3 基本几何体的投影解析
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第三章
第一节
基本几何体的投影
三面投影与三视图
第二节
第三节 第四节
平面立体的投影
回转体的投影 几何体轴测图
§3-1
三面投影与三视图
一、体的投影—视图
体的投影实质上是构成该体的所有表面的投影总和。
二、三面投影与三视图
体在三投影面体系中投影所得图形，称为三视图。
正面投影为主视图
水平面投影为俯视图 侧面投影为左视图
1. 由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的 投影图，就是先画出各棱线交点的投影，然后顺 次连线，并注意区别可见性。 2. 分析围成立体表面的平面图形的投影特性。 3. 平面立体投影图中的每一条线，表达的是立体表 面上一条棱线或是一个有积聚性面的投影。 4. 平面立体投影图，都是由封闭的线框组成，一个 封闭的线框一般代表着立体的某个面的投影。
M
m（d） YH
利用辅助纬圆（作图二）
例：已知A、B两点在球面上，并知a和b’的投影，求A、B 两点的另两个投影。
解: a' b' (b) 1 a 2 作图：过a作直线∥OX得水 平投影12，正面投影为直径 为12的圆，a'必在此圆周上。 因a可见，位于上半球，求得 a'，由a、a' 求出a"，因a 在右 半球，所以a"不可见。 因为b'处于正面投影外形轮 廓线上，可由b'直接求得b、 b"。
O
母线
S
素线
V
s' S b' c' s"
A O X
a'
d"
(d')
A
a d c C
a" (b") c" b Y
最左轮 廓素线
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k' 1'
s"
k" 1"
解1、辅助素线法：
s
1 k
过锥顶S和已知点K作直 线S1，连s'k'与底边交于 1'，然后求出该素线的H 面和W面投影s1和s" 1 "， 最后由k'求出k和k"。
YH
正三棱柱表面取点
Z a' b' a" (b")
X a
b
O
YW
YH
注意：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号，如b点。
2. 正六棱柱体的投影
F B C E
作图（一） （c" ） （e" ） （d" ） f" a" b"
A
D
（f'） （e'） a' b' c' d'
f 先画H面投 影（反映六 棱柱特征）
§3-2
平面体的投影
一、 常见的平面几何体
它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平 面立体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的 平面形、交线及顶点的投影。
二、棱柱体的投影
Z
1. 正三棱柱体的三视图
（1）分析物体的形状及各表面间 的相对位置；
V
b'
a'
B
e'
X
c'
d' C
E (e") b" a" （2）确定主视图的投射方向， W A 常以物体主要面与投影面平行；
(n') n"
因为m'为可见，在前半圆柱面上；n'为 不可见，在后半圆柱面上。两点的侧 面投影积聚在圆周上。
m'
m"
n
（m）
作图：过m'作水平线交右半圆周 于m"，过（n'）作水平线交左半 圆周于n"，再由m'和m"，（n'） 和n"求出（m）、n。
三、圆锥体的投影
圆锥体是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面是 一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。 最前轮 Z 回转轴 廓素线
c" F (f") e(f) d"
（3）先画物体形状特征明显的视图；
b(c)
Da(d)
Y
（4）按“三等”规律完成其他两视图 长对正、高平齐、宽相等。 （5）检查，加深，完成图形。
正三棱柱的三视图
Z b' a' e' b" (e") a"
X c' b(c)
d'
f' e(f)
O
c" (f")
d"
YW
a(d)
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k'
1' 2'
s"
解2、辅助圆法：
k"
过已知点K作纬圆，该圆 垂直于轴线，过k' 作纬圆
s
k
的正面投1'2'，然后作出 水平投影k在此圆周上，
由k' 求出k，最后求出k"。
四、球体的投影
形成：圆球可看作是一圆(母线)围绕直径回转而成。 投影：球体的各面投影为三个不同的回转圆。
Байду номын сангаас
§3-3
一、常见的回转体
回转体的投影
回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回 转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。
二、圆柱体的投影
回转轴
A
Z
O
素线
V a' d' c' B
b' B A
母线
O
C
X 最左轮 廓素线
Y 最前轮 廓素线
水平投影为一个圆，反映顶、底圆的实形， 圆柱面上所有素线都积聚在该圆周上。
圆柱的三视图
a' b'
c'
d'
圆柱体表面上的点：
(n') m' n" (m") 分析：m'为可见，在前半圆 柱面上，n' 为不可见，在后半 圆柱面上。其水平投影积聚在 圆周上，先求出m、n，再求m"、 n"。 已知：正面投影上的n'、m' 的投影，求其它两面的投影。
n
m
例：已知圆柱体表面上M、N两点的正面 投影m'、 (n') ，求其它两面投影。
a b
e d
积聚
c
2. 正六棱柱体的投影
作图（二）
平面立体表面上的点
a'
(b') b
b"
a"
A
a
平面立体表面上的点与 平面上取点的方法相同，要 判别投影的可见性。
三、棱锥体的投影
正三棱锥的表面有特 殊位置平面，也有一般位
Z
V s' S
m'
置平面。属于特殊位置平
面的点的投影，可利用该 平面的积聚性作图。 属于一般位置平面的 点投影，可通过在平面上 a'
主视轮廓圆 平行V面 Z 左视轮廓圆 平行W面
回转轴
W
X
素线圆
母线圆
俯视轮廓圆 平行H面 Y
球面上取点——辅助纬圆法（作图一）
已知圆球表面点M的水平投影m，求其他两面投影。
作图方法：采用辅助圆法。过点M在球面上作一平行于投 影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同面投影上。
Z m' d' X O
m"
（d" ） YW
s"
m"
b'
M
1'
C a" c b b" Y
X
A
a
Ⅰ
B s
1 m
作辅助线的方法求得。
三、棱锥体的投影
S' k'
S"
k"
a'
1'
b'
k S
c' a"(c'')
b"
a
1
c
表面上的点采用 辅助线的方法作图。
b
三、棱锥体的投影
s' Z
s"
a' X a
b'
c' O c
a" (c")
b" YW
s
b
YH
结论：
长
高
Z
宽 高
X 宽 长 三视图对应关系为： 主、俯视图长相等（简称长对正） 主、左视图高相等（简称高平齐） 俯、左视图宽相等且前后对应 (宽相等）
O
YW
YH
上
左 下 右 后
上 前 下 右
后
左 前
三视图之间方位对应关系 主视图反映物体的上、下，左、右 俯视图反映物体的前、后，左、右 左视图反映物体的上、下，前、后
第一节
基本几何体的投影
三面投影与三视图
第二节
第三节 第四节
平面立体的投影
回转体的投影 几何体轴测图
§3-1
三面投影与三视图
一、体的投影—视图
体的投影实质上是构成该体的所有表面的投影总和。
二、三面投影与三视图
体在三投影面体系中投影所得图形，称为三视图。
正面投影为主视图
水平面投影为俯视图 侧面投影为左视图
1. 由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的 投影图，就是先画出各棱线交点的投影，然后顺 次连线，并注意区别可见性。 2. 分析围成立体表面的平面图形的投影特性。 3. 平面立体投影图中的每一条线，表达的是立体表 面上一条棱线或是一个有积聚性面的投影。 4. 平面立体投影图，都是由封闭的线框组成，一个 封闭的线框一般代表着立体的某个面的投影。
M
m（d） YH
利用辅助纬圆（作图二）
例：已知A、B两点在球面上，并知a和b’的投影，求A、B 两点的另两个投影。
解: a' b' (b) 1 a 2 作图：过a作直线∥OX得水 平投影12，正面投影为直径 为12的圆，a'必在此圆周上。 因a可见，位于上半球，求得 a'，由a、a' 求出a"，因a 在右 半球，所以a"不可见。 因为b'处于正面投影外形轮 廓线上，可由b'直接求得b、 b"。
O
母线
S
素线
V
s' S b' c' s"
A O X
a'
d"
(d')
A
a d c C
a" (b") c" b Y
最左轮 廓素线
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k' 1'
s"
k" 1"
解1、辅助素线法：
s
1 k
过锥顶S和已知点K作直 线S1，连s'k'与底边交于 1'，然后求出该素线的H 面和W面投影s1和s" 1 "， 最后由k'求出k和k"。
YH
正三棱柱表面取点
Z a' b' a" (b")
X a
b
O
YW
YH
注意：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号，如b点。
2. 正六棱柱体的投影
F B C E
作图（一） （c" ） （e" ） （d" ） f" a" b"
A
D
（f'） （e'） a' b' c' d'
f 先画H面投 影（反映六 棱柱特征）
§3-2
平面体的投影
一、 常见的平面几何体
它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平 面立体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的 平面形、交线及顶点的投影。
二、棱柱体的投影
Z
1. 正三棱柱体的三视图
（1）分析物体的形状及各表面间 的相对位置；
V
b'
a'
B
e'
X
c'
d' C
E (e") b" a" （2）确定主视图的投射方向， W A 常以物体主要面与投影面平行；
(n') n"
因为m'为可见，在前半圆柱面上；n'为 不可见，在后半圆柱面上。两点的侧 面投影积聚在圆周上。
m'
m"
n
（m）
作图：过m'作水平线交右半圆周 于m"，过（n'）作水平线交左半 圆周于n"，再由m'和m"，（n'） 和n"求出（m）、n。
三、圆锥体的投影
圆锥体是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面是 一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。 最前轮 Z 回转轴 廓素线
c" F (f") e(f) d"
（3）先画物体形状特征明显的视图；
b(c)
Da(d)
Y
（4）按“三等”规律完成其他两视图 长对正、高平齐、宽相等。 （5）检查，加深，完成图形。
正三棱柱的三视图
Z b' a' e' b" (e") a"
X c' b(c)
d'
f' e(f)
O
c" (f")
d"
YW
a(d)
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k'
1' 2'
s"
解2、辅助圆法：
k"
过已知点K作纬圆，该圆 垂直于轴线，过k' 作纬圆
s
k
的正面投1'2'，然后作出 水平投影k在此圆周上，
由k' 求出k，最后求出k"。
四、球体的投影
形成：圆球可看作是一圆(母线)围绕直径回转而成。 投影：球体的各面投影为三个不同的回转圆。
Байду номын сангаас
§3-3
一、常见的回转体
回转体的投影
回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回 转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。
二、圆柱体的投影
回转轴
A
Z
O
素线
V a' d' c' B
b' B A
母线
O
C
X 最左轮 廓素线
Y 最前轮 廓素线
水平投影为一个圆，反映顶、底圆的实形， 圆柱面上所有素线都积聚在该圆周上。
圆柱的三视图
a' b'
c'
d'
圆柱体表面上的点：
(n') m' n" (m") 分析：m'为可见，在前半圆 柱面上，n' 为不可见，在后半 圆柱面上。其水平投影积聚在 圆周上，先求出m、n，再求m"、 n"。 已知：正面投影上的n'、m' 的投影，求其它两面的投影。
n
m
例：已知圆柱体表面上M、N两点的正面 投影m'、 (n') ，求其它两面投影。
a b
e d
积聚
c
2. 正六棱柱体的投影
作图（二）
平面立体表面上的点
a'
(b') b
b"
a"
A
a
平面立体表面上的点与 平面上取点的方法相同，要 判别投影的可见性。
三、棱锥体的投影
正三棱锥的表面有特 殊位置平面，也有一般位
Z
V s' S
m'
置平面。属于特殊位置平
面的点的投影，可利用该 平面的积聚性作图。 属于一般位置平面的 点投影，可通过在平面上 a'
主视轮廓圆 平行V面 Z 左视轮廓圆 平行W面
回转轴
W
X
素线圆
母线圆
俯视轮廓圆 平行H面 Y
球面上取点——辅助纬圆法（作图一）
已知圆球表面点M的水平投影m，求其他两面投影。
作图方法：采用辅助圆法。过点M在球面上作一平行于投 影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同面投影上。
Z m' d' X O
m"
（d" ） YW
s"
m"
b'
M
1'
C a" c b b" Y
X
A
a
Ⅰ
B s
1 m
作辅助线的方法求得。
三、棱锥体的投影
S' k'
S"
k"
a'
1'
b'
k S
c' a"(c'')
b"
a
1
c
表面上的点采用 辅助线的方法作图。
b
三、棱锥体的投影
s' Z
s"
a' X a
b'
c' O c
a" (c")
b" YW
s
b
YH
结论：
长
高
Z
宽 高
X 宽 长 三视图对应关系为： 主、俯视图长相等（简称长对正） 主、左视图高相等（简称高平齐） 俯、左视图宽相等且前后对应 (宽相等）
O
YW
YH
上
左 下 右 后
上 前 下 右
后
左 前
三视图之间方位对应关系 主视图反映物体的上、下，左、右 俯视图反映物体的前、后，左、右 左视图反映物体的上、下，前、后