二元一次方程及其解法

一、问题引入问题一：如图，已知一个矩形的宽为3，周长为24，求矩形的长。

如果我们设长为x ，则可列方程为：x ＋3＝12 ；如果把问题中矩形的宽改为y ，则可得到什么样的等量关系！ 解：x ＋y ＝12问题二：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？解：如果设鸡有x 只，兔有y 只，则可列方程为：x ＋y ＝35 2x ＋4y ＝941.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程。

例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________判断一个一个方程时候为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1③整式方程 （与分式区分开来）想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。

例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意：①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为02.二元一次方程组的解二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。

2、把下列各对数代入二元一次方程３x+2y=10，哪些能使方程两边的值相等？ (1)X=2,y=2 是 (2)x=3,y=1 否 (3)x=0,y=5 是 (4)x=2/3,y=6 是2(1)3x y y z +=⎧⎨+=⎩，5(2)6x y xy +=⎧⎨=⎩，7(3)6a b b -=⎧⎨=⎩，2(4)13x y x y +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，52(5)122y x x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，25(6)312x y -=⎧⎨+=⎩，213257m n x y --+=211321m n -=⎧⎨-=⎩1(2)2a x a y -+-=解析：把x ＝2，y ＝2代入方程3x ＋2y ＝10， 左边＝3*2＋2*2＝10＝右边．概括总结：使一个二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫二元一次方程的解。

3、二元一次方程2x+y=10的解有多少个？指出：一般地，二元一次方程的解有无数个设问：是否x 、y 任意取两个数都是这个方程的解？练一练：1、若 =-⎧⎨=⎩x 1y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（ ）.2、方程组 +=⎧⎨-=⎩y z 180y z （）的解是 =⎧⎨=⎩y 100z （）.3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=⎧⎨+=⎩4x 3y 1kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（ ）.3、用一个未知数表示另一个未知数例1、某球员在一场篮球比赛中共得35分(其中罚球得10分).问:他分别投中了多少个两分球和三分球?解：设他投中x 个两分球、y 个三分球， 那么 2x+3y=35－10, 即 2x+3y=25.例2、已知二元一次方程 x+y=10 (1)用关于x 的代数式表示y 解：y=10 － x(2)用关于y 的代数式表示x 解：x=10 －y变式训练1：已知二元一次方程 3x+y=10.（1）用关于x 的代数式表示y （2）用关于y 的代数式表示x.变式训练2：已知二元一次方程 3x+2y=10(1) 用关于x 的代数式表示y ；(2) 求当x= －2，0，3时,对应的y 的值, 并写出方程3x ＋2y=10的三个解.想一想：(1)24x y ，所以________x ；(2)345xy ，所以________x ，________y；(3) 2y x =,所以x = ，________y ．总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤：①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边． ②把被表示的未知数的系数化为1．4.二元一次方程的解法（1）用代入法解二元一次方程组将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数；②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值；④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.例3：方程组92x y y x ……①………②解：把②代入①得，29xx 3x 9 3x把x=3代入②，得6y所以，原方程组的解是36x y 总结：解方程组的方法的图解：练一练： 1、如果31014xy ，那么x =________；2、解方程组35,23 1.x y x y3、解方程组31014101532x y x y3、以⎩⎨⎧-=-=5.05.1y x 为解的方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧=-+=--05301y x y x B.⎩⎨⎧=++=+-05301y x y x C. ⎩⎨⎧-=+=-y x y x 531D. ⎩⎨⎧=+=-531y x y x 4、用代入消元法解下列二元一次方程组：（1）23321y xx y=-⎧⎨+=⎩（2）⎩⎨⎧-=-=+42357yxyx（3）233418x yx y⎧=⎪⎨⎪+=⎩（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

例4：解方程组2x+5y=13 ①3x-5y=7 ②提示：①式中的5y和②式中的-5y是互为相反数的分析：（2x ＋5y）+（3x - 5y）=13 + 7①左边+ ②左边= ①左边+②左边2x+5y +3x - 5y=205x+0y =205x=20解：由①+②得: 5x=20x＝4把x＝4代入①，得y＝1所以原方程组的解是x=4y=1例5：解方程组x--5y=7 ①x+3y=-1 ②分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程．解：把②－①得:8y＝－8y＝－1把y ＝－1代入①，得2x－5×（－1）＝7解得:x ＝1所以原方程组的解是 x=1 y=-1练一练（1）⎩⎨⎧=+=-13y x y x （2）⎩⎨⎧=+=-8312034y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-1464534y x y x5.解二元一次方程组需要注意的几个问题：（1）应重视加与减的区分例6 解方程组⎩⎨⎧=-=+②①.5n m 3,7n 2m 3错解：①~②，得n ＝2。

分析与解：①~②，即57)n m 3()n 2m 3(-=--+。

去括号，得2n m 3n 2m 3=+-+。

合并同类项，得2n 3=，即32n =。

把32n =代入①，得917m =。

所以原方程组的解是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32n ,917m（2）应重视方程组的化简例7 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.19y 5.0x 2.0,1y x 3.0繁解：由①得1x 3.0y -=。

③把③代入②，得19)1x 3.0(5.0x 2.0=--。

化简，得5.18x 05.0=。

解得370x =。

把370x =代入③，得110y =。

所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.110y ,370x分析与简解：没有把原方程组化为整数系数的方程组，含有小数的计算容易出错。

原方程组可化为⎩⎨⎧=-=-.190y 5x 2,10y 10x 3（3）应重视方程组变形的细节例8 解方程组⎩⎨⎧-=+-=-②①).2y (24x ),1y (31x错解：整理，得⎩⎨⎧=--=-.0y 2x ,4y 3x分析与解：将原方程组整理为⎩⎨⎧-=--=-④③.8y 2x ,2y 3x④~③，得6y -=，代入③，得20x -=。

所以原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.6y ,20x二元一次方程组及其解法 （备作业）引例1：小丽母亲的生日到了，小丽用10元钱去买一束鲜花送给母亲，这束鲜花要由红和粉红两种颜色的康乃馨组成。

已知红色康乃馨0.7元一支，粉红色康乃馨0.5元一支，那么这束花可以由几支红色康乃馨，几支粉红色康乃馨组成？设这束鲜花中红色康乃馨有x 支，粉红色康乃馨有y 支， 那么，可列方程：引例2：中国古代的《孙子算经》中记载了一个有趣的鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？” 设笼中有鸡x 只，兔y 只 根据题意，可列方程：解方程组： （1）⎩⎨⎧=+=115.122y x y x （2）⎩⎨⎧=+=-112453y x y x （3）⎩⎨⎧-==-205437y y x（4）⎩⎨⎧-=-=-81138y x y x （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-528341x y y x （6）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-8232327y x y x(7)⎩⎨⎧==+24568x y x (8) ⎩⎨⎧==+11625y y x (9)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=15843y x xy(10)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-49432y yx (11)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-15230421x y y x。