工程力学12-弯曲变形PPT课件

工程力学
所以，工程实际中的构件除了满足强度条件之 外，往往还要满足变形方面的要求，也就是要 满足刚度条件。
当然，什么事情都是一分为二的，有些场合 ，我们还要利用弯曲变形达到一定的目的， 例如，各种车辆中的叠板弹簧，就要求其在 外力的作用下产生足够的变形，来缓和车辆 所受到的冲击和振动。
另外，在研究超静定梁时，我们也必须考虑 梁在外力作用下的变形。
M x
EI z
d dx
( dw) dx
M x
EI
z
d
(
dw dx
)
M
xdx
工程力学
EI
z
d
(
dw dx
)
M
x
dx
EI z
dw dx
M
x
dx
C
EIzdw ( M x dx C)dx
EIzw [ M x dx]dx Cx D
EIw' M (x)dx C EIq
——转角方程
EIw ( M (x)dx)dx Cx D ——挠曲线方程
工程力学
§12-1 引言
弯曲变形的描述 梁 对称面 梁轴线变形
变形特点：变形前为直线的梁轴线，变 形后为曲线。这根曲线称为挠 曲线。
工程力学
一、挠度及转角的概念 v
1．梁的挠曲线
轴线变形后形成的光
滑连续曲线
A
q
B1
qw Bx
2．梁变形的度量
x
1)转角：梁横截面绕中性轴转动的角度，符号：q ，
A
B
q |x1a q |x20
l
a
b
x1 x2
工程力学
中间铰 支座A
中间铰A
f A 0
q A左q A右0
f A左 f A右
q A左q A右
工程力学
绘制挠曲线的方法： 1.绘制M图 2.由M图的正负、零点或零值区，确定 挠曲线的凹凸或拐点或直线区， 3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。
工程力学
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
xl
w |xl 0 q |xl 0
工程力学
连续条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边 界条件或连续条件将其确定。
F
w |x1a w |x20
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 wB 。
F
A x
EIz l
B
wB
qB
工程力学
y
A x
F
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程
请同学们自己做一下（时间:1分钟）
x
M (x) F(x l)
B
wB
EIz
qB （2）挠曲线近似微分方程
EIw M (x) F (x l)
l
（3）积分
EIq
EIw
弯曲变形
问题
1、近似挠曲线微分方程表达？如 何求解？ 2、挠度是否发生在弯矩最大的位 置？ 3、刚度条件？ 4、静定基，变形比较法。
工程背景 （一）建筑结构
浦 东 开 发 区
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
浦 江 两 岸
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
金茂大厦
楼高 420.5m 共 88 层
C、D为积分常数，可由梁上某些点的位移
的已知条件来确定。
工程力学
边界条件
EIzq M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在约束处的转角或挠度可以确定
F
A
B
x 0 w |x0 0 q |x0 0
l x
F
x 0 w |x0 0 q |x0 0
A
l x
B
工程力学
工程背景 （三）航天航空
我国的 长征火箭家族
工程力学
工程背景 （三）航天航空
太阳能电池帆板
工程力学
梁在载荷作用下，要有足够的强度，它必须满 足强度条件，但是，是否梁满足了强度条件之 后，它就能够正常地工作呢？
往往并非如此。
桥式起重机的大梁
工程力学
刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
工程力学
工程背景 （一）建筑结构
金茂大厦
荣获2001年 “ 美国建筑师学 会
室内建筑奖 ”
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
上海南浦大桥
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
桥面结构
工程力学
工程背景 （二）大型桥梁
澳门桥
工程力学
工程与工程力学
高层建筑与大型桥梁
工程力学
|
d 2w dx 2
|
( x)
[1
(
dw
)
2
3
]
2
dx
工程力学
§12-2 挠曲线近似微分方程
1．力学关系：
1 (x
)
M(x EI
)
v
q
2．数学关系：
1
|
d 2w dx2
|
(x)
[1
(
dw
)2
3
]
2
q A
x
dx
小变形，挠曲线很平坦。 dv 1 与1相比可略去
dx
1
(x)
d2w dx2
w"
在图示坐标下： w'' 0,
EIw" M (x)
M 0,
3．挠曲线近似微分方程：
EIw" M (x)
B1 w Bx
M 0, w'' 0
工程力学
应用条件： 1.小变形 2.最大应力不超过材料的比例极限，即 满足虎克定律 3.W向上为正
工程力学
§12-3 计算梁位移的积分法
EIz为常数，挠曲线近似微分方程为
EI z
d 2w dx 2
F(x
l)dx
C
1 2
F(x
l)2
C
EI w 1 F (x l)2 dx Cx D 1 F (x l)3 Cx D
2
6
工程力学
EIq EIw F (x l)dx C 1 F (x l)2 C
EI w
1
F
(x
l
)2
dx
Cx
D
2
1
F
(x
l
)3
Cx
D
y
2
F
6 （4）确定积分常数 由边界条件
正负：逆时针转动为正，反之为负；
2)挠度：梁横截面形心的竖向位移，符号：w， 正负：向上为正，反之为负。
3)挠曲线方程：挠度随轴线变化的关系 —— w f (；x)
4)转角方程：转角与挠度的关系：
q tanq dw w'(x)
dx
工程力学
略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲 变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个 角度，而中性轴本身也要发生位移。
截面形心位移 竖向位移 y=w=f(x)
弯曲变形
水平位移 略去
截面转角
q q tgq dw f (x)
dx
工程力学
§12-2 挠曲线近似微分方程
1.挠曲线近似微分方程的推导
k(x) 1 M (x)
(x) EIz
(12 1)
高等数学：对曲线 v=f(x) 其曲率为
k(x) 1