中点有关的联想

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2020年中考最全复习资料专题22 关于中点的联想

专题 22 关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解【例1】如图，△ABC边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值为___________．(安徽省竞赛试题)例2题图例1题图F解题思路：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF ∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为( ) (北京市竞赛试题)A．102B．172C．173D．2103解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线．【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连接CE ，CD ，求证：CD ＝2EC ． (宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E ，B ，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．【例4】如图1，P 是线段AB 上一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PA ，PD ＝PB ，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1) 猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3) 如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．（营口市中考试题）BAPAFP BG D H CE HGF E PABC D图① 图② 图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．例3图CA D【例5】如图，以△ABC 的AB ，AC 边为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE ，且使∠ABD ＝∠ACE ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝EM ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：显然△DBM 不全等于△ECM ，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM ＝EM ．【例6】如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F ，求证：EF ∥AB ．（全国初中数学联赛题）解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．○能 ○力 ○训 ○练 A 级1．如图，若E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是____________．(1)如果把条件中的四边形ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH 分别为_______________________；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH 依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是_______________________．（湖北省黄冈市中考试题）2．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC 例5图EDM ABC例6图CB D第1题图第2题图C3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，若BC ＝16，DE ＝5，则AD ＝______________．（南京市中考试题）4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM ，若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，则图中阴影部分的面积为________________．（北京市中考试题）5．A ′，B ′，C ′，D ′顺次为四边形ABCD 的各边的中点，下面条件中使四边形A ′B ′C ′D ′为正方形的条件是（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是等腰梯形 D ．四边形ABCD 中，AC ⊥BD 且AC ＝BD6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则该等腰梯形的面积为（） A ．16cm 2 B ．32cm 2 C ．64cm 2 D ．112cm 27．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，若AD ＝6cm ，BC ＝18cm ，则EF 的长为（）A ．8cmB ．7cmC ．6cmD ．5cm8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE ＝EG ＝GB ，AD ＝18，BC ＝32，则EF ＋GH ＝（） A ．40 B ．48 C ．50 D ．56 （泰州市中考试题）B第8题图第9题图9．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝12AB ．第4题图第3题图A第7题图10．如图，在△ABC 中，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：AP ＝AQ ．11．在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） (2009年河北省中考试题)12．在六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥FA ，AB ＋DE ＝BC ＋EF ，A 1，B 1，D 1，E 1分别是边AB ，BC ，DE ，EF 的中点，A 1D 1＝B 1E 1．求证：∠CDE ＝∠AFE ．第12题图F E第10题图图1AHC (M )DEBFG (N )G图2AHC DEBFNMAHCDE图3BFG MNB 级1．如图，正方形ABCD 两条对角线相交于点E ，∠CAD 的平分线AF 交DE 于点G ，交DC 于点F ，若GE ＝24，则FC ＝_________________．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点F ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN 分别交BD ，AC 于点P ，Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，BD ＝10，则AC ＝_________．（重庆市竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，以AB ，AC 为边分别向形外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点，则∠MPN ＝_________．（北京市竞赛试题）4．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC ，△ABC ，△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（）A ．S 2＝32(S 1＋S 3)B ．S 2＝12(S 3―S 1)C ．S 2＝12(S 1＋S 3)D ．S 2＝32(S 3―S 1) 5．如图，在图形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点，则 ( ) A ．MN ＞12(AD ＋BC ) B ．MN ＜12(AD ＋BC )C ．MN ＝12(AD ＋BC ) D ．无法确定MN 与12(AD ＋BC )的关系6．如图，凸四边形ABCD 的面积是a ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，那么图中的阴影部分的面积为( )A ．18aB ．16aC ．14aD ．12a（江苏省竞赛试题）7．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE ＝DF ，过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE ＝∠PBF ．（全国初中数学联赛试题）第5题图DC M 第2题图CF第1题图F第3题图第4题图D第6题图ABE第7题图EPF8．如图，锐角△ABC 中，作高BD 和CE ，过顶点B ，C 分别作DE 的垂线BF 和CG ，求证：EF ＝DG ．（全俄奥林匹克数学竞赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN ＝90°，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝14(AB 2＋AC 2)．（北京市竞赛试题）10．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD ＝∠ACE ＝90°．如图1，连接DE ，设M 为DE 的中点．(1)求证：MB ＝MC ；(2)设∠BAD ＝∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图2的位置，试问：MB ＝MC 是否还成立?请说明理由．（江苏省竞赛试题）图2图1第9题图 ABC D第8题图BG11．已知△OAB ，△OCD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°．(1) 如图1，点C 在OA 边上，点D 在OB 边上，连接AD ，BC ，M 为线段AD 的中点，求证：OM ⊥BC ． (2) 如图2，在图1的基础上，将△OCD 绕点O 逆时针旋转α(α为锐角)，M 为线段AD 的中点．①求证：OM ＝12BC ；②OM ⊥BC 是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1图2BBODC12．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B ，P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM ，PN ．(1)延长MP 交CN 于点E (如图2)． ①求证：△BPM ≌△CPE ； ②求证：PM ＝PN ．(2)若直线a 绕点A 旋转到如图3的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其他条件不变，此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3) )若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）图3图2图1BB。

关于中点的联想

三角形的中位线在数量上是第三边的一半在位置上涉及到平行它起着传递角的位置关系和线段长度的功能
关于中点的联想
线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中的一个特殊的点，图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想。
例1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
练习：在Rt △ABC中， ∠ACB=90 °，点E是AC的中点，延长BC到点F，使BC=2CF，若AB=10，求EF的长。
B
D
B
D
C
C
A
E
A
E
F
F
EF=5
熟悉一下基本图形：
1、等腰三角形三线合一 2、中线倍长 3、直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线
练习：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，求DE：EA的值。
A E
B
D
C
DE : EA 3
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线
AD=12，求BC的长。
A
10
26
解：延长AD到E，使得DE AD
12
AD是BC边上的中线， BD CD
AB 10，AD 12， BD 102 122 2 61
BC 4 61
中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线的常用手段。
例2、如图，在△ABC中，AB=10，AC=26，BC边上的中线 AD=12，求BC的长。
A
E
B
D
C
构造中点，中位线是解题的常用技巧。
练习：如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，BC边上的中线AD=A2，求△ABC的面积。

中点联想

中点联想线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．基本图形：解读：（一）遇到中点时常见的五种思路：1.遇到等腰三角形底边的中点时考虑：三线合一2.遇到直角三角形斜边的中点时考虑：斜边的中线等于斜边的一半。

3.遇到三角形一边上的中线时考虑：倍长中线4.遇到平行线所截线段的中点时考虑：类倍长中线5.多个中点考虑（或构造）：中位线（二）例题：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A． B． C． D．2.如图, 在△ABC中,BE,CF分别为边AC，AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。

求证：D M⊥EF3.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．（三）练习1.已知，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A 的直线MN//BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF。

求证：DE=DF2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=FDC．3.如图, 在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°，O为BC的中点。

如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保证AN=AM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

4.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，求FG的长．5. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，点E为DC的中点，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.6. 如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC的中点，求证：AD与EF互相平分.7.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE 的中点.（1）求证BF⊥DF(用两种方法正明)（2）若AB=8,AD=6,求DF的长.8．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE ⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ∙∙（四）中考重现1.如图，已知：在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线l经过点B，且直线l绕着点B旋转，AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，连接OM，ON（1）当直线l经过点D时，如图1，则OM、ON的数量关系为；（2）当直线l与线段CD交于点F时，如图2（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）当直线l与线段DC的延长线交于点P时，请在图3中做出符合条件的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？不必说明理由．2.如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）4..如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。

中考数学精讲篇考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(二) “中点”之六大模型

方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀：中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线；联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD，则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，

初中数学培优专题学习专题22 关于中点的联想

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）

由中点想到什么

初三数学培优之：由中点想到什么由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．5.三角形等积熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为．【例2】如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．【例4】已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)．若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【例5】如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ． 2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( )A ．不能确定B ．23C ．3D ．3+18．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题：①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为．13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( ) A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -=18．如图，已知在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE=∠PBF．19．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论．20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE，设M为D正的中点．(1)求证：MB=MC；(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB；MC是否还能成立?并证明其结论．21．如图甲，平行四边形ABCD外有一条直线MN，过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CC l、DD l，垂足分别为A l、B1、C l、D1．(1)求证AA1+ CC l = BB1 +DD l；(2)如图乙，直线MN向上移动，使点A与点B、C、D位于直线MN两侧，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A、B、C、D向直线MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么AA1、BB1、CC l、DD1之间又存在什么关系?。

中点问题六大模型

模型三等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”性质
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N.
12
则MN的长为____5____．
例3题图
模型分析
模型四遇到三角形一边垂线过这边中点时，考虑垂直平分线的性质
当三角形一边的垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到（如图）： BE＝CE.
......
针对训练
1.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为_____8___．
2. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆O于点D、E，且E为 BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
2
例1题图
模型分析
模型二已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AD＝BD＝1 AB，来证明线段间的数量关系，
2
而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD
模型二已知直角三角形斜边中点，联想斜边中线
倍长线段构造全等．
......
模型分析
模型一见三角形一边的中点，联想三角形中位线
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质可得：
DE∥BC，且
DE＝
1 2
BC
，△ADE∽△ABC.
模型一见三角形一边的中点，联想三角形中位线
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5 ，BC＝3，点D、E分别是AB、AC 的中点，延长BC至点F，使 CF＝1 BC，连接DF、EF，则EF的长为____1_4___．

关于中点的几点联想

关于中点的几点联想一、与中点有关的知识点：1、 2、 3、二、由中点产生的联想：三、例题：（1）如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AD 、BE 相交于点F ，且BF=AC 。

求证：EA=EF 。

（2）如图，在梯形ABCD 中，E 为CD 中点，EF 垂直AB 于F ，且AB=6，EF=8，求梯形的面积。

（3）如图，△ABC 中，BD ⊥AC,CE ⊥AB,M 为BC 中点，且MN ⊥ED,求证：N 为ED 中点。

BCB CM4．如图24-1，已知点D 在AC 上，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形.图24-1（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒45，如图24-2，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.图24-2（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒135，如图24-3，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.图24-35．在□ABCD 中，(4)．已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，BE=EF ，∠BEF=90︒，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，联结EG 、CG.（1）探索EG 、CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图1中△BEF 绕B 点顺时针旋转45︒，再联结DF ，取DF 中点G （如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中△BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再联结DF ，取DF 的中点G （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.图1 图2 图3（第25题图）如图：正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共的顶点A ，连接BG, DE, M 为DE 的中点，连AM,1. 图1中AE ，AG 分别与AB ， AD 重合时，AM 和BG 的数量和位置关系分别是（）和（）2. 如图2中将正方形AEFG 绕A 逆时针旋转∂（090oo<∂<）时1中的结论是否成立，试证明。

第六讲关于中点的联想(培优)

第六讲关于中点的联想（培优）中点问题的常见类型：倍长中线，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，梯形中位线，轴对称，中心对称等1．如图，若E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是________（1）如果把条件中的四边形ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH 分别是_____________________________（2）如果把结论中的平行四边形EFGH 依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件分别是______________________2．在三角形ABC 中，AB=AC ，BC AD ⊥于D ，E 是AC 的中点，BC=16，DE=5，求AD 的长3．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，求梯形面积4．梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18cm ，求EF 的长5．梯形ABCD 中，AD//EF//GH//BC ，AE=EG=GB ，AD=18，BC=32，求EF+GH 的值6．如图，在三角形ABC 中，D 、E 是AC 、BC 的中点，BF AB 3=，BD 与FC 交于G ，连接EG ，（1）求证：EG//AC ；（２）求BEG BFG S S ∆∆:7．四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边BC AD ≠，AD 、BC 的中点分别是M 、N ，比较AB 与MN 的大小8．在三角形ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D 使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD ，求证：CD=2CE9．梯形ABCD 中，AD//BC ，BD AC ⊥于O ，求证：BC AD CD AB +>+10．正方形ABCD 的对角线交于E ，CAD ∠的平分线AF 交DE 于G ，交DC 于F ，若GE=24，求FC 的长11．如图，BE 是三角形ABC 的角平分线，AD 是三角形ABC 的中线，BE 与AD 垂直，若BE=AD=4，求三角形ABC 三边的长12．在锐角三角形ABC 中，作高BD 、CE ，过B 、C 分别作直线DE 的垂线BF 、CG ，求证：EF=DG13．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点F ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且FQP FPQ ∠=∠，BD=10，求AC 的长14．三角形ABC 中，0120=∠BAC ，以AB 、AC 为边分别向形外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，求MPN ∠。

微专题中点问题六大方法

第3题图
方法四遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____．【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
W
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针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．

提分微课导学案：与中点有关的联想(两课时)

提分微课：关于中点的联想（一）班级：学号：姓名：【课前练习】1、（2018•南充）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为（）A．B．1C．D．2、（2017•株洲）如图2，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA 的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC＝BD时它是矩形图1 图23、（2014•无锡改编）如图，已知：△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE．（1）求证：MD＝ME；（2）若D为AB的中点，且AB=8，求ME的长．思考：在初中数学学习过程中，哪些定理或结论与中点有关，列举出2-3条？答：①三角形中，中线平分面积，三条中线的交点称为重心，重心分中线成2：1的两段；②四边形中，③圆中，【典型例题】类型一：直角三角形斜边上的中点例题1、（2018•滨州改编）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．若点E、F分别为AB、AC上的动点，且DE⊥DF，（1）求证：BE＝AF；变式1：若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用备用图说明理由．（2）猜想BE、EF、FC这三条线段有怎样的等量关系？并给出证明；变式2：若BE=6，CF=8，求△DEF的面积．（3）若斜边BC=2，设M点为线段EF的中点，当点E从A点移动到B点的过程中，求M 点所经过的路线长；变式3：在（3）的前提下，求线段EF的最小值．练习1、如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，连接EF ．（1）如图1，若EF//BC ，求证：四边形AEDF 为矩形；（2）如图2，以线段BE ，EF ，FC 为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状，并给出证明.图1图2练习2、（2019•苏州相城区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，将直角三角板的直角顶点与AC 边的中点P 重合，直角三角板绕着点P 旋转，两条直角边分别交AB 边于M ，N ，则MN 的最小值是．练习3、如图，在直角坐标系中，一个Rt △ABC 的斜边AB 在两坐标轴上滑动，直角顶点C 在第一象限，若AB ＝2，∠ABC ＝30°，则滑动过程中，线段OC 的最大值是．DBCBC例题2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边CD，AD的中点，连接AE、BF相交于点O．（1）求证：AE⊥BF；（2）连接OC，问：OC与BC相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．练习4、（2014•安徽）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．【课后练习】1、（2017春•遂宁期中）如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC中点．且∠MDN＝90°，将∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①AE＝CF；②S四边形AEDF＝S△ABC；③DE≤AB；④AD与EF可能互相垂直，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．12、（2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出△PMN面积的最大值．提分微课：关于中点的联想（二）班级：学号：姓名：【课前练习】1、（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为.2、如图，AB=AC，AD⊥BC于D，DF∥AE．若AB=3，AE=5，则DF= ．3、（2018•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．类型二：三角形的中位线与倍长中线例题1、连接三角形顶点和一边中点的线段称为三角形的中线，连接两边上中点的线段为三角形的中位线，类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段称为梯形的中位线. 请结合三角形中线和中位线的相关性质解决下列问题：（1）如图，已知三角形的两边长AB，AC分别为7和5，则第三边BC的中线AD的取值范围是．（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC、点E、F分别为两腰AB、CD的中点．求证：EF＝（AD+BC）．变式1：在（2）的前提下，设AD＝7，BC＝17，求的值．（3）如图，四边形ABCD中，AB＝5，CD＝3，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN 的取值范围为．变式2：对于四边形ABCD，M、N分别时AD、BC的中点，猜想线段MN与（AB+CD）之间的大小关系，并给出证明.（4）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE，求证：AB＝CD．变式3：如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝5，∠OEC＝60°，求OE的长度．练习1．（2017•天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G 分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为．练习2．如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD 的面积的最大值为．练习3．在▱ABCD中，E是CD的中点，连接AE、BE．（1）如图1，若AE⊥BE，求证：AB=2BC；（2）如图2，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．例题2、（2019春•花都区期中）如图、四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM．（1）判断∠AMB与∠MAE的数量关系，并说明理由；（2）求证：AM＝AD+MC；（3）若AD＝4，求AM的长．练习4、（2018•武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E 是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【课后练习】1、（2018•苏州）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF＝2CD，连接DF．若AB＝8，则DF的长为（）A．3B．4C．2D．32、如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝5，AB＝13，则DB的长为．3、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC 于点F，AF=EF，求证：AC=BE．4、如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE=AD=4，求△ABC三边之长．。

提分微课01 关于中点的联想

11.如图W1-11,在矩形ABCD中,AB=3,
BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,
点B落在矩形内点P处,连接AP,则
tan∠HAP=
.
图W1-11
[答案]4
3
[解析]如图所示,连接 PB 交 CH 于点 O.
∵ H 是 AB 的中点,∴ HB=12AB=32.∵ 将△ CBH
沿 CH 折叠,点 B 落在矩形内点 P 处,
6.如图W1-6,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点
F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为
.
图W1-6
[答案] 19
2
[解析]连接 DE, ∵ D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴ DE∥AC,2DE=AC=4,EC=2, ∵ EF⊥AC,∴ DE⊥EF.∴ △ DEG 为直角三角形, 在 Rt△ EFC 中,EC=2,∠C=60°, ∴ EF= 3. ∵ G 为 EF 的中点,∴ EG= 23. 在 Rt△ DEG 中,DE=2,EG= 23,由勾股定理得,DG= ��2 + ��2= 219. 故答案为 219.
图W1-14
解:(1)证明:如图①,连接AD. ∵ ∠BAC=90°,AB=AC, ∴ ∠BDA=∠EDF=90°, ∴ ∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF. ∴ ∠BDE=∠ADF. 又∵ D为BC的中点,△ABC是等腰直角三角形, ∴ BD=AD,∠B=∠DAC=45°. ∴ △BDE≌△ADF(ASA).∴ BE=AF.
类型二构造中位线法
4.如图 W1-4,在△ ABC 中,延长 BC 至 D,使得 [答案]B

遇到中点引发六联想

遇到中点引发六联想联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。

1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于【】(2008年安徽省)A ．65 B ．95 C ．125 D ．165分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC 是等腰三角形，且边BC 是底边；由点M 为BC 中点，如果连接AM ，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM 是底边BC 上的高线，这样就能求出三角形ABC 的面积，而三角形AMC 的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC 中利用三角形的面积公式，求可以求得MN 的长。

解：连接AM ，因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC 是等腰三角形，且边BC 是底边；因为，点M 为BC 中点，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM ⊥BC ，在直角三角形AMC 中，AC=5，CM=21BC=3, 所以，AM=222235-=-CM AC =4，所以，三角形ABC 的面积是：21×BC ×AM=21×6×4=12, 所以，三角形ACM 的面积是：6；所以，6=21×AC ×MN ，所以，MN=512. 所以，选择C 。

2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例2、在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。

分析：由点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，根据三角形中位线定理，知道FG ∥BC,FE ∥AC ，FE=21AC ，由直角三角形ADC ，DG 是斜边上的中线，因此，DG=21AC ，所以，EF=DG ，这样，我们就可以说明梯形EFGD 是等腰梯形了。

中点的联想

３如图８在 △ 舳Ｃ中，．，
Ｂ的平分线与ＢＣ边上的中
图７
答案１略。２ＭＮ＜Ａ理由略．．．Ｂ，
所以Ｆ上ＡＣ．Ｅ
一
２ＧＦ．
Ⅳ
２由中点想到中位线．
‘
证明延长Ｇ到Ｈ，ＤＤ使Ｈ
—
图４
例２如图２，在四边形
Ｄ连接Ｂ，Ｈ．Ｇ，ＨＣ
Ｂ —Ｃ，ＤＤ
ＡＢＣＤ中，ＡＢ — Ｃ，Ｆ分别ＤＥ、为ＡＤ，Ｃ的中点，长Ｆ分别Ｂ延Ｅ交ＢＡ、Ｄ的延长线于Ｇ，ＣＨ．
因为
所以
Ｄ／Ｂ，Leabharlann Ｇ／ＡＧ一ＥＨＢ，
ＧＣＥ一Ｂ，
又因为
所以
Ｃ —Ｂ，ＥＥ
△０ＧＥ △ ＢＨＥ．
证明连接Ｆ，Ｃ，ＡＦ因为
ＢＡＤ一ＢＣＤ一９，０
于是Ｓ形ＢＤ — ＳＡＧ — Ａ－Ｆ．梯Ａｃ口ＨＤＤＥ４由中点想到平行四边形．
Ｂ
且点Ｆ是Ｂ的中点，以Ｄ所
ＡＦ — ＣＦ一ＢＤ
Ｚ
Ａ
例４如图４在 △Ａ，ＢＣ中，三
条中线Ａ，Ｅ，Ｆ相交于点Ｇ．ＤＢＣ
求证：ＡＧ一２ＧＤ，Ｇ一２ＢＧＥ， ∞
、
、
又因为Ｅ为ＡＣ的中点，
ＫＦＥ一ＣＨＦ，

看到中点可以联想到的知识点

看到中点可以联想到的知识点
1. 嘿，看到中点能想到啥？那可不就是一场比赛的中途呀！就像跑步比赛，跑到中点时，哎呀，这前面的努力有没有白费可就看这了！比如咱参加的那次长跑，到中点时真觉得累得不行了，但咬咬牙还是坚持下去了。

2. 看到中点，会不会想到人生旅程的中间呀？这时候回头看看走过的路，哇塞，感慨好多啊！就像朋友小李，在中年这个中点时刻，常常回忆过去，他说那都是珍贵的记忆呢！
3. 哎呀呀，说到中点，不就是那部电视剧中间的精彩转折嘛！剧情到了中点，各种冲突都爆发出来了。

就像那部超火的剧，看到中点的时候，人物关系变得特别复杂，看得人揪心啊！
4. 你们说，中点是不是像计划执行到一半的时候呀？这时候得看看进度咋样了。

就像上次我们做项目，到了中点发现有些滞后，赶紧调整策略呢！
5. 嘿，中点不就是一天时间的中午嘛！这可是个重要的节点呢。

比如每天到了中午，都得思考要吃啥好吃的，这可太让人纠结了！
6. 看到中点啊，还能想到友谊的中间阶段呢。

相处到中点的时候，彼此的了解已经很多了，是更加亲密还是会有矛盾呢？像我和那谁，在中点的时候真的经历了一些考验呢！
我的观点结论：中点是个很有意思的概念，能让我们联想到好多不同的方面和经历呀！。

八年级奥数：关于中点的联想

八年级奥数：关于中点的联想解读课标线段的中点把线段分成相等的两部分，是几何图形中一个特殊的点．图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想：中线与中点联系紧密，中线倍长是处理中线的常用手段；直角三角形斜边中线是斜边的一半，作直角三角形斜边中线是常用辅助线；梯形中位线、三角形中位线与中点息息相关；中点还与中心对称图形相连等．熟悉以下基本图形、基本结论：问题解决例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10cm ，则MD 的长为______________．例2 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ．BN ⊥AN 于点N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长等于（）． A ．38 B ．39 C ．40 D ．41例3 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，延长BA 到点D ，使AD =AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF =BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG =DG ．12例4 如图①，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC=∠BPD，PC=P A，PD=PB，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图②，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图③，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．例5 如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E，F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P．求证：∠P AE=∠PBF．数学冲浪知识技能广场1．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长为____________cm．2．如图，若E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，则四边形EFGH是___________．（1）若把条件中的四边形依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别是___________；（2）若把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形或正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是___________．3．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连结DN、EM，若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为__________．4．如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为_____________cm2．5．在一个四边形ABCD中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件（）．A．垂直B．相等C．垂直且相等D．不再需要条件6．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）．A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm7．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM．若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）cm2．A．1 B．5 C．2 D．38．如图，小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（）．A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹；9．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是菱形；（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．10．如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．11．在图①至图③中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图①，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；（2）如图①中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图②，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图②中的CE 缩短到图③的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗?（不必说明理由）思想方法天地 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF =2，ED =3，GC =4，则△ABC 的周长为____________．13．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ =∠FQP ，若BD =10，则AC =___________．14．如图，正方形ABCD 、正方形CGEF 的边长分别是2、3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连接MF ，则MF 的长为____________．15．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，M 、N 是BC 边上的点，BM =MN =NC ，如果AM =4，AN =3，则MN =___________． 16．如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD =4，CE =6，那么△ABC 的面积等于（）．A ．12B ．14C ．16D ．1817．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 中点，N 为AB 中点，则（）．A ．B ．C ．D ．无法确定MN 与18．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用S 、P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；用S 1、P 1分别表示四边形EFGH的面积和)(21BC AD MN +>)(21BC AD MN +<)(21BC AD MN +=1()2AD BC+周长．设K =，，则下面关于K 、K 1的说法正确的是（）． A ．K 、K 1均为常数 B ．K 为常数，K 1不为常数C ．K 不为常数，K 1为常数D ．K 、K 1均不为常数19．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是（）．A ．B ．C ．D ．20．已知：如图①，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ， AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG =（AB +BC +AC ）．若（1）BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为∠ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．21．点O 是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并把AB 、OB 、OC 、CA 的中点D 、E 、F 、G 顺次连结起来，设DEFG 能构成四边形．．（1）如图，当点O 在△ABC 内时，求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）当点O 移动到△ABC 外时，（1）的结论是否成立?画出图形，说明理由；（3）若四边形DEFG 为矩形，则点。

八年级-关于中点的联想

专题 22 关于中点的联想例题与求解【例1】如图，△ABC 边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值为___________．例2题图例1题图F解题思路：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P 可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．【例2】如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在的平面上移动，始终保持EF ∥AB ，线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长度为( )A ．102 B ．172 C ．173 D ．2103解题思路：连接CG ，取CG 的中点T ，构造三角形中位线、梯形中位线．【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连接CE ，CD ，求证：CD ＝2EC ．解题思路：图形中有两个中点E ，B ，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．例3图CA D【例4】如图1，P 是线段AB 上一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使∠APC ＝∠BPD ，PC ＝P A ，PD ＝PB ，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1) 猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2) 当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3) 如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．BAPAFP BG D H CE HGF E PABC D图① 图② 图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．【例5】如图，以△ABC 的AB ，AC 边为斜边向形外作直角三角形ABD 和ACE ，且使∠ABD ＝∠ACE ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝EM ．解题思路：显然△DBM 不全等于△ECM ，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM ＝EM ．○能 ○力 ○训 ○练 A 级1．如图，若E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是____________．(1)如果把条件中的四边形ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH 分别为_______________________；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH 依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD 应具备的条件是_______________________．例5图EDM ABC2．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为_______________．3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 是AC 的中点，若BC ＝16，DE ＝5，则AD ＝______________．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM ，若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，则图中阴影部分的面积为________________．5．A ′，B ′，C ′，D ′顺次为四边形ABCD 的各边的中点，下面条件中使四边形A ′B ′C ′D ′为正方形的条件是（）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是等腰梯形 D ．四边形ABCD 中，AC ⊥BD 且AC ＝BD 6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则该等腰梯形的面积为（） A ．16cm 2 B ．32cm 2 C ．64cm 2 D ．112cm 27．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，若AD ＝6cm ，BC ＝18cm ，则EF 的长为（）A ．8cmB ．7cmC ．6cmD ．5cm8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE ＝EG ＝GB ，AD ＝18，BC ＝32，则EF ＋GH ＝（）A ．40B ．48C ．50D ．56第4题图第1题图第2题图C第3题图A第7题图MD B第8题图第9题图9．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC 于点D ，M 是BC 的中点，求证：DM ＝12AB ．10．如图，在△ABC 中，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：AP ＝AQ ．B 级1．如图，正方形ABCD 两条对角线相交于点E ，∠CAD 的平分线AF 交DE 于点G ，交DC 于点F ，若GE ＝24，则FC ＝_________________．2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点F ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN 分别交BD ，AC 于点P ，Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，BD ＝10，则AC ＝_________．（重庆市竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，以AB ，AC 为边分别向形外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，M 为AD 的中点，N 为AE 的中点，P 为BC 的中点，则∠MPN ＝_________．4．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC ，△ABC ，△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（）第2题图C第10题图F第1题图F第3题图A ．S 2＝32(S 1＋S 3)B ．S 2＝12(S 3―S 1)C ．S 2＝12(S 1＋S 3)D ．S 2＝32(S 3―S 1)5．如图，在图形ABCD 中，AB ∥DC ，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点，则 ( ) A ．MN ＞12(AD ＋BC ) B ．MN ＜12(AD ＋BC )C ．MN ＝12(AD ＋BC ) D ．无法确定MN 与12(AD ＋BC )的关系6．如图，凸四边形ABCD 的面积是a ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，那么图中的阴影部分的面积为( )A ．18aB ．16aC ．14aD ．12a7．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE ＝DF ，过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠P AE ＝∠PBF ．8．如图，锐角△ABC 中，作高BD 和CE ，过顶点B ，C 分别作DE 的垂线BF 和CG ，求证：EF ＝DG ．9．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且∠MDN ＝90°，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2．求证：AD 2＝14(AB 2＋AC 2)．第8题图BG 第5题图DC M第4题图D第6题图ABE第7题图EPF10．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD ＝∠ACE ＝90°．如图1，连接DE ，设M 为DE 的中点．(1)求证：MB ＝MC ；(2)设∠BAD ＝∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图2的位置，试问：MB ＝MC 是否还成立?请说明理由．图2图1第9题图 ABC D。