第1章 数与数系
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6
二.算术到代数的演进加速了数系的形成
毕达哥拉斯学派发现无理数的故事 《几何原本》关于复杂无理数和欧多克斯利 用穷解法把相似比扩展到无理数情形的记载。
字母表示数和方程求解的运算过程促进了人 们对无理数的接受。
7
三.算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因 大量研究表明，最早使用负数的是中国人。 约公元前200年的《九章算术》有记载。 负数受到数学家的普遍承认主要是依赖于算 法的无矛盾性。两个例子：解方程和比例的 内项之积等于外向之积。 中国的“开方术”算法使中国人很自然地接 受了无理数。 复数幂的欧拉公式的逻辑相容性促使人们承 认虚数。
添加负数和零
作分数域 有理数系 整数系
5
当人们还普遍怀疑负整数是一种数时，人们 就已经在研究正的有理数和无理数，甚至已 经开始使用复数了。 人们可以接受正有理数和正无理数，因为它 们是在实体测量中产生的抽象物。 不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认 负数的理由。
乘法定义：若b个有限集 A , A ,, A ,彼此之间 没有公共元素，它们的基数都是 a， 则称 A A A 基数为a乘以b的积，记作a×b。
1 2 b
1 2 b
18
二、 自然数的序数理论
基数理论建立在直观经验基础之上，易于理 解。但没有很好揭露自然数在顺序上的意义 。 把自然数系作为严格的逻辑系统，采用公理 化的方法加以研究在19世纪末得以实现。 皮亚诺（G.Peano）在1889年建立了自然数 的公理系统。
16
顺序定义
①
②
③
如果有限集A和B的基数分别为a，b。那么， 当 时，说a等于b，记作a ＝b； 当 A ~ B 时，就说a小于b ，记作a ＜b ； 当 A ~ B B时，就说a大于b ，记作a ＞b 。
A A ~ B
17
运算定义
加法定义：设A、B是有限集， A和B的基数 分别为a，b ， 且A B 则 A B 的基数为a加 上b的和，记作 a b 。
19
1、自然数（皮亚诺）公理
（两个形式符号1和`，5条公理）
① ②
③
④ ⑤
1是自然数； 每个自然数a都有一个后继a`； 1不是任何自然数的后继； 若a`=b`，则a=b （归纳公理）自然数的某个集合若含1，而 且如果含一个自然数a就一定含a`，那么这 个集合含全体自然数。 记全体自然数所组成的集合为N。 20
9
五.用结构主义方法构造数系
微积分中“无穷小”的不严密→希尔伯特的《几何
基础》→布尔巴基学派的结构主义
我们把具有特定结构的数的全体，称为一种数系。
借助抽象代数的语言，各种数系可以浓缩为一系列
代数结构和序结构的组合。 数系的扩充过程是在原有的数系上添加新的元，规 定新的运算，形成新的结构，最终扩充为新的数系。
15
定义1：一切对等的集合的共同特征的标志， 成为这些集合的基数（或势）。有限集的基 数叫做自然数 。若集合A与B的基数相同，记 作A~B。 不含任何元素的集合，它的基数记作0； 只含一个元素的有限集，其基数记作1；含有 两个元素的有限集，其基数记作2；……；从 而得到自然数0，1，2，3……。
11
③ ④
两点说明：
数集的每次扩充都解决了原数集不能解决的 一些矛盾，使其应用范围扩大，但同时也失 去一些性质。如从N到Z，Z对减法具有封闭性， 但失去了良序性，即N中任何非空子集都有最 小元素。又如C使任何代数方程都有根，但失 去了R的顺序性，即C中元素无大小可言。 复数集的扩充问题：如果满足复数集的全部 性质，任何扩充都不可能。但若舍弃乘法交 换律，则可将C扩展到四元数集。
四、自然数与0
历史和现状 ① “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊 修斯使用。早期自然数只是正整数。 ② 自然数基数理论和序数理论都没涉及0。 ③ 我国数学教科书中在20世纪90年代之前一 直没有把0作为自然数。 ④ 1993年《中华人民共和国国家标准》中 《量和单位》311页规定自然数包括0。 ⑤ 据文件，近年中小学数学教材进行了修改。
10
数系扩充应遵循的结构主义原则
① ② A是B的真子集。用A中的数，按照逻辑方法构造B中的数。 在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B 的元间也有相应的定义，且B的元间的这些关系和运算对B 中的A的元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼 此相容。 B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是 总能实施，在B中却总能实施。 在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B 是唯一最小扩展。
定义2 （自然数的乘法） 在自然数集N上， 满足下列条件的的二元运算“·”叫做乘法：
①
②
对任意的自然数a，有a· 1=a；
任意自然数a,b，有a· b`=a· b+a。
a· b称为a与b的积，简记为ab。
定理5 自然数的乘法对加法的分配律
定理6 乘法交换律
定理7 乘法结合律
25
定理5的证明。即证：对任意自然数a、b、c， 总有（a+b)c=ac+bc
12
第二节 自然数系和0
一．自然数的基数理论 二．自然数的序数理论 三．关于自然数系的几点说明 四．自然数和0
13
建立自然数理论的几种方案 I. 康托尔以集合论为基础，建立自然数基数 理论； II. 皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数 理论； III. 罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自 然数理论。
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四.与实体不能直接对应的“理想数”
希尔伯特用“理想元”概括数学中的“虚数”和 “无限”这类并不直接与实体对应的数学概念。如 引入理想元，即无限远点和无限远直线之后，两条 直线总在一点而且只在一点相交这条定理普遍为真。 鲁宾逊证明了通常的实数系R可以扩充为一种包括 “无穷小”和“无穷大”在内的非标准实数系R*, 在R*定义的各种运算和R中的运算不会发生矛盾。 同时R中的极限过程可以用R*中的四则运算代替。
假定全序集M满足下面条件： M的任何一个非空子集A，都有最小元x0,即对于任何 x∈A,总有x0≤x,那么M称为良序集。 自然数集N关于通常的小于关系“≤”是良序集。 定理8 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数a 与a`之间，不存在自然数b，使得a`＞b＞a。 证明: 若b＞a，则存在k∈N ，使b=a+k。因k≥1， 所以a+k≥a+1，即b≥a`，矛盾，故结论不可能成 立。 定理9 （阿基米德性质）对任意自然数a、b，必有 自然数n，使na＞b。 30
公理5是第一数学归纳法的逻辑依据
定理1（第一数学归纳法）设P(n)是一个关于 自然数的命题，如果P(n)满足下面的条件： P(1)成立； 假定从P(k)成立可以推出P(k+1)也成立； 则命题P(n)对所有的自然数n都成立。
22
证明：
设M是使P(n)成立的自然数的集合。
由于P(1)成立，可知1∈M。
证 设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 a b 1 a b a 1 b 1, 假定c M，则 (a b) c` (a b)c (a b) ac bc a b (ac a) (bc b) ac`bc` 于是c` M， 因此，M N .又由a、b的任意性，得证。
三、关于自然数系的几点说明
⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为 算术系统，它是数学中最基础的一个系统。 ⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻 辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出 发不会推导出两个矛盾的命题。但1931年， 哥德尔证明：算术系统的相容性是不可能用 自身的公理加以证明的。 ⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 具有宝贵的教学价值 32
按照上述公理，从1开始，1有唯一的后继1`， 记1`=2；2有唯一的后继2`，记2`=3；……如 此下去，得到自然数集合N=﹛1,2,3,…﹜。 因此“后继”是自然数集上的一个顺序关系， 由于自然数具有这种“自然顺序”关系，因 此我们也把自然数看成“序数”。 潜无限：可以始终不断地一直进行下去，而 无法穷尽。如自然数集的无限性。 实无限：一次性地、同时地呈现在我们面前， 在意识中，好像这种无限是一种能够实现的 无限。如一条线段上点的个数的无限性。 21
又因由P(k)成立可以推出P(k+1)也成立，所 以如果k∈M，其后继元k`也属于M。 于是由公理5得M=N（全体自然数所成的集 合）。 因此，对于对于任意的自然数n， P(n)成立。
23
2、自然数的加法和乘法
① ②
定义1（自然数的加法）在自然数N中，满 足下列条件的二元运算“+”，叫做加法： 对任意的a,有a+1=a`； 对任意的a,b∈N，都有a+b∈N，且a+b`= （ a+b）`，其中a+b叫做a与b的和。 a，b 分别叫做被加数、加数。 定理2 自然数的和存在且唯一 定理3 加法交换律 24 定理4 加法结合律
26
1 M
对乘法交换律的探讨
在《全日制义务教育数学课程标准（实验 稿）》关于乘法的注解： 关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写 成5×3。 3×5读作3乘5， 3和5都是乘数 （也可以叫因数）。 这一提法的本意是不再区分“乘数”和“被 乘数”，有一定的合理性，但不太严谨。
27
本书作者看来，先要定义乘法的意义，才会 有乘法的运算。乘法交换律是由乘法定义， 要用到原始的“后继”概念，用到数学归纳 法才能进行严格证明。在小学讲这个显然不 行。 小学里重视数学情境创设，加以具体解释， 帮助学生理解乘法交换律就够了。但用集合 论解释、画图解释、举例解释都是解释，而 不是证明。 注解改为：3个5相加记作3×5，由于正整数 满足乘法交换律，所以也可以写成5×3。 28
对自然数基数理论和序数理论的反思
自然数的基数理论回答了一个集合含“多少个元” 的问题，自然数的序数理论反映了事物记数的顺序 性，回答了“第几个”的问题。
从皮亚诺公理系统出发，定义并采用严格的逻辑演 绎的方法证明了自然数的一系列运算法则。这种公 理化方法更多地关注数学推理的可靠性，并力图把 这种推理的可靠性归之于简单而明了的可靠的公理 体系。具有明确的科学和哲学的价值和意义，体现 了人类的理性精神。但不易理解。 在实际的数学教学中应把握好“适度形式化”原则。 31
第一章 数与数系
数系的历史发展 自然数系和0 从自然数系到整数 环 有理数系 实数系
戴德金分割与实数系 的连续性 复数系 关于数系教学的建议 一些例题
1
第一节 数系的历史发展
一．数学思维对象与实体的分离 二．算术到代数的演进加速了数系的形成 三．算法的合理性是新“数”获得承认的主要 原因 四．与实体不能直接对应的“理想数” 五．用结构主义方法构造数系
2
一.数学思维对象与实体的分离
用实物计数
结绳计数
这样太不 方便了！ 刻道计数
3
巴比伦数字：
中国数字：
罗马数字：
ⅠⅡⅢ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
4
历史途径扩展： 自然数→正有理数→简单的代数无理数→零（公元 650年左右，印度）与负有理数→复数→严格的实数 系。 逻辑扩展： 自然数 作柯西序列等价类 实数系 作2次代数扩展 复数系。 注：四元数 H (a, b, c, d ) 不满足某些数的性质，故不属 于数系。
3 自然数集的一些重要性质
① ② ③
定义3（半序集）一个集合M，如果在M上定 义了一个关系≤，满足条件： （自反性）对于任意的x∈M，总有x≤x； （反对称性）如果x≤y, y≤x,那么x=y； （传递性）如果x≤y, y≤z,那么x≤z，则 ≤称为半序关系，M称为半序集或偏序集。 如果进一步还满足条件： 对一切的x,y, x≤y, y≤x两式中至少有一 个成立，则M称为全序集 29
14
一、自然数基数理论
基数理论是以原始概念“集合”为基础的。
把一切集合按对等关系分类，使所有对等的集合分 为一类，这时同一类集合有一种共同特征。如：
﹛一只羊﹜、﹛一只兔﹜、﹛一个人﹜、﹛a﹜等， 它们都是对等的集合，应归为一类。显然，羊、兔、 人和字母不是它们的共同特征。而只有“1”才是它 们共同特征的标志。 类似，﹛三棵树﹜、﹛三头牛﹜、﹛三条鱼﹜、 ﹛a,b,c﹜等，是对等的集合，“3”是它们共同特 征的标志。
二.算术到代数的演进加速了数系的形成
毕达哥拉斯学派发现无理数的故事 《几何原本》关于复杂无理数和欧多克斯利 用穷解法把相似比扩展到无理数情形的记载。
字母表示数和方程求解的运算过程促进了人 们对无理数的接受。
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三.算法的合理性是新“数”获得承认的主要原因 大量研究表明，最早使用负数的是中国人。 约公元前200年的《九章算术》有记载。 负数受到数学家的普遍承认主要是依赖于算 法的无矛盾性。两个例子：解方程和比例的 内项之积等于外向之积。 中国的“开方术”算法使中国人很自然地接 受了无理数。 复数幂的欧拉公式的逻辑相容性促使人们承 认虚数。
添加负数和零
作分数域 有理数系 整数系
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当人们还普遍怀疑负整数是一种数时，人们 就已经在研究正的有理数和无理数，甚至已 经开始使用复数了。 人们可以接受正有理数和正无理数，因为它 们是在实体测量中产生的抽象物。 不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认 负数的理由。
乘法定义：若b个有限集 A , A ,, A ,彼此之间 没有公共元素，它们的基数都是 a， 则称 A A A 基数为a乘以b的积，记作a×b。
1 2 b
1 2 b
18
二、 自然数的序数理论
基数理论建立在直观经验基础之上，易于理 解。但没有很好揭露自然数在顺序上的意义 。 把自然数系作为严格的逻辑系统，采用公理 化的方法加以研究在19世纪末得以实现。 皮亚诺（G.Peano）在1889年建立了自然数 的公理系统。
16
顺序定义
①
②
③
如果有限集A和B的基数分别为a，b。那么， 当 时，说a等于b，记作a ＝b； 当 A ~ B 时，就说a小于b ，记作a ＜b ； 当 A ~ B B时，就说a大于b ，记作a ＞b 。
A A ~ B
17
运算定义
加法定义：设A、B是有限集， A和B的基数 分别为a，b ， 且A B 则 A B 的基数为a加 上b的和，记作 a b 。
19
1、自然数（皮亚诺）公理
（两个形式符号1和`，5条公理）
① ②
③
④ ⑤
1是自然数； 每个自然数a都有一个后继a`； 1不是任何自然数的后继； 若a`=b`，则a=b （归纳公理）自然数的某个集合若含1，而 且如果含一个自然数a就一定含a`，那么这 个集合含全体自然数。 记全体自然数所组成的集合为N。 20
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五.用结构主义方法构造数系
微积分中“无穷小”的不严密→希尔伯特的《几何
基础》→布尔巴基学派的结构主义
我们把具有特定结构的数的全体，称为一种数系。
借助抽象代数的语言，各种数系可以浓缩为一系列
代数结构和序结构的组合。 数系的扩充过程是在原有的数系上添加新的元，规 定新的运算，形成新的结构，最终扩充为新的数系。
15
定义1：一切对等的集合的共同特征的标志， 成为这些集合的基数（或势）。有限集的基 数叫做自然数 。若集合A与B的基数相同，记 作A~B。 不含任何元素的集合，它的基数记作0； 只含一个元素的有限集，其基数记作1；含有 两个元素的有限集，其基数记作2；……；从 而得到自然数0，1，2，3……。
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③ ④
两点说明：
数集的每次扩充都解决了原数集不能解决的 一些矛盾，使其应用范围扩大，但同时也失 去一些性质。如从N到Z，Z对减法具有封闭性， 但失去了良序性，即N中任何非空子集都有最 小元素。又如C使任何代数方程都有根，但失 去了R的顺序性，即C中元素无大小可言。 复数集的扩充问题：如果满足复数集的全部 性质，任何扩充都不可能。但若舍弃乘法交 换律，则可将C扩展到四元数集。
四、自然数与0
历史和现状 ① “自然数”这一术语首先被罗马学者波伊 修斯使用。早期自然数只是正整数。 ② 自然数基数理论和序数理论都没涉及0。 ③ 我国数学教科书中在20世纪90年代之前一 直没有把0作为自然数。 ④ 1993年《中华人民共和国国家标准》中 《量和单位》311页规定自然数包括0。 ⑤ 据文件，近年中小学数学教材进行了修改。
10
数系扩充应遵循的结构主义原则
① ② A是B的真子集。用A中的数，按照逻辑方法构造B中的数。 在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B 的元间也有相应的定义，且B的元间的这些关系和运算对B 中的A的元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼 此相容。 B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是 总能实施，在B中却总能实施。 在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B 是唯一最小扩展。
定义2 （自然数的乘法） 在自然数集N上， 满足下列条件的的二元运算“·”叫做乘法：
①
②
对任意的自然数a，有a· 1=a；
任意自然数a,b，有a· b`=a· b+a。
a· b称为a与b的积，简记为ab。
定理5 自然数的乘法对加法的分配律
定理6 乘法交换律
定理7 乘法结合律
25
定理5的证明。即证：对任意自然数a、b、c， 总有（a+b)c=ac+bc
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第二节 自然数系和0
一．自然数的基数理论 二．自然数的序数理论 三．关于自然数系的几点说明 四．自然数和0
13
建立自然数理论的几种方案 I. 康托尔以集合论为基础，建立自然数基数 理论； II. 皮亚诺以公理法为基础，建立自然数序数 理论； III. 罗素等人试图用纯逻辑学为基础，建立自 然数理论。
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Βιβλιοθήκη Baidu
四.与实体不能直接对应的“理想数”
希尔伯特用“理想元”概括数学中的“虚数”和 “无限”这类并不直接与实体对应的数学概念。如 引入理想元，即无限远点和无限远直线之后，两条 直线总在一点而且只在一点相交这条定理普遍为真。 鲁宾逊证明了通常的实数系R可以扩充为一种包括 “无穷小”和“无穷大”在内的非标准实数系R*, 在R*定义的各种运算和R中的运算不会发生矛盾。 同时R中的极限过程可以用R*中的四则运算代替。
假定全序集M满足下面条件： M的任何一个非空子集A，都有最小元x0,即对于任何 x∈A,总有x0≤x,那么M称为良序集。 自然数集N关于通常的小于关系“≤”是良序集。 定理8 （自然数的离散性）任两个相邻的自然数a 与a`之间，不存在自然数b，使得a`＞b＞a。 证明: 若b＞a，则存在k∈N ，使b=a+k。因k≥1， 所以a+k≥a+1，即b≥a`，矛盾，故结论不可能成 立。 定理9 （阿基米德性质）对任意自然数a、b，必有 自然数n，使na＞b。 30
公理5是第一数学归纳法的逻辑依据
定理1（第一数学归纳法）设P(n)是一个关于 自然数的命题，如果P(n)满足下面的条件： P(1)成立； 假定从P(k)成立可以推出P(k+1)也成立； 则命题P(n)对所有的自然数n都成立。
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证明：
设M是使P(n)成立的自然数的集合。
由于P(1)成立，可知1∈M。
证 设使上面等式成立的所有的c组成的集合为M。 a b 1 a b a 1 b 1, 假定c M，则 (a b) c` (a b)c (a b) ac bc a b (ac a) (bc b) ac`bc` 于是c` M， 因此，M N .又由a、b的任意性，得证。
三、关于自然数系的几点说明
⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为 算术系统，它是数学中最基础的一个系统。 ⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻 辑上的相容性，也就是说必须保证从公理出 发不会推导出两个矛盾的命题。但1931年， 哥德尔证明：算术系统的相容性是不可能用 自身的公理加以证明的。 ⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。 具有宝贵的教学价值 32
按照上述公理，从1开始，1有唯一的后继1`， 记1`=2；2有唯一的后继2`，记2`=3；……如 此下去，得到自然数集合N=﹛1,2,3,…﹜。 因此“后继”是自然数集上的一个顺序关系， 由于自然数具有这种“自然顺序”关系，因 此我们也把自然数看成“序数”。 潜无限：可以始终不断地一直进行下去，而 无法穷尽。如自然数集的无限性。 实无限：一次性地、同时地呈现在我们面前， 在意识中，好像这种无限是一种能够实现的 无限。如一条线段上点的个数的无限性。 21
又因由P(k)成立可以推出P(k+1)也成立，所 以如果k∈M，其后继元k`也属于M。 于是由公理5得M=N（全体自然数所成的集 合）。 因此，对于对于任意的自然数n， P(n)成立。
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2、自然数的加法和乘法
① ②
定义1（自然数的加法）在自然数N中，满 足下列条件的二元运算“+”，叫做加法： 对任意的a,有a+1=a`； 对任意的a,b∈N，都有a+b∈N，且a+b`= （ a+b）`，其中a+b叫做a与b的和。 a，b 分别叫做被加数、加数。 定理2 自然数的和存在且唯一 定理3 加法交换律 24 定理4 加法结合律
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1 M
对乘法交换律的探讨
在《全日制义务教育数学课程标准（实验 稿）》关于乘法的注解： 关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写 成5×3。 3×5读作3乘5， 3和5都是乘数 （也可以叫因数）。 这一提法的本意是不再区分“乘数”和“被 乘数”，有一定的合理性，但不太严谨。
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本书作者看来，先要定义乘法的意义，才会 有乘法的运算。乘法交换律是由乘法定义， 要用到原始的“后继”概念，用到数学归纳 法才能进行严格证明。在小学讲这个显然不 行。 小学里重视数学情境创设，加以具体解释， 帮助学生理解乘法交换律就够了。但用集合 论解释、画图解释、举例解释都是解释，而 不是证明。 注解改为：3个5相加记作3×5，由于正整数 满足乘法交换律，所以也可以写成5×3。 28
对自然数基数理论和序数理论的反思
自然数的基数理论回答了一个集合含“多少个元” 的问题，自然数的序数理论反映了事物记数的顺序 性，回答了“第几个”的问题。
从皮亚诺公理系统出发，定义并采用严格的逻辑演 绎的方法证明了自然数的一系列运算法则。这种公 理化方法更多地关注数学推理的可靠性，并力图把 这种推理的可靠性归之于简单而明了的可靠的公理 体系。具有明确的科学和哲学的价值和意义，体现 了人类的理性精神。但不易理解。 在实际的数学教学中应把握好“适度形式化”原则。 31
第一章 数与数系
数系的历史发展 自然数系和0 从自然数系到整数 环 有理数系 实数系
戴德金分割与实数系 的连续性 复数系 关于数系教学的建议 一些例题
1
第一节 数系的历史发展
一．数学思维对象与实体的分离 二．算术到代数的演进加速了数系的形成 三．算法的合理性是新“数”获得承认的主要 原因 四．与实体不能直接对应的“理想数” 五．用结构主义方法构造数系
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一.数学思维对象与实体的分离
用实物计数
结绳计数
这样太不 方便了！ 刻道计数
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巴比伦数字：
中国数字：
罗马数字：
ⅠⅡⅢ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
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历史途径扩展： 自然数→正有理数→简单的代数无理数→零（公元 650年左右，印度）与负有理数→复数→严格的实数 系。 逻辑扩展： 自然数 作柯西序列等价类 实数系 作2次代数扩展 复数系。 注：四元数 H (a, b, c, d ) 不满足某些数的性质，故不属 于数系。
3 自然数集的一些重要性质
① ② ③
定义3（半序集）一个集合M，如果在M上定 义了一个关系≤，满足条件： （自反性）对于任意的x∈M，总有x≤x； （反对称性）如果x≤y, y≤x,那么x=y； （传递性）如果x≤y, y≤z,那么x≤z，则 ≤称为半序关系，M称为半序集或偏序集。 如果进一步还满足条件： 对一切的x,y, x≤y, y≤x两式中至少有一 个成立，则M称为全序集 29
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一、自然数基数理论
基数理论是以原始概念“集合”为基础的。
把一切集合按对等关系分类，使所有对等的集合分 为一类，这时同一类集合有一种共同特征。如：
﹛一只羊﹜、﹛一只兔﹜、﹛一个人﹜、﹛a﹜等， 它们都是对等的集合，应归为一类。显然，羊、兔、 人和字母不是它们的共同特征。而只有“1”才是它 们共同特征的标志。 类似，﹛三棵树﹜、﹛三头牛﹜、﹛三条鱼﹜、 ﹛a,b,c﹜等，是对等的集合，“3”是它们共同特 征的标志。