上海市嘉定、长宁、金山区2019-2020年度第一学期高三数学期末教学质量(一模)监测卷

合集下载

上海市金山区2019届高三数学上学期(一模)期末质量监控试题含答案

金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷一. 填空题。

1.已知集合，，则___【答案】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.本题考查集合的交集运算.2.抛物线的准线方程是______【答案】试题：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为3.计算：______【答案】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．4.不等式的解集为________【答案】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数（为虚数单位），________【答案】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】=7+i,则，故答案为:.本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数，则_______【答案】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．7. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】答案：：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

8.在的二项展开式中，常数项的值是________（结果用数值表示）【答案】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，计算即可求出展开式的常数项．【详解】展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________【答案】由无穷等比数列{a n}的各项和为2且，解不等式可得a1范围．【详解】由题意可得，且，则a1＝2（1﹣q），由，可得2＜a1＜4故答案为：.本题考查无穷等比数列的各项和, 各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限,是基础题．10.在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是________【答案】设球心为O，由二面角的面与球相切的性质可得∠AOB＝60°，又半径为6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离．【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为：2π．本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11.设函数，则使成立的取值范围是_____【答案】由式知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则不等式可转为|2x|＜|3x﹣2|，解出即得答案．【详解】函数，∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．故答案为：．本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力．12.已知平面向量、满足条件：，，，，若向，且，则的最小值为_______【答案】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设，由,求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.【详解】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），设，∵＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵，则，即,∴C在以D为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为:．本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.二. 选择题。

2019届上海市长宁区、嘉定区高三上学期期末教学质量检测(一模)数学试题(解析版)

2019届上海市长宁区、嘉定区高三上学期期末教学质量检测（一模）数学试题一、单选题1．已知x R ∈，则“0x ≥”是“1x >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】0x ≥推不出1x >， 10x x >⇒≥，∴“0x ≥”是“1x >”的必要非充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，从中抽取98颗种子，下表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则估计这批种子发芽天数的中位数是( ) A ．2 B ．3C ．3.5D ．4【答案】B【解析】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，求中间两颗种子发芽天数的平均数即可得结果. 【详解】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，可得种子的发芽天数的正中间两颗的数据都是3，所以中位数为3332+=，故选B ．【点睛】本题主要考查中位数的定义与应用，属于基础题.如果样本容量是奇数,中间的数就是中位数;如果样本容量为偶数中间两个数的平均数就是中位数. 3．已知向量a 和b 的夹角为3π，且||2,||3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（） A ．10- B ．7-C ．4-D ．1-【答案】D【解析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．【详解】()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1，故选D. 【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．4．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()y f x =的定义域为D ，1x 、2x D ∈．①若当()()120f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ②若当()()12f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的奇函数．下列判断正确的是（） A.①和②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①和②都是假命题 D.①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】根据奇函数的定义对题干中的命题的正误进行判断. 【详解】函数()y f x =的定义域为D ，1x 、2x D ∈．①若当()()120f x f x +=时，都有120x x +=，可得D 关于原点对称，由奇函数的定义可得函数()y f x =是D 上的奇函数，故①正确；②若当()()12f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数，奇偶性不确定，故②错误．故选：B. 【点睛】本题考查函数奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑()()f x f x -=-，即可判断，考查理解能力，属于基础题．二、填空题5．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B =______.【答案】{}1,2,3,4,5【解析】根据并集的定义可得出集合A B .【详解】{}1,2,3,4A =Q ，{}1,3,5B =，因此，{}1,2,3,4,5A B =U .故答案为：{}1,2,3,4,5. 【点睛】本题考查并集的运算，考查计算能力，属于基础题. 6．已知1312x -=，则x =________【答案】1【解析】直接利用矩阵中的公式运算即可. 【详解】由题得：2x+1＝3，所以得x ＝1. 故答案为1. 【点睛】本题考查增广矩阵中的运算．考查行列式，属于基础题．7．在()61x +的二项展开式中，2x 项的系数为_____（结果用数值表示）．【答案】15【解析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x 的指数为2，求出展开式中2x 的系数．【详解】解：展开式的通项为16r r r T C x +=．令2r =得到展开式中2x 的系数是2615C =．故答案为：15．【点睛】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．8．已知向量(),3a m =，()2,1b =-r ，若向量//a b r r，则实数m 为______．【答案】6-【解析】根据平面向量共线向量的坐标表示，列关于m 的方程，解出即可. 【详解】(),3a m =r Q ，()2,1b =-r ，且//a b r r，则有6m -=，解得6m =-.故答案为：6-. 【点睛】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系，解题的关键就是根据共线向量的坐标表示列方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.9．已知幂函数()a f x x =的图像过点，则()f x 的定义域为________ 【答案】(0,)+∞【解析】依题意可求得12α=-，从而可求f （x ）的定义域．【详解】依题意，得：1222α-==，所以12α=-，()12f x x-==，所以，定义域为：()0,+∞，故答案为()0,.+∞ 【点睛】本题考查幂函数的性质，求得α是关键，属于基础题．10．若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为______．【答案】12π【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据题中条件求出这几个量，然后利用锥体的体积公式可计算出该圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据题意，圆锥的底面面积为29r ππ=，即则其底面半径是3r =，圆锥的侧面积为315rl l πππ==，则其母线长为5l =，所以，圆锥的高为4h ==，因此，圆锥的体积为149123ππ⨯⨯=. 故答案为：12π. 【点睛】本题考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力，属于基础题. 11．已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=________【解析】运用诱导公式化简为()sin a π-，再利用同角基本关系得到所求值. 【详解】依题意tan 2a =-，且,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭得：sin a =，所以()sin a π-= sin a =,故答案为5. 【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式和同角的基本关系式的应用，属于基础题． 12．已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是_______【答案】[1,2)【解析】由题意可得f （x ）与g （x ）的函数值的符号相同，结合函数的图象分类讨论求得x 的范围，即为所求．【详解】函数()log a f x x =的定义域为()0,+∞，（1）当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，g （x ）＞0，()()f xg x ＜0，不符合；（2）当1≤x ＜2时，f （x ）≥0，g （x ）＞0，()()f xg x ≥0，符合；（3）当x ＞2时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，()()f xg x ＜0，不符合；所以解集是[)1,2，故答案为[)1,2. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，函数的图象的应用，属于基础题．13．如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ︒∠=，在B 处测得105DBA ︒∠=，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ︒∠=，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD =____（精确到1m ）【答案】212【解析】先由正弦定理求得AB 和BD ，根据Rt △BCD 中因为30DBC ︒∠=，可得CD＝12BD ＝≈212。

上海市2020届高三数学上学期期末教学质量监测试题

第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分． 1．函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为 .2．集合U R =，集合{|30},{|10}A x x B x x =->=+>，则U BC A = .3．若复数z 满足()12i z i +=（i 是虚数单位），则z = . 4．方程ln(931)0xx+-=的根为．5．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少有一名代表，则各班的代表数有______种不同的选法.（用数字作答）6．关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y += ．7．如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q = ． 8．函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x = ．9．已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,,22x y ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则x y += ．10．将函数y =y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是． 11．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=，求边c 。

显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c 只有一解.那么，a 的可能取值是 .（只需填写一个适合的答案） 12．如果等差数列{}{},n n a b 的公差都为()0d d ≠，若满足对于任意*,n N ∈都有n n b a kd -=，其中k 为常数，k N *∈，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim 3n n n a b a b a b →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则k = . 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．若等式232301231(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切R x ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，3a 为实常数，则0123a a a a +++=（）（A ）2．（B ）1-．（C ）4．（D ）1． 14．“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“sin(arcsin )x x =”的（）条件．（A ）充分非必要．（B ）必要非充分．（C ）充要．（D ）既非充分又非必要． 15．关于函数23()2f x x =-的下列判断，其中正确的是（）（A ）函数的图像是轴对称图形．（B ）函数的图像是中心对称图形．（C ）函数有最大值．（D ）当0x >时，()y f x =是减函数．16．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，12F F 、是双曲线C的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（）（A ）（B ）4 ．（C ）（D ）以上都不对．三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点．（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ； 2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小．18．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．已知函数()sin 21cos 2201x f x x -=，将()f x 的图像向左移()0αα>个单位得函数()y g x =的图像．（1）若4πα=，求()y g x =的单调递增区间；（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴为12x π=，求()y g x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域．19．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位：度)与时间t (单位：小时，[0,20]t ∈)近似地满足函数13+2by t t =-+关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到00.1C ）；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于017C ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.20．（满分16分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．已知椭圆Γ：2214x y +=的左、右焦点为12F F 、．（1）求以1F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程；（2）若椭圆Γ上点M 满足123F MF π∠=，求M 的纵坐标M y ；（3）设(0,1N ），若椭圆Γ上存在两个不同点,P Q 满足90PNQ ∠=，证明直线PQ 过定点，并求该定点的坐标.21．（满分18分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分．如果数列{}n a 对于任意*n N ∈，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”．若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，*n N ∈，()1a a a R =∈．（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围；（3）类似地：非零．．数列{}n b 对于任意*n N ∈，都有2n nb q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”。

上海市金山区2020届高三上学期期末质量监控数学试卷 Word版含答案

金山区2019-2020学年度第一学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．若全集U =R ，集合A ={x |x ≤0或x ≥2}，则U A = ．2．不等式01<-xx 的解为． 3．方程组⎩⎨⎧=+=-532123y x y x 的增广矩阵是． 4．若复数z =2–i （i 为虚数单位），则z z z +⋅= ．5．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|⨯|PF 2|的最大值是_______．6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20301x y x y x ，则目标函数k =2x +y 的最大值为．7．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )= （结果用最简分数表示）．8．已知点A (2，3)、点B (–2，3)，直线l 过点P (–1，0)，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是．9. 数列{a n }的通项公式是a n =2n –1(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式是b n =3n (n ∈N *)，令集合A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n ∈N *．将集合A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前28项的和S 28= ．10．向量、是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|–|+|–2|=5，则|2|+的取值范围为．11．某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为101a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ．12．关于函数()1xf x x =-，给出以下四个命题：(1)当x >0时，y=f (x )单调递减且没有最值；(2)方程f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程f (x )=m (m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x )是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件(B) “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件(C) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件(D) “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件14．将如图所示的一个Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )．15．二项式(3i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第8项是( )．(A) –135x 7 (B)135x 7 (C)3603i x 7 (D)–3603i x 716．给出下列四个命题：(1)函数y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为y =cos x (x ∈R )；(2)函数12-+=m m xy (m ∈N )为奇函数；(3)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t ty t t x (t ∈R )所表示的曲线是圆；(4)函数f (x )=sin 2x –21)32(+x ，当x >2017时，f (x )>21恒成立．其中真命题的个数为( )．(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1、CD 的中点．(1) 求三棱锥F –AA 1E 的体积；(2) 求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f (x )=3sin2x+cos2x –1 (x ∈R )．(1) 写出函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，23=⋅，且a+c =4，求b 的值． 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设P (x , y )为函数f (x )=a x x -2(x ∈D ，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP |为点O 与点P 两点间的距离．(1) 若a =3，D =[3，4]，求|OP |的最大值与最小值；(2) 若D =[1，2]，是否存在实数a ，使得|OP |的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a(a >0)，则△ADB 的面积 S △ADB =pa 163．试运用上述定理求解以下各题： (1) 若p =2，AB 所在直线的方程为y =2x –4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ的交点为D ，求S △ADB ；(2) 已知AB 是抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ：y 2=2px (p >0)分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，求S △AMD 和S △BND ；(3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y 2=2px (p >0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1) 已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n –1．求数列{a n }的通项公式；(2) 在(1)的结论下，试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(3) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z (n ∈N *)，求证：{a n }为“等比源数列”．金山区2017学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）1．A ={x |0<x<2}；2．0<x <1；3． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-513223；4．7–i ；5．25；6．7；7．726； 8 [4π，32π]．；9．820；10．⎤⎥⎦；11. a a a n n 52)45(53+=；12．(1)、(3) 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．B ； 14．B ； 15．C ； 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）因为△AA 1E 的面积为S =2，……………………………………………2分点F 到平面ABB 1A 1的距离即h=2，……………………………………………………4分所以E AA F V 1-=h S ⋅31=34；………………………………………………………………7分（2）连结EC ，可知∠EFC 为异面直线EF 与AB 所成角，…………………………10分在Rt △EFC 中，EC =5，FC =1，所以tan ∠EFC =5，…………………………13分即∠EFC =arctan 5，故异面直线EF 与AB 所成角的大小为arctan 5．…………14分18．解：(1)f (x )=2sin(2x+6π)–1，………………………………………………………2分所以，f (x )的最小正周期T = π，………………………………………………………4分f (x )的单调递增区间是[k π–3π，k π+6π]，k ∈Z ；………………………………………6分 (2) f (B )=2sin(2B +6π)–1=0，故sin(2B +6π)=21，………………………………………8分所以，2B +6π=2k π+6π或2B +6π=2k π+65π，k ∈Z ，因为B 是三角形内角，所以B =3π；…………………………………………………10分而⋅=ac cos B =23，所以，ac =3，又a+c =4，所以a 2+c 2=10，………………12分所以，b 2=a 2+c 2–2ac cos B =7，所以b=7．…………………………………………14分19．解：(1) 当a =3，D =[3，4]，|OP |=]4,3[,3)1(363)3(2222∈--=-=-+x x x x x x x ，……………………4分 3||min =OP ，62||max =OP ； ………………………………………………………6分(2) ]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，因为|OP |的最小值不小于2，即x 2+2x |x –a |≥4对于x ∈[1，2]恒成立，……………………………………………………………………8分当a ≥2时,a ≥)4(21x x +对于x ∈[1,2]恒成立，所以a ≥25，………………………10分当1≤a <2时，取x=a 即可知，显然不成立，………………………………………11分当a <1时，a ≤)43(21x x -对于x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤21-，……………………13分综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 (2)或解：]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，…………………………………………7分当a ≥2时, 222)(2||a a x ax x OP +--=+-=在[1,2]为增函数，12||min -=a OP ≥2，所以a ≥25，…………………………………………………9分当1≤a <2时，取x=a ，|OP |=a 不可能大于或等于2，………………………………11分当a <1时，22231)3(323||a ax ax x OP --=-=在[1,2]为增函数，a OP 23||min -=≥2 ，a ≤21-……………………………………………………13分综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 20．解：(1) 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=xy x y 4422，解得|y A –y B |=6，………………2分 S △ADB =827；……………………………………………………………………………4分 (2)设点D 、M 、N 的纵坐标分别为y D 、y M 、y N ，易知AD 为抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一条弦，M 是AD 的中点，且A 、D 两点纵坐标之差为定值，|y A –y D |=2a (a >0)，……6分由已知的结论，得S △AMD =pa p a 168116)2(33⋅=，…………………………………………8分同理可得S △BND =pa p a 168116)2(33⋅=；……………………………………………………9分 (3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。

【精准解析】上海市嘉定区、长宁、金山区2020届高三上学期期末考试数学试题+Word版含解析byde

1 2
，则
cos BAC
AB AC
1 2
3 1 22
3 2
3，
AB AC
11
2
BAC 6
故答案为：．
6
【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．
7.2 位女生 3 位男生排成一排，则 2 位女生不相邻的排法共有______种.
【答案】72
【解析】
【分析】
根据题意，分 2 步进行分析：①、将 3 位男生排成一排，②、3 名男生排好后有 4 个空位可选，
在 4 个空位中，任选 2 个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分 2 步进行分析：
①、将 3 位男生排成一排，有 A33 6 种情况，
②、3 名男生排好后有 4 个空位可选，在 4 个空位中，任选 2 个，安排两名女生，有 A42 12
种情况，
则 2 位女生不相邻的排法有 612 72 种；
-5-
高中学习讲义
x y 1 x 2y 3
故答案为： 3 ．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题，属于基础题.
11.已知数列an 满足： a1 1， an1 an a1,a2 ,,an n N* ，记数列an 的前 n 项和为 Sn ，若对所有满足条件的an ， S10 的最大值为 M 、最小值为 m ，则 M m ______.
都使用过的概率．
【详解】解：依题意，使用过 A 种支付方式的人数为：18 29 23 70 ，使用过 B 种支付方式的人数为：10 24 21 55 ，
又两种支付方式都没用过的有 5 人，
所以两种支付方式都用过的有 70 55 100 5 30 ，

上海市金山区2019届高三上学期期末质量监控(一模)数学试卷含答案

金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A B =2. 抛物线24y x =的准线方程是3. 计算：21lim32n n n →∞-=+4. 不等式|32|1x -<的解集为5. 若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =6. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=7. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（结果用数值表示） 8. 在31021()x x-的二项展开式中，常数项的值是（结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 10. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是 11. 设函数21()lg(1||)1f x x x =+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（） A. 2m >或1m <- B. 2m >- C. 12m -<< D. 2m >或21m -<<-14. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为 2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3)P -.（1）求行列式sin 1tan cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数23(2)2()2y x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.19. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ；（2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0). （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ；（3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.21. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.参考答案一. 填空题1. {5,6}2. 1x =-3.23 4. 1(,1)3 5. 52 6. 16 7.138. 210 9. (2,4) 10. 2π 11. 2(,)(2,)5-∞+∞ 12. 13二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. A 三. 解答题。

2019-2020年高三(上)第一次质量检测数学试卷(理科)

2019-2020年高三（上）第一次质量检测数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．（3分）（xx•南昌模拟）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}．则A*B为{x|0≤x≤1或x＞2}．考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A 或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．解答：解：A={x|y=}=[0，2]B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}故答案为：{x|0≤x≤1或x＞2}点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型．3．（3分）已知函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是（1，3]．考点：函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：常规题型；压轴题．分析：由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a 的取值范围．解答：解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f （a），又∵函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，∴1＜a≤3，故答案为：（1，3]．点评：本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．4．（3分）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，则函数y=f（x）的单调递减区间[﹣1，2]．考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，可得﹣2≤x≤6，进而﹣1≤x+1≤7，再利用换元法求得函数的解析式，进而得出函数y=f（x）的单调递减区间．解答：解：∵函数f（x+1）=x2﹣2x+1的定义域为[﹣2，6]，∴﹣2≤x≤6，∴﹣1≤x+1≤7．令x+1=t，则x=t﹣1，且﹣1≤t≤7，∴f（t）=（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+1=（t﹣2）2，∴函数y=f（x）的单调递减区间是[﹣1，2]．故答案为[﹣1，2]．点评：本题考查了函数的定义域和单调性，正确理解函数的定义域是自变量的取值范围和掌握二次函数的单调性是解题的关键．另外利用换元法是解决此类题的常用方法．5．（3分）（2011•西山区模拟）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（﹣3）=0，则f（x）g（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：函数的单调性与导数的关系；奇函数；偶函数．专题：计算题．分析：先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x ＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．解答：解：因f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0故f（x）g（x）在x＜0时递增，又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在x＞0时也是增函数．∵f（﹣3）g（﹣3）=0，∴f（3）g（3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．6．（3分）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a=2．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性7．（3分）已知p：，q：，则q是p的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：根据题意分别求出命题p和q，再根据充分必要条件的定义，进行判断；解答：解：已知p：，解得0＜x＜，q：，解得0≤x＜1，0＜x＜，⇒0≤x＜1，∴q是p的必要不充分条件；故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；8．（3分）（xx•怀柔区二模）当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则实数a 的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x﹣1）2＜loga x恒成立，则y=log a x必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．解答：解：∵函数y=（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y=（x﹣1）2∈（0，1），若不等式（x﹣1）2＜log a x恒成立，则a＞1且1≤log a2即a∈（1，2]，故答案为：（1，2]．点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．9．（3分）（xx•东莞市模拟）已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；数形结合；转化思想；综合法．分析：对任意成立，说明此函数是一个减函数，由此性质即可判断得出参数所满足的不等式，求解即可．解答：解：∵对任意成立∴函数是一个减函数，由于函数，故解得a∈故答案为：点评：本题考查函数单调性的性质，解题的关键是对“对任意成立”理解以及在分段函数的端点处函数值大小比较，即x=0时两个端点的函数值的比较．准确理解题意，认真审题是此类题正解解答的关键．本题易因为忘记比较端点处的函数值的大小比较而导致出错．做题时要注意转化的等价性10．（3分）f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用；函数的周期性；函数的零点；二项式定理．专题：计算题．分析：根据函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[﹣1，0]，[2，3]，[﹣1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．解答：解：x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x f（x）是周期为2的函数f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]时，函数解析式：y=x﹣2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．x在[﹣1，0）g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0 x=﹣﹣1≤﹣＜0解得k＞0 x在（0，1]g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k 令g（x）=0 x=0＜≤1 解的0＜k≤x在（1，2]g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k 令g（x）=0 x= 1＜≤2 解的0≤k＜x在（2，3]g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k 令g（x）=0 x=2＜≤3 解的0＜k≤综上可知，k的取值范围为：0＜k≤故答案为：（0，]．点评：学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．11．（3分）函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：构造g（x）=sin3x+x5﹣x，确定函数是奇函数，从而可求函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和．解答：解：令g（x）=sin3x+x5﹣x，则g（﹣x）=﹣sin3x﹣x5+x=﹣g（x），∴g（x）=sin3x+x5﹣x是奇函数∴g（x）=sin3x+x5﹣x在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为0∴函数f（x）=sin3x+x5﹣x﹣3在[﹣2π，2π]上最大值与最小值之和为﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12．（3分）给出如下四个命题：①∀x∈（0，+∞），x2＞x3；②∃x∈（0，+∞），x＞e x；③函数f（x）定义域为R，且f（2﹣x）=f（x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；④若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，则a≤﹣4或a≥0；其中正确的命题是③④．（写出所有正确命题的题号）考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：令x=1，可判断①的真假；构造函数f（x）=e x﹣x，利用导数法法分析其值域，即可判断②的真假；利用函数对称变换法则“对称变换二倍减，横向减里边，纵向减外边”的口决，可判断③的真假；根据对数函数的性质，分析出内函数值域A⊇（0，+∞），进而根据二次函数的图象和性质求出a的范围可得④的真假；解答：解：当x=1时，x2=x3=1，故①为假命题；令f（x）=e x﹣x，则f′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=1恒成立，故②为假命题；根据函数图象对称变换法则，可得若f（2﹣x）=f（x）恒成立，则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③为真命题；若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a）的值域为R，设函数y=x2+ax﹣a的值域为A，则A⊇（0，+∞），即△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4或a≥0，故④为真命题；故答案为：③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，其中熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的图象与性质，函数图象的对称变换法则，是解答的关键．13．（3分）已知定义在（﹣1，+∞）上的函数，若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a取值范围为（，1）．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得函数在（﹣1，0）上是增函数，由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数，故由不等式可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，由此求得实数a取值范围．解答：解：由于==3﹣，故函数在（﹣1，0）上是增函数．再由2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数．再由f（3﹣a2）＞f（2a），可得3﹣a2 ＞2a＞﹣1，解得﹣＜a＜1，故实数a取值范围为（，1）．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a＞﹣1，这是解题的易错点，属于中档题．14．（3分）已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则lga+lgb+lgc 的取值范围是（1，2）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：不妨设a＜b＜c，则由函数的解析式可得f（a）=f（b）=f（c），即﹣lga=lgb=﹣c+50∈（0，1），∴ab=1，且0＜﹣c+50＜1，则abc=c∈（98，100），∴1＜lgc＜2，故lga+lgb+lgc=lg（abc）=lgc∈（1，2）．作出函数g（x）的图象如图：故答案为（1，2）．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，属于基础题．二、解答题（共10小题，满分108分）15．（12分）若集A={（x，y）|x2+mx﹣y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x﹣y+1=0，0≤x≤2}当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：转化思想．分析：由A∩B≠∅，将问题转化为方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则函数在[0，2]上有零点，结合二次函数的图象和性质及零点存在定理，可得实数m的取值范围．解答：解：问题等价于方程组在[0，2]上有解，即x2+（m﹣1）x+1=0在[0，2]上有解，令f（x）=x2+（m﹣1）x+1，则由f（0）=1知抛物线y=f（x）过点（0，1），∴抛物线y=f（x）在[0，2]上与x轴有交点等价于f（2）=22+2（m﹣1）+1≤0 ①或②由①得m≤﹣，由②得﹣＜m≤﹣1，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，方程的根与函数零点之间的关系，其中将集合有公共元素转化为方程组有解，再转化为函数有零点，进而借助函数的图象和性质进行解答是本题的关键．16．（12分）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值．解答：已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．解：由题意，解得，∴．又∵=（log2x﹣1）（log2x﹣2）==，∴当时，，当log2x=3时，y max=2，即当时，；当x=8时，y max=2．点评：本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．17．（12分）设函数y=f（x）是定义在R+上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．（1）求f（1）的值；（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．考点：函数的值；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法：令x=y=1即可求解（2）利用赋值法可得，f（）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式，从而可求解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（4分）（2）∵∴∴，又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：．…（12分）点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用18．（12分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？考点：函数最值的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定每件商品的利润，每天卖出的商品件数，即可求得该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）求导函数，确定函数的极值，从而可得最大利润．解答：解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3 又每件商品的利润为（20﹣12﹣x）元，每天卖出的商品件数为48+3（x2+x）∴该商品一天的销售利润为f（x）=（8﹣x）[48+3（x2+x）]=﹣3x3+21x2﹣24x+384（0≤x≤8）（2）由f'（x）=﹣9x2+42x﹣24=﹣3（x﹣4）（3x﹣2）令f'（x）=0可得或x=4当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：0 4 8﹣0 + 0 ﹣384 ↘极小值↗极大值432 ↘0 ∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的解析式．19．（8分）设函数f（x）=e2x+|e x﹣a|，（a为实数，x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）若g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求满足不等式f（x）＞a2的x的取值范围；（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．考点：反证法与放缩法；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法．专题：计算题；应用题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；（2）利用g（x）=x a在（0，+∞）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）＞a2，求出x的取值范围；（3）通过当a≤0，，，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．解答：解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e0+|e0﹣a|=1+|1﹣a|≠0，故假设不成立，从而函数f（x）不是奇函数．（2）因g（x）=x a在（0，+∞）单调减，则a＜0，e2x+|e x﹣a|=e2x+e x﹣a＞a2则（e x﹣a）（e x+a+1）＞0，而（e x﹣a）＞0，则e x＞﹣a﹣1，于是x＞ln[﹣（a+1）]；（3）设e x=t，则t＞0，y=f（x）=t2+|t﹣a|，当a≤0时，y=f（x）=t2+t﹣a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=﹣a；当时，y=f（x）=t2+t﹣a≥f（a）=a2；当时，；故当a≤0时，f（x）的值域为（﹣a，+∞）；当时，f（x）的值域为（a2，+∞）；当时，f（x）的值域为．点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．20．（8分）已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，求函数的单调区间．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据奇函数的性质f（﹣x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；（2）根据题意对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，将问题转化为）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；（3）已知关于p的一元二次方程p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；解答：解：（1）∵奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（﹣x）=﹣f（x），解得b=0，可得f′（x）=3ax2+c由题，解得，f（x）=﹣x3+3x；（2）|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，根据（1）可得f（x）=﹣x3+3x；求导得f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x2﹣1）令f′（x）=0，可得x=1或﹣1，当f′（x）＞0即﹣1＜x＜1，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时即x＞1或x＜﹣1，f（x）为减函数，f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，2；f（﹣2）=2，f（2）=﹣2，∴f（x）max=2，f（x）min=﹣2，要使对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，故c的最小值为4；（3）p2﹣2mp+4=0两个根均大于1，则求得，g（x）=﹣x2+3+mlnx，则x＞0．．而，则时，g'（x）＞0，故是g（x）的单调增区间，时，g'（x）＜0，故是g（x）的单调减区间．点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；21．（10分）已知a，b∈R，若所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题；选作题．分析：首先分析题目已知所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM1=E，求得M的逆矩阵即可．解答：解：设P（x，y）为直线2x﹣y=3上任意一点其在M的作用下变为（x'，y'）则代入2x﹣y=3得：﹣（b+2）x+（2a﹣3）y=3其与2x﹣y=3完全一样．故得则矩阵又因为MM1=E则点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（1）根据直线参数方程中的意义，求出直线l的倾斜角．（2）把曲线C的极坐标方程化为普通方程，可知曲线是圆，根据点到直线的距离公式和圆被直线所截得的弦长公式进行计算．解答：解：（1）直线参数方程可以化，根据直线参数方程的意义，这条经过点，倾斜角为60°的直线．（2）l的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线l的距离，∴．点评：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程，这两个方程是坐标系与参数方程中的重点．经过点P0（x0，y0）、倾斜角为α的直线的参数方程是其中t为参数，直线上的点P 处的参数t的几何意义是有限线段的数量．以及点到直线的距离公式的应用．23．（10分）甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．考点：互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：压轴题．分析：（1）甲获得这次比赛胜利，包括甲以3：1获胜和甲以3：2获胜，而前两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到结果．（2）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值是3、4、5，当X=3时，乙获得比赛胜利，当X=4时，甲和乙都有可能胜利，包括甲第2、3、4局都胜，或是乙，第2、3局胜一局，第4局一定胜．解答：解：（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3：1获胜（记为事件A1）和甲以3：2获胜（记为事件A2），且事件A1，A2为互斥事件，∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=．答：甲获得这次比赛胜利的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，随机变量的分布列为P（X=3）=，P（X=4）==，P（X=5）=．∴随机变量X的数学期望为E（X）=．点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．24．（14分）已知多项式．（1）求f（1）及f（﹣1）的值；（2）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．考点：反证法与放缩法；函数的值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据，直接求出f（1）和f（﹣1）的值．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．再证n=0时，f（0）是整数，再证当n为负整数时，令n=﹣m，m是正整数，证明f（﹣m）是整数，从而命题得证．解答：解：（1）∵，∴f（1）=1；f（﹣1）=0．（2）对一切整数n，f（n）一定是整数．证明如下：（10）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．①当n=1时，f（1）=1，结论成立．②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，==f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1，根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数，故f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）（20）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）（30）当n为负整数时，令n=﹣m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，所以==﹣f（m）+m4是整数．综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）点评：本题主要考查二项式定理、用数学归纳法证明数学命题，推出当n=k+1时命题也成立，是解题的关键和难点，体现了分类讨论的数学思想，属于难题．。

2019-2020学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷

高三数学试卷第1页共4页2019-2020学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1 •本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2 •在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3 •可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分, 要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1•若z（1 +i ）=2i （i是虚数单位），则z = .-K-4 22.已知=5，则= •亠1X 13•函数y =3 （X叮）的反函数是_____________ •4. 2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______________ 场比赛.5•以抛物线y2- -6X的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是__________________ •6•在（1 —X 5（1 + X3）的展开式中，X3的系数为_______ •7 •不等式x—X2—2 AX2—3x—6的解集是 ___________ •&已知方程x2—kX +2 =0（k E R ）的两个虚数根为X!,X2，若为—x2| = 2，则k=___________ •9.已知直线I过点-1,0且与直线2x-y = 0垂直，则圆x2y^4x 8y =0与直线丨相交所得的弦长为 ____________ •10 .有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5 cm，则它的内直径是________________ cm.（钢的密度为7.9g /cm3，精确到0.1cm）•11 •已知曲，bj均是等差数列，q二a. b,若匕？的前三项是7,9,9，则皿= ____________________ •12 •已知a b 0，那么，当代数式a2 16取最小值时，点P（a,b）的坐标为 ____________ •b（a —b）二、选择题(本题满分20分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分•113•若函数f(x)=lnx-— a 在区间1,e 上存在零点，则常数 a 的取值范围为()X 111(A ) 0 :: a ：： 1.(B )a ：： 1 . (C )1 ：：： a ：：： 1. (D ) - +1 ：：：a ：：： 1 .eee14•下列函数是偶函数，且在 [0,+ ：：上单调递增的是( )能满足的是( )(A )两两垂直.(B )两两平行.(C )两两相交.16•提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：asin x bcosx 二、a 2 b 2 sin x^ )，一二：：一二.下列判断错误的是( )(A )当 a 0,b0时，辅助角二arctan-.a(B )当 a 0,b ：：0 时，辅助角，二 arctan-二.a(D )当 a ::: 0,b ： 0 时，辅助角二 arctan —-二.a、解答题(本题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在直四棱柱 ABCD -ABC 1D 1中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，/ BAD = 60°，(A ) f (x) =log 2 4X 1.(C ) i x 2f (x)=【01 飞(x = 0),x(x=0).(B ) f (x) =| x | -2cos x . (D ) f (x) =10|lgx| .15.已知平面:两两垂直，直线 a,b,c 满足 a 二圧，b 匚，则直线 a, b,c 不可 (D )两两异面.(C)当a ：：：0,b 0时，辅助角b= arcta n b 二aDD1 = 3，E是AB的中点.(1)求四棱锥C1 -EBCD的体积；(2)求异面直线GE和AD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f(x)=sinxcos'二+x l+>/3sin xcosx12丿w(1) 求函数f (x)的最小正周期及对称中心；(2) 若f(x)=a在区间0, 上有两个解x-i, x2，求a的取值范围及x< x2的值.IL 219. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水.A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10% B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.(1)A池要用多长时间才能把污物的量减少一半(精确到1小时)；(2)如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流.若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定(精确到1小时)•20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）2 2已知直线I : x =t（0 :：: t :：: 2）与椭圆.1相交于A, B两点，其中A在第一象4 2限，M是椭圆上一点.（1）记％F2是椭圆:的左右焦点，若直线AB过F2，当M到£的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标;（2）若点M,A关于y轴对称，当：MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P, Q,证明：|OP| | OQ|为定值.21 .（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列玄？满足印=1，a^e（e是自然对数的底数），且a n .2二,a n d a n，令b n=l n a n（n N *）.（"证明：b n 2 .b n 1b n ；f b_b]2f 4 2]（2）证明：r n^~b^1'是等比数列，且僦｝的通项公式是b n=w —I—丄|；10 十-bn J 3.（2 丿」（3）是否存在常数t，对任意自然数nN*均有b n1_tb n成立？若存在，求t的取值范围, 否则，说明理由.。

上海市嘉定、长宁、金山区2019-2020学年第一学期高三数学期末教学质量(一模)监测卷(含解析)

嘉定区2019学年高三年级第一次质量调研数学试卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相关位置直接填写结果。

1.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则A B =I2.方程27x =的解为3. 行列式12 31-的值为_______.4. 计算：______132lim=++∞→n n n 。

5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 6. 己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠= 7．2名女生和3名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法共有种。

8．已知点()2,y -在角α的终边上，且()tan πα-=，则sin α= 。

9．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工上个月A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人作为样本，发现样本中A 、B 两种支付方式都没有使用过的有5依据以上数据：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在上个月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为 10已知非零向量..a b c r u r r两两不平行，且()(),+ca b c b a +r r r r r r P P ，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈r r r则x11已知数列{}n a 满足：{}()11121,,,,n n n a a a a a a n N*+=-∈⋅⋅⋅∈，记数列{}na 得前n 项和为n S ，若对所有满足条件的数列{}n a ，10S 的最大值为M.最小值为m ，则M+m 12.已知函数()1,f x x a x =++若对任意实数a ,关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的取值范围为二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.已知R x ∈，则“0>x ”是“1>x ”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 14.下列函数中，值域为),0(+∞的是( )A.xy 2= B.21x y = C.x y ln = D.x y cos = 15. 已知正方体1111D C B A ABCD -,点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11D A 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与b a 、都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与b a 、所成的角都为ο45.以下判断正确的是( )A. ①为真命题，②为真命题；B. ①为真命题，②为假命题；C. ①为假命题，②为真命题；D. ①为假命题，②为假命题；16. 某港口某天0时至24时的水深y (米)随时间x (时)变化曲线近似满足如下函数模型：24.3)6sin(5.0++=πωπx y .若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为( )A.16时B.17时C.18时D.19时三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

金山区 2020 学年第一学期期末教学质量检测高三数学试卷(解析版)

为. 【答案】2
【解析】目标求 a2 + (b − 4)2 的最小值，可以看成点 (0,4)到(a,b) 的距离，因为关于 x 的方
程在区间 1,2 上有解，此时可以等价看成关于 a,b 的直线方程；利用点到直线距离公式有：
x2 + 0x + 4−3
d=
= x2 +1 2 ，当 x = 1, a = −1,b = 3取到；所以最小值为 2
（3）若点 P 的坐标为 (1, 2), 设线段 AB 中点的纵坐标为 t ，求 t 的取值范围.
【答案】（1） P(2, 2 2) （2） 3 （3）−10，-6)
( ) 【解析】（1）设 P(x0，y0 ) ，则 x0 − 3 2 +y02 = x0 +1 x0 =2 P(2, 2 2)
( )( ) 2
2k + 2 l : y = k(x −1) + 2 r =
1+ k2
则设两条切线斜率分别为 k1，k2
化简得：
r2 4
−
1
k
2
−
2k
+
r2 4
−1 =
0
k1
+
k2 =
8 r2 −4
, k1k2 =1
y = k(x −1)
y
2
=
4x
+
2
k 4
y2
−
y
+
2
−
k
=
0
则
yA
+2=
yB
+2=
已知定义域为 R 的函数 f (x) = 1− 2x . 1+ 2x
（1）试判断函数

2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届上海市嘉定区、长宁、金山区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】解：由题意可知，x ∈R ，{}|0x x >⫌{}|1x x >∴“0x >”是“1x >”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为()0,∞+的是（） A ．2xy = B ．12y x =C ．ln y x =D ．cos y x =【答案】A【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解．【详解】解：选项A.2xy =的值域为()0,∞+，选项B. 12y x =的值域为[)0,+∞，选项C.ln y x =的值域为R ，选项D. cos y x =的值域为[]1,1-．故选：A ．【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②．【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面，直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题；分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（） A ．16时 B ．17时C ．18时D ．19时【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可．【详解】解：由题意可知，0x =时，0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，由五点法作图可知：如果当16x =时，函数取得最小值可得：51662ππωπ+=，可得748ω=，此时函数70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：296147748T ππ==≈，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x =时，函数取得最小值可得：51962ππωπ+=，可得757ω=，此时函数70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：21147757T ππ==， 24x =时，70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．二、填空题5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则A B =I ______.【答案】{}2,4【解析】找出A 与B 的公共元素，即可确定出交集．【详解】解：∵{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =， ∴{}2,4A B =I ．故答案为：{}2,4 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 6．方程23x =的解为______. 【答案】2log 3x =【解析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．【详解】解：23x =Q ，∴指数式化为对数式得：2log 3x =，故答案为：2log 3x =．【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，是基础题． 7．行列式2112-的值为______.【答案】5【解析】直接利用行列式公式可求．【详解】解：()212211512-=⨯-⨯-=故答案为：5 【点睛】本题考查二阶行列式计算．属于基础题． 8．计算2lim 1n nn →∞=+______.【答案】2【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【详解】解：222limlim 211101n n n n n→∞→∞===+++ 故答案为：2．【点睛】本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．9．若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为______. 【答案】2【解析】根据圆面积公式算出底面半径r ＝1，再由圆锥侧面积公式建立关于母线l 的方程，解之即可得到该圆锥的母线长．【详解】解：∵圆锥的底面积为π，∴圆锥的底面半径为r ，满足2r ππ=，解得1r = 又∵圆锥的侧面积为2π，∴设圆锥的母线长为l ，可得2rl ππ=，12l ππ⨯⨯=，解之得2l = 故答案为：2 【点睛】本题给出圆锥的底面圆面积和侧面积，求它的母线长，着重考查了圆的面积公式和圆锥侧面积公式等知识，属于基础题．10．已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭u u u r，122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则BAC ∠=______.【答案】6π【解析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得BAC ∠的值．【详解】解：向量1,22AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则112222cos 112AB AC BAC AB AC +⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，6BAC π∴∠=故答案为：6π．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题．11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A =种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A =种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种；故答案为：72 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=______.【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y ，然后即可求解．【详解】解：由题意可得，tan 2y α=-， ()tan tan παα-=-=Qtan 2y α∴=-=-解得y =sin 3α∴==故答案为：3．【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______. 【答案】310【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．14．已知非零向量a r 、b r 、c r两两不平行，且()//a b c +r r r ，()//b a c +r r r ，设c xa yb =+r r r ，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－3【解析】先根据向量共线把c r 用a r 和b r表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a r 、b r 、c r两两不平行，且()//a b c +r r r ，()//b a c +r r r ，(),0a m b c m ∴=+≠r r r，1c a b m ∴=-r r r(),0b n a c n ∴=+≠r r r1c b a n∴=-r r r1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+r r r Q1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题，属于基础题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.【答案】1078【解析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论．【详解】解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；{}43123,,a a a a a ∴-∈431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=所以4a 最小为4，4a 最大为8；所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M ⨯-==-；10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m ⨯-=⨯+⨯=；∴1078M m +=．故答案为：1078．【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律． 16．已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的取值范围为______. 【答案】2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】本题要根据数形结合法将函数1y x x=+的图象向下平移到一定的程度，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：由题意，1y x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则只要找到其中一个实数a ，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小即可，如图，函数1y x x=+向下平移到一定才程度时，函数()1f x x a x =++的最大值最小．此时只有当()()13f f =时，才能保证函数()f x 的最大值最小．设函数1y x x=+图象向下平移了t 个单位，（0t >）． ()1023t t ∴-=--，解得83t =. ∴此时函数()f x 的最大值为1082333-=．根据绝对值函数的特点，可知实数m 的取值范围为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．三、解答题17．如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 【答案】（1）2arctan5θ=；（2）证明详见解析，4V =. 【解析】（1）说明1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，由于底面积和高都不变，故体积不变. 【详解】解：（1）由直棱柱知1A A ⊥平面ABCD ，所以1A A CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ，所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=. （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅，由已知3d =，112442A MM S ∆=⨯⨯=,所以13443V =⨯⨯=为定值.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位.（1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅u u u u r u u u u r；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u r u u u u r，并指出向量1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =u u u u r，()23,4OZ =-u u u u r，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅u u u u r u u u u r 的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r证明（2）1z a bi =+Q ，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =u u u u r Q ，()2,OZ c d =u u u u r12OZ OZ ac bd ∴⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+u u u u r u u u u r()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++u u u u r u u u u r()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u r u u u r ，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ u u u u r u u u u r P .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图.其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=.（1）若2AN CM ==百米，判断DMN ∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDM θ∠=，写出DMN ∆面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2）32cos cos 4S πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，最小值为)1221.【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN ∠，判断MDN ∆是否符合要求，即可．（2）CDM θ∠=，4ADN πθ∠=-，求出132sin 24cos cos 4S DN DM ππθθ=⋅⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意5MN 13DN =25DN = 所以2cos 22251365MDN ∠==≠⨯⨯所以4MDN π∠≠，DMN ∆不符合要求（2）CDM θ∠=Q ，4ADN πθ∠=-，所以cos 4DM θ=，3cos 4DN πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭132sin 24cos cos 4S DN DM ππθθ=⋅⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos cos cos sin 42πθθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭Q)sin 2cos 214θθ=++11sin 224424πθ⎛⎫=++≤+⎪⎝⎭所以)121S ≥，S 的最小值为)121.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明（1）中的猜想；（3）设1(0)n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈，都有{}*|n m T b m N ∈∈，求实数t 的值.【答案】（1）11a =，22a =，33a =，n a n =；（2）详见解析；（3）1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）代入22n nn a a S +=，求出1a ，2a ，3a ，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t 是整数，所以1t k=，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，因为n 的任意性，不妨设2m b T =，求出即可．【详解】（1）解：由已知22n nn a a S +=，所以11a =，22a =，33a =，猜想n a n =证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N（3）解由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t-都是整数，进而1t 是整数所以1t k =，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n 项和公式的应用，中档题．21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =.若0a <，且3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()y g x =[]()1,2x ∈的反函数；（3）若在[]0,2上存在n 个不同的点()1,2,,.3i x i n n =⋅⋅⋅≥，12n x x x <<⋅⋅⋅<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),2-∞；（2）[])30,3y x =∈；（3）(][),26,-∞-+∞U . 【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】解：（1）解不等式12x x -<当1x ≥时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()g x 是以2为周期的偶函数，所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-，所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥；③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2424a a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()2224f a =-<，在[]0,2上，()()max max ,242a f x f f ⎧⎫⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. ()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U . ③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()22max 22(0)2242a a a f x f f ⎛⎫⎛⎫≤=-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。

上海金山区2019学年第一学期期末考试高三数学试题

金山区2019学年第一学期期末考试高三数学试题考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若集合A ={x | 1<|x –1|<3，x ∈Z }，用列举法表示A = ．2．已知sin θ=135，θ是第二象限的角，则tan θ= ． 3．函数y=log 2 x 的反函数是． 4．计算：sin(arctan33)= ． 5．若cos ϕ= –53，ϕ∈(2π, π)，则sin(ϕ+6π)= ． 6．在边长为2的正方形ABCD 中，若E 是CD 的中点，则BE AD ⋅= ．7．若矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，矩阵B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则矩阵A 和B 的乘积AB = ．8．行列式6cos 6sin 6sin 6cosππππ的值是． 9．在(xx 1-)12的二项展开式中，常数项的值为． 10．已知向量a =(k 2+k –3)i +(1–k )，b = –3i +(k –1)，若向量a 与b 平行，则k = ．11．若有下列命题：① |x |2+|x |–2=0有四个实数解；② 设a 、b 、c 是实数，若二次方程ax 2+bx+c =0无实根，则ac ≥0；③ 若x 2–3x +2≠0，则x ≠2，④ 若x ∈R ，则函数y=42+x +412+x 的最小值为2．上述命题中是假命题的有 (写出所有假命题的序号)．12．“渐升数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字)，如：24579就是一个五位“渐升数”．那么在二位“渐升数”中，任取一个二位渐升数，则该数比45大的概率是．13．函数y=|x 2–1|和函数y=x+k 的图像恰有三个交点，则k 的值是．14．如图，把正三角形AB C 分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A 为第一行，…，BC为第n 行，记点A 上的数为a 11=1，…，第i 行中第j个数为a ij (1≤j ≤i )．若a 21=21，a 22=41，则a 31+a 32+a 33= ．二、选择题 (本大题共有4题，考生应在答题纸相应编号的位置内填涂，每小题5分，共20分)15．“x =2k π+4π(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件16．下列给出的赋值语句中正确的是 ( )(A)3=A (B)M=M+1 (C) B+A –2=0 (D)x+y=017．设S k =11+k +21+k +31+k +…+k 21，则S k +1为 ( ) (A)S k +)1(21+k (B)S k +121+k +)1(21+k (C)S k +121+k –)1(21+k (D)S k +)1(21+k –121+k 18．定义：k n k a 1=∏=a 1a 2a 3…a n ，则∞→n lim )11(22k n k -∏=的值为 ( ) (A) 0 (B) 31 (C) 21 (D)1 三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内，如果写错位置，该题不予评分，责任自负．本大题有5个小题，共74分)19．(本题12分)已知a 、b 、c 是∆ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是∆ABC 的面积，若a=4，b=5，S =53，求c 的长度．20．(本题14分)已知向量a =(sin x , cos x )，向量b =(cos x , sin x )，x ∈R ，函数f (x )= a (a +b )．(1)求函数f (x )的最大值、最小值与最小正周期；(2)求使不等式f (x )≥23成立的x 的取值范围． 21．(本题14分)阅读：设Z 点的坐标(a , b )，r =|OZ |，θ是以x 轴的非负半轴为始边、以OZ 所在的射线为终边的角，复数z=a+b i 还可以表示为z=r (cos θ+isin θ)，这个表达式叫做复数z 的三角形式，其中，r 叫做复数z 的模，当r ≠0时，θ叫做复数z 的幅角，复数0的幅角是任意的，当0≤θ<2π时，θ叫做复数z 的幅角主值，记作arg z ．根据上面所给出的概念，请解决以下问题：(1)设z=a+b i =r (cos θ+isin θ) (a 、b ∈R ，r ≥0)，请写出复数的三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；(2)设z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则．(结论不需要证明)22．(本题16分)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =a n a n +1a n +2 (n ∈N*)，数列{b n }的前n 项和为S n ．(1)若数列{a n }的公差d 等于首项a 1，试用数学归纳法证明：对于任意n ∈N*，都有S n =da b n n 43+； (2)若数列{a n }满足：3a 5=8a 12>0，试问n 为何值时，S n 取得最大值？并说明理由．23．(本题18分)在R +上的递减函数f (x )同时满足：(1)当且仅当x ∈MR +时，函数值f (x )的集合为[0, 2]；(2)f (21)=1；(3)对M 中的任意x 1、x 2都有f (x 1•x 2)= f (x 1)+ f (x 2)；(4)y=f (x )在M 上的反函数为y=f –1(x )．(1)求证：41∈M ，但81∉M ； (2)求证：f –1(x 1)• f –1(x 2)= f –1(x 1+x 2)； (3)解不等式：f –1(x 2–x )• f –1(x –1)≤21．。