1.1 质点的运动函数
大学物理第一章质点运动学
)
oR P
方向：永远指向圆心---向心加速度---速度方向的变化率
二、变速圆周运动 切向加速度 法向加速度
t v (t)
t t v (t t)
(t t) Q
(t)
1、加速度定义 已知： v v(t)
v v(t t) v(t)
➢平均加速度
a v t
y
v(t)
P1
P2
r(t)
r (t t)
v(t t)
v(t)
v v(t t)
➢瞬时加速度
0
a
lim
v
dv
t0 t dt
d 2r dt 2
x
方大向小：：av的极dd限vt 方向，
且指向轨道凹侧
二、质点的运动方程（运动函数）
1、质点的位置矢量（位矢，矢经）r
r (t)
z z( t )
P( t )
·
r( t )
x( t )
k i0
j
y( t )
x
直角坐标下： P(x, y, z)
x x(t), y y(t), z z(t)
位置矢量： r
y
大小r r : OP间直线距离
方向：
OP
§1.1 质点的运动函数
一、 质点运动学的基本概念
1、参考系和坐标系
运动是绝对性的 运动的描述是相对性
参考系——用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。
（1）描述物体运动必须选取参考系。 （2）运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式可以不同。 （3）常用参考系:
太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） 地面参考系或实验室参考系 质心参考系（第三章§6）
(完整版)大学物理课后习题答案详解
第一章质点运动学1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2x =2t,y =4t 8-。
（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。
解：（1）由x=2t 得，y=4t 2-8 可得： y=x 2-8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 22(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j =则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8ri j v i j a j =+=+=2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速度为0v ，求运动方程)(t x x =.解：kv dt dv-= ⎰⎰-=t vv kdt dv v 001 tk e v v -=0t k e v dtdx-=0 dt ev dx tk tx-⎰⎰=000)1(0t k e kv x --=3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt t v 2=t 2v d =x /d t 2=t 2t t x txx d 2d 020⎰⎰= x 2= t 3 /3+10 (SI)4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的d d r t ，d d v t ，tv d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）2gt 21h y -= 式（2） 201()(h -)2r t v t i gt j =+（2）联立式（1）、式（2）得 22v 2gx h y -=（3）0d -gt d rv i j t = 而落地所用时间 gh2t = 所以 0d -2gh d r v i j t =d d v g j t=- 2202y 2x )gt (v v v v -+=+= 2120212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为22r t i tj =+，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
质点运动规律的数学描述
质点运动规律的数学描述在物理学中，研究物体的运动规律是一个重要的课题。
而对于质点的运动，我们可以使用数学语言进行准确的描述和计算。
本文将探讨质点运动规律的数学描述，并展示一些常见的几何形状的运动路径。
1. 一维直线运动我们首先考虑最简单的情况，质点在一维的直线上运动。
假设质点的位置用坐标x表示，时间用t表示。
根据牛顿运动定律，质点的运动可以用以下方程描述：F = ma其中F是施加在质点上的力，m是质点的质量，a是质点的加速度。
如果质点所受的力是恒定的，则有：F = k其中k是一个常量，由此可以得到：a = k/m根据加速度的定义，有：a = dv/dt将上述方程整理一下，可以得到：dv/dt = k/m这是一个一阶线性常微分方程，可以通过求解得到质点的速度v关于时间t的表达式。
再次积分可以得到质点的位置x关于时间t的表达式。
2. 二维平面运动接下来考虑质点在二维平面上的运动。
假设质点的位置用坐标(x, y)表示，时间仍然用t表示。
根据牛顿运动定律，可以得到以下方程组：Fx = maxFy = may其中Fx和Fy分别表示质点在x轴和y轴上受到的力，mx和my分别表示质点在x轴和y轴上的质量。
如果不考虑质点之间的相互作用，我们可以假设质点受到的力在x轴和y轴上分别是Fx = fx(x, y, t)和Fy = fy(x, y, t)。
此时可以得到：ax = fx/mxay = fy/my根据加速度的定义，有：ax = dvx/dtay = dvy/dt将上述方程整理一下，可以得到：dvx/dt = (fx/mx)dvy/dt = (fy/my)这是一个二阶线性常微分方程组，可以通过求解得到质点的速度和位置关于时间的表达式。
根据质点的速度和位置，我们可以确定质点的运动轨迹。
3. 运动轨迹的几何形状通过解析解或数值解法，我们可以得到质点的位置关于时间的表达式。
这些表达式可以描绘出不同几何形状的运动轨迹。
大学物理上册-课后习题答案全解
第一章 质点运动学1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x (t ) = 6t 2 - 2t 3．试求： （1）第2s 内的位移和平均速度；（2）1s 末及2s 末的瞬时速度，第2s 内的路程； （3）1s 末的瞬时加速度和第2s 内的平均加速度．[解答]（1）质点在第1s 末的位置为：x (1) = 6×12 - 2×13= 4(m)．在第2s 末的位置为：x (2) = 6×22 - 2×23= 8(m)． 在第2s 内的位移大小为：Δx = x (2) – x (1) = 4(m)，经过的时间为Δt = 1s ，所以平均速度大小为：=Δx /Δt = 4(m·s -1)．（2）质点的瞬时速度大小为：v (t ) = d x /d t = 12t - 6t 2，因此v (1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s -1)，v (2) = 12×2 - 6×22 = 0质点在第2s 内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m ． （3）质点的瞬时加速度大小为：a (t ) = d v /d t = 12 - 12t ，因此1s 末的瞬时加速度为：a (1) = 12 - 12×1 = 0，第2s 内的平均加速度为：= [v (2) - v (1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s -2)．[注意] 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s 内走过路程s = 30m ，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为，并由上述资料求出量值．[证明]依题意得v t = nv o ，根据速度公式v t = v o + at ，得a = (n – 1)v o /t ， (1)根据速度与位移的关系式v t 2 = v o 2+ 2as ，得 a = (n 2 – 1)v o 2/2s ，(2) （1）平方之后除以（2）式证得：．计算得加速度为：= (m·s -2)．1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成°的夹角的初速度65m·s -1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取g = 10m·s -2．问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？ [解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（人）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v y 0 = v 0sin θ = (m·s -1)．取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v t - v 0 = at ，这里的v 0就是v y 0，a = -g ；当人达到最高点时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为t 1 = v y 0/g = (s)．再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：v t 2 - v 02= 2a s ，可得上升的最大高度为：h 1 = v y 02/2g = (m)．人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;h 2 = h 1 + h = (m)．根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为:= (s)． 因此人飞越的时间为：t = t 1 + t 2 = (s)．人飞越的水平速度为;v x 0 = v 0cos θ = (m·s -1)， 所以矿坑的宽度为：x = v x 0t = (m)．（2）根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：v y = gt = (m·s -1)，落地速度为：v = (v x 2 + v y 2)1/2 = (m·s -1)，与水平方向的夹角为：φ = arctan(v y /v x ) = º，方向斜向下．方法二：一步法．取向上为正，人在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程图，解得：．这里y = -70m，根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：t= (s)．由此可以求解其它问题．1．4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v/d t = -kv2，k为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．[证明]（1）分离变数得，故，可得：．（2）公式可化为，由于v = d x/d t，所以：积分．因此．证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．由于a = d2x/d t2，而 d x/d t = v，a = d v/d t，分离变数得方程：，解方程即可求解．在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则d v/d t = -kv n．（1）如果n = 1，则得，积分得ln v = -kt + C．当t = 0时，v = v0，所以C = ln v0，因此ln v/v0 = -kt，得速度为：v = v0e-kt．而d v = v0e-kt d t，积分得：．当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此．（2）如果n≠1，则得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此．如果n = 2，就是本题的结果．如果n≠2，可得，读者不妨自证．1．5 一质点沿半径为的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？[解答]（1）角速度为ω = dθ/d t = 12t2= 48(rad·s-1)，法向加速度为a n= rω2= (m·s-2)；角加速度为β = dω/d t = 24t= 48(rad·s-2)，切向加速度为a t= rβ = (m·s-2)．（2）总加速度为a = (a t2 + a n2)1/2，当a t = a/2时，有4a t2 = a t2 + a n2，即．由此得，即，解得．所以 =(rad)．（3）当a t = a n时，可得rβ= rω2，即： 24t = (12t2)2，解得：t = (1/6)1/3 = (s)．1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s -1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s -2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v 0x = v 0cos θ， v 0y = v 0sin θ．加速度的大小为a x = a cos α， a y = a sin α．运动方程为， ． 即 ，．令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为：t = 0（舍去）；(s)． 将t 代入x 的方程求得x = 9000m ．[注意]选择不同的坐标系，如x 方向沿着a 的方向或者沿着v 0的方向，也能求出相同的结果．1．7 一个半径为R = 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A ．在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速地下降，在Δt = 内下降的距离h = ．求物体开始下降后3s 末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A 下落加速度．由于，所以a t = 2h /Δt 2 = (m·s -2)．物体下降3s 末的速度为v = a t t = (m·s -1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= (m·s -2)．1．8 一升降机以加速度·s -2上升，当上升速度为·s -1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距．计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为． 由题意得h = h 1 - h 2，所以， 解得时间为= (s)．算得h 2 = ，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为．[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g ，而初速度为零，可列方程h = (a + g )t 2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．1．9 有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处．已知气流相对于地面的速度为u ，AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变．（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为； （2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为； （3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为． [证明]（1）飞机飞行来回的速率为v ，路程为2l ，所以飞行时间为t 0 = 2l /v ．（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u ，向西飞行逆风的速率为v - u ，所以飞行时间为 ．（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB 之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作向量三角形，其中沿AB 方向的速度大小为，所以飞行时间为． 证毕．图A B AB v v + uv - u A Bv u u vv1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作向量三角形．根据题意得tan α = l/h ．方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ， 因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α， 即 ． 证毕．方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得，所以：，即 ． 方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t 时间内，雨滴的位移为l = (v 1 – v 2sin θ)t ， h = v 2cos θ∙t ．两式消去时间t 即得所求． 证毕．第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一) 牛顿运动定律2．1 一个重量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．[解答]质点在斜上运动的加速度为a = g sin α，方向与初速度方向垂直．其运动方程为x = v 0t ，．将t = x/v 0，代入后一方程得质点的轨道方程为，这是抛物线方程．2．2 桌上有一质量M = 1kg 的平板，板上放一品质m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = ，静摩擦因素为μs = ．求：（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s -2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．板对物体的支持大小等于物体的重力：N m = mg = (N)， 这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：f m = ma = 2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．板受桌子的支持力大小等于其重力：N M = (m + M )g = (N)， 这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f M = μk N M = (N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为图1h lα图 mf =μs mg = ma`，可得 a` =μs g ．板的运动方程为F – f – μk (m + M )g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk (m + M )g= (μs + μk )(m + M )g ，算得 F = (N)．因此要将板从物体下面抽出，至少需要的力．2．3 如图所示：已知F = 4N ，m 1 = ，m 2 = ，两物体与水平面的的摩擦因素匀为．求质量为m 2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮品质均不计）[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a 2 = 2a 1，而力的关系为T 1 = 2T 2． 对两物体列运动方程得T 2 - μm 2g = m 2a 2， F – T 1 – μm 1g = m 1a 1． 可以解得m 2的加速度为 = (m·s -2)，绳对它的拉力为= (N)．2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2．求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数k 与k 1和k 2．满足关系关系式； （2）它们并联起来时，总倔强系数k = k 1 + k 2．[解答]当力F 将弹簧共拉长x 时，有F = kx ，其中k 为总倔强系数．两个弹簧分别拉长x 1和x 2，产生的弹力分别为 F 1 = k 1x 1，F 2 = k 2x 2． （1）由于弹簧串联，所以F = F 1 = F 2，x = x 1 + x 2， 因此 ，即：． （2）由于弹簧并联，所以F = F 1 + F 2，x = x 1 = x 2， 因此 kx = k 1x 1 + k 2x 2， 即：k = k 1 + k 2．2．5 如图所示，质量为m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T ．（1）小车沿水平线作匀速运动； （2）小车以加速度沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角； （4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b 1 = b ）； （5）以同样大小的加速度（b 2 = b ），将小车从斜面上推下来．[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg ．（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于tan θ = ma/mg ， 所以 θ = arctan(a/g )； 绳子张力等于摆所受的拉力 ：．（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以θ = φ； T = mg cos φ．（4）根据题意作力的向量图，将竖直虚线延长， 与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ是mb cos φ，邻边是mg + mb sin φ，由此可得： ， 12图 2 图 （2）因此角度为； 而张力为 ．（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b 改为-b 就行了．2．6 如图所示：质量为m =的小球，拴在长度l =的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？ （3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向． 小球的运动方程为，其中s 表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为 ， 因此 ， 即 v d v = -gl sin θd θ， （1） 取积分 ， 得 ，解得：= (m·s -1)． 由于：， 所以T B = 2mg = (N)． （2）由（1）式积分得 ，当 θ = 60º时，v C = 0，所以C = -lg /2， 因此速度为．切向加速度为a t = g sin θ；法向加速度为 ．由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)． （3）当 θ = 60º时，切向加速度为= (m·s -2)，法向加速度为 a n = 0，绳子的拉力T = mg /2 = (N)．[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则F = mg cos θ．小球的运动方程为，s 表示弧长．由于，所以，图图因此v d v = g cosθd s= g d h，h表示石下落的高度．积分得，当h = 0时，v = 0，所以C = 0，因此速率为．2．8质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x– 1/x0)/m]1/2．[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程利用v = d x/d t，可得，因此方程变为，积分得．利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此，即．证毕．[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mv d v = f(x)d x，积分即可求解．如果f(x) = -k/x n，则得．（1）当n = 1时，可得利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = ln x0，因此，即．（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，因此，即．当n = 2时，即证明了本题的结果．2．9一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；（2）小球上升到最大高度所花的时间T．[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程，分离变数得，积分得．当t = 0时，v = v0，所以，因此，小球速率随时间的变化关系为．（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为．[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于v = d x/d t，所以，即，积分得，当t = 0时，x = 0，所以，因此 ．（2）如果小球以v 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为 ，用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为．这个公式可将上面公式中的g 改为-g 得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数v m = mg/k ．2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因子为μk ．设物体在某时刻经A 点时速率为v 0，求此后时刻t 物体的速率以及从A 点开始所经过的路程．[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv 2/R ．物体所受的摩擦力为f = -μk N ，负号表示力的方向与速度的方向相反．根据牛顿第二定律得， 即 ： ．积分得：．当t = 0时，v = v 0，所以， 因此 ．解得 ．由于 ， 积分得，当t = 0时，x = x 0，所以C = 0，因此．2．11 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mg tg θ．珠子做圆周运动的半径为r = R sin θ．根据向心力公式得F = mg tg θ = mω2R sin θ，可得，解得 ．(二)力学中的守恒定律2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx ，而位移x = A cos ωt ，其中k ，A 和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得d I = F d t = -kA cos ωt d t ，积分得冲量为 ， 方法二：利用动量定理．小球的速度为v = d x/d t = -ωA sin ωt ， 设小球的品质为m ，其初动量为p 1 = mv 1 = 0， 末动量为p 2 = mv 2 = -mωA ，图小球获得的冲量为I = p 2 – p 1 = -mωA ，可以证明k =mω2，因此I = -kA /ω．2．13一个质量m = 50g ，以速率的v = 20m·s -1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？[解答]小球动量的大小为p = mv ，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义得：， 由此可作向量三角形，可得：．因此向心力给予小球的的冲量大小为= (N·s)． [注意]质点向心力大小为F = mv 2/R ，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量．假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R 运动，拉力的大小就是向心力 F = mv 2/R = mωv ， 其分量大小分别为 F x = F cos θ = F cos ωt ，F y = F sin θ = F sin ωt ，给小球的冲量大小为 d I x = F x d t = F cos ωt d t ，d I y = F y d t = F sin ωt d t ， 积分得，，合冲量为，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．2．14 用棒打击质量，速率等于20m·s -1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m 的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为，求球受到的平均冲力？[解答]球上升初速度为= 14(m·s -1)，其速度的增量为= (m·s -1)．棒给球冲量为I = m Δv = (N·s)，对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = (N)． 2．15 如图所示，三个物体A 、B 、C ，每个品质都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma ，物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动， 加速度大小为a ，可列方程：T = Ma ，联立方程可得：a = g/2 = 5(m·s -2)． 根据运动学公式：s = v 0t + at 2/2， 可得B 拉C 之前的运动时间；= (s)．此时B 的速度大小为：v = at = 2(m·s -1)．v x Δv v y物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv = 3Mv`，因此C 开始运动的速度为：v` = 2v /3 = (m·s -1)．2．16 一炮弹以速率v 0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？[解答] 炮弹在最高点的速度大小为v = v 0cos θ，方向沿水平方向． 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量，可作向量三角形，列方程得， 所以 v` = v /cos45° = ．2．17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R ．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的品质为m ，它与路面的滑动摩擦因子为μk ．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为d s = R d θ．重力的大小为：G = mg ，方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为，积分得重力所做的功为． 摩擦力的大小为：f = μk N = μk mg cos θ，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为，积分得摩擦力所做的功为．要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ， 或者 ． 拉力的功元为：， 拉力所做的功为．由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．2．18 一品质为m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点最初的速率是v 0，当它运动1周时，其速率变为v 0/2，求：（1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因子；（3）在静止以前质点运动了多少圈？[解答] （1）质点的初动能为：E 1 = mv 02/2，末动能为：E 2 = mv 2/2 = mv 02/8，动能的增量为：ΔE k = E 2 – E 1 = -3mv 02/8， 这就是摩擦力所做的功W ．（2）由于d W = -f d s = -μk N d s = -μk mgr d θ，积分得： ．图由于W = ΔE ，可得滑动摩擦因子为．（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：a t = f/m = -μk g ，根据公式v t 2 – v o 2= 2a t s ，可得质点运动的弧长为，圈数为 n = s/2πr = 4/3．[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs = ΔE k ， 可得 s = -ΔE k /f ，由此也能计算弧长和圈数。
质点运动方程公式
质点运动方程公式质点运动方程公式是描述质点运动规律的数学公式。
在物理学中，质点是一个理想化的物体，忽略其大小和形状，只考虑其质量和位置。
质点运动方程公式可以用来描述质点在空间中的位置、速度和加速度随时间的变化关系。
质点运动方程公式可以分为两种情况：匀速直线运动和变速直线运动。
对于匀速直线运动，质点的加速度为零，速度保持不变，质点运动方程公式可以简化为s = v × t，其中s表示质点的位移，v表示质点的速度，t表示时间。
对于变速直线运动，质点的加速度不为零，速度随时间变化，质点运动方程公式可以表示为s = ut + 1/2at^2，其中s表示质点的位移，u表示质点的初速度，a表示质点的加速度，t表示时间。
质点运动方程公式的应用非常广泛。
在日常生活中，我们可以通过质点运动方程公式计算出物体的位移、速度和加速度，从而了解物体的运动规律。
在工程领域，质点运动方程公式可以用来设计机械运动系统，优化运动轨迹，提高工作效率。
在天文学中，质点运动方程公式可以用来研究行星、卫星等天体的运动轨迹和速度变化规律。
质点运动方程公式还可以与其他物理公式相结合，进一步研究质点的运动特性。
例如，与牛顿第二定律结合可以得到质点的运动方程F = ma，其中F表示作用在质点上的力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
通过解方程可以求解出质点的加速度，进而得到质点的速度和位移。
质点运动方程公式还可以应用于求解各种实际问题。
例如，可以用质点运动方程公式来计算汽车的行驶距离、飞机的飞行时间等。
在物理实验中，质点运动方程公式也是分析和解释实验结果的重要工具。
质点运动方程公式是描述质点运动规律的基本工具，应用广泛且具有重要意义。
通过理解和应用质点运动方程公式，我们可以更好地认识和掌握物体在空间中的运动规律，为解决实际问题提供有效的数学工具。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
大学物理：第一章 质点运动学-位矢、速度和加速度
7
2) 质点
2)质点 在某些问题中，物体形状 和大小可忽略，可看成一个只有 质量、没有大小和形状的点。
2.质点位置和运动描述
1)质点的位置和位置矢量
它的位置还可以用从参考点O到 质点所在位置的有向线段来表示
质点的
位矢
位置矢量 r op 矢径
坐标系中，质点P的位置
由三个坐标 x、y、z 确定
z
z
质点P
第2节
位移和速度
Displacement and Velocity
§1.2 位移和速度 1. 位移
1.位移
位置的变化 r p1p2
位移 矢量
r r (t t) r (t)
大小 r ：P1P2间直线距离
方向：由 P1 P2
注意 r r r(t t) r(t)
路程 一般
S
S
： P1Pr2，间但曲d线S距离d，r 标量
r r(t)
质点在空间运动时，位置 矢量和坐标均随时间变化
x x(t)
质点运动方程
或
y
y (t )
它们给出任一时刻质点位 置，表示质点的运动规律
z z(t)
f (x, y, z) 0 运动方程，联立消去t 质点轨道方程
y f (x) 轨道是直线的称为直线运动 轨道是曲线的称为曲线运动
11
P1 r s
r (t)
P2
r
O r (t t)
13
2.速度
运动路径
表示质点运动快慢和方向的物理量
1）平均速度
r
P(t1)
r
v r
大小：
t
O
t 方向：r 方向
Q(t2 )
瞬时速度的方向就是
普通物理学---力学
5
2 3、标量积： A B AB c律 A B B A 分配律 A (B C ) A B A C
ˆ x A B Ax Bx ˆ y Ay By ˆ z Az Bz
ˆ t ，则有 因v v e
dv ˆt dv e a dt dt
速率变化引起
ˆt de v dt
速度方向变化引起
通过积分求位移和速度： t r (t ) r0 v dt
0
v (t ) v0
adt
0
15
t
【思考】把上面两式写成分量形式
演示实验
1单摆
2混沌摆
3
牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动 是整个物理学的基础 广泛应用于工程技术 运动学(kinematics) 只描述物体的运动，不涉及引起运动和改 变运动的原因。 动力学(dynamics) 研究运动与相互作用之间的关系。 静力学(statics) 研究物体在相互作用下的平衡问题。
一个要用到的公式： A ( B C ) B( A C ) C( A B) （验证上式的分量式成立即可）
【思考】下列运算“合法”吗？
1 , A B, C , ln D
7
§1.1 质点的运动函数
质点模型 参考系 （实际物体） 坐标系
普通物理学 第一册 力学
1
第1章 质点运动学
Kinematics of particles
2005年春季学期 陈信义编
2
目 录 §1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9 §1.10 质点的运动函数 位移和速度 加速度 匀加速运动(自学) 匀加速直线运动(自学) 抛体运动(自学) 平面极坐标(补充) 圆周运动 相对运动 科里奥利加速度(补充) 相图(补充)
大学文科物理习题集及解答
当 t = 1 s 时：
r1 = 2i + 17 j , v1 = 2i − 4 j , a1 = −4 j
当 t = 2 s 时：
r2 = 4i + 11 j , v 2 = 2i − 8 j , a 2 = −4 j
1.2 已知质点的运动方程为 r=(acosωt)i+(bsinωt)j， ， 为正常数。 为正常数 其中 a，b，ω为正常数。 （1） 计算质点的速度和加速度； ） 计算质点的速度和加速度； （2） 证明运动的轨迹是椭圆，其长短轴分别为 ） 证明运动的轨迹是椭圆，其长短轴分别为2a 与2b，质点的加速度恒指向椭圆中心。 ，质点的加速度恒指向椭圆中心。 解(1):
1.1 一质点在 平面上运动，运动函数为： 一质点在xy平面上运动，运动函数为： 平面上运动 x =2t, y =19-2t2。 （1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线。 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线。 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线 （2）求 t1 = 1s 和 t2 = 2s 时，质点的位置、速 质点的位置、 求 度和加速度。 度和加速度。 解(1):
20 ± 400 − 8 g 1 2 20t1 − gt1 = 4 ⇒ t 1 = 2 g
对于后抛物体
10 ± 100 − 8 g 1 2 10t 2 − gt 2 = 4 ⇒ t 2 = 2 g
20 + 400 − 8 g 取： t 1 = g 10 + 100 − 8 g 10 − 100 − 8 g t2 = ,或 t2 = g g 1 ∆t1 = (20 + 400− 8g − 10 − 100− 8g ) = 2.4s g
A B
180 ω 1 = 2πn1 = 2π × = 6π = 18.84( rad / s ) 60
大学物理学第一章 质点的运动函数ppt课件
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3.质点系 (一般物体均可看做质点系)
刚体
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讨论 1） 模型的建立的普遍意义
远距离观察，物体尺寸小，其形状、大小对力学性质影响可 以忽略；其形状与大小因素在特定的力学问题中不起作用， 如刚体平动。
从质点动力学规律发展推广形成质点系力学、刚体力学、弹 性力学、流体力学……
2） 质点力学是基础
如 N个沙粒组成的物质系统 —— 质点系
方法：一个沙粒一个沙粒地解决 如 连续体
方法： 切割无限多个质量元 一个质量元一个质量元地解决
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四、位置矢量
P
时刻 t 质点运动到P点
任选一参考点O (通常选坐标原点)
称矢量
r OP为质点 t 时刻的
r
O
位置矢量
通常位矢是t 的函数 写成 位置矢量也叫 运动函数
（消去 t 即得 轨迹方程）
位矢法 r ( t) x ( t) i y ( t)j z ( t) k
自然法
S f(t)
质点运动学方程解决了“物体何时在何处”的问题
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1. 直角坐标法 P(x, y, z)
2. 位矢法
质点某时刻位置P (x,y,z) 由位矢
r 表示。
rxiyjzk
r r(t)
在直角坐标系中质点运动是沿各坐标轴的分运动的矢量 合成
r ( t) x ( t) i y ( t)j z ( t) k
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五、 确定质点位置的常用方法
运动学方程 从数学上确定质点在空间的位置随时间的变化关系
质点运动方程公式
质点运动方程公式质点运动是物理学中研究质点在力的作用下运动规律的重要课题。
质点运动方程公式是描述质点运动状态的数学表达式，它在解决实际问题和预测物体运动轨迹等方面具有重要的指导意义。
一、质点运动方程公式的引入质点运动方程公式可以追溯到伽利略时期。
伽利略是现代科学的奠基人之一，他通过研究自由落体运动，提出了运动的规律性和可预测性。
后来，牛顿在伽利略的基础上，通过对力的研究，建立了著名的牛顿定律，为质点运动方程的推导奠定了基础。
二、质点运动方程公式的定义质点运动方程公式可以用数学语言描述为：\[F=m\cdot a\]其中，F为作用在质点上的力，m为质点的质量，a为质点的加速度。
这个公式是基于牛顿第二定律推导得出的，它表达了力和质量与加速度之间的关系。
三、质点运动方程的具体形式质点运动方程的具体形式根据具体情况而有所不同，下面我们来介绍几种常见情况下的质点运动方程公式。
1. 匀速直线运动：在匀速直线运动中，质点在相同的时间间隔内，经过相等的距离，速度保持恒定。
质点运动方程可表示为：\[v=\frac {s}{t} \Rightarrow s= v \cdot t\]其中，v为质点的速度，s为质点的位移，t为经过的时间。
2. 加速度为常数的直线运动：在这种情况下，质点的加速度保持恒定，运动方程可表示为：\[v=v_0+at\]\[s= v_0t+\frac{1}{2}at^2\]其中，v为质点的速度，v0为初始速度，a为质点的加速度，t为时间，s为质点的位移。
3. 圆周运动：在圆周运动中，质点绕圆心做圆周运动，此时质点运动方程可表示为：\[F=m\cdot a_c\]\[a_c=\frac{v^2}{r}\]其中，Fc为向心力，m为质点的质量，vc为质点的速度，r为质点所处轨道半径。
四、质点运动方程公式的应用质点运动方程公式可以应用于各个领域的实际问题，例如：1. 在工程中，可以通过运动方程公式预测物体在机械装置中的运动轨迹，从而提高设计的准确性和安全性。
简明大学物理课后习题答案
简明大学物理答案1.1 一质点在Oxy 平面内运动，运动方程为)SI (53+=t x ，。
（1）以时间t 为变量，写出质点位矢的表达式；（2）求出质点速度分量的表达式，并计算s 4=t 时，质点速度的大小和方向；（3）求出质点加速度分量的表达式，并计算出s 4=t 时，质点加速度的大小和方向。
解：（1）)SI (53+=t x ，)SI (432/2-+=t t y质点位矢的表达式为：j t t i t j y i x r )432/()53(2-+++=+=；（2）m/s 3)53(=+==t dt d dt dx v x ，m/s )3()432/(2+=-+==t t t dt d dt dy v ys 4=t ，m/s 3=x v ，m/s 7=y v ，m/s 6.7m/s 5822==+=y x v v v设θ是v 和x v 的夹角，则37tan ==x y v v θ，8.66=θ°； （3）2m/s 0)3(===dt d dt dv a x x ，2m/s 1)3(=+==t dt d dt dv a y ys 4=t ，2m/s 0=x a ，2m/s 1=y a ，222m/s 1=+=y x a a a方向沿y 轴方向。
1.2 质点在Oxy 平面内运动，运动方程为)SI (3t x =，)SI (22t y -=。
（1）写出质点运动的轨道方程；（2）s 2=t 时，质点的位矢、速度和加速度。
解：（1）质点运动方程)SI (3t x =，)SI (22t y -=，质点运动的轨道方程为：9/2)3(222x xy -=-=或2189x y -=；（2）j t i t j y i x r )2()3(2-+=+=，s 2=t 时： j i r 26-=j t i v 23-=，s 2=t 时：j i v43-=j a 2-=，s 2=t 时：j a2-=1.3质点沿直线运动，其坐标x 与时间t 有如下关系：)SI (cos t Ae x tωβ-=（A 和β皆为常量）。
大学物理第一章课后习题答案
第一章质点运动学1.1一质点沿y 方向运动，它在任意时刻t 的位置由式1052+=t y 给出，式中t 以s 计，y 以m 计算下列各段时间内质点的平均速度大小：(1)2s 到3s (2)2s 到2.1s (3)2s 到2.001s (4)2s 到2.0001s 解：(1)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 32=，则质点的平均速度大小为：{}sm sm t t y y /25)23(]10)2(5[10)3(5221212=−+−+=−−=υ(2)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 1.22=，则质点的平均速度大小为：{}sm sm t t y y /5.20)21.2(]10)2(5[10)1.2(5221211=−+−+=−−=υ(3)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 001.22=，则质点的平均速度大小为：{}sm smt t y y /005.20)2001.2(]10)2(5[10)001.2(5221212=−+−+=−−=υ(4)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 0001.22=，则质点的平均速度大小为：sm smt t y y /0005.20)20001.2(]10)2(510)0001.2(5[221212=−−−+=−−=υ1.2一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为2653t t x +−=;式中t 以s 计，x 以m 计，试求：(1)质点的初始位置和初始速度；(2)质点在任一时刻的速度和加速度；(3)质点做什么运动；(4)做出t x −图和t −υ图；(5)质点做匀加速直线运动吗？解：（1）设质点初始时刻00=t ，则质点的初始位置为：mm x 3]06053[20=×+×−=即质点的初始位置在Ox 轴正方向3m 处。
因为质点的速度为：tdt dx125+−==υ所以质点的初始速度为：220/5/)0125(s m s m dt dxt −=×+−===υ质点的初始速度大小为2/5s m ，方向沿Ox 轴负方向。
物理系苏国珍
转动的特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角 速度和角加速度。
2.刚体定轴转动的描述
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
角速度： d
➢ 系统共有：势能为通过保守力相互作用的物体系
所共有
2.3 保守力与势能的关系
1）保守力做功等于势能增量的负值：
Acons (Ep Ep0 )
2）保守力等于势能梯度的负值：
F Ep
Ep x
i
Ep y
j
Ep z
k
3．功能原理与机械能守恒定律
3.1 功能原理
Aext A int,n-cons E E0
mR
F
例14 如图所示，质量为 m的小球 B放在光滑的水平 槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为m的小球 A，开始时细绳处于松弛状态, A与B相距为l/2。球A 以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运 动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运 动时速度vB的大小。
B
l l/2
v0 A
求 M/m。
m
V
M R v
例 11 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而 m2>m1 ，问：对上面的木块必须施加多大的压力
Ｆ，以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来时，恰
能使下面的木块提离地面？
F m1
m2
F m1
x2 x1
x＝0
m2
1. 质心
➢
F
ma
与
F
dp
质点的运动函数
v v 24.4m/s
2 x 2 y
此速度和水平面的夹角 vy 17.2 arctan arctan 44.8 vx 17.3
27 第1章 质点运动学
四、圆周运动
1.匀速圆周运动
速率
(t t )
向心加速度
(t )
υ=const.
第1章 质点运动学
15
1）矢量物理量全面地反映物体的运动状态， 便于理论推导和一般性的定义。 在 t 时刻，描述运动状态的物理量是
r
位置矢量、速度和加速度三者之间的关系是
r
对 于 逆 问 题
16
微分法
积分法
微分法
积分法
a
dr v dt
dv a dt
运动学问题的基本定义式
2）位移的大小与位置矢径大小的增量的区别
o
r
P(t1 )
r
Q(t2 )
| r || r |
r r
r
10
第1章 质点运动学
3)
平均速度与时间间隔和位移有关
方向是该时间间隔内的位移的方向
4）瞬时速度与瞬时速率
o
r
P(t1 )
r
Q(t2 )
dr ds dr v= v dt dt dt
Y ? X ? T ?
25
第1章 质点运动学
例题1-7 有一学生在体育馆阳台上以投射角θ=30° 和速率v0=20m/s向台前操场出一垒球。球离开手时距 离操场水平面的高度h=10m。试问球投出后何时着地？ 在何处着地？着地时速度的大小和方向各如何？ 解：以投出点为原 点，建立x，y坐标 轴如图所示。 运动方程的分量式
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y
O
x
参照物
运动学中参考系可任选。 (1) 运动学中参考系可任选。 (2) 参照物选定后，坐标系可任选。 参照物选定后，坐标系可任选。 (3) 常用坐标系 直角坐标系（ 球坐标系（ 直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系（ r,θ, ϕ ） 柱坐标系（ 柱坐标系（ρ , ϕ , z ） 自然坐标系 ( s )
• o
• s(t1 )
s (t )
则
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∆ S = S ( t 2 ) − S ( t1 )
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世界上万物都处在不停地运动中，大到日、 世界上万物都处在不停地运动中，大到日、月、星体，小 星体， 到各种微观粒子（分子、原子、质子、电子……），没有不运 ），没有不运 到各种微观粒子（分子、原子、质子、电子 ）， 动的物质，也没有物质不运动，所以物质运动是绝对的。 动的物质，也没有物质不运动，所以物质运动是绝对的。
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三、质点 刚体
1.质点 质点 物体的形状可忽略，物体可看作有质量的点。 物体的形状可忽略，物体可看作有质量的点。 质点、 质点、刚体 、理想气体 、点电荷 、… 2.刚体 刚体 物体形变可忽略。在运动过程中， 物体形变可忽略。在运动过程中，刚体上任两点间距 离不变。 离不变。 刚体由质点组成。 模型) 刚体由质点组成。刚体 (模型) 一般物体的一级简化 3.质点系 质点系 (一般物体均可看作质点系 一般物体均可看作质点系) 一般物体均可看作质点系
r = r (t )
ˆ ˆ r (t ) = x(t )i + y (t ) ˆ + z (t )k j
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五、 确定质点位置的常用方法 运动学方程 从数学上确定质点在空间的位置随时间的变化关系
坐标法 直角坐标系） （直角坐标系） 位矢法 自然法
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x = f1( t ) 消去t即得 y = f2( t ) （消去 即得 轨迹方程） z = f ( t ) 轨迹方程） 3
运动是永恒的主题
时空起源于运动，是对运动的观察和感悟， 时空起源于运动，是对运动的观察和感悟， 又超脱于运动。 又超脱于运动。
第1章 质点运动学
§1.1 质点的运动函数 §1.2 位移和速度 §1.3 加速度 §1.4 自然坐标系 曲线运动
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§1.5 相对运动
1
§1.1 质点的运动函数
P(x, y, z)
γ
O
α
r
β
参考物
z
x
r = xi + yj + zk
位矢的大小为 位矢的大小为： 大小
y
x
2 2
y
r = x + y +z
2
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位矢的方向用方 位矢的方向用方 方向 x cosα = , 向余弦表示： 向余弦表示： r
y cos β = , rLeabharlann z cosγ = r8
2
二、 质点运动学的基本概念 质点：有质量而无形状和大小的几何点。 质点：有质量而无形状和大小的几何点。 突出了质量和位置 突出了质量和 质量 质点系: 若干质点的集合。 质点系: 若干质点的集合。 参照物： 参照物：用来描述物体运动而 选作参考的物体或物体系。 选作参考的物体或物体系。 参考系： 参考系：参照物 + 坐标系 + 时钟
物体运动的绝对性，对运动描述的相对性。 物体运动的绝对性，对运动描述的相对性。
一、实际研究对象的简化 理想模型 主要 次要因素 如研究对象是地球 A.公转 公转 主要因素： 主要因素：太阳的引力 而其他天体的作用力和形 状均可忽略
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E S
B.自转 自转 形状不可忽略 这两种情况应作不同的 简化
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刚体
） 讨论 1） 模型的建立的普遍意义 远距离观察，物体尺寸小，其形状、 远距离观察，物体尺寸小，其形状、大小对力学性 质影响可以忽略 其形状与大小因素在特定的力学问题中不起作用， 其形状与大小因素在特定的力学问题中不起作用， 如刚体平动。 如刚体平动。 从质点动力学规律发展推广形成质点系力学、 从质点动力学规律发展推广形成质点系力学、刚体 力学、弹性力学、流体力学…. 力学、弹性力学、流体力学 2） 质点力学是基础 ） 如 N个沙粒组成的物质系统 --- 质点系 个沙粒组成的物质系统 方法： 方法：一个沙粒一个沙粒地解决 如 连续体 方法： 方法： 切割无限多个质量元 2011-1-25 一个质量元一个质量元地解决
3、自然法： 自然法：
路程： 路程：描述质点位置的物理量
在已知的运动轨迹上 任选一固定点o，然后 任选一固定点 ， s (t2 ) 规定从o点起 点起， 规定从 点起，沿轨迹 的一方向（例如向右） 的一方向（例如向右） p 量得曲线长度s取正值 取正值， 量得曲线长度s取正值， 路径上任选一参考点 在路径上任选一参考点 这个方向称为自然坐标 o，则，t 时刻路径的长 ， 的正向，反之为负向， 的正向，反之为负向， 这种表示法称为自然法。 度叫路程S 如果， 这种表示法称为自然法。 度叫路程 。如果， t1 ⋯ S (t1 ) , o点称为自然坐标的原 点称为自然坐标的原 称为自然坐标。 点，s称为自然坐标。 称为自然坐标 t 2 ⋯ S (t 2 )
r = r( t ) = x( t )i + y( t ) j + z( t )k
S = f (t )
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质点的运动学方程解决了“物体何时在何处” 质点的运动学方程解决了“物体何时在何处”的问题
z
1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法
质点某时刻位置P 质点某时刻位置 (x,y,z) 由位矢 表示。 r 表示。
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四、位置矢量
时刻t 质点运动到P点 时刻 质点运动到 点 任选一参考点o 通常选坐标原点 通常选坐标原点) 任选一参考点 (通常选坐标原点
P
r
o
称矢量 r = oP 为质点 t 时刻的 位置矢量 通常位矢是t 的函数 写成 通常位矢是 位矢 位置矢量也叫 运动函数 在直角坐标系中质点运动是沿各坐标轴的分运 动的矢量合成