用三角形内切圆半径证明勾股定理

勾股定理的再证明

铜城中学 梁红生

在初中数学圆的教学中，我发现了勾股定理新的证明方法，说出来与大家共同讨论。

在义教实验版初中数学第24章圆有两道有关三角形的内切圆半径的计算问题：

1．第98页练习第2题：

如图，⊿ABC 的内切圆的半径为r ，⊿ABC 的周长为L,求⊿ABC 的面积 （提示设内心为O ， 连接OA ，OB ，OC ）

此题我们易得：

S △ABC = S △ABO + S △CBO+ S △ACO =R *AB 2

1+R *BC 21+R *AC 21 =R *L 2

1

如果该三角形是直角三角形，设三边为a,b,c,其中c 为斜边，则有： 21ab=21(a+b+c)R 解得，R=c

b a ab ++ 2.第103页习题15题：

如图，Rt △ABC 中，∠C=900,AB,BC,CA 的长为a,b,c,求△ABC 的内切圆的半径R 。

此题易证得四边形CEOF 为正方形，其边长为R ，再运用切线长定理得：

A B

C O .

D

E

F A B

C D E F O

AD = AF = a -R

BD=BE= b -R

AB=BD+BE

即：c= a -R+ b -R 解得：R=2c -b a + 比较两题的结果，就有：

c b a ab ++=2c -b a + 化简就有：a 2+b 2=c 2

如此，即证明了勾股定理。

2010.12.15