6.2一阶偏微分方程的求解方法

积分得 u (t), 其中 () 是任意连续可微的函数. 回代 t x y
可得原方程通解 u (x y.)
注意: 其特征方程为 dx dy 0 ,它有首次积分 u x y .
定理6.6 设 u j (x1, x2,, xn ) 是特征方程(6.19)的 n 1 个独立的
首次积分, 则一阶齐次偏微分方程(6.17)的通解为
根据首次积分的定义6.1知, 其连续可微的任意组合
(u1(x1, x2,, xn ),,un1(x1, x2,, xn ))
也是特征方程 (6.19) 的首次积分, 所以它也是偏微分方程 (6.17) 的解.
其次证明(6.21)是偏微分方程(6.17)的通解. 即证, 对于偏微分方 程 (6.17) 的任一个解 u u(x1, x2,, xn,)必存在某一连续可微的 函数 0(),使得
det
u1
x1 u n 1
x1
u
x2 u1
x2
u n 1
x2
u xn
u1
xn
u n 1
,
0
xn D
这说明 u,u1,u2, ,un1 是函数相关的. 并且 u2,,un1 是函数
独立, 因此 u 可由 u2,,un1 函数表示. 即存在某一连续可微的
函数 0() 使得(6.22)成立. 因此, 公式(6.21)表示了偏微分方 程(6.17)的全部解, 故(6.21)是通解. 证毕.
u (u1(x1, x2,, xn ),,un1(x1, x2,, xn )) , (6.21)
其中 () 是任意的 n 1 元连续可微函数.
证明: 由定理6.1可知, 一阶齐次偏微分方程(6.17)的解 u u(x1, x2,, xn ) 必是其特征方程(6.19)的首次积分, 反之亦然.
由于 u j (x1, x2,, xn ) 是特征方程(6.19)的 n 1个首次积分,
一阶齐次线性偏微分方程的一般形式为
n
j 1
f
j
(
x1,
x2
,,
xn
)
u x j
0
(6.17)
其中 u u(x1, x2,, xn) 是未知函数( n 2 ). 假设系数 f j (x1, x2,, xn)
( j 1,2,,n ) 在某区域 D Rn 上连续可微, 并满足条件
n
| f j (x1, x2,, xn ) | 0
x u x
y u z u 0 y z ,
u |z1 xy
其中 x 0, y 0, z 0.
解: 特征方程为
dx dy dz , x yz
可求得其两个独立的首次积分: x y c1, 2 y ln z c2. 所以原方程的通解为
u ( x y , 2 y ln z),
6.24
其中 (,) 是任意的二元连续可微函数. 确定某函数关系 0 使得(6.24)满足初始条件 u |z1 xy, 我们有
0 ( x y , 2 y ) xy.
令 x y, 2 y. 解之得
x ( 1)2, y 12.
2
4
故可确定
0 为
0 (
,)
xy
1 (
4
1)2 2.
2
回代通解内可得满足满足初始条件的解:
6.2 一阶偏微分方程的求解方法
§6.2 一阶偏微分方程的求解方法
寻找首次积分的问题等价于求解一阶线性偏微分方程. 本节将进 一步说明, 一阶齐次线性偏微分方程的求解问题和更广泛一类的 一阶拟线性偏微分方程的求解问题都可以通过求解相应的特征方
程, 即求常微分方程组的首次积分而获得解决
一、一阶齐次线性偏微分方程
u 0( x
y , 2 y ln z) 1 [ x 4
y 1 (2 y ln z)]2 (2 2
y ln z)2.
二、 一阶拟线性偏微分方程
一阶拟线性偏微分方程一般形式为
n f j (x1, x2 ,
j 1
,
xn
,
u)
u x j
g(x1, x2,
, xn,u),
6.25
其中 u u(x1, x2,, xn ) 是未知函数 n 2. 假设系数
(6.20 )
通过这 n 1个独立的首次积分, 我们可以获得偏微分方程(6.17)
的通解结构.
.
例6.6 试求偏微分方程 u u 0 的通解.
x y
解: 作自变量变换
x
y
1 (t 2 1 (t
s) s)
2
则
u u x u y 1 (u u ) 0 s x s y s 2 x y
例6.7 求解偏微分方程
(x y) u (x y) u 0,
x
y
其中 x2 y2 0.
解: 特征方程为
dx dy , xy xy
它有一个首次积分:
x2
y2
arctan y
ex
C.
所以原方程的通解为
u (
x2
y2
arctan y
e x ),
其中 () 是任意的一元连续可微函数.
例6.8 求解初值问题
1)
(6.23)
由假设(6.18), f j (x1, x2,, xn) 在某区域 D 内处处不同时为零, 这意
味着上述以 f j (x1, x2,, xn) ( j 1, 2,, n )为变量的线性方程组在区 域 D 内有非零解, 所以其系数行列式在区域 D 内必为零, 即
u x1
(u, u1 ,, un 1 ) (x1, x2,, xn )
j 1
(6.18)
考虑相应对称形式的常微分方程组
dx1
dxn
f1 (x1,, xn )
f n (x1,, xn )
(6.19)
它称为偏微分方程(6.17)的特征方程. 而常微分方程组(6.19)的
阶数是 n 1 , 因此它有 n 1 个独立的首次积分
u j (x1, x2,, xn ) cj, ( j 1,2,,n1 ).
u(x1, x2,, xn ) 0(u1(x1, x2,, xn ),,un1(x1, x2,, xn )) (6.22)
在某区域 D 内恒成立.
事实上, 由定理6.1, 我们有
n
j 1 n
j 1
f
j
(
x1,
x2
,,
xn
)
u x j
f
j
(
x1,
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x2
,,
xn
)
ui x j
0 0,
(i
.
1,, n
f j (x1, x2, , xn,u) j 1, 2, , n和 g(x1, x2,, xn,u) 在某区域 G Rn1
上连续可微, 并且满足
n
| f j (x1, x2, , xn ,u) | 0.
6.26
j 1