成都七中2021届高三上学期一诊理科数学试卷及答案

成都七中2021届高中毕业班一诊模拟测试

数学（理科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.A

2.C

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.C 10.A 11.B 12.C

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.3

5 14.20202021 15.23 16.

三、解答题：（共70分）

17. 解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理得a b c b c b a

+=--， ()()()a b a b c b c ∴-=+-，即222a b c ab +-=，1cos 2

C ∴=┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） ()0,C π∈，3C π∴=

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分）

选②：由正弦定理得sin 0,cos 1

sin C A C C A =≠=+， 12sin 1,sin =662C C ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3分） ()50,,,666C C ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，,663C C πππ∴-=∴=.┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分）

选③：因为23S CA CB =⋅，所以sin cos ab C C =┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（2分） ()

tan 0,,3

C C C ππ∴=∈∴=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（5分） （2）在BC

D ∆中，由余弦定理知()222222cos602a b a b +-⨯⨯⨯=┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分）

224242222a b ab a b ab ab ∴+-=≥⋅⋅-=，2ab ∴≤，当且仅当2a b =，┄┄┄┄┄┄┄（10分） 即2,1a b ==时取等号，此时ab 的最大值为2， ┄┄┄┄┄┄┄（11分）

面积1sin 2S ab C ==. ┄┄┄┄┄┄┄（12分）

19.解：（1）证明：连接AC ，底面ABCD 为菱形，60,ABC ABC ∠=∴∆为正三角形， E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//,AD BC AE AD ∴⊥，

PA ⊥平面,ABCD AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，

,,PA AD A PA AD =⊂平面,PAD AE ∴⊥平面PAD ，

AE ⊂平面,AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD . ┄┄┄┄┄┄（5分）

（2）由（1）知，,,AE AD AP 两两垂直，故以,,AE AD AP 所在直

线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

(

)

))

()()(

))0,0,0,1,0,,0,2,0,0,0,2,0,1,1,A B C

D P M

E -，┄┄┄┄┄┄（7分） ()

()()3,1,2,0,2,2,0,0,2PC PD AP ∴=-=-=. 设()3,,2PF PC λλλλ==-，则()

3,,22AF AP PF λλ=+=-. ┄┄┄┄┄┄（8分） 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则1111132

0220

m PC x y z m

PD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨

⋅=-=⎪⎩

令1z =(111,1,3,x y m ==

=.

┄┄┄┄┄┄（10分）

设直线AF 与平面PCD 所成角为θ，则

(

sin cos ,7AF m

AF m AF m θ⋅====≤⎡⋅⎢ 当12λ=

时，sin θ取最大值7

，此时F 为PC 的中点.

┄┄┄┄┄┄（12分） 20. 解：（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，()()()211,2,10f f x x k f x

''==-==， ()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为1y =.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3分）

（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()22122ax f x ax x x

-'=-=

①当0a ≤时，()()0,f x f x '<在[]1,3上单调递减，

()()max 114

f x f a ∴==≤恒成立，0a ∴≤┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） ②当0a >时，(

)()0,f x x f x '>>∴

在⎛ ⎝

上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增， （i

）当1,1a ≤≥时，()f x 在[]1,3上单增，()()max 12ln 314

3,49

f x f a +=≤≤，舍去； （ii

13,09a ≥<≤时，()f x 在[]1,3上单减，()()max 111,44f x f a =≤≤，109a ∴<≤ （iii

）当113,19a <<<<时，()f x

在⎡⎢⎣

上单减，⎤⎥⎦

上单增， ()()111114,,1

49434

f a a f ⎧≤⎪⎪≤∴<≤⎨⎪≤⎪⎩， 综上，14

a ≤

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分） 法2：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，即212ln 4x a x

+≤， ┄┄┄┄┄┄┄┄（4分） 令()()()3823132ln 4ln 42,,0,1x x g x g x g x x e x x +-''==><<. ()g x ∴在381,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单增，38,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单减，()()12ln 31141,3494g g +==>，┄┄┄┄┄（6分） ()min 14

a g x ∴≤= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7分） （3）因为120x x +>，

)()2121220x x x x +-+>，

只需证明12x x +>，┄┄┄┄┄┄（8分） 由（2

）可知120x x <<<

，要证12x x +>

，只需证明21x x >-，

又因为21x x >->，且函数()f x

在⎫+∞⎪⎭

单调递增，