广义系统的快速终端滑模控制(1)

收稿日期： 2010 − 12− 15; 修回日期：2011 − 01 − 09 基金项目：国家自然科学基金(61064002)；国家教育部新世纪人才支持计划(NCEF-06-0756) 作者简介：梁家荣(1966 − )，男，教授，博士生导师，主要从事广义控制系统理论、人工智能与智能控制方面的研究.
；P −1 X
=
⎛ ⎜ ⎝
X1 X2
⎞ ⎟ ⎠
；N
∈ Rn2 ×n2
为幂零矩阵，
幂零指数为 h ， n1 = deg det(sE − A) ，且 n1 + n2 = n ；
X1 ∈ Rr ； X 2 ∈ Rn−r ； u ∈ Rm 。通常，式(2a)被称为
慢子系统，式(2b)被称为快子系统。
引理 2[2] 对于广义系统式(1)，如果取其受限
平面作为切换面，理论上，滑动模态的动只是渐近 稳定，无论如何，系统的状态不会在有限时间内收 敛到平衡点，而在实际的动力系统中，系统状态常 常要求在有限时间内到达平衡点。
基于有限时间的机理，人们提出了一种终端滑 模(terminal sliding mode，TSM)控制策略[7-8]。TSM 控制的基本思想是：在滑模面的设计中引入非线性 函数，采用非线性超曲面为切换面。非线性函数的 引入使得，在滑动面上系统状能在有限时间内收敛 到平衡点。终端滑模控制除了具有普通滑模控制所 具有的鲁棒性外，还能使系统状态在有限时间收敛 和具有较高的稳态跟踪精度。国内外众多学者在 TSM控制方面做了很多研究和应用工作[9-18]。文献[9] 研究了多输入多输出线性系统的TSM控制问题；文 献[10]研究了非线性动力系统的快速终端滑模控制 设计问题；文献[11]提出了一种新型的非奇异终端滑
A11、A12、A21、A22
都
是适当维数的矩阵。令 Y
=
⎛ ⎜ ⎝
Y1 Y2
⎞ ⎟ ⎠
=
HX1
，其中，
Y1 ∈ Rn1−m，Y2 ∈ Rm ，则系统式(2)变为：
⎧⎪⎨YY12
= =
A11Y1 + A12Y2 A21Y1 + A22Y2
+
B3u
(8)
⎪ ⎩
NX
2
=
X2
+
B2 u
因此，要考虑讨论系统式(7)的指数型快速有限 时间收敛问题等价于讨论广义系统式(1)的指数型快 速终端滑模控制问题，根据设计的需要，又作如下
(1)
式中，X = (x1, x2 ,", xn )T ∈ Rn 为状态变量；u ∈ Rm 为 输入控制；E、A、B均为常矩阵； E, A∈ Rn×n ；
B ∈ Rn×m ；E为奇异矩阵， rankE < n 。 定义 1[1] 称矩阵对 (E, A) 正则，如果存在 s0 ，
使得 det(s0 E − A) ≠ 0 。 引理 1[2] 如果 (E, A) 正则，则存在非奇异矩
点。给出了数值算例，说明了设计的可行性和有效性。
关 键 词 指数型快速终端滑模控制; 有限时间收敛; Lyapunov函数; 受限等价; 广义系统
中图分类号 TP13
文献标识码 A
doi:10.3969/j.issn.1001-0548.2011.01.002
Fast Terminal Sliding Mode Control for Singular Systems
S = 0 上具有所希望的品质，相对于普通快速终端滑
模，系统的状态变量在更小的有限时间内收敛到零
点或其一较小的邻域内；2) 设计相应的指数型快速
终端滑模控制器，使系统在滑模面 S = 0 之外的轨线
在有限时间内到达滑动模上，实现滑动模运动。
为设计的需要，对于广义系统式(1)及其等价形
式式(2)，本文作如下假设。
件下，如果切换函数和控制律分别取为：
假设 1 (E, A) 是正则的； 假设 2 rankE = n1 。 由假设2可知，存在可逆矩阵 H 使得
HB1
=
⎛ ⎜ ⎝
0 B3
⎞ ⎟ ⎠
，其中
B3 ∈ Rm×m
是可逆矩阵，记
第1期
梁家荣， 等: 广义系统的快速终端滑模控制
13
HA1H
−1
=
⎛ ⎜ ⎝
A11 A21
A12 A22
⎞ ⎟ ⎠
，其中，
本文中， x ∈ R ，α > 0 ， β > 0 ，0 < γ < 1 ，ts2 ＜ ts1 ，有限时间 ts1 、 ts2 分别由如下两式确定：
⎧⎪⎪ts1
=
1 β (1 − γ )
x0
1−γ
⎨ ⎪⎪⎩ts2
=
α
1 (1 −
γ
)
ln
α
x0 1−γ β
+β
(5)
引理 4[18] 对于一阶动力学系统，如果滑动模 取：
然而，遗憾的是，尚未见利用TSM控制方法研 究的报道。本文把终端滑模控制方法引入广义线性 定常系统的研究之中，提出了一种新的指数型快速 终端滑模控制策略，保证系统状态在有限时间内到 达平衡点，对广义控制系统理论作了一些有益的补 充和发展。
1 预备知识
考虑如下广义系统：
EX (t) = AX (t) + Bu(t)
Abstract In this paper, the fast terminal sliding mode control for a class of singular systems is studied. The singular systems are transformed into restricted equivalent forms by a nonsingular linear transformation. By the method of Lyapunov function, a novel exponential fast terminal sliding mode control strategy is proposed. A special exponential terminal sliding mode hypersurface is given and a controller is designed correspondingly, such that the asymptotic stability of the closed-loop system is guaranteed, the motion of sliding mode is realized, and the system state variables can converge to the equilibrium point with a fast convergence rat in finite time. Finally, a numerical example is presented to illustrate the feasibility and effectiveness of the design.
等价形式为式(2)，并且允许初始状态满足：
h
∑ X 2 (0) = − N i B2u(i) (0)
(3)
i=0
则广义系统式(1)存在唯一解：
∫ ⎛
⎜
e
A1t
X
1
(0)
+
X (t) = P ⎜
h −1
t 0
e A1
(t −τ
)
B1u(τ
)dτ
⎞ ⎟ ⎟
(4)
⎜ ⎜⎝
∑ − N i B2u(i) (t) i=0
Key words exponential fast terminal sliding mode control; finite-time convergence; Lyapunov function restricted equivalent; singular systems
广义系统又称奇异系统、微分代数系统以及描 述系统等，由于其广泛应用于电路系统、电力系统、 机器人、石油化工、经济管理、生物过程以及航空 航天等技术领域，引起了国内外众多数学界、控制 界学者的广泛兴趣[1-2]。滑模控制方法由于具有对系 统内外部干扰的自适应性和易于实现的优点[3]，因 而成为许多学者研究广义控制系统的重要方法，相 应的研究也已经取得了较为丰硕的成果[4-6]。经典的 滑模变结构控制的基本原理是：首先选取一个线性 滑动超平面，然后使用一个不连续的高频切换控制 器迫使闭环系统的运动到达预先选定的滑动面上或 者其一个很小的邻域之内，通过控制器结构的改变 以使系统达到良好的动态性能，保证系统状态在有 限时间内到达滑动面。在滑模面上，系统的运动渐 近稳定或者说系统状态的跟踪误差渐近地收敛到 零。但是，在线性滑模控制设计中是采用线性的超
LIANG Jia-rong1, TAN Hong-yan2, and FAN Zhong-guang1
(1. School of Computer and Electronic Information Science, Guangxi University Nanning 530004;
2. High Performance Network Laboratory, Institute of Acoustic, Chinese Academy of Sciences Haidian Beijing 100190)
奇数，且 0 < q < p < 2q ； 0 < k ≤1 ；
ts
=
p
α (1 − e−k
ln
α( p − q)
) x(0) ( p−q) β
p
+
究广义系
统式(1)的有限时间收敛问题可分为两步：1) 设计指