷尔集的可测性 1.6 可测集的结构
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||0
E4
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其中 max i yi yi 1 .
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第一讲 测度
黎曼积分和勒贝格积分本质上是两种不同的求和汇总方式。
假设你有一堆乱七八糟的零钱需要汇总： 1 2 2 1 5 5 2 5 1 2 2 1 5 Riemann: 1+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34 Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34
b
a
f ( x)dx lim S f , , ,
||0
其中 maxi xi xi 1 .
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第一讲 测度
1.1.2 勒贝格(Lebesgue)积分的基本思想
a x b
min f ( x) y0 y1 yn max f ( x),
例1. 设H {(a, b) : a b}表示实数集上所有开区间所构成的 集族，则我们我们可以在H 上定义一个测度：
: H [0, ], (a, b)
((a, b)) b a,
这里我们需要约定： 有限数 , 有限数 () 有限数+=，
上面定义的测度本质上就是区间的长度。
a x b
yi yi yi 1 ,
Ei x [a, b] : yi 1 f ( x) yi ,
( Ei ) 集合Ei的“长度” S f ,
y
i 0 i
n 1
( Ei ),
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim S f , ,
F 两两不交，则
此外如果还存在的子集C1 , C2 , 使得：
(4)
n 1
Cn =; ,
(5) (Ci ) , i 1, 2, 上的有限测度。
则称 是上的 -有限测度；如果 () ，则称 是
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要定义勒贝格积分就涉及到一个关键问题：如何定义一 个集合的“长度”？
这就需要引出一个重要的概念：测度
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实变函数课件
1.2 测度的概念
第一讲 测度
所谓测度，本质上是长度、面积、体积等概念的推广，即 给一个集族中的每一个集合赋予一个唯一确定的实数，用 以度量这个集合的“长度”、“面积”或“体积”。
A(Qa,b;c,d ) (b a) (d c),
上面定义的测度本质上就是矩形区域的面积。
理想的测度应该继承长度、面积体积所具有的好的性质， 这些性质包括：
(1)非负性： ( A) 0, A H； (2)空集的测度为零： ()=0；
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,F
是一个可测空间。
例3. 设 1,2,3,4,5,6 ，则下列集族构成 上的
- 代数：
F1 的所有子集 F2 ， F3 ，， {1}， {2， 3， 4， 5， 6}
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第一讲 测度
1 P {1, 2,3} P {1} P {2} P {3} 2 不难发现按这种方式定义的概率测度与古典型概率
完全一致。
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我们也可以定义
第一讲 测度
1 P {1} P {6} , 3 P {3} P {4} 0
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第一讲 测度
E7 (a, ) : a E8 (, b) : b
有了可测空间的概念就可以严格地定义测度的概念了。
定义 1.3. 设 数 F 上映射
,F
是一个可测空间，称定义在 -代
实变函数课件
第一讲 测度
例6. 设 R，B是实数集R上的波雷尔代数，定义
B ([ a, b)) b a,
然后利用测度定义的条件(1),(2)将它延拓到整个波 雷尔代数B上去，就得到了一个测度，称为实数集R 上的波雷尔测度。
注： 波雷尔测度不是有限测度，但是 -有限测度。
通常我们称三元组(, F, )为一个测度空间。
(1) F；
n 1
(2) 如果 A1 , A2 ,
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, An ,
F ，则
An F ；
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(3) 如果 A F，则 Ac \ A F. .
则称 F 是 上的一个 - 代数(或 - 域)， 并称
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第一讲 测度
通常我们称三元组(, F, )为一个测度空间。
定理11 . 测度还具有如下性质：
(1)集合的差的测度：设A B，则 (B \ A) (B) ( A);
(2)容斥原理： ( A B) ( A) ( B) ( A B), n n Ak ( Ak ) ( Ai Aj ) ( Ai Aj Ak ) 1i j n 1i j k n k 1 k 1 (1)n1 ( A1 A2 An )
: F [0, ]
为上的测度，如果它满足下列两个条件：
(1)空集的测度为零： ()=0；
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第一讲 测度
(2)完全可加性：如果 A1 , A2 , An ( An ) n 1 n 1
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第一讲 测度
(3)完全可加性：如果 A1 , A2 , An ( An ) n 1 n 1
H 两两不交，则
当然，要使得性质(3)成立，对集族H 也是有要求的，例 如集族H 对集合的并、交、补运算必须封闭，为此我们 先引进几个概念。
定义1.1 设是一个集合，F 是由的某些子集所构 成的集族，如果F 满足下列条件：
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可以证明，由下列集族所生成的 -代数都是波雷尔代数：
E2 (a, b]: a b E3 (a, b) : a b E4 [a, b]: a b E5 [a, ) : a E6 (, b]: b
例5. 设 1,2,3,4,5,6 ，F1 的所有子集 , 则我 们可以按如下方式定义一个概率测度：
第一讲 测度
1 P {1} P {2} P {3} P {4} P {5} P {6} , 6
一旦上述集合的概率值确定，则 F 中其他集合的概率值 也随之确定。例如由完全可加性可得
，， {1}， {2}, {1, 2}, F4 3，， 4 5， 6}, {1,3, 4,5,6}, {3,4,5,6} {2，
因此 ,Fi (i 1,2,3,4) 都是可测空间。
定义1.2 设是一个集合，E 是由的某些子集所构 成的集族(不一定是 -代数)，如果F 是包含E 的最小
性质(3)第一个等式的证明：
证明：设
An F
n 1
满足 An An1，n 1,2,，令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B1 A1 , B2 A2 \ A1 , B3 A3 \ A2 , , Bn An \ An-1,
则
n 1
An
Bn，且Bn 两两互斥，因此
An Bn Bn n1 n1 n1
n2
n
注：上面的等式包含 lim ( An ) 的情形。
n
到目前为止，我们只是给出了测度的比较正式的定义， 但是并未回答如何去构造一个“好”的测度，使得它 能够继承长度、面积、体积的直观性质。
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第一讲 测度
1.3 外测度
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第一讲 测度
例2. 设Qa ,b;c ,d [a, b) [c, d )表示坐标平面上的矩形区域， H1 {Qa ,b;c ,d : a b, c d }，则我们我们可以在H 上定义一个 测度：
A : H1 [0, ], Qa,b;c,d
(3)测度的连续性：如果 An F 满足 An An 1，则 An = lim ( An ), n n 1 江西财经大学信息管理学院
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如果 An F 满足 An An 1，且 ( E1 ) ，则 An = lim ( An ). n 1 n
第一讲 测度
1.1 勒贝格积分的基本思想
1.1.1 黎曼积分的基本思想
a x0 x1 x2 xi 1 xi
n 1 i 0
xn b,
xi xi xi 1 , xi 1 i xi ,
S f , , f (i )xi ,
为了构造一个“好”的测度，使得它能够继承长度、面积、 体积的直观性质，我们需要引进外测度的概念。
定义 1.4. 设 是一个集合， 2 是其幂集，称映射
: 2 [0, ]
为上的外测度，如果它满足下列三个条件：
(1) ()=0；
(2)单调非降性： 若B C，则 ( B) (C)；
-代数，则称F 是由E 生成的 -代数，记作F (E ).
例4. 设 R，E1是由下列左闭右开区间所构成的集族：
E1 [a, b) : a b
则称由E1所生成的 -代数为实数集上的波雷尔(Borel)代数。
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(3)次可加性： 对于的任何一列子集 Bn 皆有 Bi Bi . i 1 i 1
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An Bn Bn n1 n1 n1
( A1 ) An An1
n2
( A1 ) An An 1 lim ( An ).
1 P {2} P {5} ， 6
一旦上述集合的概率值确定，则 F 中其他集合的概率值 也随之确定。例如由完全可加性可得
5 P {1,5, 6} P {1} P {5} P {6} 6
不难发现按这种方式定义的概率测度与古典型概率 不同。
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第一讲 测度
目录
1.1 勒贝格积分的基本思想 1.2 测度的概念 1.3 外测度 1.4 勒贝格测度 1.5 波雷尔集的可测性 1.6 可测集的结构
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||0
E4
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其中 max i yi yi 1 .
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黎曼积分和勒贝格积分本质上是两种不同的求和汇总方式。
假设你有一堆乱七八糟的零钱需要汇总： 1 2 2 1 5 5 2 5 1 2 2 1 5 Riemann: 1+2+2+1+5+5+2+5+1+2+2+1+5=34 Lebesgue: 1X4+2X5+5X4=34
b
a
f ( x)dx lim S f , , ,
||0
其中 maxi xi xi 1 .
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第一讲 测度
1.1.2 勒贝格(Lebesgue)积分的基本思想
a x b
min f ( x) y0 y1 yn max f ( x),
例1. 设H {(a, b) : a b}表示实数集上所有开区间所构成的 集族，则我们我们可以在H 上定义一个测度：
: H [0, ], (a, b)
((a, b)) b a,
这里我们需要约定： 有限数 , 有限数 () 有限数+=，
上面定义的测度本质上就是区间的长度。
a x b
yi yi yi 1 ,
Ei x [a, b] : yi 1 f ( x) yi ,
( Ei ) 集合Ei的“长度” S f ,
y
i 0 i
n 1
( Ei ),
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim S f , ,
F 两两不交，则
此外如果还存在的子集C1 , C2 , 使得：
(4)
n 1
Cn =; ,
(5) (Ci ) , i 1, 2, 上的有限测度。
则称 是上的 -有限测度；如果 () ，则称 是
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要定义勒贝格积分就涉及到一个关键问题：如何定义一 个集合的“长度”？
这就需要引出一个重要的概念：测度
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1.2 测度的概念
第一讲 测度
所谓测度，本质上是长度、面积、体积等概念的推广，即 给一个集族中的每一个集合赋予一个唯一确定的实数，用 以度量这个集合的“长度”、“面积”或“体积”。
A(Qa,b;c,d ) (b a) (d c),
上面定义的测度本质上就是矩形区域的面积。
理想的测度应该继承长度、面积体积所具有的好的性质， 这些性质包括：
(1)非负性： ( A) 0, A H； (2)空集的测度为零： ()=0；
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,F
是一个可测空间。
例3. 设 1,2,3,4,5,6 ，则下列集族构成 上的
- 代数：
F1 的所有子集 F2 ， F3 ，， {1}， {2， 3， 4， 5， 6}
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第一讲 测度
1 P {1, 2,3} P {1} P {2} P {3} 2 不难发现按这种方式定义的概率测度与古典型概率
完全一致。
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我们也可以定义
第一讲 测度
1 P {1} P {6} , 3 P {3} P {4} 0
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第一讲 测度
E7 (a, ) : a E8 (, b) : b
有了可测空间的概念就可以严格地定义测度的概念了。
定义 1.3. 设 数 F 上映射
,F
是一个可测空间，称定义在 -代
实变函数课件
第一讲 测度
例6. 设 R，B是实数集R上的波雷尔代数，定义
B ([ a, b)) b a,
然后利用测度定义的条件(1),(2)将它延拓到整个波 雷尔代数B上去，就得到了一个测度，称为实数集R 上的波雷尔测度。
注： 波雷尔测度不是有限测度，但是 -有限测度。
通常我们称三元组(, F, )为一个测度空间。
(1) F；
n 1
(2) 如果 A1 , A2 ,
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, An ,
F ，则
An F ；
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(3) 如果 A F，则 Ac \ A F. .
则称 F 是 上的一个 - 代数(或 - 域)， 并称
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第一讲 测度
通常我们称三元组(, F, )为一个测度空间。
定理11 . 测度还具有如下性质：
(1)集合的差的测度：设A B，则 (B \ A) (B) ( A);
(2)容斥原理： ( A B) ( A) ( B) ( A B), n n Ak ( Ak ) ( Ai Aj ) ( Ai Aj Ak ) 1i j n 1i j k n k 1 k 1 (1)n1 ( A1 A2 An )
: F [0, ]
为上的测度，如果它满足下列两个条件：
(1)空集的测度为零： ()=0；
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第一讲 测度
(2)完全可加性：如果 A1 , A2 , An ( An ) n 1 n 1
实变函数课件
第一讲 测度
(3)完全可加性：如果 A1 , A2 , An ( An ) n 1 n 1
H 两两不交，则
当然，要使得性质(3)成立，对集族H 也是有要求的，例 如集族H 对集合的并、交、补运算必须封闭，为此我们 先引进几个概念。
定义1.1 设是一个集合，F 是由的某些子集所构 成的集族，如果F 满足下列条件：
实变函数课件
第一讲 测度
可以证明，由下列集族所生成的 -代数都是波雷尔代数：
E2 (a, b]: a b E3 (a, b) : a b E4 [a, b]: a b E5 [a, ) : a E6 (, b]: b
例5. 设 1,2,3,4,5,6 ，F1 的所有子集 , 则我 们可以按如下方式定义一个概率测度：
第一讲 测度
1 P {1} P {2} P {3} P {4} P {5} P {6} , 6
一旦上述集合的概率值确定，则 F 中其他集合的概率值 也随之确定。例如由完全可加性可得
，， {1}， {2}, {1, 2}, F4 3，， 4 5， 6}, {1,3, 4,5,6}, {3,4,5,6} {2，
因此 ,Fi (i 1,2,3,4) 都是可测空间。
定义1.2 设是一个集合，E 是由的某些子集所构 成的集族(不一定是 -代数)，如果F 是包含E 的最小
性质(3)第一个等式的证明：
证明：设
An F
n 1
满足 An An1，n 1,2,，令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B1 A1 , B2 A2 \ A1 , B3 A3 \ A2 , , Bn An \ An-1,
则
n 1
An
Bn，且Bn 两两互斥，因此
An Bn Bn n1 n1 n1
n2
n
注：上面的等式包含 lim ( An ) 的情形。
n
到目前为止，我们只是给出了测度的比较正式的定义， 但是并未回答如何去构造一个“好”的测度，使得它 能够继承长度、面积、体积的直观性质。
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1.3 外测度
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第一讲 测度
例2. 设Qa ,b;c ,d [a, b) [c, d )表示坐标平面上的矩形区域， H1 {Qa ,b;c ,d : a b, c d }，则我们我们可以在H 上定义一个 测度：
A : H1 [0, ], Qa,b;c,d
(3)测度的连续性：如果 An F 满足 An An 1，则 An = lim ( An ), n n 1 江西财经大学信息管理学院
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如果 An F 满足 An An 1，且 ( E1 ) ，则 An = lim ( An ). n 1 n
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1.1 勒贝格积分的基本思想
1.1.1 黎曼积分的基本思想
a x0 x1 x2 xi 1 xi
n 1 i 0
xn b,
xi xi xi 1 , xi 1 i xi ,
S f , , f (i )xi ,
为了构造一个“好”的测度，使得它能够继承长度、面积、 体积的直观性质，我们需要引进外测度的概念。
定义 1.4. 设 是一个集合， 2 是其幂集，称映射
: 2 [0, ]
为上的外测度，如果它满足下列三个条件：
(1) ()=0；
(2)单调非降性： 若B C，则 ( B) (C)；
-代数，则称F 是由E 生成的 -代数，记作F (E ).
例4. 设 R，E1是由下列左闭右开区间所构成的集族：
E1 [a, b) : a b
则称由E1所生成的 -代数为实数集上的波雷尔(Borel)代数。
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(3)次可加性： 对于的任何一列子集 Bn 皆有 Bi Bi . i 1 i 1
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