电路原理 节点分析法ppt课件
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节点分析法
补： uB uD 8
UB 8
1
11
10
UA
4
UB
(1
4
5 )U Dຫໍສະໝຸດ 111四、无伴的理想电压源处理
方法3：含有两条无伴电压源支路的，将一条 电压源支路的一端接地；设另一条理想电压源 支路的电流，将此电流暂当作电流源电流列写 方程，并利用理想电压源与相应节点电位关系 补充方程。
12
例9 ：求图示电路中电流i。
电阻不计自电导与互电导）
解： 选择参考节
A
UA
点， 列写方程：
I1
I2
I3
(1 10
1 4
1 2 )uA
1.6
70 2
1.6 70
uA
(
1
2 1 1)
10 4 2
若电路只有一个独立节点，其节点
43.06V
I1 =-4.306A I2 = 10.76A
电压方程为： u
I3 = -13.47A
Rs Us
(1)
图(1)伏安关系:
u = Us - iRs
图(2)伏安关系:
Is
u = (Is - i) Rs'
= Is Rs ' - i Rs '
Rs'
(2)
等效变换关系： Us = Is Rs′ Rs= Rs′
4
三、节点分析法： 依据：KCL
支路VCR UA
UB
UC
步骤：
1、选择参考节点，
标出其余节点电压
I sk Gk ( 弥尔曼定理)
9
四、无伴的理想电压源处理
方法1： 含有一条无伴电压源支路的，可选合 适的参考节点使理想电压源成为一个已知节点 电压，列写其余节点电压方程。
电路分析基础 5节点分析
注意事项：
1、参考点的选择：a、最多支路的连接点；
b、将电压源的一端作为参考点。
2、若电压源有串联电阻时，则先做戴维南到诺顿 等效变换。若电压源无串联电阻且两端都不是参考点 时，需给电压源支路设电流，并增加方程。
3、有受控源时，一般要有补充方程：控制量用 节点电压表示。
4、电流源支路上串有电阻，冗余元件
§2-3 节点分析法 (可用于非平面电路分析）
一、节点方程的建立
节点电压（位）： 必须选定参考点。
1、节点电压的独立性:n-1个节点电压线性无关 2、节点电压的完备性：支路电压可用节点电压 表示出来
建立节点方程
(G1 G2 )U a G2Ub G1U c I s1 G2U a (G2 G3 G4 )Ub G3U c 0 G1U a G3Ub (G1 G3 )U c I s2
一
般 G11U1 G12U2 ... G1n1Un1 Is11
形 式
n 个
G21U1 G22U2 ... G2n1Un1 Is22 ...
节 Gn11U1 Gn12U2 ... Gn1n1Un1 Isn1n1
点
或矩阵形式：
G11
G21
.....
G(n1)1
G12 G22 .... G( n 1) 2
要点与难点 理想电压源支路的处理；受控电源的处理
例5、求ua
+us1 R1
ua
+us2 R2
-us3
R3
R4
例6 求：U，I= ?
解：(1)选定参考点， 标出节点电压
(2)列节点方程
U a 12(V )
解得
UUcb
6(V ) 4(V )
U e 5(V )
电路原理节点分析法
u1
1.5A
i5
u2 20
0.3A
i6
U2 10
4
0.2A
u1=10V, u2=6V
电路原理
例题分析
例2. 用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
注意：含有无伴电压源
10V
+-
4Ω
i4
解：以节点②为参考节点
即以理想电压源的一端为 +
参考点。
15V
-
5Ω
U1 4
i1
1
+
4V
-
2
i2
2Ω i3 i5
§2-9 节点分析法
选择③为参考节点，即电位v3=0；
+ us - R1 i1
节点电压：u1=v1-v2=v1，u2=v2； 1
R3 i3
3 i5
节点电压：独立节点对参考节点的电压；
i2
i4
is
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 R2
R4
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
u1, u2自动满足KVL （电位单值性） 2
i4
is
R4
【①1流】出: 的节电点流电。压u1单独作用，节点 【①2流】出: 的节电点流电。压u2单独作用，节点 【3】: 联接到节点①的各激励源单 独作用，流入该节点的电流代数和。
2
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
G 11
G 12
i s11
节点①：
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R2
2.33 mA
I3
+
1kΩ
15V
–
3kΩ 1mA
电路分析 节点分析法
电压，称为 结点电压 。
有4个结点，选结点 0作基
准，用接地符号表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，其
图3－6
余三个结点电压分别为 u10, u20和u30 ,是一组独立的电 压变量 。
电子工程学院
例如图示电路各支路电压可表示为 :
u1 ? u10 ? v1 u2 ? u20 ? v2 u3 ? u30 ? v3
图3－6
u4 ? u10 ? u30 ? v1 ? v3 u5 ? u10 ? u20 ? v1 ? v2 u6 ? u20 ? u30 ? v2 ? v3
总和的负值。
iS11、iS22、iS33是流入该结点全部 电流源电流的代数和 。
电子工程学院
由独立电流源和线性电阻构成的具有 n个结点的连 通电路，其结点方程的一般形式为：
G11v1 ? G12v2 ? ???? G v 1(n?1) n?1 ? iS11
?
?
G21v1 ? G22v2 ? ???? G v 2(n?1) n?1 ? iS22
解：标出参考结点，标出两个结
点电压u1和u2 的参考方向
?(1S ? 1S)u1 ? (1S)u2 ? 5A
? ?
?
(1S)u1
?
(1S ?
2S)u2
?
? 10A
u1 ? 1V u2 ? ?3V
i1 ? (1S)u1 ? 1A i2 ? (2S)u2 ? ? 6A i3 ? (1S)(u1 ? u2 ) ? 4A
电子工程学院
二、结点方程
图3－6
i1 ? i4 ? i5 ? iS1 ?
i2 ? i5 ? i6 ? 0
? ?
i3
?
i4
第7讲节点分析法
iS1 iS2 i1 i2 0
节点②
iS 2 iS 3 i2 i3 0
第3章 电路的分析方法
用节点电压表示支路电流：
u1 i1 G1u1 R1 u1 u2 i2 G 2 (u1 u2 ) R2
u2 i3 G 3u2 R3
第3章 电路的分析方法
第3章 电路的分析方法
2．用节点分析法分析电路的一般步骤为： （1）指定电路中某一节点为参考点，标出各独 立节点的电位符号。 （2）按照节点电压方程的一般形式，根据实际 电路直接列出各节点的节点电压方程。 注意：在节点方程中，自电导为该节点上连 接的所有电导之和，自电导总取正值；互电导为 连接相邻两个节点的所有电导之和，并取负值； 在线性电路中， G12=G21 ， G23=G32 ， G31=G13 ； 在节点方程的右边，流入节点的理想电流源的电 流取“+”号，流出节点的则取“– ”号。。
R 2 u 0 us R1
即：
在列写节点方程时，已用到运放输入为零这一特点。
第3章 电路的分析方法
例题2. 下图表示一个由理想运算放大器模型构成的加 法器，它可以对输入电压u1，u2，… un进行加法运算。
Rn usn R2 us 2 R1 us 1 i+=0 i－
Rf
u0
第3章 电路的分析方法
代入节点①、节点②电流方程，得到：
u1 u1 u2 iS1 iS2 0 R1 R2
iS2 iS 3
u 1 u2 R2
u2 0 R3
第3章 电路的分析方法
整理后可得：
1 1 1 ( ) u1 u2 iS1 iS2 R1 R 2 R2
电路分析基础_第7讲(ch2节点分析法)
例2：电路如图，求电流 I1。 电路如图，
I1 5O
T
+
19v
-
2O
T
4O
T
T
+ 30v T T
+ 4A 1.5I1 25v
4A
1.5I1
T
I1
解： 1）b=5,n=3,m=3,选2树枝（白色），选3连支（红）； b=5,n=3,m=3,选 树枝（白色） 连支（ 2）选基本回路及其电流； 选基本回路及其电流； 的回路方程如下，解得： 2A。 3）布列关于I1的回路方程如下，解得： I1＝-2A。
(a)更适合用节点法 更适合用节点法
(b)更适合用网孔法 更适合用网孔法
网孔电流是一组独立的电流变量， 是否还有其它的独立电流变量？方 程如何布列？ 节点电压是一组独立的电压变量， 是否还有其它独立的电压变量？方 程如何布列？
2-4 树的概念
一组节点和一组支路的组合。 1﹑图(G):一组节点和一组支路的组合。
基本回路数=连支数 网孔数=b网孔数=b 基本回路数=连支数=网孔数=b-（n-1） 基本回路电流 回路电流： 二、基本回路电流： 假定连支电流在基本回路中流动。 假定连支电流在基本回路中流动。连支 电流是一组独立的电流变量。 电流是一组独立的电流变量。
连支电流方程的布列： 三、连支电流方程的布列：
i5 ① i1 G1
G5 ② i2 G3 i3 ③ i4 G4 规律？
iS
Hale Waihona Puke G2把VAR代入KCL，并整理得到：
(G1 + G 5 )u n1 − G1u n 2 − G 5 u n 3 = iS − G1u n1 + (G1 + G 2 + G 3 )u n 2 − G 3u n 3 = 0 − G u − G u + (G + G + G )u = 0 5 n1 3 n2 3 4 5 n3
电路电路分析方法PPT课件
树
树支：构成树的支路
连支：属于G而不属于T的支路
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的：
bt n 1
连支数： bl b bt b (n 1)
第6页/共48页
回路 (Loop)：
L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足： (1)连通(2)每个节点关联2条支路
123 75
支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列写方便、直观，但 方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。
第16页/共48页
例1.
I1 7
+ 70V
–
求各支路电流及电压源各自发出的功率。
a
I2
1 +
6V –
11 2
b
解
(1) n–1=1个KCL方程：
I3
节点a：–I1–I2+I3=0
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, 该回路电流即 IS 。
例
R1
R2
RS
+
i1
iS i2
US _
R4
i3
R3
第28页/共48页
与电阻并联的电流源，可做电源等效变换
I
º
IS
转换
R
º
4.受控电源支路的处理
I
+
º
RIS _
R º
对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法 列方程，再将控制量用回路电流表示。
列方程
节点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方 程数为：
(n 1)
与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。
《电路原理》PPT课件
a
+ E
I2
–
R2
IS
R1
I1
在左图电路中只含有两个节 点，若设 b 为参考节点，则电路 I3 中只有一个未知的节点电压。
R3
b
(1) 选定参考节点，标明其余n-1
iS2
个独立节点的电压
(2) 列KCL方程：
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2
1 i2 R2
i3 R3
i3 3A,
当电路中含理想电流源支路时
例：试求各支路电流。
a
c
支路中含有恒流源。
+ 42V –
12
6 I1
I2 7A
I3 3
(1) 只让一个b 回路电流经d过恒流源支路，该回路电流值为恒流源值。
(2) 把电流源的电压作为变量，增补电流源电流与回路电流之间的约束方程。
(3) 电流源的转移法。
例：用回路法试求各支路电流。
i3 6 - 18 - 6i3 18- 1 1)i3 25 - 6
2
整理为:
-52i1i1-+21i21i-2
i3 -
-12 6i3 6
- i1 - 6i2 + 10i3 19
解得：
i1 -1A, i2 2A, i4 i3 - i1 4A i5 i1 - i2 -3A i6 i3 - i2 1A
+
U1
_
2. 3 节点电压法(node-voltage
节点电压的概念：
method)
任选电路中某一节点为零电位参考点，其他各节点对参考点的电压，称为节点电 压。 节点电压的参考方向从节点指向参考节点。
电路原理节点分析法
i4
is
R4
对各独立节点列出节点电流方程（KCL）:
3
节点①：-i1 + i2 + i3 = 0 （1） 节点②： i1 -i3 + i4 + i5 = 0 （2）
第6页，共28页。
电路原理
§2-9 节点分析法·节点电压方程
用节点电压表示上述的各支路电流
（依据KVL和VCR）
(本处提前到前面完备性时给出)
第22页，共28页。
电路原理
课堂练习
用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
I1 ①
6kΩ
+ 15V
–
I2
1kΩ 1mA
I3
3kΩ
②
解： (6 1 13 0 1 1 13 0 3 1 13 )0 U 6 1 13 5 0 1 1 3 0
U=1V
第23页，共28页。
电路原理
课堂练习
6kΩ
+
-
4Ω
i4
+ 15V
-
5Ω
i1
1
i2 20Ω
2
2Ω i3 i5
20Ω
i6 + 4V
-
10Ω
i4
10u2 4
u1
1.5A
i5
u2 20
0.3A
i6
U2 4 10
0.2A
第18页，共28页。
u1=10V, u2=6V
电路原理
例题分析
（列方程，不用说求电流）
例2. 用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
节点①、②的自电导(Self conductance)；
自电导 前取正
G12、G21是联接到节点①和节点②之间的两支路电导之和，称为节点
电路-节点分析法
U1 U2 4
联立求解得
U1 10V U2 6V I4 2A
111
1
15 10
( 5
20
4 )U 1
4U2
5
4
I4
1
11 1
10 4
4U1
( 4
20
10)U 2
I4
4
10
11
11
15 4
( 5
20 )U1
( 20
10 )U 2
5
10
（将节点①、②、4V电压源 支路、10V电压源支路构成 的闭合面作为一个广义节点）
0.5A
I4 I1 I2 I3 2A
I5
U3 20
0.3A
I6
U3 10
4
0.2A
解法二 ：
以节点③为参考节点
（用电流为I4的电流源替换 无伴电压源）
混合变量方程
111
1
15 10
( 5
20
4 )U1
4U2
5
4
I4
1 4 U1
1 ( 4
1 20
1 10)U 2
I4
10 4
4 10
补充方程
(1) 选定参考节点(节点③)和各支路电流的参考方向，对 独立节点列KCL方程
i1 i2 i3 i4 0
i3 i4 i5 i6 0
(2)用节点电压u1、u2表示支路电流
i1
us1 u1 R1
i3
u1 u2 R3
i2
u1 R2
i4
us4
(u1 R4
u2 )
i5
u2 R5
i6
解法三 ：
(1 5
1 20 )U1
节点法ppt课件-精选文档
Yn是一个对称阵，其主对角上的每一个元素 是相应节点的自导纳，非主对角上的每一个 元素是相关节点的互导纳。
程 的 形 成 节 点 法 —
2.1 直接列写节点导纳矩阵Yn 的规则：
1. 定义：直接汇集到某一节点的导纳称为自导，相邻 两节点之间的导纳称为互导 2. 自导纳总是取正值，而互导纳则总是取负值 电 路 3. 设网络有n个独立节点，Yn为n阶方阵： 方
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
MATLAB 求解程序：
2.1
Y = [ 0.65 -0.1 -0.05; 电 -0.1 0.158 -0.033; 路 方 -0.05 -0.033 0.083]; %输入节点导纳矩阵 程 的 I = [1;0;1]; %输入节点电流源向量形 成 fprintf('节点电压U1, U2 , U3 : \n') 节 点 %在显示屏显示提示信息 法 U=Y\I %解线性方程组得节点电压 Y的逆与I左乘
电路分析方法
• 经典的电路分析方法
– 支路分析法 – 节点分析法 – 回路分析法
2.1
• 现代电路分析方法
– – – – – – 割集分析法 状态变量分析法 稀疏表格法 拓扑矩阵法 改进的节点分析法 双图法
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
第 2章 电路方程使用 电 节点分析法和改进的节点分析法 。 因为： 路 方
—
运行结果：
U=
3.7093 5.8135 16.5941
2.1
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
2.1
例2-1-2 写出图示电路的节点方程
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
2.1
以③节点为参考节点 ①节点
程 的 形 成 节 点 法 —
2.1 直接列写节点导纳矩阵Yn 的规则：
1. 定义：直接汇集到某一节点的导纳称为自导，相邻 两节点之间的导纳称为互导 2. 自导纳总是取正值，而互导纳则总是取负值 电 路 3. 设网络有n个独立节点，Yn为n阶方阵： 方
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
MATLAB 求解程序：
2.1
Y = [ 0.65 -0.1 -0.05; 电 -0.1 0.158 -0.033; 路 方 -0.05 -0.033 0.083]; %输入节点导纳矩阵 程 的 I = [1;0;1]; %输入节点电流源向量形 成 fprintf('节点电压U1, U2 , U3 : \n') 节 点 %在显示屏显示提示信息 法 U=Y\I %解线性方程组得节点电压 Y的逆与I左乘
电路分析方法
• 经典的电路分析方法
– 支路分析法 – 节点分析法 – 回路分析法
2.1
• 现代电路分析方法
– – – – – – 割集分析法 状态变量分析法 稀疏表格法 拓扑矩阵法 改进的节点分析法 双图法
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
第 2章 电路方程使用 电 节点分析法和改进的节点分析法 。 因为： 路 方
—
运行结果：
U=
3.7093 5.8135 16.5941
2.1
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
2.1
例2-1-2 写出图示电路的节点方程
电 路 方 程 的 形 成 节 点 法 —
2.1
以③节点为参考节点 ①节点
电路分析基础2-节点分析法
－
1 1 1 1 1 1 4U ( + + )u1 u2 u3 = + 1 2 3+ 2 2 1 1 5 1 1 1 1 u1 + ( + )u2 = 3 2 2 5 u3 = 4V u2 = U
1 1 1 u1 + u3 = 3 + i + 1 1 1
4V 3A 5 － 2＋ U － － 2 4U
称为自电导，或自电阻， 一定大于0 称为自电导，或自电阻， Gjj一定大于
G21 , G12 , G32 , Gij .......
1 G12 = R2
称为互电导，或互电阻，共电阻等， 一定小于0 称为互电导，或互电阻，共电阻等， Gij一定小于 规定流入节点电流为正，流出为负。 规定流入节点电流为正，流出为负。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
第七章气体动理论 第二章 电阻电路分析
1 1 1 G11u1 + G12u2 = iS1 + iS 2 ( + )u1 u2 = iS1 + iS 2 R1 R2 R2 G21u1 + G22u2 + G23u3 = 0 1 1 1 1 1 u1 + ( + + )u2 u3 = 0 us R2 R2 R3 R4 R3 G32u2 + G33u3 = iS 2 + R5 uS 1 1 1 u2 + ( + )u3 = iS 2 + iS2 R3 R3 R5 R5
US 3 1 1 1 1 uA + ( + + )uB = I S 2 R3 R2 R3 R5 R3 uA uB Us3 I3 = R3
1 1 1 1 1 1 4U ( + + )u1 u2 u3 = + 1 2 3+ 2 2 1 1 5 1 1 1 1 u1 + ( + )u2 = 3 2 2 5 u3 = 4V u2 = U
1 1 1 u1 + u3 = 3 + i + 1 1 1
4V 3A 5 － 2＋ U － － 2 4U
称为自电导，或自电阻， 一定大于0 称为自电导，或自电阻， Gjj一定大于
G21 , G12 , G32 , Gij .......
1 G12 = R2
称为互电导，或互电阻，共电阻等， 一定小于0 称为互电导，或互电阻，共电阻等， Gij一定小于 规定流入节点电流为正，流出为负。 规定流入节点电流为正，流出为负。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
第七章气体动理论 第二章 电阻电路分析
1 1 1 G11u1 + G12u2 = iS1 + iS 2 ( + )u1 u2 = iS1 + iS 2 R1 R2 R2 G21u1 + G22u2 + G23u3 = 0 1 1 1 1 1 u1 + ( + + )u2 u3 = 0 us R2 R2 R3 R4 R3 G32u2 + G33u3 = iS 2 + R5 uS 1 1 1 u2 + ( + )u3 = iS 2 + iS2 R3 R3 R5 R5
US 3 1 1 1 1 uA + ( + + )uB = I S 2 R3 R2 R3 R5 R3 uA uB Us3 I3 = R3
节点分析法
+
us
R1
R3 i3
i1 3 i5 i4 is
求解2个节点电压变量 求解 个节点电压变量: u1，u2 个节点电压变量 列写两个独立节点电压方程 两个独立 列写两个独立节点电压方程 节点电压方程：用节点电压表示 节点电压方程 支路电流，列写KCL方程 KCL： ：
1 i2 R2 R4
∑i
b
=0
2个 个
§2-9 节点分析法
us R1 i1 i3 i4 R2 R4 3 i5 i2 is
直接选择变量 变量: ① 直接选择变量 支路电流
KCL: 列（3-1）个方程 3+1） VCR+KVL: 列（5-3+1）个方程
1
+
R3
支路电流法
② 间接选择一组变量 新思路)： 间接选择一组变量(新思路 ： 一组变量 新思路
电路原理
节点电压方程： 节点电压方程 §2-9 节点分析法·物理意义 用节点电压表示 流入支路电流，列写 KCL方程。 节点① 节点①： us 1 1 1 1 + )u1 − ( )u2 = ( + R1 R2 R3 R2 R1 流出 】 短路电流/等效电流 【2】 【3】 短路电流 等效电流 】 【1】 】 (含激励源支路 含激励源支路) 含激励源支路
1
+
R3 i3
i1 3 i5 i4 is
i2 R2
u2 i4 = − R4
R4
i5 = −is
2
电路中任一电压和电流响应均可由节点电压u 线性表示。 电路中任一电压和电流响应均可由节点电压 1和u2线性表示。 响应均可由节点电压
是一组完备的独立变量。 是一组完备的独立变量。
us
R1
R3 i3
i1 3 i5 i4 is
求解2个节点电压变量 求解 个节点电压变量: u1，u2 个节点电压变量 列写两个独立节点电压方程 两个独立 列写两个独立节点电压方程 节点电压方程：用节点电压表示 节点电压方程 支路电流，列写KCL方程 KCL： ：
1 i2 R2 R4
∑i
b
=0
2个 个
§2-9 节点分析法
us R1 i1 i3 i4 R2 R4 3 i5 i2 is
直接选择变量 变量: ① 直接选择变量 支路电流
KCL: 列（3-1）个方程 3+1） VCR+KVL: 列（5-3+1）个方程
1
+
R3
支路电流法
② 间接选择一组变量 新思路)： 间接选择一组变量(新思路 ： 一组变量 新思路
电路原理
节点电压方程： 节点电压方程 §2-9 节点分析法·物理意义 用节点电压表示 流入支路电流，列写 KCL方程。 节点① 节点①： us 1 1 1 1 + )u1 − ( )u2 = ( + R1 R2 R3 R2 R1 流出 】 短路电流/等效电流 【2】 【3】 短路电流 等效电流 】 【1】 】 (含激励源支路 含激励源支路) 含激励源支路
1
+
R3 i3
i1 3 i5 i4 is
i2 R2
u2 i4 = − R4
R4
i5 = −is
2
电路中任一电压和电流响应均可由节点电压u 线性表示。 电路中任一电压和电流响应均可由节点电压 1和u2线性表示。 响应均可由节点电压
是一组完备的独立变量。 是一组完备的独立变量。
电路分析基础ppt网孔分析和节点分析
由此得标准形式的方程： R11iM1+R12iM2=uSM1 R21iM1+R22iM2=uSM2
一般情况，对于具有 m=b-(n-1) 个网孔的电路，有
其中
R11iM1+R12iM2+ …+R1m iMm=uSM1 R21iM1+R22iM2+ …+R2m iMm=uSM2
… Rm1iM1+Rm2iM2+ …+Rmm iMm=uSMm
un1 R1
i2
un2 R2
iS1
i3 i4
un1 un2 un1 R3un2
R4
i5
un2 R5
iS3
un1 1 i3
R3
un2 2
i1
i2
i5
R1 iS2
R2 i4 R4
R5
0
若电路中含电压
源与电阻串联的
支路：
+ uS1
-
iS3
i1 un1 1 i3
un2 R3 2
R1
i2
i5
iS2
R2 i4 R4
电路，只需对网孔列写KVL方程。
可见，网孔电流法的独立方程数为b-(n-1)。
与支路电流法相比，方程数可减少n-1个。
i1 R1
+ uS1
–
a
i2 R2 iM1 + iM2 uS2
–
b
网孔1：
i3
R1 iM1-R2(iM2- iM1)-uS1+uS2=0 R3 网孔2：
R2(iM2- iM1)+ R3 iM2 -uS2=0
4 8V a +–
1
2 2 bc
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电路原理
思考-1
+
U1 U2 = 4V
-
g 1 1 U 1 g 1 2 U 2 is1 i3 5Ω
+
g 2 1 U 1g 2 2 U 2 is2 i3
10V
+-
4Ω
i4
i1
4V
1+ -
2
i2
i3 i5
i6
20Ω
20Ω
-
3
直接列写广义节点方程
广义节点
(1 52 1)U 01(2 1 01 1)U 021 5 51 40
10Ω
3
(1 5 2 1 )U 0 1 (1 5 2 1 0 2 1 0 1 1 )U 0 3 1 5 5 1 40
U3
6V
由此，各支路电流可方便地求出 （方法同前例，略）
电路原理
例题分析
例3: 列写图示电路节点方程。
注意：
iS1
1)含有受控源
R4 1 R2
&gmuR2 3
2A
0.5I 1Ω
电路原理
课后练习
1.求图一所示电路的节点电压。
6Ω I
（u1=-9V，u2=-21V，u3=3V）
① 2A
3Ω ② 5A ③
(1316)u113u2 16u3 2
0.5I
1Ω
11 3u13u2 50.5I
11 6u1 (61)u2 5
0 .5 I I 5 2 I 2 A 6I u1 u3
U=1V
电路原理
课堂练习
I1 ①
I1
15U 6103
151 6103
A
I2 6kΩ
2.33mA
I3
+
1kΩ
15V
–
3kΩ 1mA
I2
U 1103
1
mA
②
I33U 103 0.33m 3 A
gUIs
UIs /g
弥尔曼公式
电路原理
练习
1.求写出图示电路的节点电压方程，课后求解。
6Ω I ① 3Ω ② 5A ③
U1 U2 = 4V
电路原理
思考-2
1.受控电压源？
is11 5.5A is22 2.1A
电路原理
例题分析
根据支路方程，得各支路电流如下，
i1
15u1 5
1A
i2
u1 20
0.5A
i3
u1 u2 2
2A
10V +-
4Ω
i4
+ 15V
-
5Ω
i1
1
i2 20Ω
2
2Ω i3 i5
20Ω
i6 + 4V
-
10Ω
i4
10u2u1 4
1.5A
i5
u2 20
-
10V +-
4Ω
i4
i1
1
i2 20Ω
i3
2
2Ω
i6 +
i5
4V
20Ω
-
15 10
5Ω
10Ω
is11
( 5
) 4
A5.5A
is22
(104) A2.1A 4 10
G 11u1G 12u2is11
G 21u1G 22u2is22
电路原理
例题分析
例1: 用节点分析法求图示电路中各未知的支路电流。
解：
节点方程
G 11u1G 12u2is11 G 21u1G 22u2is22
u1-0.75u2=5.5 -0.75u1+0.9u2=-2.1
u1=10V, u2=6V
10V +-
4Ω
i4
+ 15V
-
5Ω
i1
1
i2 20Ω
i3
2
2Ω
i6 +
i5
4V
20Ω
-
10Ω
G11 1S G22 0.9S
G12 0.75S
2)电流源串电阻 替代定理
iS1
2
1 R2
+ uR2 _
R1
R3
gmuR2 3
2
电路原理
例题分析
注意：含有受控源
解：以节点③为参考节点
R4 1 R2
gmuR2
+ uR2 _ 3
iS1
R1
R3
(R11R12)u1R11u2 iS1 1 11
R 1u1(R 1R3)u2gm uR2iS1
增补方程： uR2 u1
0.3A
i6
U2 4 10
0.2A
u1=10V, u2=6V
电路原理
例题分析
例2. 用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
注意：含有无伴电压源
10V
+-
4Ω
i4
解：以节点②为参考节点
即以理想电压源的一端为 +
参考点。
15V
-
5Ω
U1 4
i1
1
+
4V
-
2
i2
2Ω i3 i5
i6 +
4V
20Ω
20Ω
-
2
3节点，5支路
电路原理
§2-9 节点分析法·物理意义
节点电压方程： 用节点电压表示
节点①：
流出
流入支路电流，列写
KCL方程
(R 11R 12R 13)u1(R 12)u2u Rs1
【1】
【2】 【3】
等效电流 /短路电流
+ us - R1 i1
1 i2
R2
R3 i3 3
i5
i4
is
R4
【①1流】出: 的节电点流电。压u1单独作用，节点 【①2流】出: 的节电点流电。压u2单独作用，节点 【3】: 联接到节点①的各激励源单 独作用，流入该节点的电流代数和。
G12、G21：连接两节点间的所 用电导之和，共电导 G12=G21
is11、is22：与某节点相连激励
2
源流入该节点的电流 电路原理
§2-9 节点分析法·解题步骤
(1) 选定参考节点，标定(nt-1)个独立节点； (2) 对(nt-1)个独立节点，以节点电压为未知量列写节点方程；
(按规范式列写，注意自导和共导) (3) 求解节点方程，得到(nt-1)个节点电压； (4) 求未知支路电压、支路电流。
§2-9 节点分析法
选择③为参考节点，即电位v3=0；
+ us - R1 i1
节点电压：u1=v1-v2=v1，u2=v2； 1
R3 i3
3 i5
节点电压：独立节点对参考节点的电压；
i2
i4
is
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 R2
R4
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
u1, u2自动满足KVL （电位单值性） 是一组完备的独立变量
2
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
G 11
G 12
i s11
节点①：
(R 11R 12R 13)u1(R 12)u2u Rs1
G 21
G 22
i s22
+ us - R1 i1
节点②： (R12)u1(R12 R14)u2 is
1 i2
R2
R3 i3 3
i5
i4
is
R4
G11、G22：连接某节点所用电 导之和，自电导
注意：电路中含有受控源，可将受控源当作独 立源一样列写电路方程，需增加将受控源的控 制变量用节点电压表示的补充方程。
2
电路原理
课堂练习
用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
I1 ①
6kΩ +
15V –
I2
1kΩ 1mA
I3 3kΩ
②
解： (6 1 13 0 1 1 13 0 3 1 13 )0 U 6 1 13 5 0 1 1 30
G 11u1G 12u2is11 两节点规范式 G 21u1G 22u2is22
电路原理
例题分析
例1: 用节点分析法求图示电路中各未知的支路电流。
解：
1 1 11
G11
( )S1S 5 20 2 4
11 1 1 G22(242010)S0.9S
G12G21(1 21 4)S0.75S
+ 15V