3.4不等式的实际应用-王后雄学案

张喜林制
3.4 不等式的实际应用
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考点知识清单
1．在许多实际问题中，需要设 ，列 求解．
2．解有关不等式的应用题时，首先要用 表示题中 ，然后由题中给出的 关系，列出关于未知数 ，解所列出的关于 ，写出
要点核心解读
1．在不等式的应用中建立不等式的主要途径
(1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性；(5)利用均值不等式等，只要建立起数学模型，问题就不难解决了．
2．解答不等式应用题的一般步骤 解答不等式应用题，一般可分为如下四步：
(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，我们要细心领悟商题的实际背景，分析各八量之间的关系，形成思路，想办法把实际问题抽象成数学模型。

(2)建立数学模型：根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系埘^便确立下一步的努力方向。

(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论和结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出同题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论。

典例分类剖析
考点1 作差法解决实际问题 命题规律
(1)利用作差法原理，即b a b a >⇔>-0解决实际中的一些应用问题．
(2)往往以“速度问题，提价、降价问题等”来考查运用作差法解决实际问题的能力．
[例1] 现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A ，B 的底面积为,2
a 高分别为a 和
b ，C ，D 的底面积均为 ,2b 高分别为a 和b （其中a ≠b ）
．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个．盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有几种？
[解析】 依题可知A ，B ，C ，D 四个容器的容积分别为,3
a .,,3
2
2
b ab b a 按照游戏规则，问题可转化
为比较两两容积和的大小．
[答案] (1)A ，B 与C ，D
)()()()(223223b a b b a a b ab b a a +-+=+-+
,))((2b a b a +-=
显然,0)(2>+b a 而a 与b 的大小不能确定，
2))((b a b a +-∴的正负不能确定，
即b a a 2
3
+与3
2
b ab +的大小不定． (2)A ，C 与B ，D
)()()()(22223223b a b b a a b b a ab a +-+=+-+
).)((22b a b a +-=
由(1)知，仍是无法比较大小． (3)A ，D 与B ，C
=+-+-+=+-+)())(()()(222233b a ab b ab a b a ab b a b a )()2)((22b a b ab a b a +=+-+ 222))(()2(b a b a b ab a -+=+-
又因.0))((,0,0,2
>-+∴>>=/b a b a b a b a
即.2
2
3
3
ab b a b a +>+
综上，先取A ．D 是唯一必胜的方案．
[方法技巧] (1)由本题可以得到如下结论：已知),,0(,,+∞∈=/b a b a 那么,2
2
3
3
ab b a b a +>+此式
可等价于.2
2b a a b b
a +>+ (2)此题解法用到分类讨论的思想，使用这种思想时，先确定分类标准，再列出各情况，必须做到不重不漏．
母题迁移 1．在春节期间有甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ 考点2 一元二次不等式在实际中的应用
命题规律
(1)利用一元二次不等式解决实际应用中的问题。

(2)能从实际问题中构成一元二次不等式模型． (3)能建立有关一元二次不等式组解决实际问题．
[例2] 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是撞了．事发后，现场测量甲车的刹车距离超过12 m ，但不超过15 m ；乙车的刹车距离超过10 m ，但不超过12 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s( m)与车速x(km/h)
之间分别有如下关系：,005.005.0,01.01.02
2乙乙乙甲甲甲x x s x x s +=+=问谁应负主要责任？
[答案] 由题意得下列不等式：
1501.01.0122
≤+<甲甲x x ① 12005.005.0102≤+<乙乙x x ② ,150********≤+<甲甲①化为x x 即⎩⎨⎧≤-+>-+④
③甲甲甲甲0500110020011022
x x x x 由③得4030-<>甲甲或x x （舍去）． 由④得,61556155+-≤≤--r x 由③④得.35615530<+-≤<甲x 同理解②得
.45975540<+-≤<乙x
因此乙车车速超出了40 km/h 的规定，乙车司机应负主要责任． [规律方法] 解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）； (3)解不等式（或求函数最值）； (4)回扣实际问题．
母题迁移 2．有一批影碟机( VCD)，原销售价为800元／台，在甲、乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下方法促销：
买一台单价为780元，买2台单价都为760元，依次类推，每多买1台，则所买各台单价均再减少20元一，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
考点3 利用基本不等式解应用题 命题规律
(1)利用基本不等式，如ab b a ab b a 2,222≥+≥+*)(R b a ∈、及其变形解决相应的应用题． (2)能在实际应用题中构建基本不等式模型，并注意不等式成立的条件．
[例3] 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理泄（平面图如图3 -4 -1所示），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池四周墙建造单价为每米长400元，中间两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
[解析] 本题通过建立函数关系式利用均值不等式求最值．利用均值不等式求最值屹，必须考虑等号成立的条件，若等号不能成立，通常要用函数的单调性进行求解．
[答案] 设污水处理池的长为戈米，则宽为
≤<x x
0(200米),16200
0,16≤<x .165.12≤≤∴x
于是总造价+⋅++=x
x x x Q 200
.2248)200.
22(400)(20080⨯ =+⋅≥++
=16000324
.280016000)324(800x
x x x .44800 当且仅当),0(324
>=
x x
x 即18=x 时等号成立，而∉18.44800)(],16,5.12[>∴x Q 下面研究)(x Q 在[12.5，16]上的单调性．
对任意,165.1221≤<≤x x 则<<<>-2211216.0,0x x x x .324
.800)]1
1(
324)[(800)()(121212=-+-=-x x x x x Q x Q .0)324)((2
1212<--x x x x x x l )()()(12x Q x Q x Q <∴在[12.5，16]上是减函数．
.45000)16()(=≥∴Q x Q
答：当污水处理池的长为I6米，宽为12.5米时，总造价最低．最低造价为45000元．
母题迁移 3．（2010年江苏省部分重点中学调考题）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
优化分层测讯
学业水平测试
1．买房选择楼层，随着楼层的升高，上下楼耗费时间和精力，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上
下楼造成的不满意度为
,10
n
但高处空气清新噪音小，阳光充足，夏天没有蚊蝇，因此随着楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层时，环境不满意度为n
15
设所售楼共有20层，要使不满意度最小，则
买房人应选< ）.
A ．第10层
B ．第11层
C ．第12层
D ．第13层
2．假设甲，乙两国关于拥有洲际导弹数量的关系曲线)(x f y =和)(y g x =的意义是：当甲国拥有导弹x 枚时，乙国至少需储备导弹)(x f y =枚，才有安全感；当乙国拥有导弹y 枚时，甲国至少需储备导弹
)(y g x =枚；才有安全感，这两条曲线将坐标平面的第一象限分成四个区域I ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图3 -4
-2所示．双方均有安全感的区域是( )．
A.I 和Ⅲ B ．Ⅲ C ．Ⅱ D ．Ⅱ和Ⅳ
3．在三棱锥0 - ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，,1=OC ,4,,=+==y x y OB x OA 则三棱锥体积的最大值是( )．
1.A 31.B 3
2
.C 33.D
4．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，
每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元，李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，，那么他家的建筑面积最多不超过( )． A.70平方米 B ：80平方米 C ．90平方米 D.100平方米
5．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中 国联通130网，经调查，收费标准如下表：
（注：本地话费以分钟为单位计费，长途话费以6秒钟为单位计费）
若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）在区间(40，50)
内，则选择较为省钱的网络为( )．
A ．甲
B ．乙
C ．甲或乙
D ．分情况而定
6．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 7．在一次体育课上，某同学以s m v /120=的初速度竖直上抛一排球，该排球能够在地面2m 以上的位置最多停留多长时间？(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离地面的高度，h 与时间x 满足关系,2
12
0gt t v h -
=其中)/8.92s m g = 高考(能力测试
（测试时间：90分钟测试满分：100分）
一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1．某城市为控制水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是（已知)1000<<<p q A ．先提价p%，再提价q% B ．先提价q%，再提价p% C ．分两次，都提价
2
22q p +℅ D ．分两次，都提价%2q
p + 2，若,,,,*
b a R m b a <∈将ag 食盐加入到（b-a ）g 水中，所得溶液的盐的质量分数为,1P 将g m a )(+食
盐加入到g a b )(-水中，所得溶液的盐的质量分数为,2P 则( )．
21.P P A < 21.P P B = 21.P P C > D ．不确定
3．（重庆诊断性试题）某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )．
2.b a x A +=
2.b a x B +≤ 2.b a x C +> 2
.b
a x D +≥ 4．（2010年长沙质检题）某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库
存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元：，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )．
A.5千米处 B ．4千米处 C.3千米处 D.2千米处 5．（2010年南昌市调考题）某债券市场常年发行三种债券，A 种面值1000元，一年到期本息和为1040元；
B 种债券面值1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；
C 种面值1000元，半年到期本息和为1020元．设这三种债券的年收盗率分别为Ⅱ、6、c ，则a 、6、c 的大小关系是( )．
b a
c a A <=且. c b a B <<. b c a C <<. b a c D <<.
6．某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是：
,1.02030002x x y -+=
其中
.,2400N x x ∈<<
若每台产
品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本>的最低产量是()． A ．100台 B:120台 C.150台 、D.180台
7．（2010年黄冈统考题）某种产品生产件数石与成本y （万元）之间的函数关系为,1.0203002
x x y -+= 若每件产品成本平均不超过25，万元，且每件产品用料6吨，现有库存原料30吨，明年又可进料900吨，明年最高产量是( )．
A.150件
B.155件
C.200件
D.1000件
8．一批货物随17列货车从A 市以vkm/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车的间距不得小于km v 2
)20
(
（货车的长度忽略不计）、那么，这批货物全部运到B 市，最快需要( )． h A 6. h B 8. h C 10. h D 12.
二、填空题（本小题包括4小题，每小题5分，共20分）．
9．甲、乙两人在每一个月里，总是相约到一家小铺里去购买两次白糖，假设白糖的价格是变化的，雨他们的购买方式又不一样，甲每一次总是购买l 千克白糖，乙每一次只拿一元钱来购买白糖，而不管购买多少，试问这两种购糖的方式哪一种合算．答： ．
10．用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长（较长的边）和宽应选用的金属材料价格每Im 分别为3
元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是 ，．
11．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每于克为a 元，二等小麦每千克为b 元，这里a>b ．现有一
等小麦x 千克，二等小麦y 千克，若以两种价格的平均数收购，试问：收购站受益的条件是 ．
12．（2010年天津模拟题）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次．一年
的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨．
三、解答题【本题包括3．小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.（13分）（2009年湖北高考题）围建一个面积为2
360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利
用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图3-4
-3所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
14.（13分）（2010年上海模拟题）现计划把甲种货物1240 t 和乙种货物880 t 用一列货车运往基地，已
知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元．
(1)设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试写出y 与x 之间的函数关系式. (2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35 t 和乙种货物15 t ，每节B 型车厢最多可装甲种货物25 t 和乙种货物35 t ，装货时按此要求安排A ，B 两种车厢的节数，那么共有几种方案？ (3)在(2)的方案中，哪种方案费用最省？并求出最省费用．
15.（14分）（2010年辽宁省部分重点中学联考题）某厂家拟在2010年元旦期间举行促销活动，经调查测
算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元),0(≥m 满足k m k
x (1
3+-
= 为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知2008年生产该产品的固定投入为8万元；每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)将2010年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2)该厂家2010年的促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大利润是多少万元？。